Activité Factorisations

1 1

_Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Propriété de la simple distributivité (de la multiplication sur l'addition)

Soient

k

a

b

trois nombres.

k

× (

a



b

) =

k

a



k

b et k

× (

a

–

b

) =

k

a

–

k

b

»

^Remarque : Ces égalités s'utilisent dans les deux sens.

• Transformer de gauche à droite s'appelleDévelopper

• Transformer de droite à gauche s'appelleFactoriser

Factoriser

Définition

Factoriser, c'est transformer une somme algébrique en produit.

Factoriser une expression

Le facteur commun peut avoir plusieurs formes : un nombre en écriture décimale, en écriture fractionnaire, sous forme d'une lettre ; une expression littérale.



^Énoncé

Factorise : E = 14

a

– 7

b

Correction E = 14

a

– 7

b

=

7 × 2

a

– 7 ×

b

E = 7× (2

a

–

b

)



^Énoncé

Factorise : F = –

x

²+ 3

x.

Correction F = –

x

²+ 3

x.

= (– x) × x + 3 × x

F =

x

_(–

x

+ 3)



^Énoncé

Factorise :

D = (9

x

− 4)(5

x

 6)  (9

x

− 4)(3

x

 11).

Correction

D = (9

x

− 4)(5

x

 6)  (9

x

− 4)(3

x

 11). D = (9

x

_{− 4)(5}

x

 6)  (9

x

_{− 4)(3}

x

 11) D = (9

x

_{− 4}₎

[

x

 6)  (3

x

11)

]

D = (9

x

_{− 4)}

[

x

 6  3

x

 11

]

D = (9

x

_{− 4)(8}

x

 17)



^Énoncé

Factorise :

D = (9

x

− 4)(5

x

 6) − (9

x

− 4)(3

x

 11).

Correction

D = (9

x

− 4)(5

x

 6) − (9

x

− 4)(3

x

 11). D = (9

x

_{− 4)(5}

x

 6) − (9

x

_{− 4)(3}

x

 11) D = (9

x

_{− 4}₎

[

x

 6) − (3

x

11)

]

D = (9

x

_{− 4)}

[

x

 6 − 3

x

− 11

]

D = (9

x

_{− 4)(2}

x

− 5)

Définition

Réduire une somme algébrique, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles.

Réduire une somme en factorisant



^Énoncé

Réduis : A = 2 3

x

Correction A = 2

x

(

²³⁺⁵⁴

) ^x

⁼²³¹²

^x

CALCULLITTÉRAL • A7 101

Activité Rectangles cousins

Dans cette activité, on s'intéresse uniquement aux rectangles dont le périmètre est 40 cm.

1. Un rectangle a pour longueur

L

₌ 16,5 cm. Calcule sa largeur

l

puis son aire.

2. Donne les mesures d'un autre rectangle de même périmètre.

3. La longueur peut-elle valoir 8 cm ? Et 21 cm ?

Justifie et donne toutes les valeurs possibles pour la longueur.

4. Écris une expression pour calculer la largeur

l

en fonction de la longueur

L

5. En voulant exprimer l'aire du rectangle en fonction de sa longueur

L

des élèves ont donné les réponses suivantes.

Gaël : =

L

× 20 −

L

Inès : = 2 ×

L

 2 × (20 −

L

)

Hamid : =

L

× (20 −

L

) José: =

L

× 20 − 2 ×

L

Karen : = 20

L

−

L

Liam: =

L

²− 20 ×

L

Parmi ces expressions, lesquelles sont fausses ? Y a-t-il plusieurs bonnes réponses ?

Activité Développer ( a ₊ b ₎₍ c ₊ d ₎

1. On considère le produit P = 86 × 53. Justifie les égalités suivantes : P = 86 × 50 + 86 × 3 puis P = 80 × 50 + 6 × 50 + 80 × 3 + 6 × 3.

Déduis-en l'égalité : (80 + 6) × (50 + 3) = 80 × 50 + 6 × 50 + 80 × 3 + 6 × 3 puis calcule P sans poser de multiplication (et sans calculatrice !).

2. Complète : (3

x

– 2)(5

x

+ 4) = (... + ...) × (... + ...).

Déduis-en un développement de ce produit.

3. Pour développer le produit (2

a

+ 3)(3

a

– 4), on peut poser la multiplication comme indiqué ci-contre.

Effectue-la sans oublier le décalage.

Quel type de nombre peut remplacer la lettre

a

1. Pour chacune des expressions suivantes , indique quelle expression ou quel nombre peut jouer le rôle de

k

, quelles expressions ou quels nombres peuvent jouer le rôle de

a

et de

b (si on considère l'égalité k(a



b) =ka



kb

)

A = 7

x

_ 14 (remarque : 14 = 7 × 2) ; B = 8

y

_ 7

y

; C = 6

ab

_ 5

a

; D = 6

m

₋ 9

m

² ; F = (7

x

 5)(3

x

 2)  (7

x

 5)(

x

− 9) ; G = (

x

− 4)(3

x

− 5) − (8

x

 7)(3

x

− 5).

Transforme chacune de ces expressions en un produit de facteurs.

2. Voici trois expressions développées et réduites : 9

x

²₋ 4 ; 9

x

²₋ 12

x

_ 4 et 9

x

²_ 12

x

_ 4.

Voici les expressions factorisées correspondantes : (3

x

 2)² ; (3

x

 2)(3

x

− 2) et (3

x

− 2)². a. Sans développer, associe chaque forme réduite à sa forme factorisée.

b. Contrôle tes réponses précédentes.

CALCULLITTÉRAL • A7

a

+ 3

× 3

a

– 4

2 3 1

100

5 5 5

1 1

_Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Propriété de la simple distributivité (de la multiplication sur l'addition)

Soient

k

a

b

trois nombres.

k

× (

a



b

) =

k

a



k

b et k

× (

a

–

b

) =

k

a

–

k

b

»

^Remarque : Ces égalités s'utilisent dans les deux sens.

• Transformer de gauche à droite s'appelleDévelopper

• Transformer de droite à gauche s'appelleFactoriser

Factoriser

Définition

Factoriser, c'est transformer une somme algébrique en produit.

Factoriser une expression

Le facteur commun peut avoir plusieurs formes : un nombre en écriture décimale, en écriture fractionnaire, sous forme d'une lettre ; une expression littérale.



^Énoncé

Factorise : E = 14

a

– 7

b

Correction E = 14

a

– 7

b

=

7 × 2

a

– 7 ×

b

E = 7× (2

a

–

b

)



^Énoncé

Factorise : F = –

x

²+ 3

x.

Correction F = –

x

²+ 3

x.

= (– x) × x + 3 × x

F =

x

_(–

x

+ 3)



^Énoncé

Factorise :

D = (9

x

− 4)(5

x

 6)  (9

x

− 4)(3

x

 11).

Correction

D = (9

x

− 4)(5

x

 6)  (9

x

− 4)(3

x

 11).

D = (9

x

_{− 4)(5}

x

 6)  (9

x

_{− 4)(3}

x

 11) D = (9

x

_{− 4}₎

[

x

 6)  (3

x

11)

]

D = (9

x

_{− 4)}

[

x

 6  3

x

 11

]

D = (9

x

_{− 4)(8}

x

 17)



^Énoncé

Factorise :

D = (9

x

− 4)(5

x

 6) − (9

x

− 4)(3

x

 11).

Correction

D = (9

x

− 4)(5

x

 6) − (9

x

− 4)(3

x

 11).

D = (9

x

_{− 4)(5}

x

 6) − (9

x

_{− 4)(3}

x

 11) D = (9

x

_{− 4}₎

[

x

 6) − (3

x

11)

]

D = (9

x

_{− 4)}

[

x

 6 − 3

x

− 11

]

D = (9

x

_{− 4)(2}

x

− 5)

Définition

Réduire une somme algébrique, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles.

Réduire une somme en factorisant



^Énoncé

Réduis : A = 2 3

x

Correction A = 2

x

(

²³⁺⁵⁴

) ^x

⁼²³¹²

^x

CALCULLITTÉRAL • A7

Cours et méthodes

101

Activité Rectangles cousins

Dans cette activité, on s'intéresse uniquement aux rectangles dont le périmètre est 40 cm.

1. Un rectangle a pour longueur

L

₌ 16,5 cm. Calcule sa largeur

l

puis son aire.

2. Donne les mesures d'un autre rectangle de même périmètre.

3. La longueur peut-elle valoir 8 cm ? Et 21 cm ?

Justifie et donne toutes les valeurs possibles pour la longueur.

4. Écris une expression pour calculer la largeur

l

en fonction de la longueur

L

5. En voulant exprimer l'aire du rectangle en fonction de sa longueur

L

des élèves ont donné les réponses suivantes.

Gaël : =

L

× 20 −

L

Inès : = 2 ×

L

 2 × (20 −

L

)

Hamid : =

L

× (20 −

L

) José: =

L

× 20 − 2 ×

L

Karen : = 20

L

−

L

Liam: =

L

²− 20 ×

L

Parmi ces expressions, lesquelles sont fausses ? Y a-t-il plusieurs bonnes réponses ?

Activité Développer ( a ₊ b ₎₍ c ₊ d ₎

1. On considère le produit P = 86 × 53. Justifie les égalités suivantes : P = 86 × 50 + 86 × 3 puis P = 80 × 50 + 6 × 50 + 80 × 3 + 6 × 3.

Déduis-en l'égalité : (80 + 6) × (50 + 3) = 80 × 50 + 6 × 50 + 80 × 3 + 6 × 3 puis calcule P sans poser de multiplication (et sans calculatrice !).

2. Complète : (3

x

– 2)(5

x

+ 4) = (... + ...) × (... + ...).

Déduis-en un développement de ce produit.

3. Pour développer le produit (2

a

+ 3)(3

a

– 4), on peut poser la multiplication comme indiqué ci-contre.

Effectue-la sans oublier le décalage.

Quel type de nombre peut remplacer la lettre

a

Activité Factorisations

1. Pour chacune des expressions suivantes , indique quelle expression ou quel nombre peut jouer le rôle de

k

, quelles expressions ou quels nombres peuvent jouer le rôle de

a

et de

b (si on considère l'égalité k(a



b) =ka



kb

)

A = 7

x

_ 14 (remarque : 14 = 7 × 2) ; B = 8

y

_ 7

y

; C = 6

ab

_ 5

a

; D = 6

m

₋ 9

m

² ; F = (7

x

 5)(3

x

 2)  (7

x

 5)(

x

− 9) ; G = (

x

− 4)(3

x

− 5) − (8

x

 7)(3

x

− 5).

Transforme chacune de ces expressions en un produit de facteurs.

2. Voici trois expressions développées et réduites : 9

x

²₋ 4 ; 9

x

²₋ 12

x

_ 4 et 9

x

²_ 12

x

_ 4.

Voici les expressions factorisées correspondantes : (3

x

 2)² ; (3

x

 2)(3

x

− 2) et (3

x

− 2)². a. Sans développer, associe chaque forme réduite à sa forme factorisée.

b. Contrôle tes réponses précédentes.

CALCULLITTÉRAL • A7

a

+ 3

× 3

a

– 4

2

3 Activités de découverte

1

100

4 4

3 3

_Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Utiliser les identités remarquables

Propriété

Pour tous nombres

a

b

carré d'une somme : (

a + b

)² =

a

+

ab + b

² . carré d'une différence : (

a

−

b

)² =

a

² − 2

ab + b

² . différence de deux carrés (

a



b

)(

a

−

b

) =

a

² −

b

².

A. Factoriser

Factoriser avec les identités remarquables



^Énoncé

Factorise les expressions suivantes.

• A =

x

²  6

x

 9.

• B = 25

x

² − 20

x

 4

• C = 64

x

² − 49.

Correction

• A =

x

²  6

x

 9

A =

x

²_{ 2 ×}

x

_{× 3  3}²

A = (

x

_{ 3)}²

• B = 25

x

² – 20

x

 4

B = (5

x

₎²_{− 2 × 5}

x

_{× 2  2}²

B = (5

x

_{− 2)}²

• C = 64

x

² − 49 C = (8

x

₎²_{− 7}²

C = (8

x

_{ 7)(8}

x

_{− 7)}

B. Développer

Développer avec les identités remarquables



^Énoncé

Développe et réduis les expressions suivantes

• A = (

x

 1)²

• B = (

x

− 4)²

• C = (3

x

− 5)².

• D = (7

x

^{ 2)(7}

x

^{− 2).}

Correction

• A = (

x

_{ 1)}²

A =

x

²_{ 2 ×}

x

_{× 1  1}²

A =

x

²  2

x

 1

• B = (

x

_{− 4)}²

B =

x

²_{− 2 ×}

x

_{× 4  4}²

B =

x

² − 8

x

 16

• C = (3

x

_{− 5)}²

C = (3

x

₎²_{− 2 × 3}

x

_{× 5  5}²

C = 9

x

² − 30

x

 25

• D = (7

x

_{ 2)(7}

x

_{– 2)}

D = (7

x

₎²_{− 2}²

D = 49

x

² − 4

CALCULLITTÉRAL • A7 103

2 2

_Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Développer

Définition

Développer, c'est transformer un produit en somme algébrique.

A. Développer en utilisant la simple distributivité

Développer une expression



^Énoncé

Développe : A = 3(

x

 7).

Correction A = 3(

x

 7) A = 3 × (

x

 7) A = 3 ×

x

 3 × 7 A = 3

x

 21



^Énoncé

Développe : C = – 3,5(

x

– 2).

Correction C = – 3,5(

x

– 2) C = – 3,5 × (

x

– 2)

C = (– 3,5) ×

x

+ (– 3,5) × (– 2) C = – 3,5

x

+ 7

B. Développer en utilisant la double distributivité Propriété de la double distributivité

Pour tous nombres relatifs

a

b

c

d

(

a

₊

b

₎₍

c

d

) =

a c

a d

b c

b d

Développer avec la double distributivité



^Énoncé

Développe et simplifie l'expression suivante : D = (3

x

+ 1)(

y

+ 4).

Correction

D = (3

x

+ 1)(

y

+ 4).

D = 3

x

_×

y

+ 3

x

× 4 + 1 ×

y

+ 1 × 4 D = 3

xy

+ 12

x

y

+ 4



^Énoncé

Développe et simplifie l'expression suivante : E = (3

x

– 1)(

y

– 4).

Correction D = (3

x

– 1)(

y

– 4).

D = 3

x

_×

y

+ 3

x

× (– 4) – 1 ×

y

– 1 × (– 4) D = 3

xy

– 12

x

–

y

+ 4

CALCULLITTÉRAL • A7 102

4 5 5 5

3 3

_Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Utiliser les identités remarquables

Propriété

Pour tous nombres

a

b

carré d'une somme : (

a + b

)² =

a

+

ab + b

² . carré d'une différence : (

a

−

b

)² =

a

² − 2

ab + b

² . différence de deux carrés (

a



b

)(

a

−

b

) =

a

² −

b

².

A. Factoriser

Factoriser avec les identités remarquables



^Énoncé

Factorise les expressions suivantes.

• A =

x

²  6

x

 9.

• B = 25

x

² − 20

x

 4

• C = 64

x

² − 49.

Correction

• A =

x

²  6

x

 9

A =

x

²_{ 2 ×}

x

_{× 3  3}²

A = (

x

_{ 3)}²

• B = 25

x

² – 20

x

 4

B = (5

x

₎²_{− 2 × 5}

x

_{× 2  2}²

B = (5

x

_{− 2)}²

• C = 64

x

² − 49 C = (8

x

₎²_{− 7}²

C = (8

x

_{ 7)(8}

x

_{− 7)}

B. Développer

Développer avec les identités remarquables



^Énoncé

Développe et réduis les expressions suivantes

• A = (

x

 1)²

• B = (

x

− 4)²

• C = (3

x

− 5)².

• D = (7

x

^{ 2)(7}

x

^{− 2).}

Correction

• A = (

x

_{ 1)}²

A =

x

²_{ 2 ×}

x

_{× 1  1}²

A =

x

²  2

x

 1

• B = (

x

_{− 4)}²

B =

x

²_{− 2 ×}

x

_{× 4  4}²

B =

x

² − 8

x

 16

• C = (3

x

_{− 5)}²

C = (3

x

₎²_{− 2 × 3}

x

_{× 5  5}²

C = 9

x

² − 30

x

 25

• D = (7

x

_{ 2)(7}

x

_{– 2)}

D = (7

x

₎²_{− 2}²

D = 49

x

² − 4

CALCULLITTÉRAL • A7 103

2 2

_Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Développer

Définition

Développer, c'est transformer un produit en somme algébrique.

A. Développer en utilisant la simple distributivité

Développer une expression



^Énoncé

Développe : A = 3(

x

 7).

Correction A = 3(

x

 7) A = 3 × (

x

 7) A = 3 ×

x

 3 × 7 A = 3

x

 21



^Énoncé

Développe : C = – 3,5(

x

– 2).

Correction C = – 3,5(

x

– 2) C = – 3,5 × (

x

– 2)

C = (– 3,5) ×

x

+ (– 3,5) × (– 2) C = – 3,5

x

+ 7

B. Développer en utilisant la double distributivité Propriété de la double distributivité

Pour tous nombres relatifs

a

b

c

d

(

a

₊

b

₎₍

c

d

) =

a c

a d

b c

b d

Développer avec la double distributivité



^Énoncé

Développe et simplifie l'expression suivante : D = (3

x

+ 1)(

y

+ 4).

Correction

D = (3

x

+ 1)(

y

+ 4).

D = 3

x

_×

y

+ 3

x

× 4 + 1 ×

y

+ 1 × 4 D = 3

xy

+ 12

x

y

+ 4



^Énoncé

Développe et simplifie l'expression suivante : E = (3

x

– 1)(

y

– 4).

Correction D = (3

x

– 1)(

y

– 4).

D = 3

x

_×

y

+ 3

x

× (– 4) – 1 ×

y

– 1 × (– 4) D = 3

xy

– 12

x

–

y

+ 4

CALCULLITTÉRAL • A7

Cours et méthodes

102

9 2

2 2

Dans le document 9782210106345-0MEP.indb 1 24/06/16 10:37 (Page 100-104)