Évolution des paramètres mécanique

Pour chaque étape de compression des disques nous avons pu ainsi déterminer les courbes de relaxation similaires à celles obtenues expérimentalement comme le montre la figure 4.9. Le modèle peine à reproduire le pic de contrainte initial mais l’essentiel du comportement est fidèlement reproduit.

Chapitre 4 Étude Numérique 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 X: 0.3495 Y: −0.5238 X: 0.001696 Y: −0.4334 t/τ contrainte (MPa)

Comparaison entre σ_exp et σ_num: DIV

1 X: 0.3487 Y: −0.1718 ^{X: 0.6961}_{Y: −0.3056} X: 0.6972 Y: −0.6673 X: 0.9884 Y: −0.5029 σ_exp1 E= 1.1MPa, K¹ 1=1.4*10⁻¹⁸m², K 1 2=1.1*10⁻¹⁸m², K³ 1=0.3*10⁻¹⁸m²

Figure 4.9.: Optimisation des paramètres mécaniques

L’allure de ce ces deux courbes montre deux phases, pour chaque palier de compres-sion. Une première phase de chargement suivie d’une phase de relaxation.

– Durant la première phase, nous constatons que les valeurs absolues des contraintes, mesurées et calculées, augmentent très rapidement. Elles ont une durée de 10 à 20s, jusqu’à atteindre leurs valeurs maximales.

– Durant la deuxième phase, les courbes se relaxent lentement. Nous observons une réduction graduelle de la valeur absolue de la contrainte jusqu’à atteindre un état d’équilibre quasi statique.

Évolution de la pression interstitielle

Les figures 4.10a, 4.10b et 4.10c donnent la cartographie de la pression interstitielle “p” du disque, dans les plans médians de la coupe transversale (xy), frontale (xz) et sagittale (yz), après compression. On observe une répartition symétrique de part et d’autre des trois plans, avec une pression maximale situé au NP et minimale dans l’AE. Ces figures montrent une augmentation de la pression interne principalement au niveau du NP, arrivant à 0.27 MPa et une diminution en s’éloignant du centre DIV jusqu’à s’annuler au niveau de l’AE et des plateaux.

On note que le disque n’est pas totalement relaxé à la fin de chaque palier de compression ce qui explique la présence d’une pression résiduelle.

On remarque que les pression minimales dans les trois coupes sont négatives, il s’agit en effet d’une pression relative à l’ambiance extérieure.

4.7 Résultats et discussion

(a) Plan médian de la coupe transversale

(b) Plan médian de la coupe sagittale

(c)Plan médian de la coupe coronale

Chapitre 4 Étude Numérique Le tableau 4.11 résume les valeurs maximale et minimale de la pression interstitielle p et de la contrainte σz, pour chaque palier de compression. Pour le palier 1, le maxima de contrainte est de 0.43 MPa, il est atteint aux alentours de t ∼ 20s. De même pour les palier 2 et 3, les maxima de contraintes sont de 0.52 MPa et 0.66 MPa, respectivement (figures 4.10 et 4.11).

Table 4.11.: Valeur maximale et minimale de pression et de la contrainte axiale en MPa σmax z σmin z pmax pmin DIV₁ DIV₁¹ 0.43 0.17 0.28 0.01 DIV2 1 0.52 0.30 0.24 0.02 DIV3 1 0.66 0.50 0.25 0.09

Figure 4.11.: Évolution de la pression intersititielle en fonction du temps

Déplacement radial

Lorsque le disque est sollicité axialement son contenu hydrique répartit les contrainte de manière homogène, il s’en suit un gonflement radial, bien mis en évidence expé-rimentalement, et que l’on retrouve ici. La figure 4.12 montre le déplacement radial de la péréphirie du disque sur l’AE. Pour le cas considéré ils sont de l’ordre du mm en parfait accord avec les valeurs relevées expérimentalement (voir tableau 4.12).

4.7 Résultats et discussion

Table 4.12.: Maxima de déplacement radial (u) selon l’axe x Numérique Expérimentale u_max(mm) u_max(mm) DIV₁ DIV₁¹ 1.014 1.09±0.15 DIV2 1 0.991 1.13±0.15 DIV3 1 1.103 1.25±0.15

Figure 4.12.: Déformation radiale du DIV : déplacement selon −^→x

Cuchanski et al. (2010)[114] quantifie le gonflement en mesurant le déplacement en trois points différents de la section transversale du DIV suite à une compression axiale de 250N d’un disque humain. Il a constaté que le maximum de déplacement du disque était de 0,96 mm valeur proche de ce que nous trouvons dans l’étude expérimentale et numérique.

Variation du Volume du DIV

Le volume courant du DIV, V (t), est calculé numériquement comme suit :

V(t) =^{ZZ Z}

Ω1.dV (4.27)

La diminution de volume du DIV obsevée numériquement sur la figure 4.13 montre également une évolution similaire à celle observée éxpérimentalement. Cette dimi-nution de volume pourra être expliquée par le choix d’un comportement élastique de la matrice solide. En effet suite au déplacement imposé, le disque gonfle rapidement

Chapitre 4 Étude Numérique jusqu’à un maximum afin compenser la perte de hauteur, puis à cause de l’expulsion d’eau hors du DIV, le volume total du DIV diminue.

0 2000 4000 6000 8000 10000 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 t(s) V/V 0 V/V 0

Figure 4.13.: Diminution du volume totale du DIV1

Évolution de la teneur en eau

La figure 4.14 représente l’évolution de la teneur en eau dans le disque lors de l’essai de relaxation. On rappelle que cette dernière est définie par :

φ= ¹ V(t) ZZ Z Ω φdV (4.28) 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 X: 3905 Y: 0.7503 t(s) φ _{X: 7799} Y: 0.719 X: 1.11e+004 Y: 0.6921 Porosité

Figure 4.14.: Évolution de la porosité en fonction du temps au sein DIV1

4.7 Résultats et discussion

Lors de la compression, on observe une diminution de la valeur de φ pour chaque palier de compression. La diminution totale d’eau dans le disque est de l’ordre de 10%. Cette valeur est comparable aux valeurs trouvées dans l’étude expérimentale soit 8.5% pour le DIV1 et 9% pour le DIV2. Cette diminution est due aux modifi-cations de pression dans le disque. En effet, la différence de pression avec le milieu extérieur conduit à l’expulsion du fluide vers l’extérieur pendant la phase de char-gement. On note qu’il est commun dans la littérature de trouver une variation du contenu hydrique du disque entre 8 et 20% de la valeur initiale.

(a)Coupe sagittale

(b)Coupe transversale

Figure 4.15.: Cartographie de porosité pour l’essai du DIV1

La cartographie de porosité dans les plans sagittal et transverse montre une concen-tration de cette valeur dans l’AE (figure 4.15). En effet, on a montré lors de l’étude expérimentale que l’expulsion de l’eau de la région centrale du disque s’accompagne d’une accumulation nette dans l’anneau externe d’autant plus importante que le niveau de contrainte exercé augmente.

Chapitre 4 Étude Numérique

Conclusion

Les résultats présentés dans ce chapitre montrent la faisabilité, suite à une modéli-sation numérique, d’interpoler et d’identifier les paramètres mécaniques du DIV à partir des résultats expérimentaux.

La modélisation numérique a été réalisée en 3D sur des volumes reconstruits à par-tir des acquisitions IRM. La précision des reconstructions géométriques obtenues a permis d’effectuer par analyse inverse une identification des principaux paramètres mécaniques du modèle de comportement du DIV notamment le module élastique, le coefficient de poisson et la perméabilité.

Nous avons montré également que la dynamique des deux phases qui constituent le DIV sont différentes. En effet, la première est liée à la dynamique de la rampe de déplacement τj

i, durée du déplacement. Par contre la deuxième est liée à la dynamique de la perméation du fluide dans le disque c’est à dire à la perméabilité et au temps de relaxation.

L’étude de sensibilité effectuée dans ce chapitre montre que le temps de relaxation est intimement lié à la perméabilité. Nous remarquons que l’équilibre mécanique du disque, sous une compression exercée, n’est atteint que lorsque la pression hy-drostatique interne est elle même à l’équilibre avec celle régnant dans l’ambiance extérieure.

Les temps de calculs pour reproduire ces essais numériquement sont de l’ordre de 8 à 10h sur une machine quadri-processeur à 128 GO de mémoire. L’objectif final qui consiste à déterminer numériquement en routine clinique ces paramètres qui necisseterait un gain important de performance pour être réellement efficace.