Chapitre 3 : Modélisation des champs de déplacement des ondes de surface
3.1 Modélisation des champs de déplacement engendrés par les capteurs IDT
3.1.3 Modélisation par la méthode de la réponse impulsionnelle spatiale
3.1.3.2 Adaptation de la méthode DREAM pour le cas des capteurs IDT
Eq. 3-15
Les facteurs W(i) and représentent respectivement la pondération (« weighting ») et le délai qui permettent de modéliser la focalisation et le balayage électronique.
L’utilisation de la procédure de calcul DREAM est très simple et nécessite simplement la définition de quelques paramètres:
- Surface de rayonnement S et des distributions excitations sur S (vn(P))
- Paramètres du milieu de propagation: densité (kg/m3), vitesse de propagation c (m/s) et l’atténuation (dB/cm/MHz)
- La position du point (des points) d’observation M.
- Paramètres de calculs : les discrétisations spatiales dx, dy et la discrétisations temporelle ∆t Pour un transducteur matriciel, les paramètres additionnels à définir sont :
- Les positions des éléments Si de la matrice - La forme et dimensions des éléments Si
Notons que c’est à partir de 2001 que DREAM est accessible sur internet sous forme de « toolbox » téléchargeable (http://www.signal.uu.se/Toolbox/dream). Cette toolbox propose des fonctions qui permettent de déterminer h pour différentes formes de transducteurs et aussi pour des transducteurs matriciels composés d’éléments circulaires ou rectangulaires.
3.1.3.2 Adaptation de la méthode DREAM pour le cas des capteurs IDT
Comme illustré sur la figure 3-15, l’excitation par une force ponctuelle F, en un point sur la surface d’un milieu semi-infini élastique et homogène génère des ondes de volume et des ondes de surface. Chaque composante de F génère préférentiellement un type d’onde. Pour la composante normale, l’onde longitudinale est privilégiée et pour la composante tangentielle, l’excitation de l’onde transversale (et/ou de l’onde de surface) est plus avantagée (les transducteurs ultrasonores des ondes longitudinales et transversales utilisent ce principe).106
Figure 3-15 : Répartition des ondes sismiques engendrées par un point d'une source élastique, homogène et isotrope. Le mouvement des particules est visualisé à une distance d'environ 2,5 fois des longueurs d'onde de la
source. Les différents types d'ondes sont représentés proportionnellement à leurs vitesses de propagation [Richard 70]
Aki et Richards [Aki 80] montrent que pour une excitation impulsionnelle F(t) = (t), le champ de déplacement des ondes de volume (i.e. des ondes longitudinales et transversales) dans un demi espace élastique peut être déterminé à l’aide de l’intégrale :
( ) ∫ ( ) ( )
( ) Eq. 3-16
Les indices i,j (i,j = x,y ou z) et le symbole hUij dénotes la réponse impulsionnelle spatiale en potentiel de déplacement observée, dans la direction i, pour une excitation en un point P par une force F appliquée dans la direction j. Cette formule constitue la dérivée de l’intégrale de Rayleigh pour les fluides (équation 3-6) et est exploitée par Lhemery et al [Lhemery 96 (1), Lhemery 96 (2)] pour le calcul du champ de déplacement généré par un transducteur de surface S en contact avec un solide élastique. La géométrie de cette approche est illustrée sur la figure 3-16(a). L’approche de Lhemery a été reprise par Ouarradi et Piwakowski [Ouarradi 97] pour la modélisation numérique du champ de déplacement à l’aide de l’approche DREAM. Ceci a donné la version de DREAM nommée DREAM-S (solide) [Ouarradi 99].
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Figure 3-16 : (a) Géométrie d’une source excitée par un champ de direction normale à la surface (b) géométrie du transducteur IDT excitée par un champ de direction parallèle à la surface
Notons que pour le cas classique d’un transducteur ultrasonore en contact avec un matériau élastique, (figure 3-16.a) la génération des ondes de volume est réalisée à l’aide d’une lame piézoélectrique mise en vibration par le champ électrique E appliqué entre ses électrodes (+) et (-). Les déplacements et la force F qui en résultent seront alors verticaux ou horizontaux (selon la polarisation du matériaux piézoélectrique).
Notre approche consiste à adopter le modèle exprimé par l’intégrale (équation 3-16) pour modéliser le capteur IDT et ensuite évaluer cette intégrale à l’aide de la méthode DR. Afin de pouvoir utiliser ce modèle nous prenons des hypothèses suivantes :
- Contrairement aux transducteurs classiques générant des ondes de volumes (figure 3-16(a)), le capteur IDT possède des électrodes métalliques sur la surface du substrat piézoélectrique. Comme ceci est illustrée sur la figure 3-16(b), le champ électrique E entre les électrodes, la force F induite et les déplacements engendrés auront une orientation quasi horizontale.
- Conformément à la figure 3.15 et l’intégrale (équation 3-16), la force F ainsi induite va générer non seulement des ondes de volume mais aussi des ondes de surface dans le cas d’un solide semi-infini. Par analogie avec l’intégrale (équation 3-16) nous admettons donc que l’onde élémentaire de surface excitée par le dipôle élémentaire +/- aura une forme proche de :
( )
Eq. 3-17
où Fx indique la force horizontale, C est une constante et dS indique la surface de l’électrode considérée.
Dans le cas de la modélisation DREAM, on fait l’hypothèse que le déplacement tangentiel en un point M situé dans le plan (x,y) est à l’image du déplacement tangentiel de l’onde de Rayleigh.
Par ailleurs, l’équation 3-17 montre que la divergence de l’onde est de type sphérique donc est proportionnelle à 1/R, toutefois il faut noter que la divergence de l’onde de surface est du type √
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car c’est une onde cylindrique [Viktorov 67]). Cette approximation que nous faisons résulte de la volonté d’utiliser directement la bibliothèque existante du toolbox DREAM.
Il est aussi à noter que le mouvement des ondes de surface de type Rayleigh est elliptique, elles présentent une composante longitudinale et une composante transversale déphasées de π/2 et contenues dans le plan sagittal défini par le vecteur d’onde et la normale à la surface libre du solide. Comme nous l’avons vu dans le chapitre 1, pour la caractérisation des couches, nous cherchons à évaluer la composante normale (composante transversale) et non tangentielle (composante longitudinale) que l’on peut déterminer directement avec la méthode DREAM à l’aide de l’intégrale définie par l’équation 3-16. Pour la modélisation avec la méthode DREAM, il est donc nécessaire d’étudier, au préalable, la relation qui lie les déplacements normaux et tangentiels en termes d’amplitudes. Nous ferons cette étude dans la suite.
Déplacements normaux et tangentiels
Pour évaluer les deux types de déplacements nous avons modélisé différentes configurations de capteurs IDT avec Comsol pour différentes excitations. Ensuite nous avons comparé les déplacements normaux et tangentiels obtenus. Le tableau 3-4 donne les caractéristiques du capteur Lcs 2b (Lcs pour « linear chirp sensor ») présenté au chapitre 2.
Tableau 3-4 : Paramètres du capteur down chirp (30 – 100 MHz)
La figure 3-17 correspondant aux résultats de modélisation du déplacement (normal et tangentiel) pour une excitation de type «burst» de 10 sinusoïdes de fréquence 40 MHz.
(a) (b)
Figure 3-17 : Comparaison des déplacements normaux et tangentiels, de l’onde de surface, obtenus avec Comsol pour le capteur down chirp pour une excitation de type «burst » (40 MHz - 10 sinusoïdes) (a) signal
temporel (b) spectre
Nous observons donc, mis à part un déphasage de π/2 [Royer 96], la forme des deux signaux est identique et les amplitudes de déplacement sont quasi-égales. Ceci a été vérifié pour chacune des
Nom ∆fo(MHz) D Wa(mm) a (µm) b (µm) p (µm) λ (µm) e(µm) h (µm) e/ λ h/ λ(%)
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configurations de capteurs étudiés. Nous pouvons donc utiliser l’intégrale (équation 3-16) pour évaluer les déplacements normaux.
En définitive pour adapter un transducteur interdigital à la méthode DREAM, il convient, conformément à la procédure décrite dans paragraphe 3.1.3.1, de définir les paramètres ci-dessous:
- les surfaces Si i = 1… N ou N indique le nombre des électrodes et Si représente chaque électrode rectangulaire (figure 3-20), puis leurs dimensions
- les positions des électrodes (xsi, y=0, z=0) ; i=1…….N
- le champ d’excitations alternative de type Fx [1, -1, 1, -, ……]
- le point d’observation M (x,y,z=0) (se trouvant sur la surface du substrat) - les paramètres du milieu de propagation (le LiNbO3-Y+128).
- la vitesse de propagation des ondes surface de type Rayleigh (4000m/s pour le LiNbO3 -Y+128).
- l’atténuation des ondes SAW sur le LiNbO3-Y+128
- les discrétisations spatiales dx, dy et le période d’échantillonnage temporel ∆t Atténuation
La propagation des ondes de surface dans le matériau piézoélectrique s’accompagne d’une atténuation qui est fonction de la fréquence. L’origine de cette atténuation des ondes de surface dans les couches piézoélectriques a fait l’objet de nombreuses études depuis ces dernières années [Lewis 01] [Wong 02]. Pour une température donnée, la valeur de cette atténuation (absorption) α dépend de plusieurs paramètres: de la fréquence des ondes de surface f, de leur vitesse VR, de la densité ρ et du coefficient de viscosité effective ηeff du matériau piézoélectrique [Wong 02] :
( )
( )
Eq. 3-18
Pour déterminer l’atténuation α il faut donc au préalable calculer le coefficient ηeff du matériau. Ce coefficient dépend du tenseur de viscosité ηijkl. Des méthodes de calcul existent et ont déjà fait l’objet de plusieurs publications [King 69] [Jones 70]. Pour le cas du niobate de lithium ce coefficient dépend fortement des termes η11 et η44 dutenseur de viscosité [Zaĭtsev 97] [Lewis 01]. Notons toutefois qu’en plus de cette absorption des ondes de surface liée aux propriétés du matériau (ρ, ηeff) d’autres phénomènes peuvent aussi atténuer la propagation des ondes de surface dans le Niobate de lithium (rayonnement, diffusions, réflexions etc.) [Slobodnik 78]. La modélisation avec DREAM permet de tenir compte de l’atténuation toutefois le développement actuel de DREAM ne permet pas d’utiliser l’équation 3-18 mais simplement une atténuation proportionnelle à la fréquence. Dans le cas de notre
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étude, au vu des faibles distances de propagation cette atténuation est négligeable, nous ne la prendrons pas en compte dans les modélisations Comsol et DREAM.