Il est possible d’´etablir une connexion entre mod`eles de boˆıtes et mod`eles bidimension-nels. Nous pr´esentons ici un mod`ele de boˆıtes dont la formulation, dans la limite d’un temps de rappel court pour la temp´erature, est la discr´etisation des ´equations asymp-totiques formul´ees ci-dessus. Ceci explique que les mod`eles de boˆıtes parviennent `a reproduire le comportement de mod`eles plus complexes.
IV.2.1 Formulation d’un mod` ele ` a N boˆıtes
On consid`ere un mod`ele compos´e deN boˆıtes homog`enes align´ees et connect´ees deux `a deux par un tube capillaire de surface et un tube capillaire de fond (voir figure IV.1). Les N r´eservoirs constituent une discr´etisation latitudinale grossi`ere d’un bassin oc´eanique.
Chacune des boˆıtesBi est caract´eris´ee par sa temp´erature Ti, sa salinit´eSi, sa densit´e ρi et son volume Vi. L’´evolution de la temp´erature et de la salinit´e dans chacune des boˆıtes est contrˆol´ee par un for¸cage impos´e et par les transports entre boˆıtes.
Figure IV.1 : Mod`eles `a N boˆıtes. Notations pr´ecis´ees sur trois boˆıtes quelconques i−1,i et i+ 1.
La temp´eratureTiet la salinit´eSisont rappel´ees vers des valeurs de r´ef´erence constantes Tˆi et ˆSi selon une loi de relaxation newtonienne.
Le d´ebit Ψ2i entre deux boˆıtes voisines Bi et Bi+1 est proportionnel au carr´e de la
diff´erence de densit´e entre ces deux boˆıtes, laquelle s’exprime par :
∆ρi =−γT (Ti+1−Ti) + γS (Si+1−Si)
o`u γT et γS sont, respectivement, les coefficients de dilatation thermique et de con-traction saline.
Pendant un temps δt, le volume ´echang´e par advection entre les boˆıtes Bi et Bi+1
s’´ecrira :
δVi =uiAδt
o`u ui d´esigne la vitesse du fluide dans les tubes et A leur section. On suppose que les tubes sont ´elastiques et que leur section varie lin´eairement avec la vitesse du fluide qui les parcourt. SiA0est la section initiale des tubes, l’expression pr´ec´edente s’´ecrit alors :
δVi =u2iλA0δt= Ψ2iδt .
L’advection entre les deux boˆıtes induit une diff´erence de temp´erature pour la boˆıteBi
exprim´ee par :
Les ´equations d’´evolution des temp´erature et salinit´e d’une boˆıteBidu mod`ele s’´ecrivent donc :
o`u les coefficients RT et RS de relaxation sont inversement proportionnels aux temps caract´eristiques de rappel.
Le mod`ele ci-dessus a ´et´e ´ecrit en tenant compte seulement des effets de for¸cage et d’advection. Il convient de noter qu’introduire un terme de diffusion en Laplacien re-vient simplement `a remplacer Ψ2i par Ψ2i +κdans les ´equations ci-dessus, le coefficient κ´etant le coefficient de diffusion horizontale pour la temp´erature et la salinit´e. La prise en compte des effets diffusifs ne modifie donc pas qualitativement la formulation du mod`ele de boˆıtes.
IV.2.2 Mod` ele adimensionn´ e
Le mod`ele ci-dessus est adimensionn´e en choisissant les unit´es suivantes : 1/RT pour le temps, PNn=1Vi/N pour le volume, (RT PN
n=1Vi/N)1/2/CγT pour la temp´erature, (RT PN
n=1Vi/N)1/2/CγS pour la salinit´e et RT PN
n=1Vi/N pour le d´ebit.
Dans un but de simplification de l’´ecriture, on supposera que toutes les boˆıtes ont le mˆeme volume, ´egal `a l’unit´e adimensionnelle de volume.
Le mod`ele adimensionn´e s’´ecrit :
∂
∂tTi = ( ˆTi−Ti) + Ψ2i (Ti+1−Ti) + Ψ2i−1 (Ti−1−Ti)
∂
∂tSi = ξ( ˆSi−Si) + Ψ2i (Si+1−Si) + Ψ2i−1 (Si−1−Si) Ψi = −(Ti+1−Ti) + (Si+1−Si)
o`uξ=RS/RT est un param`etre adimensionnel proportionnel au rapport des temps de relaxation thermique et salin.
Les grandeurs d´eterminantes des mod`eles de boˆıtes sont les diff´erences de temp´erature et de salinit´e entre deux boˆıtes adjacentes. On introduit donc les notations suivantes :
Θ(i, t) = (Ti+1−Ti) := ∂
∂iTi Σ(i, t) = (Si+1−Si) := ∂
∂iSi .
L’indice i de la boˆıte consid´er´ee est assimilable `a une latitude. Les grandeurs Θ et Σ repr´esentent donc les gradients m´eridiens thermique et salin.
Dans le mˆeme esprit, de nouvelles notations sont adopt´ees pour les for¸cages : α(i) = ( ˆTi+1−Tˆi) := ∂
∂iTˆi
β(i) = ξ ( ˆSi+1−Sˆi) := ξ ∂
∂iSˆi . Le d´ebit sera not´e : Ψ(i, t) = Ψi(t).
Les ´equations du mod`ele de boˆıtes sont les ´equations d’´evolution des diff´erences de temp´erature et de salinit´e entre deux boˆıtes adjacentes. Par exemple, l’´equation de temp´erature devient :
∂
∂tΘ(i, t) = α(i)−Θ(i, t)
+ Ψ(i+ 1, t)2 Θ(i+ 1, t)−2Ψ(i, t)2 Θ(i, t) + Ψ(i−1, t)2 Θ(i−1, t)
= α(i)−Θ(i, t) + ∂2
∂i2 (Ψ(i, t)2 Θ(i, t)) Le mod`ele de boˆıtes s’´ecrit donc enfin :
∂
∂tΘ = α−Θ + ∂2
∂i2 (Ψ2 Θ)
∂
∂tΣ = β−ξΣ + ∂2
∂i2 (Ψ2 Σ) Ψ = −Θ + Σ
IV.2.3 Equations asymptotiques du mod` ele
On consid`ere un d´eveloppement asymptotique du mod`ele `a N boˆıtes. Le param`etre ξ est proportionnel au rapport du temps de relaxation pour le for¸cage thermique au temps de relaxation pour le for¸cage salin. La r´eponse oc´eanique au for¸cage thermique est nettement plus rapide et le param`etre ξ est donc petit.
Par analogie avec la th´eorie asymptotique d´evelopp´ee dans le cas du mod`ele 2D de Boussinesq, on consid´erera le chemin asymptotique ǫ→0 suivant :
ξ = ǫ2 ξ2 α(i) = ǫ α1(i) β(i) = ǫ3 β3(i). Les solutions sont recherch´ees sous la forme :
Ψ(i, t) = ǫΨ1(i, ǫ2t) +ǫ2 Ψ2(i, ǫ2t) +...
Θ(i, t) = ǫΘ1(i, ǫ2t) +ǫ2 Θ2(i, ǫ2t) +...
Σ(i, t) = ǫΣ1(i, ǫ2t) +ǫ2 Σ2(i, ǫ2t) +...
Un nouveau temps d’´evolution τ =ǫ2t est introduit.
Le d´eveloppement asymptotique du mod`ele de boˆıtes est analogue `a celui du mod`ele 2D de Boussinesq par les points suivants :
• Egalit´e entre la temp´erature au premier ordre et la temp´erature impos´ee par for¸cage.
• Solubilit´e de l’´equation de temp´erature `a chaque ordre.
• Relation de compatibilit´e pour la salinit´e obtenue au troisi`eme ordre.
Le syst`eme d’´equations asymptotiques s’´ecrit : Θ1 = α1
Ψ1 = −Θ1+ Σ1
∂τΣ1 = β3−ξ2Σ1+ ∂2
∂i2 (Ψ12 Σ1)
Le choix d’une int´egrale B3(i) du for¸cage salin telle que d2B3(i)/di2 = β3(i)−ξ2Σ1
permet d’´ecrire l’´equation de salinit´e sous la forme :
∂τΣ1 = ∂2
∂i2
B3(i) + Ψ12 Σ1
.
On observe que les ´equations asymptotiques obtenues ici sont l’exacte discr´etisation de celles issues du mod`ele 2D quant aux termes advectifs et de for¸cage (cf. paragraphe IV.1.3).
Comme signal´e pr´ec´edemment, prendre en compte les effets diffusifs entre boˆıtes re-vient simplement `a remplacer Ψ2i par Ψ2i +κ. Dans l’´equation asymptotique, le terme diffusif s’´ecrirait donc κ Σ1 dans le terme de droite. L`a encore, la formulation est la discr´etisation de celle obtenue `a partir du mod`ele fluide.