Évaporation forcée par radio fréquence

Dans notre expérience le refroidissement par évaporation est implémenté dans le piège magnétique. Une onde radio fréquence (RF) vient coupler les sous niveaux magnétiques entre eux pour transférer les atomes d’un sous niveau piégeant |mF = +2i et |mF = +1i vers un sous-niveau non-piégeant |mF = 0i, |mF = −1i, |mF = −2i comme représenté en figure 4.19. La probabilité de transition est significative lorsque la séparation en énergie des sous niveaux Zeeman remplit la condition de résonance avec l’onde RF :

gFµBkB(r)k = ~ωRF . (4.46)

Nous fixons la fréquence RF de manière à limiter la profondeur du piège U0 = ηkBT où T est la température du nuage piégé. La fréquence de l’onde RF est donc donnée par :

ωRF =

ω0+ ηkBT

~ , (4.47)

où ω0 = gFµBB0/~ est la fréquence minimale pour adresser les atomes du fond du piège

où le champ magnétique vaut B0. La condition de résonance permet de définir une surface

d’évaporation. Pour que les atomes sélectionnés effectuent la transition, deux autres condi- tions doivent être remplies. Une condition sur la puissance de l’onde RF et une condition sur l’alignement relatif du champ RF et du moment magnétique des atomes.

Calcul de la norme du champ radio fréquence. Pour évaluer la puissance de radio

fréquence nécessaire à l’évaporation des atomes nous étudions le système atome-photon RF avec la description de l’atome habillé. Les niveaux d’énergies atomiques habillés prennent en compte l’énergie des sous niveaux Zeeman et l’énergie des photons RF. La surface d’évapo- ration correspond à la position du croisement évité des états habillés (voir figure 4.19).

Les états habillés et leurs énergies en présence d’interaction, sont obtenus en diagonali- sant l’Hamiltonien d’interaction dans le cadre de l’approximation de l’onde tournante. Ces

4.9. Refroidissement par évaporation. 145

Figure 4.19 – Énergies potentielles en µK perçues par les atomes dans les différents sous

niveaux magnétiques du niveau hyper-fin F = 2 en présence d’un champ RF, en fonction de leur position en mm. En traits pointillés les niveaux non couplés et en traits pleins les états habillés. Le niveau |mF = 2i dans lequel se trouvent les atomes piégés est signalé en

nouveaux états sont nommés |∼

mFi est ont une énergie :

E∼ mF = ∼ mF~ q Ω2_{(r) + ∆}2_{(r) , (4.48)} où ∆(r) = ωRF − gFµBkB(r)k

~ est le désaccord de l’onde RF et Ω(r) = gfµB

~ β(r)BRF la

fréquence de Rabi. Le facteur β(r) prend en compte l’alignement relatif du moment atomique et du champ RF, et sera discuté dans la partie suivante.

Pour traiter ce problème considérons un système à deux états, couplé et non-couplé |ci et |nci, (signalés en rouge, respectivement trait plein et pointillé sur dans la figure 4.19). Un atome dans l’état non-couplé passera la transition et restera piégé, tandis qu’un atome couplé au champ radio fréquence effectuera une transition adiabatique et sera expulsé du piège. Un atome dans l’état |nci passant à une vitesse v à travers la zone de résonance à la position r0

a une probabilité de rester dans le même état donnée par la formule de Landau-Zener :

P_|nci→|nci = e−2πΓ où Γ = (~Ω/2)

2

~d

dt|Enc− Ec|

. (4.49)

La variation temporelle de l’énergie à la position r0 est donnée au premier ordre par :

d dt|Enc− Ec| ≃ d dt|Enc| = gFmFµB dB(r) dr v . (4.50)

Dans le cas d’un piège harmonique de fréquence ωpiége le gradient de champ magnétique à la hauteur ηkBT est donné par :

b = q 2mω2 zηkBT µBgFmF . (4.51)

En posant que la vitesse est égale à la vitesse moyenne des particules v = q8kBT

πm , il est possible d’obtenir une condition sur la norme du champ RF :

BRF = q 8~kBT ωz√η √ πgFµB . (4.52)

Sur la courbe en figure 4.20, la norme de champ RF minimum nécessaire à l’évaporation d’un nuage à une température de 200 µK est de 90 mG dans un piège comprimé ayant une fréquence transverse de 400 Hz9_.

Alignement du champ radio fréquence. Dans le cas d’une onde à résonance avec un

atome polarisé selon le champ B0 la fréquence de Rabi est définie pour un atome à deux

niveaux comme :

Ω = gFµB ~ β(r)

β(r) = kBRF × B(r)k

kB(r)k

9. La puissance de l’onde RF augmente avec la fréquence de piégeage. Je prends une fréquence particu- lièrement haute pour le piège millimétrique pour assurer une marge d’erreur. De plus ce calcul devra être refait dans le cas des puces microscopiques dont les fréquences sont de l’ordre du kHz.

4.9. Refroidissement par évaporation. 147

Figure 4.20 – Norme de champ RF minimum nécessaire en fonction de la température des

atomes dans le piège magnétique comprimé pour une troncature du piège à η = 6.

En effet, dans le cas d’une onde RF polarisée rectilignement selon l’axe de quantification d’un atome, il n’y a pas de couplage entre l’onde et l’atome car les transitions π ne sont pas autorisés pour des transitions ∆mF 6= 0.

Nous supposerons que le champ RF est homogène dans tout le piège et orienté orthogo- nalement à la surface de la puce : BRF = BRF[0, 0, 1] (voir figure 4.22b.) et que le champ magnétique du piège est la superposition d’un quadrupôle dans le plan yOz et d’un champ homogène B0 dans la direction X tel que B = [B0, By, Bz]. La pulsation de Rabi est alors normalisée par le facteur β(r) tel que :

β2_{(r) =} B 2 0 + By2(y, z) B2 0+ By2(y, z) + Bz2(y, z) . (4.53)

Nous cherchons l’influence maximale que peut avoir ce paramètre sur l’efficacité de l’évapo- ration en cherchant le minimum de cette fonction. Dans la région By = 0, la composante vectorielle selon la direction Z à la position r du “couteau RF” est donnée par :

Bz(r) =

ηkBT

µBgFmF

. (4.54)

Nous pouvons voir sur la figure 4.21 l’effet du facteur β en fonction de l’énergie du “couteau radio fréquence”. La partie grisée représente le domaine de valeur que peut prendre le facteur

β selon la position sur la surface d’évaporation. Selon l’alignement du champ magnétique du

quadrupôle la valeur de β peut aller de valeur minimale calculée à l’équation 4.53 jusqu’à 100%. Lorsque le champ du quadrupôle est orienté selon la direction Z la valeur de β est la plus faible. Par contre si le champ du quadrupôle est orthogonal au champ radio fréquence on peut voir à l’équation 4.53 que β = 1 et n’a pas d’influence sur l’efficacité de l’évaporation.

Cet effet diminue lorsque le couteau RF approche du centre du piège car le rapport des champs transverses (Y et Z) sur le champ longitudinal (X) diminue. Par conséquent l’efficacité de l’évaporation s’améliore avec la diminution de la température.