Éléments

La librairie d’OS est composée d’éléments uni-axiaux, d’éléments multiaxiaux (plans) et d’élément tridimensionnels. Puisque le modèle développé dans la présente recherche est bidimensionnel, la discussion sur les éléments y sera limitée.

Les éléments requis pour la modélisation de la structure et du sol nécessitent des propriétés différentes. Les éléments de sols doivent être des éléments plans alors que des éléments uni- axiaux sont suffisants pour modéliser le comportement des composantes de la structure.

1.4.2.1 Éléments uni-axiaux

L’objectif des éléments structuraux est de pouvoir capturer le comportement inélastique des différentes composantes structurales lors de la sollicitation dynamique. Une approche courante est d’utiliser des éléments élastiques tout au long de la poutre et d’inclure, dans les zones où sont anticipées la formation de rotules plastiques, des éléments non-linéaires permettant de simuler le mécanisme plastique. Cette méthode, parfois dite de plasticité localisée (« lumped »), sera décrite comme étant de la plasticité concentrée (Dides et de la Llera, 2005) dans le reste du document.

Une approche alternative à la plasticité concentrée est la plasticité distribuée. Dans cette approche, la plasticité peut se développer n’importe où dans l’élément. La localisation des rotules plastiques n’est, dans cette méthode, pas dépendante d’un choix arbitraire de l’expérimentateur, mais des niveaux d’efforts dans les sections des différentes membrures de la structure.

Bien que la méthode de plasticité distribuée soit attrayante, il a été noté par certains auteurs que la méthode de plasticité concentrée permet, dans certaines conditions, d’obtenir des prédictions de comportement plus satisfaisantes (Zendaoui et al., 2016) lorsque les longueurs des rotules plastiques sont calculées selon les relations présentées à l’équation (1.24) et (1.25).

𝐼 = 0.08𝐿 + 0.022𝑓 𝑑 (1.24)

𝐼 = 0.05𝐿 + 0.1𝑓 𝑑

𝑓 (1.25)

D’autres auteurs ont cependant noté que le niveau de performance des modélisations avec plasticité distribuée et localisée est similaire (Rogrigues et al., 2012). L’approche par plasticité concentrée présente l’inconvénient majeur de découpler l’interaction entre le moment résistant et la rigidité axiale. L’approche par plasticité distribuée présente l’avantage de permettre une amorce de plastification à n’importe quel élément de la structure. Au final, l’approche choisie est basée sur la plasticité distribuée. Deux méthodes numériques permettent de réaliser une plasticité distribuée avec les éléments finis, soit la méthode basée sur les déplacements et la méthode basée sur la force.

La méthode basée sur les déplacements recourt à un champ de déplacement estimé pour interpoler les déplacements de la section et utilise ensuite le principe des déplacements virtuels pour établir les relations d'équilibres de l'élément. L’idée est schématiquement illustrée à la Figure 1.16. Puisque la méthode suppose une distribution linéaire entre les sections, il peut être nécessaire d'affiner le maillage, c.-à-d. de réduire les dimensions des sections, pour capturer les déformations plus complexes. L'approche amène à un équilibre faible, ce qui mène à une différence entre les forces internes de l’élément et les forces aux nœuds.

Figure 1.16 Illustration de la méthode de plasticité distribuée basée sur les déplacements

Tirée de Terzic (2011)

La méthode basée sur la force repose sur la disponibilité d'une solution d'équilibre exacte pour le système local de l'élément poutre. L'équilibre entre les sections de l’élément et l’élément est exact, théoriquement, même dans le domaine inélastique. Les forces des sections sont déterminées à partir des forces aux nœuds par interpolation dans le système local. Cette interpolation provient de l'équilibre statique et permet d'obtenir la force axiale ainsi qu'une distribution linéaire du moment de flexion en l'absence de chargement distribué. Le principe de la force virtuelle est utilisé pour établir la compatibilité entre les déformations des sections et les déformations de l'élément. L’idée est schématiquement illustrée à la Figure 1.17.

Figure 1.17 Illustration de la méthode de plasticité distribuée basée sur les déplacements

Il a été noté que le nombre de points d’intégrations nécessaires pour obtenir une solution locale entièrement stabilisée avec la méthode basée sur la force est de 7 (Calabrese et al., 2010). Un comparatif entre les deux types de formulations réalisé pour le cas d’une poutre d’acier caisson, encastrée à une extrémité et simplement supportée à l’autre et soumise à deux chargements distribués, tel que montré à la Figure 1.18, a été réalisé et a mené aux résultats comparatifs présentés à la Figure 1.19 (Terzic, 2011).

Figure 1.18 Poutre d’acier caisson avec charge répartie Tirée de Neuenhofer et Filippou (1997)

Figure 1.19 Comparatif entre la formulation basée sur la force et celle basée sur les déplacements

Tirée de Terzic (2011), d’après Neuenhofer et Filippou (1997)

1.4.2.2 Éléments plans

La librairie d’OS comporte une large gamme d’éléments plans possédant de quatre à 27 nœuds. Réaliser une analyse comparative de tous les éléments disponibles serait extrêmement difficile et improductive. La discussion demeure ainsi focalisée sur les deux éléments les plus sujets à réaliser la modélisation bidimensionnelle en contrainte totale d’un dépôt de sol.

Le premier élément est le classique élément iso paramétrique quadrilatéral bilinéaire possédant quatre points d’intégrations de Gauss localisés, en coordonnées naturelles, conformément au schéma de la Figure 1.20.

Figure 1.20 Représentation schématique d'un élément quadratique et des axes de coordonnées naturelles pour localisation des points d'intégrations de Gauss

Cet élément possède l’avantage d’évaluer les fonctions à quatre endroits à l’intérieur de son domaine.

Alternativement, on peut considérer un élément quadratique à formulation dite simplifiée. Cet élément comporte un seul point d’intégration au centre. Il a ainsi l’avantage de présenter un temps de calcul plus court, comparativement à un élément à intégration complète. Il faut toutefois considérer trois problèmes liés à cet élément soit :

2) le blocage de cisaillement; 3) le blocage volumétrique.

La déformation provenant du mode d’énergie zéro provient du fait qu’en flexion, un élément plan peut, tel qu’illustré à la Figure 1.21, être soumis à une déformation due à un moment sans toutefois causer d’élongations ni de changements dans les angles du point de vue d’un élément unique placé au centre.

Figure 1.21 Flexion zéro énergie

Puisqu’il n’y a aucune déformation imposée, ce mode de déformation ne requiert aucune énergie. Il s’agit d’un mode de déformation purement numérique qui fausse le modèle. Le blocage en cisaillement et le blocage volumétrique sont des problématiques similaires qui surviennent dans les problèmes dominés par un chargement en flexion. L’élément plan disponible dans la librairie OS à point unique a été stabilisé afin de prendre en compte l’énergie du mode zéro ainsi que les problématiques de blocage en cisaillement et volumétrique. Il n’est donc pas sujet à ces problèmes.

1.4.2.3 Éléments spéciaux pour l’interface sol-structure

Un dernier type d’élément doit être considéré pour définir convenablement le modèle numérique couplé. Cet élément de longueur zéro permet de connecter ensemble deux nœuds localisés aux mêmes coordonnées géométriques au moyen d’objets uni-axiaux dans les différentes directions. Cet élément admet l’utilisation de matériaux différents dans les directions horizontales, verticales et également en rotation. Il est utile pour réaliser les connections entre les éléments frontières et également au niveau de l’interface sol-structure.