Le mod`ele consid´er´e ici est analogue `a celui d´ej`a ´etudi´e par Thual & McWilliams (1992), Quon & Ghil (1992 et 1995), Cessi & Young (1992) et Dijkstra &
Molemaker (1997). Mais le choix des grandeurs d’adimensionnement varie selon les auteurs (voir Annexe B - tableau 1). La formulation des param`etres adimensionnels dans ces diff´erentes ´etudes est pr´esent´ee en Annexe B - tableau 2, ainsi que les relations permettant de passer d’un jeu de param`etres `a un autre.
III.1.1 Equations
On consid`ere un bassin rectangulaire `a fond plat de largeur L et de profondeur d. Les
´equations r´egissant la couche de fluide sont formul´ees dans un rep`ere cart´esien non-tournant (ey,ez). Les variables de position sont ypour l’horizontale (la “latitude”) et z pour la verticale et leurs domaines de variation sont−L/2≤y≤L/2 et−d≤z ≤0.
Le mod`ele se compose d’une ´equation de Navier-Stockes simplifi´ee par l’approximation de Boussinesq pour le mouvement et de deux ´equations d’advection-diffusion pour la temp´erature et la salinit´e. Elles s’´ecrivent :
∂
∂tu+u· ∇u = − ∇p ρ0
+B(T, S)ez+ν(H) ∂2
∂y2u+ν(V) ∂2
∂z2u
∇ ·u = 0
∂
∂tT +u· ∇T = κ(H)T ∂2
∂y2T +κ(VT ) ∂2
∂z2T
∂
∂tS+u· ∇S = κ(H)S ∂2
∂y2S+κ(VS ) ∂2
∂z2S ,
o`uu(v, w) symbolise le vecteur vitesse, ple champ de pression,ρ0 la valeur moyenne du champ de densit´eρ,T le champ de temp´erature etScelui de salinit´e. Les coefficients de
dissipation sont la viscosit´e horizontale ν(H), la viscosit´e verticale ν(V), les diffusivit´es thermiques horizontale κ(H)T et verticale κ(VT ) et les diffusivit´es salines horizontale κ(H)S et verticaleκ(VS ). L’´equation d’´etat du fluide est lin´eaire et le terme de flottabilit´e s’´ecrit B(T, S) = −g ρ/ρ0 = g (γTT −γSS) , o`u g est l’acc´el´eration gravitationnelle, γT le coefficient de dilatation thermique et γS celui de contraction saline.
III.1.2 Conditions aux limites
Le mod`ele est forc´e en surface par des conditions aux limites de temp´erature et de salinit´e sym´etriques par rapport `a l’´equateur (y = 0).
Elles peuvent ˆetre de type double condition de Dirichlet:
T = ∆T FT(y) et S = ∆S FS(y) en z = 0 , mais sont plus souvent de type mixte :
T = ∆T FT(y) et ∂
∂zS = ∆S
d FS(y) en z = 0 .
∆T et ∆S sont les intensit´es dimensionnelles des for¸cages. FT(y) and FS(y) sont les profils de for¸cage, d’amplitude unitaire. La formulation double condition de Dirichlet peut ˆetre utilis´ee afin d’obtenir un ´etat d’´equilibre compatible avec des temp´eratures et des salinit´es de surface r´ealistes, mais elle ne repr´esente pas correctement l’action de l’atmosph`ere sur la salinit´e oc´eanique. Les conditions mixtes traduisent bien mieux la physique des interactions oc´ean–atmosph`ere `a l’interface (voir II.2.2).
Au fond et sur les parois verticales du domaine, on applique une condition de typeflux nul pour la temp´erature et la salinit´e :
∂
∂nT = ∂
∂nS = 0 en y=±L/2 et z =−d , o`u ∂n∂ est la d´eriv´ee normale `a la paroi consid´er´ee.
Une condition de glissement sans frottement est impos´ee au champ de vitesse sur les quatre parois du domaine :
v = 0 et ∂
∂yw = 0 en y=±L/2. w= 0 et ∂
∂zv = 0 en z = 0 et z =−d .
III.1.3 Adimensionnement
Dans cette ´etude, les facteurs d’´echelle choisis sont : d pour les longueurs horizontales et verticales, 2πd3/Lκ(H)T pour le temps, ν(H)κ(H)T L2/(4π2d5gγT) pour la temp´erature et ν(H)κ(H)T L2/(4π2d5gγS) pour la salinit´e.
De fa¸con classique, on d´efinit la fonction de courant Ψ dans le plan (y,z) par : v =− ∂
∂zΨ et w= ∂
∂yΨ.
Ainsi, on peut ´eliminer les termes de pression de l’´equation du mouvement.
En notant J(f, g) = ∂y∂ f ∂z∂g − ∂z∂ f ∂y∂g l’op´erateur Jacobien, les ´equations adimen-sionn´ees ´ecrites en terme de fonction de courant sont les suivantes :
1
Les domaines de variation des deux variables d’espace adimensionn´ees sont :
−π/k ≤y≤ π/k et −1 ≤z ≤ 0. Sous forme adimensionnelle, le for¸cage de surface s’´ecrit :
T =a FT(ky) et S =b FS(ky) en z = 0, dans le cas d’une double condition de Dirichlet ou :
T =a FT(ky) et ∂
∂zS =b FS(ky) en z = 0,
dans le cas deconditions mixtes.a etbsont les amplitudes des for¸cages et les fonctions FT etFS sont telles que : FT(ky) =FT(ydim) et FS(ky) =FS(ydim), o`uydim repr´esente la latitude non adimensionn´ee.
Les autres conditions aux limites s’expriment :
Ψ =∂2Ψ/∂z2 = 0 en z = 0
∂T /∂z =∂S/∂z = 0 et Ψ =∂2Ψ/∂z2 = 0 en z =−1
∂T /∂y=∂S/∂y = 0 et Ψ =∂2Ψ/∂y2 = 0 en y=±π/k . Les param`etres adimensionnels contrˆolant ce syst`eme sont les suivants :
• le nombre d’onde fondamental : k = 2πd/L, qui est ´egal `a 2π pr`es au rapport d’aspect du bassin consid´er´e. Par abus de langage, nous appellerons k rapport d’aspect du bassin.
• l’intensit´e du for¸cage thermique : a= 4π2d5gγT∆T /(ν(H)κ(H)T L2).
• l’intensit´e du for¸cage salin : b= 4π2d5gγS∆S/(ν(H)κ(H)S L2).
• le nombre de Prandtl : σP =ν(H)/κ(H)T .
• le nombre de Lewis : Le=κ(HS )/κ(H)T .
• le rapport d’anisotropie des viscosit´es : δν =ν(V)/ν(H).
• les rapports d’anisotropie des diffusivit´es : δκT =κ(VT )/κ(H)T etδκS =κ(VS )/κ(HS ). Le mod`ele d´epend donc de huit param`etres adimensionnels et des deux profils de for¸cage FT et FS.
III.1.4 Hypoth` eses de l’´ etude
Dans le mod`ele consid´er´e ici, les effets de la rotation ne sont pas pris en compte.
D’autres auteurs - notammentWright & Stocker (1991) - consid`erent des mod`eles bidimensionnels de la circulation thermohaline incluant une param´etrisation de la ro-tation. Ces mod`eles sont d´eriv´es des ´equations tridimensionnelles par moyenne zonale.
Vellinga (1996) a compar´e les comportements dynamique du mod`ele de Wright &
Stocker et d’un mod`ele analogue `a celui consid´er´e ici. Il a conclu que les deux mod`e-les ´etaient qualitativement similaires. Le comportement du mod`ele est principalement d´etermin´e par les ´equations d’´evolution thermique et saline, et n’est que peu sensible aux diff´erences de formulation de l’´equation de mouvement. N´egliger les effets rotatifs semble donc raisonnable.
De plus, aucune param´etrisation du typeajustement convectif, for¸cant le m´elange ver-tical de la colonne d’eau en cas d’instabilit´e statique, n’est utilis´ee ici. R´ealisant des exp´eriences de transition entre double condition de Dirichlet et conditions diagnos-tiqu´ees mixtes avec un mod`ele hydrostatique bidimensionnel, Marotzke et al. (1988) concluent que la pr´esence ou l’absence d’ajustement convectif n’influence pas quali-tativement les r´esultats du mod`ele. Le m´ecanisme de d´estabilisation de l’´equilibre sym´etrique est essentiellement advectif et la transition entre ´equilibres sym´etrique et asym´etrique est observ´ee dans les deux cas. Mais, en pr´esence d’ajustement convec-tif, les transports sont plus forts (+ 15% pour le transport de chaleur), la r´eponse `a une perturbation plus rapide et violente et le comportement oscillatoire plus prononc´e.
Dans le cas d’une perturbation d’amplitude finie, la pr´esence d’unajustement convectif permet d’observer l’occurrence deflushes (voir II.2.4(d)).
Le nombre de param`etres de contrˆole du mod`ele est trop grand pour permettre une
´etude param´etrique compl`ete. Nous allons donc fixer certains de ces param`etres et nous concentrer sur un espace de contrˆole r´eduit.
Les param`etres de dissipation sont isotropes :δν =δκT =δκS = 1. Le rapport d’aspect du domaine ´etant petit, les effets de la dissipation sont n´eanmoins beaucoup plus
intenses sur l’horizontale que sur la verticale, comme c’est le cas dans les mod`eles de circulation g´en´erale oc´eanique.
Le nombre de Lewis est fix´e : Le = 1. Selon Quon & Ghil (1992), les variations de ce nombre n’affectent pas qualitativement le comportement du mod`ele.
La limiteσP → ∞est consid´er´ee. Ici, les seuls termes non-lin´eaires du mod`ele sont les termes d’advection de temp´erature et de salinit´e. Dans les ´etudes cit´ees ci-apr`es, les auteurs notent la relative insensibilit´e du mod`ele `a la valeur du nombre de Prandtl.
Notre champ d’investigation sera donc limit´e au triplet de param`etres (k,a,b) et aux deux profils de for¸cageFT etFS.
Dans les travaux pr´esent´es en III.3, les gammes de param`etres consid´er´ees diff`erent. En particulier, Quon & Ghil (1995) consid`erent des coefficients de dissipation anisotropes.
Le tableau 3 en Annexe B r´ecapitule les valeurs des param`etres fix´es et les domaines d’investigation des param`etres libres pour chacune de ces ´etudes.