Haut PDF Discrétisation et résolution numérique de quelques problèmes aux conditions aux limites

Discrétisation et résolution numérique de quelques problèmes  aux conditions aux limites

Discrétisation et résolution numérique de quelques problèmes aux conditions aux limites

Introduction Un grand nombre de problèmes de la physique mathématique peuvent être modélisés par des équations aux dérivées partielles. Nous entendons par ces modèles, un ensemble d’équations (ou d’inéquations) associées aux conditions aux limites sur la frontière du domaine spatial, où le phénomène est étudié. La plupart de ces phénomènes sont non linéaires, les cas parmi les plus célèbres étant l’équation de Boltzmann en mécanique sta- tistique, les équations de Navier Stokes en mécanique des ‡uides (équations qui consti- tuent d’ailleurs une approximation de l équation de Boltzmann), les équations de Von Karman des plaques planes en grands déplacements (cf. [3],[4],[6],[10],[13],[14],[17]), etc. . . Tout cela explique pourquoi, dans des sujets très divers, la modélisation par les équa- tions aux dérivées partielles, suivie de l’analyse théorique, puis numérique, suivie a son tour par la simulation numérique, est devenue une démarche de base. Cette modélisa- tion des phénomènes que l’on rencontre surtout dans les sciences de l’ingénieur, conduit, éventuellement après une étape de discrétisation par l’une des méthodes : méthode des di¤érences …nies, méthode spectrale, méthodes volumes …nis et méthode des éléments …nis (cf. [7],[9],[10],[11],[18],[19], à la résolution de systèmes d’équations en dimension …nie.
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Stratégies de résolution numérique pour des problèmes d'identification de fissures et de conditions aux limites

Stratégies de résolution numérique pour des problèmes d'identification de fissures et de conditions aux limites

En ce qui concerne les perspectives des travaux présentés, elles sont évidemment nombreuses dans chacune des deux thématiques abordées dans cette thèse. Pour ce qui est de la résolution du problème de Cauchy par l'approche de Steklov-Poincaré, il nous est apparu que dans les cas d'application les plus simples, en élasticité linéaire et sur des cas jouets, la méthode est maintenant bien contrôlée, et on l'a dotée d'une procédure de régularisation able et peu coûteuse. Pourtant, une question qui reste très largement ouverte, et qui est pourtant primordiale est celle de l'application des algorithmes aux cas expérimentaux. Celle-ci est compromise par le caractère très mal conditionné du problème. Néanmoins, il pourrait être très intéressant d'étudier expérimentalement des problèmes de reconstruction de conditions aux limites, posés sur des géométries aussi favorables que nécessaires dans l'optique de comprendre quelles applications industrielles peuvent être visées. La question connexe de l'estimation des incertitudes s'est vue consacrer une partie de cette thèse, mais mériterait elle aussi qu'on y revienne.
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Méthodes de domaine fictif pour des problèmes elliptiques avec conditions aux limites générales en vue de la simulation numérique d'écoulements diphasiques.

Méthodes de domaine fictif pour des problèmes elliptiques avec conditions aux limites générales en vue de la simulation numérique d'écoulements diphasiques.

Ce travail est dédié à la mise en place de deux méthodes originales de type domaine fictif pour la résolution de problèmes elliptiques de type convection-diffusion avec des conditions au[r]

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Etudes mathématiques et numériques des problèmes paraboliques avec des conditions aux limites

Etudes mathématiques et numériques des problèmes paraboliques avec des conditions aux limites

Le dernier chapitre de cette première partie est consacré a l’analyse des résultats numériques obtenus et au rôle que joue certaines hypothèses énoncées dans les chapitres précédents. 0.2 Deuxième partie : Problème à frontière libre La deuxième partie de la thèse concerne un cadre numérique d’étude de problème couplé d’équa- tions paraboliques. Un problème à frontière libre non-linéaire est un système d’équations non-linéaires dont l’inconnu est le couple formé de la solution et du paramétrage de la frontière libre. Ces équations interviennent dans de nombreux modèles physiques. On peut citer par exemple la modélisation d’un phénomène de feux de brousse. L’interface (frontière libre) est décrit par le front de flamme qui se pro- page dans l’environnement considéré. Ces feux de brousse causent des millions de dégâts matérielles sans compter les victimes humaines chaque année à travers le monde et particulièrement en Afrique. Il convient de bien comprendre ce phénomène sur un plan scientifique en étant capable de prévoir la direction de propagation de la flamme. Ainsi, on pourra vite intervenir et ainsi sauver des vies.
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Résolution numérique de problèmes de contrôle optimal par une méthode homotopique simpliciale.

Résolution numérique de problèmes de contrôle optimal par une méthode homotopique simpliciale.

On voit ´ egalement que la formulation compl` ete s’en sort un peu mieux que la formulation l´ eg` ere, avec 5 cas de convergence sur 8 tests, contre seule- ment 2 (et demi avec le cas ` a 10 −3 ...). Il semble donc que le gain de taille de cette deuxi` eme formulation soit contrebalanc´ e par une stabilit´ e r´ eduite. De plus, on note la fr´ equente apparition de valeurs hors limites (ici [0, 1]) du contrˆ ole singulier, indiqu´ ees par le symbole *. Celles-ci semblent coincider remarquablement avec les cas de non convergence, avec une seule exception (premier test pour la formulation compl` ete) o` u le tir parvient ` a converger malgr´ e ce ph´ enom` ene. Techniquement, il serait possible de tronquer ces va- leurs ` a 0 ou 1 respectivement. On ne l’a pas introduit dans la formulation, car ce cas n’est pas cens´ e se produire si l’on a une bonne initialisation, ce qui est tout l’objectif de la partie continuation. D’ailleurs, ce ph´ enom` ene ne s’est jamais produit durant les tentatives “normales” (non perturb´ ees) de r´ esolution des probl` emes.
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Modélisation mathématique et résolution numérique de problèmes de fluides à plusieurs constituants.

Modélisation mathématique et résolution numérique de problèmes de fluides à plusieurs constituants.

Nous chercherons `a mettre en ´evidence des conditions de stabilit´e et de conver- gence qui soient explicites et facilement utilisables pour la mise au point de sch´emas num´eriques. L’effort sera ensuite port´e sur l’´ecriture d’algorithmes non dissipatifs, c’est-`a- dire d’algorithmes qui n’introduisent pas de diffusion num´erique (dans un sens qui sera pr´ecis´e). La solution que nous proposerons est originale : elle ne fait appel ni aux m´ethodes habituelles de (( mont´ee en ordre )) (cf. [44], [94], [41]...), le sch´ema pour l’advection sera d’ordre un, ni au raidissement artificiel de fronts (cf. [52]). Elle est mˆeme paradoxale puisqu’elle repose sur le d´ecentrage vers l’aval des flux num´eriques (sous contraintes de stabilit´e), `a l’oppos´e des m´ethodes traditionnelles de d´ecentrage amont (sch´emas de type Godunov ou Roe, [77]). Les r´esultats principaux seront le transport exact des discontinuit´es pour l’´equation d’advection, des chocs pour l’´equation de Burgers, des discontinuit´es de contact pour les ´equations d’Euler. Pour l’´equation d’advection, nous obtiendrons une estimation d’erreur uniforme en temps pour une classe de conditions initiales dense dans les espaces usuels.
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Etudes mathématiques et numériques des problèmes paraboliques avec des conditions aux limites

Etudes mathématiques et numériques des problèmes paraboliques avec des conditions aux limites

Le dernier chapitre de cette première partie est consacré a l’analyse des résultats numériques obtenus et au rôle que joue certaines hypothèses énoncées dans les chapitres précédents. 0.2 Deuxième partie : Problème à frontière libre La deuxième partie de la thèse concerne un cadre numérique d’étude de problème couplé d’équa- tions paraboliques. Un problème à frontière libre non-linéaire est un système d’équations non-linéaires dont l’inconnu est le couple formé de la solution et du paramétrage de la frontière libre. Ces équations interviennent dans de nombreux modèles physiques. On peut citer par exemple la modélisation d’un phénomène de feux de brousse. L’interface (frontière libre) est décrit par le front de flamme qui se pro- page dans l’environnement considéré. Ces feux de brousse causent des millions de dégâts matérielles sans compter les victimes humaines chaque année à travers le monde et particulièrement en Afrique. Il convient de bien comprendre ce phénomène sur un plan scientifique en étant capable de prévoir la direction de propagation de la flamme. Ainsi, on pourra vite intervenir et ainsi sauver des vies.
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Résolution numérique d’une classe de problèmes issus du contrôle optimal de l’obstacle

Résolution numérique d’une classe de problèmes issus du contrôle optimal de l’obstacle

On montre que la solution yδ , νδ , ξδ converge bien dans les bons espaces vers la solution du probl`eme P et on peut ´etablir des conditions n´ecessaires et suffisantes d’optimalit´e d[r]

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Pépite | Comportements asymptotiques, conditions aux limites et analyse numérique pour des modèles fluides

Pépite | Comportements asymptotiques, conditions aux limites et analyse numérique pour des modèles fluides

En fait cette question contient deux difficultés. La première consiste à effectuer l’analyse de couche limite dans le cas non linéaire et à obtenir ainsi les conditions nécessaires dans le régime fluide à partir de (4.2). La seconde difficulté tient au fait que le problème de demi- espace sous-jacent est en général numériquement non abordable puisque sa résolution est aussi coûteuse que celle du problème cinétique. Nous avions donc besoin d’une procédure d’approximation supplémentaire. L’approche que nous avons proposée est basée sur la théorie linéarisée précédente. Cela présente l’avantage d’offrir un cadre de travail "propre" et une façon naturelle de déterminer le nombre et la nature des conditions aux limites nécessaires pour (4.3).
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Analyse mathématique et numérique de quelques problèmes d'ondes en milieu périodique

Analyse mathématique et numérique de quelques problèmes d'ondes en milieu périodique

Introduction 5 nous avons été amenés à généraliser un certain nombre d’outils typiques du milieu homogène pour pouvoir traiter le problème à plusieurs défauts, dit de "scattering multiple". À l’aide de ces outils nous sommes parvenus à réexprimer les opérateurs DtN correspondant à cette situation complexe à l’aide des opérateurs DtN du cas à un seul défaut. Nous avons ensuite considéré le cas des équations de Maxwell, pour lesquelles nous nous sommes rapidement rendu compte que les résultats de [37] pouvaient être étendus de manière directe, moyennant quelques complications techniques dues au cadre fonctionnel. L’auteur du présent mémoire a alors considéré un nouveau type de problèmes, plus complexes et pour lesquels il était nécessaire de développer de nouveaux outils : les problèmes d’évolution. Le but initial était de traiter l’équation des ondes en milieu périodique, toutefois c’est grâce à une incursion (bibliographique) dans un autre type de problème (l’équation de Schrödinger) que le principe clé de semi-discrétisation préalable à la construction des conditions transparentes nous est apparu. Aussi, nous nous sommes employés à développer pour divers types de problèmes (chaleur, ondes et Schrödinger) les techniques de construction de conditions aux limites transpa- rentes pour les problèmes d’évolution. Nous avons initialement tenté de garder l’esprit des travaux de Sonia Fliss dans notre approche, à savoir nous avons commencé par construire ces conditions aux limites sur des géométries de guide périodique. Une théorie complète (c’est-à-dire y compris l’analyse numérique) a été développée pour ce type de géométrie, déjà très importante du point de vue applicatif. Nous avions alors l’espoir de pouvoir les étendre de la même façon que dans [38] aux problèmes posés dans tout l’espace, dits problèmes de plan. Du point de vue théorique, cette extension est possible, mais elle pose de très importants problèmes pratiques (en particulier
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Problèmes aux limites concernant les équations di¤érentielles fractionnaires avec des conditions non locales

Problèmes aux limites concernant les équations di¤érentielles fractionnaires avec des conditions non locales

Les théorèmes du point …xe sont très utiles en mathématique et particulièrement dans la résolution des équations di¤érentielles et intégrales. En e¤et, ces théorèmes fournissent des conditions su¢ santes pour lesquelles une fonction donnée admet un point …xe, ainsi on assure l’existence de la solution d’un problème donné en le transformant en un problème de point …xe, et on détermine éventuellement ces points …xes qui sont les solutions du problème posé.

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Résolution hautes fréquence d'équations intégrales par une méthode de discrétisation microlocale

Résolution hautes fréquence d'équations intégrales par une méthode de discrétisation microlocale

On distingue deux types de méthodes de discrétisations. Les méthodes des éléments nis, des volumes nis et des diérences nis ont l'avantage de pouvoir traiter les milieux hétérogènes. En revanche, l'inconvénient principal est d'exi- ger le maillage d'un volume. En ce qui concerne la résolution de problèmes de diraction dans un milieu inni, ces méthodes demandent de tronquer le domaine de calcul dans le- quel se trouve l'obstacle. L'idéal est de considérer un domaine le plus petit possible pour éviter le problème de stockage mémoire et la performance des méthodes dépend alors de la traduction de la condition de radiation sur la frontière extérieure ou articielle [7, 26]. Le développement des conditions aux limites absorbantes a ouvert d'autres perspectives et n'a connu que des progrés récents [6].
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Problèmes de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élastostatique et élastodynamique. Etude mathématique et résolution numérique.

Problèmes de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élastostatique et élastodynamique. Etude mathématique et résolution numérique.

Avant l'application de forces à un corps, la surface de contact réelle sur laquelle les corps se touchent est inconnue. Les conditions de frontière sur cette surface inconnue fait intervenir des eorts et des déplacements inconnus. En conséquence, les modèles mathématiques de contact impliquent des systèmes d'inégalités ou d'équations non linéaires. D'ailleurs, quand le frottement est présent, des solutions multiples de ces équations décrivant le contact peuvent exister, et la description du mouvement des corps en contact devient extrêmement complexe. Néanmoins, il y a des formulations spéciques de certaines classes de problèmes de contact dans lesquelles ces dicultés classiques sont réduites au minimum et qui fournissent la base pour une méthode d'analyse élégante. Ce travail est consacré à l'étude de certaines de ces formulations et méthodes. S'il existe une diculté à formuler les problèmes de contact impliquant le frottement, leur résolution numérique est plus dicile encore, car ils sont décrit par une loi multivoque qui ne dérive pas d'un potentiel naturel (même non diérentiable). Aussi, ils ne peuvent pas être for- mulés en tant que problèmes standards d'optimisation (avec contraintes inégalité).
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Etude mathématique des problèmes viscoplastiques à variable interne d’état avec conditions aux limites de contact avec et sans frottement

Etude mathématique des problèmes viscoplastiques à variable interne d’état avec conditions aux limites de contact avec et sans frottement

la diversité des lois de comportement utilisées en viscoplasticité ainsi que leurs appli- cations en ingénierie ont donné naissance à de nouvelles approches mathématiques pour l’étude de l’existence, du comportement et l’approximation numérique de la solution pour une grande classe de problèmes aux limites. L’utilisation des méthodes fonctionnelles et des méthodes numériques pour l’étude des problèmes aux limites en viscoplasticité s’est ainsi rapidement développée dans différentes directions durant les dernières décennies.

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Les messages clairs, une technique de résolution des « petits » conflits en cycle 2 : apports, limites et conditions d’efficacité

Les messages clairs, une technique de résolution des « petits » conflits en cycle 2 : apports, limites et conditions d’efficacité

48 que deviennent-ils en dehors de l’établissement scolaire ? Comment sont-ils perçus par les autres personnes de la société ? Lors du bilan collectif, une élève de C.E.1 nous a raconté une anecdote à ce sujet. Fin janvier, elle a souhaité formuler un message clair à l’un de ses parents, au domicile familial. Elle a pu exprimer l’incompréhension du parent en question, lorsqu’elle a commencé à lui énoncer un message clair. Cette anecdote nous amène à penser que la technique des messages clairs présente un intérêt quant à la finalité recherchée, c’est-à-dire « mettre des mots sur les maux ». Pour cela, elle propose une démarche de verbalisation codifiée aux élèves pour tendre vers cette finalité sans recours à la violence. Nous pensons que les élèves doivent être prévenus que l’application de la technique des messages clairs est propre à l’établissement scolaire dans lequel ils sont accueillis. Il s’agit ainsi de leur expliquer que celle-ci ne s’applique pas telle qu’elle en dehors de l’école. Les enseignants doivent pouvoir expliquer aux élèves que ce sont des outils qui constituent une aide à la résolution de leurs problèmes. La formulation très codifiée proposée par les messages clairs permet de faciliter et de guider leur verbalisation dans un premier temps. Puis, les élèves seront de plus en plus à l’aise pour communiquer avec autrui et pourront se détourner de cette formulation codifiée. Ils structureront, adapteront et feront évoluer leurs propos, de manière spontanée. Les messages clairs présentent donc un point de départ pour les élèves. Ils sollicitent l’élaboration de la pensée et l’usage de la parole pour résoudre des conflits, de manière pacifique et autonome. Selon nous, c’est de cette manière que les messages clairs doivent être présentés aux élèves. Il s’agit de le leur expliquer afin qu’ils ne soient pas pris au dépourvu ou ne se confrontent à des situations d’incompréhension ou d’humiliation, à l’intérieur et en dehors du milieu scolaire.
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Résolution numérique en électromagnétisme statique de problèmes aux incertitudes géométriques par la méthode de transformation : application aux machines électriques

Résolution numérique en électromagnétisme statique de problèmes aux incertitudes géométriques par la méthode de transformation : application aux machines électriques

On suppose aussi que la surface Γ H est divisée en deux surfaces distinctes Γ H1 et Γ H2 où une force magnétomotrice γ 0 est imposée. 1.4.1.3. Discussion sur le problème des incertitudes portées par la géométrie Dans le cas de la méthode des éléments finis utilisée dans le cas déterministe [10], un maillage conforme est utilisé. Rappelons qu’un maillage est conforme si les interfaces entre les sous- domaines et la frontière du domaine sont entièrement représentées par des facettes (arêtes dans le cas 2D) des éléments du maillage. Cela permet de faciliter l’imposition des conditions aux limites au niveau de la frontière et d’assurer la discontinuité de certains champs au niveau des interfaces des matériaux (la composante normale de H et la composante tangentielle de B par exemple, voir exemple ci-dessous). Un maillage non conforme au niveau de la frontière prend difficilement en compte les conditions aux limites. Un maillage non conforme au niveau des interfaces des matériaux avec une discrétisation classique (voir la partie 1.2.1.4) ne peut pas assurer certaines discontinuités ce qui dégrade les résultats numériques [9]. A titre d’exemple, on présente dans la Figure 8 un domaine D découpé en 2 sous domaines D 1 et D 2 séparés par une interface aléatoire
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Résolution de quelques problèmes aux limites d'ordre fractionnaire par la méthode de sous et sur solutions

Résolution de quelques problèmes aux limites d'ordre fractionnaire par la méthode de sous et sur solutions

les deriv´ ees fractionnaires de type Riemann-Liouville et des conditions int´ egrales, et ceci en donnant les expressions explicites des sous et sur solutions et en util- isant le th´ eor` eme de Schauder. Grˆ ace aux mˆ emes techniques, on traite dans un espace de Sobolev fractionnaire un probl` eme aux limites multipoints avec les de-

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Les Ondelettes de Jacobi et leurs Applications pour la Résolution de Problèmes de Valeurs aux Limites

Les Ondelettes de Jacobi et leurs Applications pour la Résolution de Problèmes de Valeurs aux Limites

L’objectif de ce travail est la modélisation et la simulation numérique du modèle à comparti- ment de l’épidémie de l’obésité de type SIR, c’est un modèle déterministe où la population est divisée en un nombre de catégorie selon l’état par rapport à la maladie(susceptible, infecté et guérit), pour la résolution numérique, on propose la méthode des ondelettes de Gegenbauer qui est basée sur l’utilisation de la matrice d’intégration.

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Une Approche pour la Résolution des Problèmes aux Limites par les Ondelettes

Une Approche pour la Résolution des Problèmes aux Limites par les Ondelettes

Il est nécessaire de signaler que le choix de la méthode numérique dépend des particularités propres du système à étudier. Il n’existe en e¤et aucune " boite noire " qui puisse résoudre avec précision tous les types de problèmes. L’objectif de ce mémoire est de développer une méthode bien adaptée à la résolution numé- rique des problèmes de valeurs aux limites, dite « Méthode de Collocation Orthogonale sur les Eléments Finis » dans le cas bidimensionnel. Cette méthode qui a été développée dans le cas mono dimensionnel par Dr. BELHAMITI. O [14].
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Quelques problèmes aux limites dans un secteur plan pour le système de lamé, l’opérateur de flexions et vibrations des plaques

Quelques problèmes aux limites dans un secteur plan pour le système de lamé, l’opérateur de flexions et vibrations des plaques

CONCLUSION Dans la première partie, nous avons étudié en détail les singularités de la solution va- riationnelle des problèmes aux limites pour le système de Lamé (élasticité) avec di¤érents conditions. Nous avons mis en évidence des série trigonométriques d’un type nouveau adaptée à l’étude des solutions des problèmes aux limites pour le système de Lamé et comme l’étude de la convergence des séries nécessite des relations d’orthogonalité, nous avons établir grâce à une formule de Green pour l’opérateur de Lamé une relation d’orthogonalité entre les fonc- tions (v ) 2E analogues à celles de l’orthogonalité pour le Laplacien et le bilaplacien dans un secteur plan S, qui facilite le calcul des coe¢ cients de singularité qui est très important, d’une part pour les mécaniciens et d’autres part pour améliorer la convergence des séries. Le calcul étant dans le cas de la …ssure et par conséquent nous avons montré la convergence de la nouvelle série. Cette partie constitue l’originalité de notre travail.
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