Amortissement

Cette section s’intéresse à l’amortissement dans les deux systèmes modélisés, soit le sol et la structure et en présente les principales caractéristiques. L’impact du schéma d’intégration numérique sur la question de l’amortissement est également discuté.

1.4.7.1 Amortissement dans le sol

Le sol est souvent considéré comme un matériau pouvant être modélisé comme visqueux- élastique. Un coefficient d’amortissement équivalent pour le sol, D, peut être obtenu par la méthode du décrément logarithmique suivant la décroissance des amplitudes maximales pour le cas d’une oscillation libre. Le coefficient D s’exprime alors comme :

𝐷 = 1 1 + 1𝛿 (1.32) 𝛿 = 1 𝑛ln 𝑎(𝑡) 𝑎(𝑡 + 𝑛𝑡) (1.33)

où n est le nombre de cycle considéré, a est l’amplitude au temps t et 𝛿 le décrément logarithmique. Théoriquement, la valeur de D devrait être proportionnelle à la fréquence d’oscillation si le sol présentait réellement un comportement visqueux. Suite à l’étude d’échantillons de sable, Bolton (1990) a conclu que les paramètres d'amortissement pour les sables sont insensibles à la fréquence peu importe qu'ils aient été mesurés par des essais quasi- statiques ou dynamiques, que l’échantillon soit saturé ou sec, et ce, pour des fréquences allant jusqu'à 100 Hz. Bolton note qu’il s'agit d'un comportement hystérétique et que les paramètres d'amortissement sont dépendants des déformations, mais pas des fréquences. La modélisation de l’amortissement du sol devrait donc être hystérétique et la forme de la courbe de réduction de module devrait prendre en considération l’impact de la plasticité du sol ainsi que du niveau de confinement.

1.4.7.2 Amortissement dans la structure

Il est de pratique courante dans la structure de modéliser l’amortissement via un amortissement visqueux. Bien que plusieurs études aient été faites sur le sujet, la modélisation des forces d’amortissement visqueux dans les structures demeurent encore aujourd’hui une source de

débat (Petrini et al., 2008). L’amortissement visqueux, c, est défini en fonction du ratio d’amortissement critique, 𝜉, de la rigidité (k) de la structure et de sa masse (m) :

𝑐 = 2𝜉√𝑘𝑚 (1.34)

Cette approche est simple et avantageuse du point de vue mathématique, permettant de prendre en considération les différents mécanismes structuraux reliés à la perte d’énergie (la non- linéarité à l’intérieur des limites élastiques, l’amortissement de fondation, la non-linéarité, l’amortissement radiatif, l’amortissement provenant des éléments non-structuraux, etc.). Il n’est généralement pas explicitement spécifié dans les travaux sur le sujet si la matrice de rigidité utilisée pour le calcul du coefficient d’amortissement est la matrice initiale ou la matrice tangente, bien que ce choix ait une influence importante sur l’issue des calculs (Petrini et al., 2008).

Dans le cas des structures à multiples degrés de liberté, la dissipation d’énergie est approximée par un amortissement visqueux linéaire, généralement à l’aide du modèle de Rayleigh. Dans ce modèle, la matrice d’amortissement s’exprime comme une combinaison provenant à la fois de la matrice de masse, M, et de la matrice de rigidité, K :

𝐶 = 𝛼 𝑀 + 𝛼 𝐾 (1.35)

Les coefficients 𝛼 et 𝛼 se calculent à partir du taux d’amortissement désiré et des fréquences angulaire𝑠 𝑤 et 𝑤 identifiées :

𝛼 = 𝑤 𝑤 𝛼 (1.36)

𝛼 = 2𝜉

où 𝜉 est la fraction de l’amortissement critique. Un des avantages de cette approche est que la matrice d’amortissement ainsi obtenue est diagonale.

Dans le contexte d’analyses non-linéaires dans le domaine temporel, il a été mis en évidence que l’utilisation de la matrice de rigidité initiale tend à surestimer l’amortissement du système. Il serait ainsi préférable d’utiliser la matrice de rigidité tangente, 𝑘 , pour le calcul du coefficient d’amortissement avec l’équation (1.32) (Petrini et al., 2008) :

𝑐 = 𝛼 𝑘 (1.38)

Des analyses expérimentales réalisées sur une colonne de pont en condition 1-g ont permis de mettre en évidence qu’il n’est pas nécessaire d’utiliser un amortissement visqueux, en plus de l’amortissement hystérétique développé par le modèle numérique, pour simuler le comportement dynamique d’un modèle d’éléments fibre prenant en compte la non-linéarité du comportement des matériaux (Petrini et al., 2008). Il est toutefois noté qu’il peut être nécessaire d’utiliser un amortissement linéaire ne dépassant pas 1 % afin de considérer l’amortissement provenant d’éléments non-structuraux (Petrini et al., 2008; Priestley et Grant, 2005). Celui-ci peut être découplé en deux catégories soit : l’amortissement provenant des hystérésis des composants non-structuraux et l’amortissement provenant du glissement entre les éléments structuraux et non-structuraux. Dans les deux cas, une limite maximale de 0,5 % pour chacune de ces deux catégories d’effets est suggérée (Priestley et Grant, 2005).

Mentionnons que le modèle d’amortissement de Rayleigh est également largement utilisé pour simuler l’amortissement hystérétique dans un dépôt de sol lors d’analyse dynamique dans le domaine temporel ou fréquentiel. La difficulté réside alors dans le choix des fréquences 𝑤 et 𝑤 . Plusieurs études sur le sujet ont été publiées au fil des ans (Hashash et Park, 2002; Hudson et al., 1992). La problématique principale de cette approche est que l’amortissement est sous- estimé entre wi et wj et surestimé à des fréquences plus faibles que wi et plus élevées que wj

(Tsai et al., 2014). Le choix des fréquences a ainsi un impact important sur la propagation des ondes dans la colonne de sol. Dans le domaine fréquentiel, il a été suggéré (Hashash et Park,

2001) d'utiliser la fréquence fondamentale du dépôt comme fréquence wi et 8*wi pour la

fréquence wj. Notons que, lorsqu’utilisé dans le domaine temporel, cette approche amène une

sous-estimation de 5-10 %.

1.4.7.3 Amortissement numérique et mode parasite

Il est connu qu’une certaine dose d’amortissement numérique peut être nécessaire dans les analyses dynamiques par EF afin de filtrer les vibrations parasites. Ces vibrations n’ont pas de réalité physique et sont en fait un artéfact du schéma d’intégration utilisé. Considérant les Figure 1.27 a) et b), qui représentent les déformations des accélérations horizontales d’une même colonne de sol de 65 m de hauteur en condition dynamique avec, dans les deux cas, l’algorithme de résolution Newmark avec les coefficients 𝛾 = 1/2 et 𝛽 = 1/4. Dans la Figure 1.27 a), aucun amortissement n’est utilisé lors de l’exécution. On voit clairement l’impact des fréquences parasites sur la distribution des accélérations. Dans la Figure 1.27 b), un amortissement de type Rayleigh de 0,5 % couvrant les fréquences de 0,2 à 20 Hertz est utilisé. La différence est marquée entre les deux scénarios. L’inconvénient de cette approche est qu’elle induit une source d’amortissement visqueux fictive à l’ensemble du modèle.

a) b)

Figure 1.27 Fréquences parasites dans une colonne de sol a) sans amortissement linéaire et avec schéma de Newmark (0,5;1/2) b) 0,5 % d'amortissement de Rayleigh et avec schéma de

Newmark (0,5;1/2)

Une approche alternative est d’utiliser une légère dose d’amortissement numérique (Boulanger et al., 1999; Torabi et Rayhani, 2014a) à l’aide d’une simple modification des facteurs du schéma d’intégration de Newmark. En utilisant des valeurs de 𝛾 = 0,6 et 𝛽 = 0,3205, une

légère dose d’amortissement numérique est utilisée et les fréquences parasites développées par l’utilisation standard de la méthode avec les coefficients ½ et ¼ sont filtrées sans avoir besoin d'utiliser un amortissement de Rayleigh. Cette approche a été testée dans le cadre de cette thèse et on a pu confirmer son efficacité en traçant les accélérations de la colonne de sol présentées à la Figure 1.27 par une analyse de propagation d’ondes et en validant qu’aucune fréquence parasite n’est développée, et ce, sans utilisation d’un amortissement de Rayleigh.