Équations pour le calcul du Pecr théorique

ÉQUATIONS POUR LE CALCUL DU Pecr THÉORIQUE

Voici les équations nécessaires à la section 5.4 pour le calcul du Pecr selon la théorie de Addabbo et al. (2002). = − + ( − ) − 4 2 (VIII.1) Ω = + [ ( − 1) ( − 1)]⁄ + (VIII.2) où = ( + 1) + 1 (VIII.3) = 2 + (4 + 5 ) + 4 (VIII.4) = −[( − 1) ]⁄ + 2 + [3( + 1) − 1 ] + 2⁄ (VIII.5) = ( ⁄ Δ)[ ( + 1) + (2 + 5) + ( − 2 + − 1) + ( − 7 − 3 − ) − 2 (1 + )] + ( ⁄ Δ)[ ( − 1)( + 2)( − 1)] (VIII.6) = ( ( − 1) 2Δ)⁄ × 2 + (2 + 2 + 10 − 3) + [2 + (5 − 1) + 3 − 2 − 2] + [ (1 − 4 ) − (14 + 1) + 3 − 9 − 8 ] + 2 ( + 4 + 3) (VIII.7) = [2 ( − 1)( − 1) Δ]⁄ × ( + 2) − − 3 − 1 (VIII.8)

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= 2 + − 2 _(VIII.9)

Dans ces équations, γ sont des termes dépendant de la conductivité thermique normalisée par sa valeur dans les gaz frais . Cette dernière dépend de la température. En posant l'hypothèse réaliste ∝ / _{(Bechtold et Matalon, 2001), on obtient:}

λ = √ _(VIII.10) = 2 √ + 1 (VIII.11) = 4 − 1 √ − 1 − ln [0,5(√ + 1)] (VIII.12) = 2( ⁄ − 1) 3( − 1) (VIII.13)

APPENDICES

EFFET DE L’ÉTIREMENT DE LA FLAMME SUR Rcr

Tandis que le rayon augmente, l’étirement diminue, tel que le montre l’équation (2.3). Dans les premiers moments de la flamme, un étirement élevé aide à stabiliser le front de flamme. Toutefois, à un certain moment, l’intensité de l’étirement (plus particulièrement la courbure dans le cas d’une flamme en expansion sphérique) devient trop faible et des cellules apparaissent spontanément sur le front de flamme. Il pourrait donc être plus judicieux d’utiliser l’étirement critique afin d’exprimer l’apparition des cellules, tel que suggéré par (Bradley, Lawes et Mansour, 2009). L’étirement critique, que ce soit sous sa forme dimensionnelle (κcr) ou non-dimensionnelle (nombre de Karlovitz = ⁄ ) représente l’étirement minimal requis par la flamme pour maintenir la stabilité. Sous cette valeur, l’étirement n’est plus suffisamment fort pour contenir les perturbations engendrées par le mécanisme hydrodynamique, ce qui mène à l’apparition des cellules.

La Figure-B 1 regroupe les résultats des matrices M1 et M2. La figure montre que Kacr adopte un comportement différent en fonction de la nature des instabilités. Les flammes qui sont déstabilisées par le mécanisme hydrodynamique ont toutes un Kacr d’environ 0,03 qui ne semble pas dépendre de Leeff.

Figure-B 1 Nombre de Karlovitz critique dans les conditions d'instabilité hydrodynamique et thermodiffusive

Puisque l’étirement critique est potentiellement un critère plus pertinent pour quantifier l’apparition des cellules et qu’il permet d’identifier les flammes qui seront sujettes aux

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,6 0,8 1,0 1,2 Karlovitz critique Lewis thermo-diffusif hydrodynamique stable instable

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instabilités thermodiffusives, plusieurs essais ont été menés sur les résultats des matrices M1, M2 et M3 afin d’établir un lien entre des propriétés de la flamme et l’étirement. Aucune corrélation avec un coefficient de corrélation de plus de 0,6 n’a pu être établie entre les propriétés et le Kacr. Tout au mieux, certaines propriétés du carburant corrèlent bien avec le stretch critique κcr. Entre autres, il existe une très forte corrélation, illustrée à la Figure-B 2, entre κcr et la diffusivité thermique du mélange air-carburant. Tel que mentionné plus haut, le stretch diminue quand le rayon d’une flamme en expansion sphérique augmente. Conséquemment, plus l’étirement est faible, plus Rcr est grand et donc plus la flamme est stable. La Figure-B 2 montre qu’une diffusivité thermique élevée favorise l’apparition hâtive des instabilités hydrodynamiques. Nous n'avons cependant pas été en mesure d'identifier le phénomène théorique permettant d'expliquer ce fort lien entre ces deux variables.

Figure-B 2 Identification d'un fort lien entre la diffusivité thermique et le stretch critique

R² = 0,92 0 500 1000 1500 2000 2500

6,0E-06 8,0E-06 1,0E-05 1,2E-05 1,4E-05 1,6E-05

Étirement critique (1/s)

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