Écoulements de surface

L’approximation de la diffusion d’onde de Saint-Venant (Barré de Saint-Venant 1871) est utilisée pour simuler les écoulements de surface. Dans cette approximation, on suppose une vitesse moyenne sur l’ensemble de la hauteur d’eau et une charge hydraulique statique et non hydrodynamique. L’équation se présente comme suit (Eq. 8) :

Γ . . 0 Eq. 8

où do [L] est la hauteur d’eau, zo [L] est la surface du sol connue au nœud de calcul (provenant d’un MNT par exemple), ho [L] est la charge hydraulique de surface (ho=zo+do), Qo [L3L-3T-1] représente un apport (si positif) ou un prélèvement (si négatif), Φo [-] est la porosité de la surface d’écoulement variant entre 0 et 1 en fonction des paramètres d’obstruction (obstruction height) et de la microtopographie (rill storage height), égal à 0 sur la surface d’écoulement et 1 au sommet de la microtopographie du terrain et des obstructions ou sur une surface considérée comme parfaitement plane. Kox et Koy [LT-1] sont les conductivités d’écoulement de surface dans les directions x et y (Eq. 9 et Eq. 10) :

⁄ ₁

⁄ ⁄ Eq. 9

et

⁄ ₁

64

où s est la direction de la pente maximum et nx et ny [L-1/3T] sont les coefficients de rugosité de Manning dans les directions x et y.

Dans notre cas, l’approche par « dual nodes » est utilisée pour relier le milieu de surface et souterrain. Ainsi, le terme doГo, représentant les échanges entre la surface et le sous-sol, est calculé comme suit (Eq. 11):

Γ Eq. 11

où h [L] est la charge hydraulique souterraine, Kzz [LT-1] la conductivité hydraulique verticale de la couche du milieu poreux en surface, Lc [-] est un coefficient de transfert (coupling length) et kr est la perméabilité relative dans le cas où le sol en surface ne serait pas saturé.

Qf.n. est l’apport lié à la fonte de neige. L’accumulation et la fonte de la neige sont formulées de la manière suivante (Eq. 12) :

. . Eq. 12

où ρn [ML-3] est la densité de la neige, dn [L] l’épaisseur de neige au sol, Qn [L3L-3T-1] est le flux de neige à la surface η [LT-1_Θ-1_ML-3_{] est la constante de fonte de la neige (Eq. 13 et Eq. 14), Tair [Θ] est la température de} l’air, Ts.f. [Θ] est la température seuil de fonte de la neige et µ [LT-1ML-3] est la constante de sublimation.

0 . . Eq. 13

0 _{. .} Eq. 14

Finalement la fonte Qf.n. en elle-même est calculée comme suit (Eq. 15) :

On observe sur cette équation que les phénomènes de fonte sont représentés de manière simplifiée. La fonte n’est calculée qu’en fonction d’une vitesse de fonte ne représentant pas tous les phénomènes de transferts de transfert de chaleur, de chaleur latente de fusion, albédo de la neige etc. ne sont pas représentés. Cette fonction permet de reproduire uniquement les volumes d’eau stockés dans le couvert neigeux et reproduit de façon simplifiée les phénomènes complexes de fonte de neige. Le modèle ne représente également pas les phénomènes de gel et de dégel des sols qui peuvent avoir un effet sur les infiltrations lors de la fonte printanière.

5.2.3 Évapotranspiration

HGS utilise le modèle de Kristensen et Jensen (1975) pour relier l’évaporation actuelle ET [LT-1] et la transpiration Esg [LT-1] en fonction de l’évapotranspiration potentielle Ep [LT-1]. ET est obtenue de la manière suivante (Eq. 16) :

Eq. 16 Où Ecan [LT-1] est l’évaporation de l’eau interceptée par les végétaux. L’interception [L] est calculée comme suit (Eq. 17):

Eq. 17 Où cint [L] est la capacité de stockage des précipitations par les végétaux et f1(LAI) [-] est une fonction du coefficient LAI [-] « leaf index area » (Eq. 18), qui représente la surface de couvert feuillu par unité de surface. La fonction f1 relie la transpiration des plantes en fonction de l’importance du couvert feuillu.

0, 1, Eq. 18

Le terme RDF (Lr) [-] qui représente la densité racinaire en fonction de la profondeur des racines est utilisé pour répartir l’extraction de l’eau en fonction de la profondeur des racines. Un maximum d’eau est extrait en

66

surface puis diminue (quadratiquement dans notre cas) en fonction de la profondeur pour atteindre 0 à la limite racinaire (Lr).

La fonction f2 relie la transpiration des plantes en fonction de la teneur en eau et est définie comme suit (Eq. 19) : 0 0 1 1 1 0 Eq. 19

Avec une saturation en dessous du point de flétrissement θwp [-] ou au-delà de la limite anaérobique θan [- ] aucune transpiration n’a lieu, car les plantes sont considérées comme inactives, car incapables d’extraire de l’eau ou complètement gorgées d’eau. Entre ces deux saturations, la transpiration croit et décroit en fonction des différentes saturations présentées dans l’Eq. 19, θfc [-] représente la saturation en eau capillaire et θo [-], la saturation correspondant à la limite aérobique. Les paramètres C1 [-], C2 [-] et C3 [-] sont des paramètres d’ajustement.

Si le potentiel d’évapotranspiration n’est pas atteint par les phénomènes décrits ci-dessus, alors survient l’évaporation de l’eau de surface et souterraine Esg [LT-1], calculée comme suit (Eq. 20) :

1 Eq. 20 Et / 1 0 Eq. 21

Où α est un facteur qui pondère l’évaporation en fonction de la teneur en eau du sol entre les limites de saturations θe1 et θe2 (Eq. 21) et EDF(Le) distribue l’importance de l’évaporation en fonction de la profondeur, maximale proche du sol et 0 à la profondeur limite d’évaporation Le.

68

Le Tableau 4 récapitule tous les paramètres qu’il faut définir pour permettre la modélisation intégrée dans HGS.

Tableau 4 : Paramètres du modèle.

Milieu Paramètres Unité

Souterrain

K Conductivité hydraulique [LT-1_]

θ Porosité totale [-]

Ss _{d’emmagasinement} Coefficient [L-1_]

α Coefficient de l’équation de _{van Genuchten} [–] 

β Coefficient de l’équation de _{van Genuchten} [L-1_] 

Swr Saturation résiduelle [-]

Surface

lc Coefficient de transfert _{(coupling length)} [L]

nx et ny Rugosité dans les directions _{x et y} [L-1/3T]

Dt

Hauteur des microdépressions du terrain

(rill storage height)

[L] Ot Hauteur des obstructions _{(obstruction height)} [L]

Accumul ation et fonte de la neig e η Constante de fonte [LT-1_Θ-1_ML-3_] µ Constante de sublimation [LT-1_ML-3_] ρn Densité de la neige [ML-3] Ts.f. Température seuil [Θ] Évapotran spirat ion Le Profondeur d’évaporation [L]

cint Rétention d’eau de la _{« canopée »} [L]

Θwp, θfc, θa, θan Saturations limites de _{transpiration}

θe1,θe2 Saturations limites _{d’évaporation} [–]

LAI Leaf Area Index [–]

Lr Profondeur des racines [L]

C1, C2, C3 Paramètre d’ajustement de la _{transpiration} [–]

Une fois les paramètres définis, HGS résout le système d’équations non linéaires en utilisant la méthode itérative de Newton-Raphson (détails à la section 5.13). En chaque nœud du milieu souterrain, la charge hydraulique et la saturation en eau sont calculées, ce qui permet de calculer des flux de Darcy. En surface, la hauteur d’eau (do de l’Eq. 8) est calculée en chaque nœud, ce qui permet de calculer ensuite des flux de

surface. Les cours d’eau et les lacs sont caractérisés par des hauteurs d’eau en surface plus grandes que 0. Il est également possible de connaître à chaque pas de temps du modèle le bilan général des flux, précipitations, l’eau de fonte, l’évapotranspiration réelle, débit à l’exutoire ainsi que les échanges entre les différents milieux.