S¯i =Pi+j.Qi (2.10)
2.4 Revue de littérature et choix de la méthode
L’analyse de l’écoulement de puissance d’un réseau électrique peut être effectuée par plusieurs méthodes. Ces méthodes sont généralement classées en deux catégories :
• Les méthodes générales :
Ces méthodes sont valables pour tout type de réseau (réseaux maillés inclus). Elles permettent de calculer un état du réseau (radial ou maillé) grâce à une description matricielle de ce dernier (matrice d’admittances nodales). Il s’agit des méthodes de Newton Raphson, de Gauss-Seidel, de Scott, le Fast Decoupled Load Flow (FDLF), etc... [10]
Dans [11], une étude des trois principales méthodes générales (Newton Raphson, Gauss-Seidel et FDLF) a été faite. Cette étude a consisté en une description des différentes méthodes et l’éta-blissement de leurs algorithmes. Ces méthodes ont été élaborées et développées dans Matlab pour en faire une interface d’analyse de l’écoulement de puissance des réseau maillés.
Dans [12], Kriti effectue, sous Matlab, une étude comparative entre ces trois méthodes. A l’issu de cette étude, on note que la méthode de Gauss-Seidel converge bien. Cependant, le nombre d’itérations augmente avec le nombre de nœuds. Quant à la méthode de Newton Raphson, la convergence est très rapide et le nombre d’itérations ne dépend ni de la taille du réseau ni du choix du nœud slack. De plus, cette étude révèle la supériorité du FDLF par rapport au Newton Raphson du point de vue rapidité et espace de stockage.
Par ailleurs, les méthodes générales, complexes par leur implémentation, sont largement utili-sées pour leur efficacité dans l’analyse des réseaux de transport [13]. Cependant, elles restent inefficaces pour l’analyse des réseaux de distribution, en raison des facteurs suivants [14] :
— le réseau de distribution peut être mal conditionné numériquement en raison de la grande étendue de la structure radiale naturelle ;
— les équations de transit de puissance sont différentes de celles des réseaux de transport.
• Les méthodes simples :
Il s’agit globalement de laméthode du double balayageouBackward Forward Sweep (BFS).
C’est une méthode facile d’implémentation et adaptée aux réseaux radiaux de distribution, notamment en raison des caractéristiques de ces réseaux, à savoir [15] :
— la structure arborescente ;
— le faible rapport XR, en raison de la forte résistance et de la faible réactance des lignes et aussi de l’induction mutuelle faible dans les réseaux de distribution que dans les réseaux de transport ;
— la répartition déséquilibrée des charges.
Parmi les variantes du BFS, on notecelle basée sur les matrices BIBC (Bus Injection to Branche Current) et BCBV (Branche Current to Bus Voltage); et celle basée sur la matrice de reconnaissance de la configuration du réseau.
Dans la littérature, plusieurs travaux ont été consacrés à l’élaboration et l’étude de performance de ces algorithmes. Dans [16], Kaur et Gill ont développé la méthode du BFS sous Matlab. Cette méthode, basée sur la configuration du réseau, a été testée sur le réseau IEEE 33 nœuds. Dans [14], Kabir et al. ont développé un algorithme du BFS basé sur la configuration du réseau et sur une matrice d’inci-dence. La méthode a été testée sur les réseaux IEEE 30 nœuds, 33 nœuds et 69 nœuds. A. Olouladé et al., ont développé, dans le cadre de leur travail de recherche [17], une approche BFS basée sur la ma-tice de configuration du réseau. Cette méthode, testée et validée sur le réseau IEEE 33, a été appliquée au réseau de distribution de Togba. Dans [18], Simon et al. ont développé une méthode BFS basée sur les deux matrices BIBC et BCBV, pour l’analyse de l’écoulement de puissance des réseaux radiaux de distribution.
Par ailleurs, la supériorité des méthodes simples sur celles générales, pour l’écoulement de puis-sance des réseaux radiaux de distribution, a été confirmée par Chitransh et al. dans [19]. Dans leur travail, ils ont évoqué les avantages et inconvénients des diverses méthodes. Ils sont venus à la conclu-sion que les méthodes basées sur le double balayage sont plus performantes que les autres, lorsqu’il s’agit de l’analyse de l’écoulement de puissance des réseaux radiaux de distribution.
En plus de ces deux grandes classes de méthodes, les dernières années ont vu naitre plusieurs autres approches d’analyse du load flow pour les réseaux radiaux de distribution. On note :
— la méthode basée sur la matrice impédanceZ;
— la méthode basée sur le Newton Raphson ;
— la méthode basée sur le FDLF ;
— la méthode du découplé rapide utilisant la matrice conductance Get basée sur les injections équivalentes de courant ;
— les méthodes stochastiques qui émergent ces dernières années.
Dans le présent travail, nous utilisons les méthodes simples, c’est-à-dire basées sur le double ba-layage, en raison de la simplicité, de la facilité d’implémentation, de la rapidité de convergence et de la non occupation de grand espace mémoire. La variante appliquée ici est celle utilisant les matrices BIBC et BCBV.
2.5 Écoulement de puissance avec la méthode d’injection de cou-rant et de tension
Cette méthode est basée sur deux matrices, BIBC et BCBV. Elle trouve sa simplicité dans l’utili-sation des lois basiques de courant et de tension de Kirchhoff.
2.5.1 Formation des matrices BIBC et BCBV
La méthode d’écoulement de puissance proposée est facilitée par la topologie radiale des réseaux de distribution et est fortement dépendante des données du réseau.
2.5.1.1. Les données du réseau
Au début de l’analyse de l’écoulement de puissance, il faut d’abord prendre connaissance du réseau.
Ceci passe par l’insertion des données relatives au dit réseau.
Ces données sont :
— le nombrende nœuds du réseau ;
— le nombrebde branches ou de lignes ;
— la tension nominale ou de baseVB;
— la puissance apparente nominale ou de baseSB;
— les informations sur les lignes ;
— les informations sur les nœuds.
• Nomenclature des nœuds et branches
Pour faciliter l’analyse du réseau et surtout l’implémentation sous Matlab, nous avons adopté une nomenclature appropriée.
— Pour les nœuds :
Le premier nœud, c’est-à-dire le nœud source porte le numéro zéro (0). Ensuite pour les nœuds suivants, on incrémente de l’unité, en numérotant d’abord les nœuds de la branche principale, puis ceux des ramifications et sous-ramifications.
— Pour les branches :
Chaque branche ou ligne étant entre deux nœuds, elle porte le numéro du nœud final ou terminal. La première branche porte alors le numéro1.
• La matrice d’information sur les nœuds
Pour une facilité et une aisance dans l’utilisation des données relatives aux nœuds, telles que les puissances actives et réactives, les modules et phases des tensions nodales, nous les regroupons dans une matrice. Cette matrice, nomméedata_bus, est une matrice de dimensiona×5avec a =n−1, c’est-à-dire le nombre de nœuds sans compter le nœud source [14].
Les cinq colonnes de la matrice sont définies comme suit :
— Colonne 1 : numéro du nœud ;
— Colonne 2 : puissance activePi de la charge connectée au nœud ;
— Colonne 3 : puissance réactiveQide la charge connectée au nœud ;
— Colonne 4 : tension initiale du nœud ;
— Colonne 5 : phase de la tension du nœud.
• La matrice d’information sur les branches
Nomméedata_line, cette matrice renferme les informations relatives aux différentes branches du réseau. Elle est de dimensionb×5. Ses cinq colonnes sont définies comme suit :
— Colonne 1 : numéro de la branche ;
La matrice BIBC établit le lien entre les injections de courant des nœuds de charge et les courants des différentes lignes.
La démarche permettant la construction de cette matrice est décrite par l’algorithme 1 [20].
Algorithme 1Formation de la matrice BIBC
Etape 1 :Créer la matrice de dimensionb×aet l’initialiser à zéro.
Chaque colonne représente un nœud, excepté le nœud source.
Etape 2 :Mettre le premier élément à”1”, i.e.BIBC(1,1) = 1.
Etape 3 :Soit la branchei,i6= 1, comprise entre les nœudsi−1eti.
— Copier la colonnei−1de la matrice BIBC dans la colonnei.
— Mettre leiemeélément de la ligneià+1.
Etape 4 :Répéter les étapes précédentes pour toutes les branches du réseau.
La matrice obtenue est unematrice triangulaire supérieure, contenant uniquement des0et1.
2.5.1.3. La matrice BCBV
Cette matrice est le rapport entre les courants de branches et les tensions nodales. Le processus de sa formation est décrit par l’algorithme 2.
Algorithme 2Formation de la matrice BCBV
Etape 1 :Créer la matrice de dimensiona×bet l’initialiser à zéro.
Chaque ligne représente un nœud, excepté le nœud source.
Etape 2 :Mettre le premier élément à”Z1”, i.e.BCBV(1,1) =Z1. Etape 3 :Soit la branchei,i6= 1, comprise entre les nœudsi−1eti.
— Copier la lignei−1de la matrice BCBV dans la lignei.
— Mettre leiemeélément de la ligneiàZi.
Etape 4 :Répéter les étapes précédentes pour toutes les branches du réseau.
La matrice obtenue est unematrice triangulaire inférieure, contenant uniquement des 0 etZi. NB :Un exemple de calcul des matrices BIBC et BCBV est présenté à l’annexe A.
2.5.2 Solution d’écoulement de puissance pour les réseaux radiaux de distri-bution
L’étude de l’écoulement de puissance consiste à déterminer les expressions des grandeurs impor-tantes à savoir : les courants (aux nœuds et dans les diverses branches), les tensions (module et phase) nodales, ainsi que les pertes de puissance. En plus de ces solutions de base de tout écoulement de puissance, nous ajoutons, ici, un indice de stabilité de la tension, leVoltage Stability Index (VSI).
2.5.2.1. Le bilan des courants
Le bilan de courants consiste à exprimer les injections de courants nodaux et les divers courants dans les lignes du réseau. Ce bilan, facilité par la structure radiale naturelle des réseaux de distribution, est obtenu par la loi de Kirchhoff relative au courant.
Ce bilan est effectué de la façon suivante [21] :
• Injection de courant à chaque nœud
Pour chaque nœudi, le courant qui y est injecté est donné par l’expression suivante : Ii =
On forme alors le vecteur colonne :[I] =Ii, i = 1, a.
NB : i= 1, aveut dire pouriallant de1àa.
• Courant dans chaque branche
On obtient les courants de branches à partir des injections de courant aux nœuds et de la matrice BIBC, par la relation suivante :
[J] = [BIBC].[I] (2.12) Il s’agit d’un vecteur colonne :[J] =Ji, i = 1, a.
2.5.2.2. Calcul des tensions nodales
La tension nodale est déterminée suivant la loi d’Ohm. Le calcul se fait en deux étapes :
• Calcul de la chute de tension
Cette chute de tension, par rapport à la tension de référenceV0, est donnée par :
[∆V] = [V0−Vi] = [BCBV].[J] , i= 1, a (2.13)
• Calcul de la tension nodale Elle est donnée par :
[V] = [V0]−[∆V] (2.14) 2.5.2.3. Le bilan de puissance
Le bilan de puissance consiste à déterminer les pertes actives et réactives de puissance, et la puissance fournie par le générateur balancier.
• Pertes actives
Pour une ligne donnée, la perte active est due à la résistance électrique. Cette perte est donnée par :
Ploss,i=Ri∗ |Ji|2 , i= 1, b (2.15)
La perte active totale est alors :
PT .loss =
b
X
i=1
Ploss,i (2.16)
• Pertes réactives
La perte réactive est due à la réactance de la branche. Elle est donnée, pour une branchei, par :
Qloss,i=Xi∗ |Ji|2 , i= 1, b (2.17)
La perte réactive totale est alors :
Pour le nœudslack, les puissances active et réactive fournies doivent être égales aux sommes des puissances consommées et perdues. Elles sont données par :
( Pslack = Pd+PT.loss
Qslack = Qd+QT.loss (2.19)
avec
( Pd =Pa
i=1Pi : la demande active totale Qd=Pa
i=1Qi : la demande r´eactive totale (2.20)
2.5.2.4. Le calcul des VSI
La stabilité de tension est la capacité d’un système à maintenir la tension, de sorte que, lorsque la charge augmente, sa puissance aussi augmente, pour qu’à la fois puissance et tension soient contrô-lables. Pour évaluer cette stabilité, on définit le VSI. Dans la littérature, il existe plusieurs expressions permettant de calculer cet indice. L’une de ces expressions, plus connue, est la suivante [23] :
V SIi+1 =|Vi|4−4∗(Pi+1.Xi+1−Qi+1.Ri+1)2 −4∗(Pi+1.Ri+1+Qi+1.Xi+1)∗ |Vi|2 (2.21) Pour qu’un nœud soitstable, il faut queson VSI soit positif. Le nœud est d’autantplus stableque son VSI est élevé.
2.5.3 Algorithme de la méthode BIBC/BCBV
La méthode d’écoulement de puissance développée dans ce travail trouve sa simplicité dans l’ex-ploitation des lois de Kirchhoff. Elle se base sur la structure des réseaux radiaux de distribution élec-trique. Elle utilise les matrices BIBC et BCBV, tout en mettant en œuvre le principe du double ba-layage.
En effet, à partir des données des branches et de la topologie du réseau, on établit les matrices BIBC et BCBV. La prochaine étape sera la mise en système p.u. des données de charges et de lignes, en choisissantVBetSB. Ensuite, après initialisation de toutes les tensions nodales à1p.u., on commence les itérations en faisant le double balayage. Ce balayage se fait en deux étapes. La première étape, balayage arrière (Backward Sweep), consiste au calcul des courants de branches après détermination
des injections de courant aux divers nœuds. La seconde étape, balayage avant (Forward Sweep), se traduit par le calcul des tensions nodales. Cette démarche sera répétée jusqu’à ce que le critère d’arrêt, i.e. la non variation des tensions nodales d’une itération à une autre, soit atteint. Pour ce fait, on définit une tolérance. Une fois la condition d’arrêt atteinte, on effectue le bilan des puissances et le calcul des VSI. Enfin, les résultats de l’écoulement de puissance sont affichés.
Les étapes de l’écoulement de puissance par la méthode basée sur les matrices BIBC et BCBV, sont décrites par l’algorithme 3.
Algorithme 3Ecoulement de puissance par la méthode BIBC/BCBV Etape 1 :
• Lire la tension et la puissance de base.
Etape 2 :
• Formation des matrices BIBC et BCBV.
• Initialisation des itérations,k= 1.
Etape 3 :Faire le balayage arrière (Backward Sweep).
• Calcul des injections de courant aux différents nœuds.
• Calcul des courants de branches.
Etape 4 :Faire le balayage avant (Forward Sweep).
• Calcul de la chute de tension.
• Calcul des nouvelles tensions nodales,
V(k+1) . Etape 5 :Evaluation du critère d’arrêt.
• Calculer l’écart maximal entre les valeurs de tensions nodales de deux itérations consécutives : Dmax = max
V(k+1)
− V(k)
.
• Vérifier si l’écart maximal est inférieur à la tolérance (Dmax < ε).
• Si oui, aller à l’Etape 6.
• Si non :
— passer à l’itération suivante,k =k+ 1.
— retour à l’Etape 3.
Etape 6 :Calculer le VSI à chaque nœud.
Etape 7 :Effectuer le bilan de puissances.
Etape 8 :Afficher les solutions de l’écoulement de puissance.
2.6 Test et validation de l’algorithme élaboré
Pour valider la méthode d’écoulement de puissance développée dans le présent travail, nous avons fait le test sur le réseau standard IEEE 69 nœuds.
Les données de ce réseau sont prises de [26] et inscrites dans le tableau B.1 de l’annexe B.
La configuration du réseau est présentée à la figure 2.5.