Comportement du mod`ele

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V.2 Article Fleury & Thual (1997)

VI.1.2 Comportement du mod`ele

Equations et conditions aux limites sont discr´etis´ees sur une grille non ´equidistante comportant 61 points sur l’horizontale et 31 niveaux. Cette r´esolution est suffisante d’apr`es Dijkstra & Molemaker (1997). Une m´ethode de suivi des branches de solutions dans l’espace des param`etres est mise en œuvre. En chaque point, la stabilit´e lin´eaire de la solution est d´etermin´ee par r´esolution du probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e.

Les for¸cages de temp´erature et de salinit´e sont choisis tels que FT(Y) = cos(Y) et FS(Y) = cos(Y), o`uY =−π+ 2πy/A varie entre −π et π. Deux profils m´eridiens de for¸cage dynamique sont appliqu´es. L’un est sym´etrique par rapport `a l’´equateur (i.e.

Y = 0) : FU(Y) = −2 [0.5 cos(Y) + cos(2Y)]/3 et l’autre antisym´etrique : FU(Y) = sin(Y/2). Le param`etre f de Coriolis est constant f(Y) = f0, ou de fa¸con plus r´ealiste variable avec la latitude selon f(Y) = f0Ω(Y) avec Ω(Y) = 2 sin(Y/3)/√

3. Cette formulation revient `a borner le bassin `a l’intervalle de latitude [−60o,60o], ce qui paraˆıt raisonnable pour le probl`eme ´etudi´e. Les profils de tension de vent et de rotation sont repr´esent´es en figure V.1.

Dans toutes les simulations pr´esent´ees ici, le rapport d’aspect, le rapport λ et les nombres de Prandtl et de Lewis ont ´et´e fix´es. Leurs valeurs sont respectivementA= 10, λ= 0.32,σP = 103 et Le= 1.

−3.5 0.0 3.5

−1.5 0.0 1.5

EQ NP SP

Figure VI.1 : Profils de for¸cage dynamique et de rotation consid´er´es en fonction de la latitude Y. En trait mixte :FU sym´etrique, en trait plein : FU antisym´etrique et en tirets gras : f(Y) antisym´etrique.

(a) Cas de r´ef´erence

Un diagramme de bifurcation obtenu pour le mod`ele non rotatif et non forc´e dy-namiquement (E1 = Re = 0) servira de r´ef´erence. Il correspond `a la configuration

la plus simple, o`u l’on puisse observer des ´equilibres multiples : la branche initiale de solutions comporte deux points de bifurcation fourche et aucun point limite (voir paragraphe III.3.3). La branche de solutions initiale est instable lin´eairement entre les points debifurcation fourcheet stable en dehors. Les deux solutions asym´etriques issues des points debifurcation fourche sont stables sur leur domaine d’existence.

0.30 0.33

Ra_S / Ra_T -0.4

0.0

Psi_RM

0.0 0.5

Ra_S / Ra_T 0.0

2.5

Psi_Max

5

3 4 2 1

6 7

8

a

b

Figure VI.2 : Diagramme de bifurcation obtenu avec les param`etres RaT = 500, A = 10, σP = 103, λ = 0.32, Le = 1 et E−1 = Re = 0. Les branches de solutions stables sont trac´ees en trait plein, les branches de solutions instables en tirets. Ena : repr´esentation dans le plan (RaS/RaT, ψM ax). En b :dans le plan (RaS/RaT, ψRM).

Ce cas a ´et´e d´ecrit par Dijkstra & Molemaker (1997) (leur figure 17.b) pour les param`etres A= 10, σP = 2.25 , λ= 0.32,Le= 1 et RaT = 103. Il a ´et´e retrouv´e ici `a fort nombre de Prandtl. La figure VI.2 repr´esente le diagramme de bifurcation obtenu avec les param`etres : A = 10,σP = 103, λ= 0.32,Le = 1 et RaT = 500. Sur la figure VI.2.a, le diagramme est repr´esent´e dans le plan (RaS/RaT, ψM ax), o`u ψM ax est la valeur maximale de la fonction de courant dans le domaine. Les branches de solutions stables sont trac´ees en trait plein, celles de solutions instables en tirets. Sur la figure

VI.2.b, le diagramme est trac´e dans le plan (RaS/RaT, ψRM), o`uψRM est la valeur de la fonction de courant en un point particulier du bassin. Cette deuxi`eme repr´esentation permet de s´eparer les deux branches de solutions asym´etriques. Les diagrammes de bifurcation seront d´esormais repr´esent´es dans le plan (RaS/RaT, ψRM).

Rappelons que ce comportement est analogue `a celui de l’´equation asymptotique pour certaines valeurs des param`etres (voir paragraphe IV.3.3, figure IV.2.b).

La fonction de courant m´eridienne a ´et´e trac´ee en quelques points des trois branches de solutions. Ces points sont indiqu´es par des num´eros sur la figure VI.2. Attention, les points 3 et 6 ne sont pas confondus, comme les symboles pourraient le laisser croire : le point 3 se situe en dessous du point de bifurcation sur la figure VI.2.a.

Cas de reference : BRANCHE 1 lignes de courant

Figure VI.3 : Lignes de courant pour les diff´erents points de la branche de solutions sym´etriques indiqu´es en figure VI.2.a. L’´ecart entre deux isolignes est 0.1.

La figure VI.3 montre les lignes de courant correspondant aux points 1, 2, 3 et 4 de la branche initiale. Sur cette branche, toutes les solutions sont sym´etriques. Les points1,2 et3correspondent `a des circulations de type thermique, avec plong´ee d’eau aux deux pˆoles et remont´ee d’eau ´equatoriale. L’amplitude de la circulation d´ecroˆıt jusqu’`a s’annuler pourRaS/RaT ≃0.35. Ensuite, la solution s’intensifie `a nouveau, sous forme d’une circulation saline avec plong´ee d’eau ´equatoriale (point 4). Les branches de solutions asym´etriques se d´eveloppent donc dans une r´egion de for¸cage thermique dominant, mais proche de celle o`u le for¸cage salin devient dominant.

En figure VI.4, on a repr´esent´e la fonction de courant m´eridienne des solutions asym´etriques correspondant aux points 5, 6, 7 et8 de la figure VI.2.b.

Cas de reference : BRANCHES 2 et 3

Figure VI.4 : Lignes de courant pour les diff´erents points des branches de solutions asym´etriques indiqu´es en figure VI.2.b. L’´ecart entre deux isolignes est 0.1.

Le long de chacune des deux branches de solutions asym´etriques, l’une des deux cellules grandit au d´etriment de l’autre. Il apparaˆıt clairement que les deux solutions asym´etriques sont sym´etriques l’une de l’autre par rapport `a l’´equateur. L’extension maximale de la grande cellule correspond approximativement au point5. On n’observe pas de solution pˆole-`a-pˆole avec les param`etres consid´er´es ici.

(b) Effet de la rotation seule

On s’int´eresse tout d’abord aux changements induits par l’introduction de la rotation en l’absence de for¸cage dynamique. Si le for¸cage dynamique de surface est nul, la vitesse zonale uest non nulle car elle ´evolue sous l’effet du terme de Coriolis.

0.30 0.33

Ra_S / Ra_T

−0.4 0.0

Psi_RM

0.30 0.33

−0.4 0.0

Psi_RM

0.30 0.33

−0.4 0.0

Psi_RM

a

b

c

Figure VI.5 : Diagrammes de bifurcation obtenus pour les param`etres RaT = 500, A = 10, σP = 103, λ = 0.32, Le = 1, Re = 0 et en a : 1/E = 0, en b : 1/E = 2, la rotation ´etant constante et en c : 1/E = 1,73, la rotation ´etant antisym´etrique.

Les branches de solutions stables sont trac´ees en trait plein, les branches de solutions instables en tirets.

On compare au cas de r´ef´erence les diagrammes de bifurcation correspondant aux mˆemes valeurs des param`etres (RaT = 500, A = 10, σP = 103, λ = 0.32, Le = 1, Re = 0) mais dans le cas rotatif (E−1 6= 0). En figure VI.5.a, le diagramme de bifurcation du cas de r´ef´erence est reproduit. En figure VI.5.b, le diagramme obtenu pourE−1 = 2 et une rotation constante est trac´e. En figure VI.5.c, le diagramme obtenu pour E−1 = 1,73 et une rotation d´ependant de la latitude (f(Y) = 2f0sin(Y/3)/√

3) est repr´esent´e.

Dans les trois cas, la topologie des solutions est la mˆeme. Mais la pr´esence de rotation d´efavorise les solutions asym´etriques. Dans le cas d’une rotation constante, les deux points de bifurcation sont nettement plus proches. Il faudrait augmenter le for¸cage ther-mique pour retrouver une situation analogue au cas de r´ef´erence quant `a l’´etendue des branches asym´etriques. La rotation antisym´etrique ne provoque pas de d´eplacement des points de bifurcation, mais induit une plus faible intensit´e des solutions asym´etriques.

Leur asym´etrie se limite `a une l´eg`ere diff´erence d’intensit´e et d’extension entre les deux cellules.

La structure bifurcatoire du mod`ele est maintenue, car le terme de Coriolis pr´esente la mˆeme sym´etrie que les autres termes dans l’´equation de fonction de courant. En effet, si ψ est un champ antisym´etrique (cas de la branche initiale de solutions), l’´equation d’´evolution deu impose que u soit de parit´e oppos´ee `a celle de Ω. Tous les termes de l’´equation de fonction de courant sont donc antisym´etriques par rapport `a l’´equateur.

La sym´etrie du mod`ele est inchang´ee par rapport au cas non rotatif.

(c) Effet du for¸cage dynamique

Outre la rotation, on applique maintenant un for¸cage dynamique sym´etrique de profil FU(Y) = −2 [0.5 cos(Y) + cos(2Y)]/3 d’amplitude Re = 15. En figure VI.6, sont successivement repr´esent´es les diagrammes de bifurcation du cas de r´ef´erence (Re = E1 = 0), du cas for¸cage dynamique sym´etrique et rotation constante (Re = 15, E−1 = 2) et du cas for¸cage dynamique sym´etrique et rotation antisym´etrique (Re= 15, E−1 = 1,73). Le terme de Coriolis dans l’´equation d’´evolution de la fonction de courant a maintenant mˆeme parit´e que le produitFUΩ. En effetua mˆeme parit´e que son for¸cage de surface. La sym´etrie des ´equations peut donc ˆetre rompue et les points debifurcation fourchedisparaˆıtre.

Ainsi l’imposition d’une tension de vent sym´etrique `a rotation constante modifie le comportement du mod`ele. Dans ce cas, le terme de Coriolis dans l’´equation d’´evolution de la fonction de courant sera sym´etrique, contrairement aux autres termes. La sym´etrie initiale du mod`ele est donc bris´ee. Une seule branche de solutions est observ´ee, qui ne porte aucun point de bifurcation (voir figure VI.6.b).

L’introduction d’une tension de vent sym´etrique et d’une rotation antisym´etrique n’alt`ere pas le comportement du mod`ele mais tend `a r´eduire l’extension des branches asym´etriques et l’intensit´e des solutions correspondantes (voir figure VI.6.c). Aug-menter le nombre de Rayleigh thermique permet de retrouver les extensions et

am-plitudes du cas de r´ef´erence.

Au cours de nos simulations avec un profil de tension de vent antisym´etrique, on n’a obtenu aucun point de bifurcation fourche ni dans le cas de la rotation constante, ni dans celui de la rotation antisym´etrique. En augmentant le nombre de Rayleigh thermique, on devrait pourtant observer des points de bifurcation fourche dans le cas de la rotation constante, puisqu’alors la sym´etrie du mod`ele est pr´eserv´ee.

0.30 0.33

Ra_S / Ra_T

−0.4 0.0

Psi_RM

0.30 0.33

−0.4 0.0

Psi_RM

0.30 0.33

−0.4 0.0

Psi_RM

a

b

c

Figure VI.6 : Diagrammes de bifurcation obtenus pour les param`etres RaT = 500, A = 10, σP = 103, λ = 0.32, Le = 1, et en a : Re = 1/E = 0, en b : Re = 15 et 1/E = 2, la rotation ´etant constante, en c : Re = 15 et 1/E = 1,73, la rotation

´etant antisym´etrique. Le for¸cage dynamique est sym´etrique. Les branches de solutions stables sont trac´ees en trait plein, les branches de solutions instables en tirets.

Les circulations induites par un for¸cage dynamique de grande amplitude confirment qu’une asym´etrie est introduite dans le mod`ele quand le produit des profils de tension de vent et de rotation est une fonction paire. L’antisym´etrie du mod`ele n’est pas perturb´ee

Lignes de courant

Figure VI.7 : Lignes de courant des solutions obtenues pour RaT = 500, RaS/RaT = 0, A = 10, σP = 103 λ = 0.32, Le = 1. A droite : rotation constante, 1/E = 2. A gauche : rotation antisym´etrique, 1/E = 1,73. En haut : tension de vent nulle. Au milieu : FU sym´etrique d’amplitudeRe= 2250. En bas : FU antisym´etrique d’amplitudeRe= 1500.

par l’introduction de tension de vent et de rotation quand le produit de leurs profils est impair.

On a repr´esent´e en figure VI.7 les lignes de courant obtenues avec un for¸cage dy-namique de grande amplitude pour les diff´erentes combinaisons possibles de profils de tension de vent et de rotation. En colonne de droite, on a trac´e les circulations dans le cas d’une rotation constante et une tension de vent nulle (en haut), sym´etrique (au milieu) et antisym´etrique (en bas). En colonne de gauche, les for¸cages dynamiques sont inchang´es mais la rotation est antisym´etrique. Quand la tension de vent est nulle, l’influence de la rotation est relativement minime, comme cela ´etait d´ej`a visible en fig-ure VI.5. Dans les quatre autres cas, la circulation est domin´ee par l’action du for¸cage dynamique, le for¸cage thermique ´etant bien moins ´elev´e et le for¸cage salin nul.

Quand le produit rotation× tension de vent pr´esente un profil sym´etrique (cas ten-sion de vent sym´etrique et rotation constante ou tenten-sion de vent et rotation anti-sym´etriques), la circulation induite par le for¸cage dynamique est asym´etrique. L’intro-duction de tension de vent et de rotation brise la sym´etrie initiale du mod`ele. A l’inverse, si la tension de vent et la rotation ont des parit´es inverses, la sym´etrie initiale du mod`ele est pr´eserv´ee et la circulation induite par le for¸cage dynamique est sym´etrique.

On observe d’autre part que les solutions correspondant `a un profil de tension de vent sym´etrique se composent de plus de deux cellules. Quand le for¸cage dynamique est antisym´etrique, seules deux cellules existent. Ceci provient du fait que le profil antisym´etrique est monotone. En revanche, son gradient change plusieurs fois de signe dans le cas sym´etrique.

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