Evolution de la structure bifurcatoire selon µ

Pour diff´erentes valeurs du for¸cage thermique, caract´eris´e parµ, on calcule les branches de solutions du mod`ele selon l’intensit´e du for¸cage salin repr´esent´e par r. Les autres param`etres sont fix´es respectivement `ak = 0.2 etγ0 = 0.1 et les profils de for¸cage sont FS(Y) =FT(Y) = cos(Y).

0.0 0.4 0.8

r 0.0

1.0 σ

0.0 0.4 0.8

0.0 1.0 σ

0.3 0.7 1.1

r 0.0

1.0

0.3 0.4

0.0 1.0

a b

c d

Figure IV.2: Diagrammes de bifurcation en fonction derde l’´equation asymptotique r´egularis´ee pour les param`etres k = 0.2, γ0 = 0.1 et diff´erentes valeurs de µ. En a : µ = 0.8. En b : µ = 1. En c : µ = 1.5. En d : µ = 3. La valeur maximale de la solutionσ est port´ee en ordonn´ee. Les solutions sym´etriques sont trac´ees en trait plein, les branches asym´etriques en trait mixte et en trait gras.

La figure IV.2 repr´esente les diagrammes de bifurcation obtenus pour, successivement, µ= 0.8,µ= 1,µ= 1.5 etµ= 3. Le param`etre de bifurcation estr. La valeur maximale de σ sur le domaine est port´ee en ordonn´ee. Les points de bifurcation fourche sont signal´es par des carr´es noirs.

La figure IV.3 repr´esente des diagrammes ´equivalents, mais avec la norme L port´ee en ordonn´ee. Cette grandeur n’est pas physique, mais elle croˆıt avec σ. Son int´erˆet r´eside dans le fait que les deux solutions asym´etriques issues d’un point de bifurcation fourcheont mˆeme valeur deL. Ainsi, dans le plan (r,L) une seule courbe apparaˆıt aux points de bifurcation fourche, ce qui accroˆıt la lisibilit´e des figures. Par la suite, nous repr´esenterons les diagrammes de bifurcation dans le plan (r, L).

0.0 0.4 0.8

r 1.5

6.5

L

0.0 0.4 0.8

1.5 6.5

L

0.3 0.7 1.1

r 1.5

6.5

0.3 0.4

2.5 4.5

a b

c d

Figure IV.3: Diagrammes de bifurcation en fonction der de l’´equation asymptotique r´egularis´ee pour les param`etres k = 0.2, γ0 = 0.1 et diff´erentes valeurs de µ. En a : µ= 0.8. En b :µ= 1. En c : µ= 1.5. En d : µ= 3. La norme L de la solution σ est port´ee en ordonn´ee. Les solutions sym´etriques sont trac´ees en trait plein, les branches asym´etriques en trait mixte et en trait gras.

Quand µest petit (figure IV.2.a ou IV.3.a), une seule branche de solutions existe. La circulation se d´eforme continˆument d’une solution de type TH `a une solution de type SA.

Quand µ augmente(figure IV.2.b ou IV.3.b), deux points de bifurcation fourche ap-paraissent. La situation est surcritique : la branche initiale est instable entre les deux points de bifurcation, les deux solutions asym´etriques ´emergeant de ces points sont stables.

Au fur et `a mesure que µ augmente, les deux points s’´eloignent l’un de l’autre sur la branche de solutions initiale, qui elle-mˆeme change de forme (figure IV.2.c ou IV.3.c).

Les points limites de la solution initiale sont presque confondus avec les points de bifurcation fourche. Sur l’intervalle de for¸cage salin compris entre les abscisses des deux points de bifurcation, deux ´equilibres sym´etriques sont stables.

Si µ augmente encore (figure IV.2.d ou IV.3.d), la forme en S de la solution initiale s’accentue et le domaine sur lequel deux ´equilibres sym´etriques sont stables s’´etend.

Deux autres points de bifurcation fourche apparaissent qui donnent naissance `a deux

´equilibres asym´etriques instables. Pour de plus grandes valeurs de µ, d’autres points de bifurcation fourcheprennent naissance sur la branche de solutions initiale et mˆeme sur les branches de solutions asym´etriques instables. D`es que deux points de bifurcation fourche sont “suffisamment” ´eloign´es sur une branche, deux autres apparaissent entre eux. La structure devient horriblement compliqu´ee et n’est pas int´eressante d’un point de vue physique puisque les nouvelles branches asym´etriques sont instables. En outre, le domaine des grandes valeurs deµsort du cadre de cette ´etude puisque le d´eveloppement asymptotique concerne de petites valeurs deµ.

Les diagrammes de bifurcation pr´esent´es ci-dessus nous permettent d’observer que la structure bifurcatoire de l’´equation asymptotique est analogue `a celle du mod`ele bidimensionnel `a faible rapport d’aspect telle que d´ecrite par Dijkstra & Molemaker (1997). En effet, la catastrophe g´en´eratrice d’´equilibres multiples est dans les deux cas l’´emergence de deux points de bifurcation fourche. C’est une catastrophe de codi-mension 1. A faible for¸cage thermique, une seule branche de solutions existe. Apr`es apparition des points debifurcation fourche, des ´equilibres multiples sont observables : ce sont deux solutions stables asym´etriques. La catastrophe `a l’origine de l’existence d’´equilibres multiples sym´etriques est l’´emergence de points limites sur la branche de solutions initiale. Il s’agit donc d’unefronce, de codimension 2.

En figure IV.4 nous avons repr´esent´e la position des points de bifurcation de l’´equation asymptotique r´egularis´ee dans le plan (µ, r). Le code des traits est pr´ecis´e dans la l´egende. La forme de la courbe repr´esentative des positions des premiers points de bifurcation fourcheest analogue `a celle propos´ee par Thual & McWilliams (1992) (voir figure III.4). Mais ces points apparaissent `a for¸cage thermique plus faible que lespoints limitesde la branche de solutions initiale. Le rapport d’aspect du bassin ´etant petit, les points limites, quand ils existent, sont tr`es proches des points de bifurcation fourche, ce qui est coh´erent avec les ´etudes pr´ec´edentes.

0.5 1.5 2.5 3.5 µ

0.0 1.0 r

Figure IV.4 : Positions des diff´erents points de bifurcation dans le plan (µ, r). En trait plein : positions des points de bifurcation fourche correspondant `a l’apparition de solutions asym´etriques. En tirets gras : positions des points limites de la branche initiale. Les diff´erents symboles (∗, ⋄, +) localisent les points de bifurcation fourche `a l’origine de nouvelles solutions asym´etriques instables.