Comment évaluer les éléments mesurés ?

L’opération d’extraction permet l’obtention de points de mesure dont le nombre et la distribution ont été définis dans le paragraphe précédent. Il faut à présent identifier les modifications dimensionnelles des éléments géométriques ainsi extraits.

C’est dans ce contexte qu’intervient l’opération d’association. Elle nécessite de spécifier, pour chaque élément géométrique élémentaire, l’élément idéal qui lui est associé et qui modélise le mieux les modifications géométriques de l’élément. L’évaluation des déformations du produit mécanique est alors effectuée en recourant à une méthode d’optimisation.

4.2.1. Méthode d’optimisation

Chapitre I: état de l’art sur l’identification et la qualification des déformations en traitement thermique 30

surdimensionné. En effet, celui-ci est formé par un grand nombre de points de mesure pour quelques équations modélisant les éléments idéaux à associer aux éléments extraits des éléments réels. Le nombre de points de mesure est donc plus grand que le nombre de paramètres de déviation de forme cherchés. Ce système ne pouvant être résolu de manière exacte, il est alors nécessaire de recourir à une méthode d’optimisation [CIA01] [END03].

Cette dernière utilise une « fonction mathématique objectif », à laquelle sera affecté un critère d’optimisation [NAS99] pour réaliser les opérations d’association et d’évaluation (Figure I - 29). Ce critère peut être, par exemple « minimiser la somme des carrés des plus

courtes distances entre les points mesurés et l'élément géométrique associé » : c’est le critère bien connu des « moindres carrés ».

x y Points de mesure Fonction objectif Méthode d’optimisation Procédure d’association des surfaces x y Surface/courbe de substitution

Déviation réelle estimée

Figure I - 29 : Evaluation des déviations géométriques (d’après [NAS99])

Il existe plusieurs techniques de calcul d’optimisation pour dissocier les déformations élémentaires à partir de la déformation globale d’une pièce. Citons l’approche géométrique [NOV97] [SAMU00], l’approche modale [HUA02] [SAM07] [VAN08b], l’approche heuristique (optimisation combinatoire) [PRA04], le simplex [DAM99] ou les algorithmes génétiques [SHA00] [KIL03]. Dans la plupart des cas, afin d’effectuer la dissociation, il est nécessaire de linéariser le problème, par exemple avec un torseur de petits déplacements [BOU87] [ARO05] [BAU06] [DIO06] [MAK08].

4.2.2. Critères d’optimisation

L’imprécision normative qui existe sur le critère d’optimisation est très gênante pour la mesure dimensionnelle [SCH05]. En effet, le choix du critère reste problématique car il est contestable du fait de la non-unicité mathématique des résultats, surtout sur des éléments mesurés en très peu de points [GOU99] [LAW03]. Hopp et al. [HOP95] et Nassef et al. [NAS99] proposent une procédure pour évaluer les critères et en déterminer le meilleur, c'est- à-dire celui qui est le mieux adapté au cas d’utilisation.

Les critères principalement utilisés [BOU87] [GOU99] sont les suivants :

• le critère de Gauss ou des moindres carrés : la somme des carrés des plus courtes distances entre les points mesurés et le cercle associé doit être minimale ;

• le critère de minimum circonscrit : le cercle associé doit avoir son rayon le plus petit possible, et être situé à l'extérieur de l'ensemble des points mesurés ; • le critère de maximum inscrit : le cercle associé doit avoir son rayon le plus

grand possible, et être situé à l'intérieur de l'ensemble des points mesurés ; • le critère de tangence : le cercle associé doit être situé d'un même coté de

l'ensemble des points mesurés, et être en contact avec au moins un point mesuré. Le côté choisi est en général celui du coté libre de la matière.

4.2.3. Choix du critère d’optimisation et contexte d’utilisation

Les trois premiers critères cités précédemment sont illustrés sur l’exemple de l’association d’un cercle à la forme extraite (Figure I - 30). Afin de réaliser cette association, le diamètre et la localisation du centre du cercle sont les paramètres à optimiser.

Au final, les trois critères ne donnent pas les mêmes résultats quant à la localisation du centre du cercle et son diamètre. Il ne faut pas trancher en faveur de tel ou tel autre critère mais plutôt réfléchir au cas d’utilisation. Dans le cas de la vérification de l’emboitement d’un arbre dans un alésage, le critère du maximum inscrit sera utilisé pour qualifier le diamètre minimal de l’alésage et celui du minimum circonscrit pour le diamètre maximal de l’arbre. Par contre, dans le cas de la réalisation d’un frettage (ajustement serré) entre l’arbre et l’alésage, le critère des moindres carrés sera plus adapté car il permet de minimiser l’énergie de déformation élastique requise.

Association forme extraite / cercle avec les critères d’association suivants:

Forme extraite en 26 points

Minimum circonscrit

Forme associée ici
cercle dont l’origine O et le diamètre d sont variables

O d Maximum inscrit O d Moindres carrés O d points de contact

écarts extérieur matière écarts intérieur matière

Figure I - 30 : Cercle associé par trois critères d’optimisation : centre et de diamètre différents Dans le contexte des travaux de thèse qui est la modélisation du défaut de forme de l’élément extrait, l’élément associé utilisé ne serait probablement pas un cercle. En effet, dans ce cas précis, le choix de l’élément à associer va dépendre du processus de fabrication de l’élément. Par exemple, en tournage, le défaut de forme pourrait être modélisé par un « effet trilobe » lié au bridage de la pièce. Cette remarque permet de faire le parallèle avec les travaux de [SUR05], [VOL05] et [NOW06] sur l’influence du processus de fabrication sur le défaut de circularité de bagues de roulement. Les auteurs mettent en évidence que le système de bridage par mâchoires provoque une hétérogénéité de répartition des contraintes le long de la circonférence externe des bagues. Cette cause physique implique un défaut de forme spécifique, en l’occurrence, une variation périodique du diamètre de la bague, pouvant être modélisé, quoique imparfaitement, par un « effet trilobe ».

Cette présentation de la terminologie a permis d’apporter les concepts utilisés pour la mesure dimensionnelle et l’évaluation des défauts d’un produit mécanique. Aussi, le chapitre II spécifie la méthode d’optimisation retenue pour l’opération d’association. La spécificité de cette méthode réside dans le choix d’éléments idéaux d’association liés à leur réalité physique et donc au processus de fabrication du produit.

La partie suivante présente le moyen de mesure généralement utilisé pour extraire la géométrie des éléments du produit.

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