Problèmes de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élastostatique et élastodynamique. Etude mathématique et résolution numérique.

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Problèmes de contact unilatéral avec frottement de

Coulomb en élastostatique et élastodynamique. Etude

mathématique et résolution numérique.

Houari Boumediène Khenous

To cite this version:

Houari Boumediène Khenous. Problèmes de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élasto-statique et élastodynamique. Etude mathématique et résolution numérique.. Mathématiques [math]. INSA de Toulouse, 2005. Français. �tel-00011873�

N◦ _{d'ordre 801.}

Mémoire de THÈSE

présenté en vue de l'obtention de grade de

Docteur de l'Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse

Spécialité : Mathématiques Appliquées présenté par

Houari Boumediène Khenous

Problèmes de contact unilatéral avec frottement de

Coulomb en élastostatique et élastodynamique.

Etude mathématique et résolution numérique.

Thèse soutenue le 25 Novembre 2005

Composition du Jury :

M. Faker Ben Belgacem Maître de conférence - UPS Toulouse 3 Examinateur M. Abderrahmane Bendali Professeur - INSA de Toulouse Président M. Jaroslav Haslinger Professeur - Université Charles, Prague Rapporteur M. Ioan Ionescu Professeur - Université de Savoie Rapporteur

M. Patrick Laborde Professeur - UPS Toulouse 3 Directeur de thèse M. Yves Renard Maître de conférences - INSA Toulouse Directeur de thèse

Thèse preparée au sein du

Département de Génie Mathématique et Modélisation - INSA de Toulouse Laboratoire Mathématiques pour l'Industrie et la Physique (UMR 5640)

Table des matières

5

Remerciements 7

Introduction générale 9

I Problème de contact statique

13

Introduction 15

1 Présentation du problème élastostatique 17

1.1 Préliminaires sur l'élasticité linéarisée . . . 17

1.2 Conditions de contact unilatéral et de frottement de Coulomb . . . 18

1.2.1 Contact unilatéral . . . 19

1.2.2 Frottement de Coulomb . . . 19

1.3 Formulations en inclusion . . . 19

1.4 Problème statique de contact avec frottement . . . 20

2 Formulation faible des équations 23 2.1 Formulation faible classique . . . 23

2.2 Formulation faible directe . . . 24

2.3 Formulation faible hybride . . . 26

2.4 Le bipotentiel de De Saxcé . . . 27

3 Discrétisation par éléments nis 31 3.1 Discrétisation hybride par éléments nis . . . 31

3.1.1 Formulation matricielle . . . 32

3.1.2 Discrétisation de la formulation de De Saxcé . . . 34

3.1.3 Formulation en point xe et existence et unicité de la solution pour le problème discret . . . 35

4 Exemples de discrétisations 39 4.1 Discrétisation presque conforme en déplacement . . . 39

4.2 Discrétisation hybride presque conforme en force . . . 41 3

4 TABLE DES MATIÈRES

5 Etude numérique 43

5.1 Méthodes de point xe . . . 44

5.1.1 Point xe sur les forces de contact (PFF) . . . 44

5.1.2 Point xe sur le seuil de frottement (PFS) . . . 48

5.2 Méthode itérative sur-relaxée (ISR) . . . 49

5.3 Méthode de Newton Semi-régulière (NSR) . . . 51

5.4 Comparaison entre les diérentes formulations . . . 55

5.4.1 Symétrisation partielle pour la méthode NSR . . . 55

5.4.2 Comparaison entre la formulation de De Saxcé et la formulation standard 57 5.4.3 Comparaison entre la formulation presque conforme en force et la presque conforme en déplacement . . . 59

Conclusion 61

II Problème de contact dynamique

63

6.2 La θ-méthode . . . 70

6.2.1 Formulation de la θ-méthode pour le problème de contact . . . 70

6.2.2 Analyse de stabilité . . . 71

6.3 Le schéma de Newmark . . . 75

6.3.1 Adaptation du schéma de Newmark pour le contact . . . 75

6.3.2 Analyse de stabilité . . . 76

6.3.3 Estimation en accélération . . . 79

6.4 La méthode du point milieu (standard) . . . 81

6.4.1 Formulation pour le contact . . . 81

6.4.2 Analyse de stabilité . . . 82

6.5 Point milieu en implicitant la force de contact . . . 84

6.5.1 Adaptation de la méthode pour le contact . . . 84

6.5.2 Analyse de stabilité . . . 85

6.6 Conclusion . . . 86

7 Dicultés de la discrétisation 87 7.1 Semi-discrétisation en espace et multiplicité de solutions . . . 87

7.2 La discrétisation totale et la dissipation de l'énergie . . . 89

7.3 Conclusion . . . 92

8 Nouvelles stratégies 93 8.1 Schéma de Paoli et Schatzman . . . 93

8.2 Modication du schéma de Paoli et Schatzman . . . 94

TABLE DES MATIÈRES 5

8.2.2 Analyse de stabilité . . . 95

8.3 Point milieu avec une condition de contact modiée . . . 97

8.4 Elimination de la masse sur le bord . . . 100

8.4.1 Construction de la nouvelle matrice de masse . . . 100

8.4.2 Analyse de stabilité . . . 102

8.5 Conclusion . . . 105

9 Tests numériques 107 9.1 La θ-méthode . . . 109

9.2 La méthode de Newmark . . . 112

9.3 La méthode du point milieu . . . 115

9.4 La méthode du point milieu modiée . . . 116

9.5 Le schéma de Paoli et Schatzman . . . 117

9.6 Le schéma de Paoli et Schatzman modié . . . 118

9.7 Le schéma avec la condition de contact équivalente . . . 119

9.8 La méthode de la matrice de masse équivalente . . . 121

9.8.1 La θ-méthode . . . 121

9.8.2 La méthode de Newmark . . . 122

9.8.3 Le schéma de point milieu . . . 123

9.9 Conclusion . . . 125

A mes parents Fatma et Daho, qui sont la graine de mon existence, pour leurs encourage-ments et leurs sacrices, à mes frères Mohammed et Boubakeur et ma soeur Fatima-Zohra. Je vous remercie pour votre conance, votre soutien. Je ne sais comment vous remercier pour tout ce que je vous dois.

A toi Sarah pour ton réconfort, ta compréhension, ton soutien moral surtout dans les mo-ments diciles durant cette thèse, de m'avoir poussé et encouragé à aller au delà de mes capacités et surtout d'avoir été présente à chaque fois que j'ai eu besoin de toi et surtout je te remercie pour tes sacrices et ta patience.

Je rends hommage à tous mes maîtres et professeurs à partir du primaire, celles et ceux qui m'ont donné goût aux études et en particulier pour les Mathématiques, je leur dis du fond du coeur merci et j'espère que ce travail leur soit aussi dédicacé comme fruit de leur travail.

Remerciements

Je remercie messieurs Jaroslav Haslinger et Ioan Ionescu d'avoir accepté de rapporter mon mémoire de thèse, se fut un grand honneur pour moi.

Je remercie aussi messieurs Faker Benbelgacem et Abderrahmane Bendali d'avoir été membre du jury et d'avoir examiner ce travail.

J'exprime ma reconnaissance à Messieurs Patrick Laborde et Yves Renard, mes directeurs de thèse, interlocuteurs disponibles et attentifs. Je les remercie pour tous les conseils et suggestions qu'ils m'ont apporté lors de l'encadrement de ma thèse.

Je n'oublie pas Julien Pommier qui m'a beaucoup aidé surtout dans le calcul numérique, je le remercie très sincèrement pour tout et aussi de m'avoir supporté avec mes questions qui se répétaient.

Je remercie Charef et Chakib, mes deux premiers copains de France avec qui j'ai passé de bons moments surtout pendant le DEA. Je remercie aussi Mokhtar, Abed, Salah mes copains pour les merveilleux moments de complicité. Je n'oublie pas Abdelkader, F. Thomas, Yannick, Mousta-pha, M. Thomas ... mes amis et collègues de bureau avec qui j'ai partagé les trois années de thèse. Au Vice-Consul d'Algérie à Toulouse chargé des boursiers et son adjoint sans que j'oublie les membres du CROUS (service boursiers étrangers) qui m'ont accompagnés durant ces quatre années et qui m'ont facilité les tâches administratives concernant ma bourse.

Mes remerciements vont également à tous mes camarades du Département de Génie Mathé-matique de l'INSA qui ont contribué à créer une ambiance cordiale, et à l'ensemble du Départe-ment.

Introduction générale

Dans la plupart des systèmes de la mécanique des structures, il existe des situations dans lesquelles un corps déformable entre en contact avec d'autres corps. La problématique du contact est essentiellement de savoir comment les forces sont appliquées sur une structure et comment réagissent ces structures lorsqu'elles subissent ces forces.

Il est évident que le caractère de ce contact peut jouer un rôle fondamental dans le comporte-ment de la structure : sa déformation, son mouvecomporte-ment, la distribution des eorts, etc...En dépit du rôle fondamental du contact dans les mécanismes des solides et des structures, les eorts de contacts sont rarement pris en considération dans l'analyse des structures. La raison est que modéliser des phénomènes de contact pose de sérieuses dicultés : conceptuelles, mathématiques et informatiques qui sont bien plus complexes que celles qui proviennent de la mécanique des structures linéaire classique. Les problèmes de contact sont en soi non linéaires.

Avant l'application de forces à un corps, la surface de contact réelle sur laquelle les corps se touchent est inconnue. Les conditions de frontière sur cette surface inconnue fait intervenir des eorts et des déplacements inconnus. En conséquence, les modèles mathématiques de contact impliquent des systèmes d'inégalités ou d'équations non linéaires. D'ailleurs, quand le frottement est présent, des solutions multiples de ces équations décrivant le contact peuvent exister, et la description du mouvement des corps en contact devient extrêmement complexe. Néanmoins, il y a des formulations spéciques de certaines classes de problèmes de contact dans lesquelles ces dicultés classiques sont réduites au minimum et qui fournissent la base pour une méthode d'analyse élégante. Ce travail est consacré à l'étude de certaines de ces formulations et méthodes. S'il existe une diculté à formuler les problèmes de contact impliquant le frottement, leur résolution numérique est plus dicile encore, car ils sont décrit par une loi multivoque qui ne dérive pas d'un potentiel naturel (même non diérentiable). Aussi, ils ne peuvent pas être for-mulés en tant que problèmes standards d'optimisation (avec contraintes inégalité).

Dans ce travail, on s'intéresse aux problèmes de contact unilateral dans le cas de petites déformations d'un corps élastique glissant avec frottement sur une fondation rigide plane.

La thèse se décompose en deux parties :

La première partie concerne le problème de contact unilatéral (dit de Signorini) qui est issu de la mécanique des structures et où les inéquations portent sur la frontière. La condition de

12 Introduction générale contact a été formulée par Signorini [45] en 1959. La formulation variationnelle associée à ce type de condition a été étudiée mathématiquement par Fichera [15] en 1964. Ensuite, viennent les travaux de G. Duvaut et J.L. Lions [14] qui ont rajouté le frottement aux problèmes de contact et ils ont pu écrire ce problème sous forme d'un problème de minimisation de fonctionnelle quadratique dans le cas d'un frottement de Tresca (i.e. avec un seuil de frottement xe qui ne dépend pas de la contrainte normale). Dans [14], on peut trouver aussi des résultats d'existence et d'unicité pour le problème dit de Signorini (sans frottement).

L'approximation par la méthode des éléments nis a été discutée par nombreux auteurs. En particulier, on trouvera dans [25] une synthèse concernant le cas d'un solide déformable en contact avec un socle rigide.

Le premier résultat d'existence de solutions pour le problème de Signorini avec frottement a été établi au début des années 80. Neˇcas, Jaruˇsek et Haslinger [37] ont prouvé un résultat d'existence pour une barre élastique en dimension deux sous la condition d'un coecient de frottement assez petit. Dernièrement, Y. Renard [44] a donné un critère d'unicité de solution pour le problème de contact avec frottement. Ce résultat est très important pour la recherche de solutions multiples.

Le but de cette partie est de présenter dans un cadre plus général la discrétisation hybride du problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb dans le cas élastostatique. Une for-mulation en projection est développée. Nous prouvons un résultat d'existence et d'unicité pour le problème discret. Ensuite, on donne des méthodes de résolution (Newton, méthode itérative, points xes, Uzawa) qui seront comparées en termes de nombre d'itérations et en termes de robustesse par rapport au coecient de frottement.

La deuxième partie concerne le problème en élastodynamique. En eet, le caractère évolutif du phénomène de contact implique souvent l'utilisation d'un modèle dynamique. D'autre part, l'intégration du système élastodynamique en présence du contact nécessite des algorithmes spé-cialement adaptés. Les schémas classiques, qui supposent une certaine régularité de la variable d'état, donnent souvent des résultats erronés dans le cas de changements rapides de l'état de contact.

De nombreuses complications surgissent quand les eets dynamiques sont rajoutés aux mo-dèles de contact avec frottement. Les mécanismes physiques des forces sur les interfaces de contact durant le phénomène dynamique sont extrêmement complexes ; ils sont responsables des eets dynamiques de frottement et ont été le centre d'importantes recherches expérimentales pendant plusieurs décennies et sont encore le sujet de plusieurs études.

Plusieurs schémas classiques seront présentés dans cette partie. Ensuite, on donnera de nou-velles stratégies pour venir à bout des diérents problèmes rencontrés avec les premiers schémas. Les nouvelles méthodes sont conservatives et permettent de prouver l'existence d'une solution lipschitzienne pour le problème de contact élastodynamique [24].

Première partie

Problème de contact statique

Introduction

Cette partie, dans laquelle on étudiera le problème de contact avec frottement en statique, contient cinq chapitres. Dans le premier chapitre, nous présentons le problème d'élasticité linéa-risée. Ensuite nous dénissons les conditions aux limites de contact unilatéral et frottement de Coulomb et nous donnons la formulation du problème de contact statique.

Dans le deuxième chapitre, on commence par la formulation faible de Duvaut et Lions [14] qu'on reformulera en un problème avec inclusions. Cette formulation est de très grande impor-tance dans la compréhension du choix général de la discrétisation du problème. On présentera aussi la formulation de De Saxcé dans laquelle on couple la condition de contact et de frottement en une seule inclusion.

Le troisième chapitre concerne la discrétisation hybride par éléments nis du problème sta-tique. On montrera que le problème discret admet une et une seule solution pour un coecient de frottement susamment petit et un r > 0 assez petit [23].

Dans le chapitre suivant, on donnera des exemples de discrétisation conforme en déplacement et conforme en force.

Dans le dernier chapitre de cette partie, deux cas tests sont considérés : un disque pour le cas bidimensionnel et un tore pour le cas tridimensionel. Les corps sont soumis à leur propre poids et sont en contact frottant avec une fondation rigide plane. L'ecacité de diérentes méthodes numériques pour la résolution du problème discret est comparée. On concluera que la méthode semi-régulière de Newton apparaît comme la plus robuste pour résoudre les problèmes de contact avec frottement de Coulomb pour des corps déformables.

Chapitre 1

Présentation du problème élastostatique

Dans ce chapitre, nous présentons les équations du problème statique d'élasticité linéarisée avec conditions aux limites de contact unilatéral avec frottement de Coulomb. Nous commençons par présenter le problème sans contact ni frottement, ensuite nous dénissons les deux conditions de contact et de frottement tout d'abord d'une manière classique puis à l'aide d'inclusions. Finalement, nous donnons le problème complet qui sera la base de toute la suite.

1.1 Préliminaires sur l'élasticité linéarisée

Pour la simplicité de la présentation, nous nous limitons au cas d'un solide élastique frottant sur une surface rigide plane immobile. L'introduction de géométries plus complexes fait appa-raître des problèmes délicats dans la déterminaions de la surface de contact. Une approche de ce problème est étudiée dans N. Kikuchi et J.T Oden [25] par exemple.

Ω Γ_Ν Γ Γ Ν D Γ C Fondation rigide n

Fig. 1.1  Coprs élastique Ω en contact frottant avec une fondation rigide plane.

Soit Ω ⊂ Rd _{(d = 2 ou 3) un domaine borné représentant la conguration de référence d'un}

corps élastique soumis à son poid, à une condition de Neumann sur ΓN, une condition de

Diri-chlet sur ΓD et une condition de contact unilateral avec frottement de Coulomb sur ΓC entre le

corps et une fondation rigide plane. Les ensembles ΓN, ΓD et ΓC forme une partition disjointe

de ∂Ω, le bord de Ω.

20 CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DU PROBLÈME ÉLASTOSTATIQUE Pour un problème d'élasticité sans contact ni frottement, le déplacement u du corps satisfait aux équations suivantes :

                  

−div σ(u) = f dans Ω, σ(u) = A ε(u) dans Ω, u = U sur Γ_D, σ(u)n = g sur Γ_N,

(1.1)

où f représente la densité de forces volumiques, g désigne les forces surfaciques imposées sur Γ_N, n la normale unitaire sortante de Ω sur ∂Ω, σ(u) est le tenseur des contraintes, ε(u) est le tenseur linéarisé des déformations et A est le tenseur d'élasticité du quatrième ordre satisfaisant les conditions de symétrie et de coercivité suivantes :

 Aijkh ∈ L∞(Ω), ∀ 1 ≤ i, j, k, h ≤ d,

 A est symétrique : Aijkh(x) = Ajikh(x) = Akhij(x), ∀ i, j, k, h, x ∈ Ω,

 ∃ c > 0 / pp dans Ω : Aijkhεijεkh ≥ c εijεij, ∀ε symétrique,

où Aijkh sont les composantes de A données par la loi de Hooke dans une base canonique comme

suit :

σij(u) = Aijkh εkh(u) = Aijkh ∂kuh, dans Ω.

Remarque. On peut réécrire le problème (1.1) en un problème d'optimisation qui admet une et une seule solution. Pour plus de détails sur ce résultat classique, on peut se référer à [14] [25].

1.2 Conditions de contact unilatéral et de frottement de

Coulomb

Sur ΓC, on décompose le déplacement et le tenseur de contraintes en composante normale et

tangentielle comme suit :

u_N = u.n, u_T = u − u_Nn,

σ_N(u) = (σ(u)n).n, σ_T(u) = σ(u)n − σ_N(u)n.

Pour donner un sens à la décomposition précédente, on suppose que ΓC est de régularité C

1_.

1.3. FORMULATIONS EN INCLUSION 21

1.2.1 Contact unilatéral

La condition de contact unilatéral est exprimée par la relation de complémentarité suivante : u_N ≤ 0, σ_N(u) ≤ 0 et u_Nσ_N(u) = 0. (1.2) Cette condition exprime qu'en cas de contact c'est le corps qui se déforme et qu'il ne peut y avoir d'interpénétration entre le solide et la fondation.

1.2.2 Frottement de Coulomb

En notant F le coecient de frottement, la condition de frottement de Coulomb est si uT = 0 alors |σT(u)| ≤ −σN(u)F ,

si uT 6= 0 alors σT(u) = σN(u)F

uT

|u_T|.

Cette condition représente deux situations physiques qui sont le collement (stik) quand uT = 0

et le glissement (slip) quand uT 6= 0.

1.3 Formulations en inclusion

On peut réexprimer ces deux conditions, d'une façon équivalente, en utilisant les fonctions multivoques suivantes : J_N(ξ) =            {0}, si ξ < 0, [0, +∞[, si ξ = 0, ∅, si ξ > 0, DirT(v) =      { vT |v_T|}, ∀ v ∈ R d_{, avec v} T 6= 0, {w ∈ Rd_{; |w| ≤ 1, w} N = 0}, si vT = 0.

Les applications JN et DirT sont maximales monotones représentants respectivement les

sous-gradients de la fonction indicatrice de l'intervalle ] − ∞, 0] et la fonction v`−→|v_T|. Dans le cas

22 CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DU PROBLÈME ÉLASTOSTATIQUE

1

−1






Fig. 1.2  Les applications multivoques JN et DirT pour un bord de dimension un.

Grâce à ces deux applications, les conditions de contact unilatéral et de frottement de Cou-lomb se réécrivent comme suit :

−σ_N(u) ∈ J_N(u_N), (1.3)

−σ_T(u) ∈ −F σ_N(u)Dir_T(u_T). (1.4) Les dernières relations sont les formulations ponctuelles correspondantes aux relations faibles qui seront introduites dans la section suivante. Voir par exemple [34], [27], [38], [19] pour plus de détails sur les lois de contact et de frottement en termes de sous-gradients ou gradients généralisés.

1.4 Problème statique de contact avec frottement

Ayant tous les ingrédients nécessaires, on peut écrire le problème de contact statique avec frottement de Coulomb comme suit :

Trouver le déplacement u vériant :                                   

− div σ(u) = f dans Ω, σ(u) = A ε(u) dans Ω,

u = U sur Γ_D,

σ(u)n = g sur Γ_N, −σ_N(u) ∈ J_N(u_N) sur Γ_C, −σ_T(u) ∈ −F σ_N(u)Dir_T(u_T) sur Γ_C.

1.4. PROBLÈME STATIQUE DE CONTACT AVEC FROTTEMENT 23

Ce problème a été introduit par G. Duvaut et J.L. Lions (voir [14]). Beaucoup de travaux traitant ce problème ont été publiés depuis. Pour ce qui concerne notre cas, on s'intéresse au cas général dans lequel les conditions sur le bord de contact ne sont ni pénalisées ni régularisées. L'étude est faite dans le chapitre suivant.

Chapitre 2

Formulation faible des équations

Dans ce chapitre, on commence par la formulation faible de Duvaut et Lions [14] et on nira par donner les formulations par inclusions du problème. Ces formulations sont de très grande importance dans la compréhension du choix général de la discrétisation du problème. On pré-sentera aussi les formulations de De Saxcé correspondantes à ces systèmes.

2.1 Formulation faible classique

Suivant la démarche de Duvaut et Lions [14], on introduit les espaces de Hilbert suivants : V = {v ∈ H1_{(Ω; R}d), v = 0 sur Γ_D}, X = {v|Γ_C: v ∈ V } ⊂ H 1/2 (ΓC; R d ), X_N = {v_N| Γ_C: v ∈ V }, XT = {vT|_Γ C : v ∈ V }, et leurs espaces duaux topologiques V0_{, X}0_{, X}0

N et X

0

T. On suppose que ΓC est susamment

régulière de sorte que XN ⊂ H

1/2_(Γ C, R), XT ⊂ H 1/2_(Γ C, R d−1₎, X0 N ⊂ H −1/2_(Γ C, R) et X 0 T ⊂ H−1/2(Γ_{C, R}d−1_).

D'une manière classique, H1/2_(Γ

C) est l'espace des restrictions sur ΓC des traces sur ∂Ω de

fonctions H1_{(Ω) et H}−1/2_(Γ

C) est l'espace dual de H

1/2

00 (ΓC) qui est l'espace de restrictions sur

Γ_C de fonctions H1/2_{(∂Ω)qui s'annulent en dehors de Γ}

C. Pour plus de détails sur les opérateurs

traces, le lecteur peut se référer à [1], [25].

L'ensemble des déplacements admissibles est déni par

K0 = {v ∈ V : vN ≤ 0sur ΓC}.

Les applications suivantes

a(u, v) = Z

Ω

A ε(u) : ε(v)dx, 25

26 CHAPITRE 2. FORMULATION FAIBLE DES ÉQUATIONS l(v) = Z Ω f.vdx + Z Γ_N g.vdΓ et j(λ_N, v_T) = −hF λ_N, |v_T|i X0 N,XN

représentent respectivement le travail virtuel des forces élastiques, les chargements extérieurs et le travail virtuel des forces de frottement. On a les hypothèses usuelles suivantes :

a(., .) une forme bilinéaire symétrique continue coercive sur V × V , i.e. ∃ α > 0, ∃ C_M > 0, a(u, u) ≥ αkuk2

V et a(u, v) ≤ CMkukVkvkV, ∀u, v ∈ V (2.1)

l(.) une forme linéaire continue sur V, i.e. ∃ C_L > 0, l(u) ≤ C_Lkuk_V, (2.2) F une fonction positive lipschitzienne sur Γ_C. (2.3) Proposition 1 La formulation faible du problème (1.5) est donnée par :

  

Trouver u ∈ K0 satisfaisant

a(u, v − u) + j(σ_N(u), v_T) − j(σ_N(u), u_T) ≥ l(v − u), ∀ v ∈ K0.

(2.4)

Preuve. Pour la preuve, nous incitons le lecteur à consulter [14].

La grande diculté avec (2.4) est que ce n'est pas une inéquation variationnelle parce qu'elle ne dérive pas d'un problème d'optimisation. Ceci est dû principalement au couplage entre le coecient de frottement et la force de contact σN(u).

Un résultat d'existence peut être retrouvé dans [37] pour un coecient de frottement susam-ment petit. Récemsusam-ment, un critère d'unicité a été proposé par Y. Renard [44] pour un coecient de frottement susamment petit et une condition sur le déplacement tangentiel.

2.2 Formulation faible directe

Soient K_N = {v_N ∈ X_N : v_N ≤ 0}, NK_N(vN) = ( {µ_N ∈ X0 N : hµN, wN − vNiX0 N,XN ≤ 0, ∀ w_N ∈ K_N}, si v_N ∈ K_N, ∅, si vN ∈ K/ N et ∂2j(λN, uT) = {fT ∈ X 0 T : j(λN, vT) ≥ j(λN, uT) + hfT, vT − uTiX0 T,XT , ∀ v_T ∈ X_T},

2.2. FORMULATION FAIBLE DIRECTE 27 respectivement le cône des déplacements normaux admissibles, son cône normal et le sous-gradient relatif à la deuxième composante de la fonctionnelle j(., .) dénie dans la section 2.1.

Alors on a la proposition suivante :

Proposition 2 Le problème (2.4) est équivalent au problème suivant :                    Trouver u ∈ V, λN ∈ X 0 N et λT ∈ X 0 T satisfaisant a(u, v) = l(v) + hλ_N, v_Ni X0 N,XN + hλ_T, v_Ti X0 T,XT , ∀v ∈ V, λ_N + NK_N(uN) 3 0, dans X 0 N, λ_T + ∂2j(λN, uT) 3 0, dans X 0 T. (2.5) Preuve. En introduisant λN ∈ X 0 N, λT ∈ X 0

T deux multiplicateurs représentants les forces sur

le bord de contact, l'équilibre du corp élastique peut être écrit comme suit : a(u, v) = l(v) + hλN, vNiX0

N,XN + hλT, vTiX0T,XT ∀v ∈ V. (2.6)

La formulation faible du contact unilatéral est u_N ≤ 0, hλ_N, v_Ni X0 N,XN ≥ 0, ∀v ∈ K0, hλN, uNiX0 N,XN = 0. (2.7) D'après la dénition de K0, on a hλN, wNiX0 N,XN ≥ 0, ∀w_N ∈ K_N, d'où h−λ_N, w_Ni X0 N,XN ≤ 0, ∀w_N ∈ K_N. D'autre part hλN, uNiX0 N,XN = 0, donc h−λ_N, w_N − u_Ni_X0 N,XN ≤ 0,

ce qui nous donne à l'aide de la dénition du cône normal de KN que

λ_N + NK_N(uN) 3 0, (2.8)

i.e. −λN reste dans le cône normal de KN au point uN. En fait, cette inclusion est une

formula-tion faible de l'inclusion forte (1.3).

Il reste à trouver la formulation faible directe de la condition de frottement. D'après la relation (2.6), on a a(u, v − u) = l(v − u) + hλ_N, v_N − u_Ni_X0 N,XN + hλ_T, v_T − u_Ti_X0 T,XT ∀v ∈ K0.

28 CHAPITRE 2. FORMULATION FAIBLE DES ÉQUATIONS Alors (2.4) est équivalent à

hλ_N, v_N − u_Ni_X0 N,XN + hλ_T, v_T − u_Ti_X0 T,XT + j(λ_N, v_T) − j(λ_N, u_T) ≥ 0, ∀ v ∈ K0. Mais on a hλN, vN − uNiX0 N,XN

≥ 0, ∀ v_N ∈ K_N parce que −λ_N ∈ NK_N(uN) et on choisissant

v_N = u_N on obtient la relation hλT, vT − uTiX0

T,XT − hF λN, |vT| − |uT|iX0N,XN ≥ 0, ∀ vT ∈ XT,

qui est équivalente à

λ_T + ∂2j(λN, uT) 3 0, (2.9)

car j(., .) est convexe en uT. Cette inclusion est une formulation faible de (1.4). Plus de détails

peuvent être retrouvés dans [19].

2.3 Formulation faible hybride

Soient Λ_N = −K∗ N = {fN ∈ X 0 N : hfN, vNiX0 N,XN ≥ 0, ∀v_N ∈ K_N} et Λ_T(F λ_N) = {λ_T ∈ X_T0 : −hλ_T, w_Ti_X0 T,XT + hF λ_N, |w_T|i_X0 N,XN ≤ 0, ∀w_T ∈ X_T} respectivement les ensembles des forces normales et tangentielles admissibles.

Proposition 3 Le problème (2.4) est équivalent au problème suivant :                      Trouver u ∈ V, λN ∈ X 0 N et λT ∈ X 0 T satisfaisant a(u, v) = l(v) + hλ_N, v_Ni X0 N,XN + hλ_T, v_Ti X0 T,XT , ∀v ∈ V, −u_N ∈ NΛ_N(λN), −u_T ∈ NΛ_T(F λ_N)(λT). (2.10)

Preuve. Les deux inclusions (2.8) et (2.9) peuvent être inversées. Pour la condition de contact, inverser NK_N est facile parce que c'est le cône normal de KN qui est aussi un cône,

d'où (NK_N)−1(λN) = NK_N∗(λN) = −NΛ_N(−λN). Alors, la condition de contact est inversée en

2.4. LE BIPOTENTIEL DE DE SAXCÉ 29 Pour la condition de frottement, inverser ∂2j(λN, uT)est possible en calculant la conjugué de

Fenchel de j(., .) relative à la seconde variable parce qu'on a (∂f)−1 _{= ∂(f}∗_{) pour une fonction}

convexe propre semi-continue inférieurement (voir [9], [28]). On a j∗(λ_N, λ_T) = IΛ_T(F λ_N)(λT),

où IΛ_T(F λ_N) est la fonction indicatrice de ΛT(F λN). Alors, la condition de frottement peut

être exprimée comme suit :

u_T + NΛ_T(F λ_N)(λT) 3 0,

parce que ∂λ_TIΛ_T(F λ_N)= NΛ_T(F λ_N).

Proposition 4 La formulation (2.10) est aussi équivalente à la formulation hybride suivante                      Trouver u ∈ V, λN ∈ X 0 N et λT ∈ X 0 T satisfaisant a(u, v) = l(v) + hλ_N, v_Ni X0 N,XN + hλ_T, v_Ti X0 T,XT , ∀v ∈ V, λ_N ∈ Λ_N, hµ_N − λ_N, u_Ni X0 N,XN ≥ 0, ∀µ_N ∈ Λ_N, λ_T ∈ Λ_T(F λ_N), hµ_T − λ_T, u_Ti X0 T,XT ≥ 0, ∀µ_T ∈ Λ_T(F λ_N). (2.11)

Preuve. Découle directement de la démonstration précédente de la proposition 3 et des dénitions des cônes normaux NΛ_N, NΛ_T(F λ_N).

2.4 Le bipotentiel de De Saxcé

Dans la formulation (2.10), le contact et le frottement sont couplés parce que l'ensemble Λ_T(F λ_N) dépend de λ_N. Au début des années 90, De Saxcé [12] a proposé une nouvelle formu-lation dans laquelle le contact et le frottement sont exprimés par une seul inclusion. Dans cette partie, on présentera cette formulation ainsi que les outils nécessaires.

Dénition 1 Soit la fonction b(., .) dénie par

b(ξ, x) : H0× H ↔ ¯_R On dira que b(., .) est un bipotentiel si et seulement si :

1. elle est convexe, semi-continue inférieurement par rapport à ces deux variables, 2. elle vérie l'inégalité généralisée de Fenchel suivante

30 CHAPITRE 2. FORMULATION FAIBLE DES ÉQUATIONS Dans [28], une dénition un peu plus retrictive est introduite. Le Bipotentiel b(., .) doit vérier les deux relations suivantes :

inf y∈H  b(ζ, y) − hζ, yi_H0,H∈ {0, +∞}, ∀ζ ∈ H0, (2.13) inf ξ∈H0  b(ξ, x) − hµ, xi H0,H  ∈ {0, +∞}, ∀x ∈ H. (2.14) En eet, (2.13) et (2.14) impliquent (2.12). La valeur +∞ ne peut être évité car le bipotentiel contient des fonctions indicatrices. Ces conditions sont naturellement vériées par le bipoteniel représentant la loi de frottement de Coulomb.

Dénition 2 Un couple (ζ, x) est dit extrémal s'il vérie la relation suivante :

b(ζ, x) = hζ, xi_H0,H. (2.15)

Proposition 5 Si un couple (ζ, x) est extrémal alors on a les deux relations équivalentes sui-vantes :

−ζ ∈ ∂_xb(ζ, x), (2.16)

−x ∈ ∂_ζb(ζ, x). (2.17)

Preuve. En retranchant (2.15) de (2.12), on obtient : b(ζ, y) − b(ζ, x) ≥ hζ, y − xi

H0,H, ∀y ∈ H.

Ceci est équivalent à

−ζ ∈ ∂_xb(ζ, x).

Un calcul similaire donne

−x ∈ ∂_ζb(ζ, x).

Dû à (2.13), on a (2.16) est équivalente à (2.15) et dû à (2.14), on a (2.17) est équivalente à (2.15). Ce qui fait que les deux relations (2.16) et (2.17) sont équivalentes.

Remarque. La relation (2.12) n'aurait pas permis d'obtenir la proposition 5 et c'est pour cette raison que les relations (2.13) et (2.14) ont été introduites.

Après avoir donné toutes les notions nécessaires, on peut maintenant dénir le bipotentiel de la loi de frottement de Coulomb donnée par De Saxcé.

2.4. LE BIPOTENTIEL DE DE SAXCÉ 31 Dénition 3 Le bipotentiel de la loi de frottement de Coulomb est

b(−λ, u) = h−λ_N, F |u_T|i_X0 N,XN + I_Λ F(−λ) + IΛN(uN), (2.18) où Λ_F = {(λ_N, λ_T) ∈ X0 N × X 0 T : −hλT, vTi + hF λN, |vT|i ≤ 0 , ∀vT ∈ XT } = {(λN, λT) ∈ X 0 N × X 0 T : λN ∈ ΛN, λT ∈ ΛT(λN)},

est le cône de frottement au sens faible.

Lemme 1 On a b(−λ, u) est un bipotentiel.

Preuve. Elle est immédiate. Pour plus de détails, le lecteur peut se référer à [28]. Une conséquence de ce lemme est que d'aprés la proposition 5, on obtient :

(u_N − F |u_T|, u_T) ∈ N_Λ

F(λN, λT). (2.19)

Grâce au bipotentiel de De Saxcé (voir [12]), il est possible de réexprimer le problème (2.10) comme suit :                    Trouver u ∈ V, λN ∈ X 0 N et λT ∈ X 0 T satisfaisant a(u, v) = l(v) + hλN, vNiX0 N,XN + hλT, vTiX0T,XT, ∀v ∈ V, − uN − F |uT| u_T  ∈ NΛ_F(λN, λT), ∀(µN, µT) ∈ ΛF. (2.20)

32 CHAPITRE 2. FORMULATION FAIBLE DES ÉQUATIONS                      Trouver u ∈ V, λN ∈ X 0 N et λT ∈ X 0 T satisfaisant a(u, v) = l(v) + hλ_N, v_Ni X0 N,XN + hλ_T, v_Ti X0 T,XT , ∀v ∈ V, (λ_N, λ_T) ∈ Λ_F, hµ_N − λ_N, u_N − F |u_T|i_X0 N,XN + hµ_T − λ_T, u_Ti_X0 T,XT ≥ 0, ∀(µ_N, µ_T) ∈ ΛF. (2.21)

Chapitre 3

Discrétisation par éléments nis

Ce chapitre concerne la discrétisation hybride par éléments nis du problème statique. On donnera un résultat d'existence et d'unicité pour un coecient de frottement susamment petit et un r > 0 assez petit [23].

3.1 Discrétisation hybride par éléments nis

Soit Vh _{⊂ V une famille de sous espaces de dimension ni, indexés par h provenant de la}

discrétisation régulière par éléments nis du domaine Ω (h représente le rayon du plus large élément). On dénit X_Nh = {v_Nh_| Γ_C: v h _{∈ V}h_}, X_Th = {v_Th_| Γ_C: v h _{∈ V}h_}, Xh = {vh_| Γ_C: v h _{∈ V}h_{} = X}h N × X h T. On note aussi X0_h N ⊂ X 0 N∩ L 2_(Γ C)et X 0_h T ⊂ X 0 T ∩ L 2_(Γ C; R

d−1_{)les discrétisations respectives}

de X0

N et de X

0

T, telle que la condition inf-sup discrète de Babuˇska-Brezzi soit vériée

inf λh N∈X 0h N sup vh_∈Vh hλh N, v h Ni kvh_k Vkλ h NkX0h N ≥ γ > 0, (3.1) inf λh T∈X 0h T sup vh_∈Vh hλh T, v h Ti kvhk_Vkλh_Tk X0h T ≥ γ > 0, (3.2) avec γ indépendant de h (voir [3]).

Remarque. Pour une famille de triangulations régulières, il est possible de construire un opérateur d'extension de Xh _{dans V}h _{avec une norme indépendante de h (voir [8]). La}

consé-quence est que ceci sut pour avoir la condition inf-sup entre X0_h N et X

h

N (respectivement entre

X_T0h et X_Th). Des exemples d'éléments nis satisfaisants la condition inf-sup peuvent être trouvés dans [5]. Le choix X0_h N = X h N et X 0_h T = X h

T (via l'identication entre L

2_(Γ

C) et son espace dual)

correspond à une discrétisation directe de (2.10) et assure toujours une condition inf-sup. Un 33

34 CHAPITRE 3. DISCRÉTISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS élément de Lagrange P2 pour u et P1 pour les multiplicateurs satisfait aussi la condition de

Babuˇska-Brezzi. Par contre, cette condition n'est généralement pas satisfaite avec un élément de Lagrange P1 pour u et P0 pour les multiplicateurs.

Maintenant, avec un choix particulier de Λh

N ⊂ X 0_h N et Λ h T(F λ h N) ⊂ X 0_h T les approximations

convexes fermées respectives de ΛN et de ΛT(F λ

h N) (les conditions Λ h N ⊂ ΛN et Λ h T(F λ h N) ⊂ Λ_T(F λh

N) ne sont générallement pas satisfaites) la discrétisation par éléments nis du problème

(2.11) s'écrit comme suit :                                          Trouver uh _{∈ V}h_{, λ}h N ∈ X 0_h N et λ h T ∈ X 0_h T satisfaisant a(uh, vh) = l(vh) + Z Γ_C λh Nu h NdΓ + Z Γ_C λh T.u h TdΓ, ∀v h _{∈ V}h_, λh N ∈ Λ h N, Z Γ_C (µh N − λ h N)u h NdΓ ≥ 0, ∀µ h N ∈ Λ h N, ⇐⇒ λh N = PΛh_N(λ h N − ru h N), λh_T ∈ Λh T(F λ h N), Z Γ_C (µh_T − λh_T).uh_TdΓ ≥ 0, ∀µh_T ∈ Λh_T(F λh_N), ⇐⇒ λh T = PΛh_T(F λN)(λ h T − ru h T), (3.3)

où les deux signes ⇐⇒ indiquent que les inégalités peuvent être remplacées par des projections. Les applications PΛh

N et PΛ h

T(F λN) dénissent des projections L

2 sur les convexes Λh

N et Λ

h

T(F λN)

respectivement, et r > 0 est un paramètre d'augmentation arbitraire. Le lecteur peut se référer à [28] pour plus de détails sur les formulations en projections des conditions de contact unilatéral et de frottement.

3.1.1 Formulation matricielle

Introduisant maintenant les notations matricielles suivantes uh(x) = k1 X i=1 uiϕi, λh_N(x) = k2 X i=1 λi Nψi, λ h T(x) = k3 X i=1 λi Tξi, (3.4) U = (ui)i=1...k1, LN = (λ i N)i=1...k2, LT = (λ i T)i=1...k3, (3.5) (B_N)ij = Z Γ_C ψiϕjdΓ, (BT)ij = Z Γ_C ξi.ϕjdΓ, (K)ij = a(ϕi, ϕj), (3.6)

3.1. DISCRÉTISATION HYBRIDE PAR ÉLÉMENTS FINIS 35 La condition de contact λh N ∈ Λ h N, hµ h N − λ h N, u h NiX0 N,XN ≥ 0, ∀µh N ∈ Λ h N,

peut être exprimée par la formulation matricielle suivante

(M_N − L_N)TB_NU ≥ 0, ∀M_N ∈ Λh N, (3.7) où Λh N = ( L_{N ∈ R}k2 _: k2 X i=1 λi Nψi ∈ Λ h N )

est le convexe des forces normales LN admissibles correspondantes. Cela est équivalent à BNU

dans le cône normal à Λh

N en LN ou encore L_N = P_Λh N (L_N − rB_NU ), pour r > 0 et où P_Λh N

est la projection dans Λh

N suivant le produit scalaire euclidien. Avec

un calcul similaire pour la force tangentielle, on peut exprimer la formulation matricielle du problème (3.3) comme suit

                     Trouver U ∈ Rk1_{, L} N ∈ R k2 et L T ∈ R k3 satisfaisant KU = F + BT NLN + B T TLT L_N = P Λh N (L_N − rB_NU ), LT = P_Λh T(F LN) (LT − rBTU ). . (3.8)

On peut aussi travailler avec les multiplicateurs modiés, lesquels pour certaines discrétisations correspondent à des forces équivalentes sur le bord de contact : l'inégalité (3.7) peut être réécrite comme suit (BT_NM_N − B_NTL_N)TU ≥ 0, ∀M_N ∈ Λh_N. Donc, en notant Le_N = B T NLN,LeT = B T TLT, Λe h N = B T NΛ h N, et Λe h T(eLN) = B T TΛ h T(LN), on obtient la

formulation matricielle suivante                        Trouver U ∈ Rk1_{, eL} N ∈ R k1et e L_{T ∈ R}k1 satisfaisant KU = F + eL_N + eL_T, e L_N = P_Λeh N (eL_N − rU ), e L_T = P_Λeh T(F eLN)(eLT − rU ). (3.9)

36 CHAPITRE 3. DISCRÉTISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS En fait, Le_N etLe_T sont respectivement dans l'image de B

T

N et de B T

T et donc restent tous les deux

dans un sous espace de dimension k1.

Le choix entre (3.8) et (3.9) dépendra duquel des ensembles convexes ΛhN, Λ

h

T(LN) ou Λe

h

N,

e

Λh_T(F eL_N) a l'expression la plus simple. L'avantage de ces deux formulations est que les condi-tions de contact et du frottement sont exprimées sans contraintes et avec des expressions lip-schitziennes.

La discrétisation hybide du problème de Signorini est aussi présentée dans [5], [6], [7], [19], [21].

Remarque. Les problèmes (3.8) et (3.9) ne sont pas des régularisations du problème (3.3). Il y a une stricte équivalence entre le problème (3.3) et les deux formulations pour un r > 0 arbitraire. Dans [28] une analyse des formulations en projections est faite et la relation entre ces formulations et le Lagrangien augmenté pour le problème de Tresca est discutée.

Remarque. Dans [28], la formulation avec projections suivant un produit scalaire H1/2 _a

été étudiée. Il est démontré que pour le problème de Tresca il n'y a pas de dégradation de la constante de contraction du point xe correspondant (voir après la dénition de T1

h et T

2

h). Avec

les projections L2_{, la constante de contraction tend vers 1 quand h tend vers 0. Si on veut utiliser}

les projections H1/2_{, on a juste à remplacer B}

N et BT dans la formulation (3.8) par la matrice

provenant du produit scalaire H1/2_{. La formulation (3.9) ne change pas (excepté peut être les}

dénitions de Λeh

N et Λe

h

T(F eLN)).

3.1.2 Discrétisation de la formulation de De Saxcé

Il est possible de dénir Λh

F comme Λh F = n (λh N, λ h T) ∈ X 0_h N × X 0_h T : λ h N ∈ Λ h N, λ h T ∈ Λ h T(F λ h N) o . (3.10)

Dans la suite, on utilisera cette dénition, bien qu'il soit possible de le dénir autrement. La discrétisation du problème (2.20) s'écrit

                   Trouver uh _{∈ V}h_{, λ}h N ∈ X 0h N et λ h T ∈ X 0h T satisfaisant a(uh, vh) = l(vh) + Z Γ_C λh Nu h NdΓ + Z Γ_C λh T.u h TdΓ, ∀v h _{∈ V}h_, −u h N − F |u h T| uh T  ∈ N Λh F (λh N, λ h T) ⇐⇒ λh N λh T  = P Λh F λh N − r(u h N − F |u h T|) λh T − ru h T  . (3.11)

3.1. DISCRÉTISATION HYBRIDE PAR ÉLÉMENTS FINIS 37 La dénition du cône normal par rapport au produit scalaire dans L2_(Γ

C, R n_{) :} N Λh F (λh) = N Λh F (λh N, λ h T) = ( w ∈ L2(Γ_{C, R}n) : Z Γ C w(µh− λh_{)dΓ ≤ 0, ∀µ}h _{∈ Λ}h F ) . Avec Λh

F déni par (3.10), on peut vérier que (3.3) et (3.11) sont équivalents. La formulation

matricielle de ce dernier problème est                Trouver U ∈ Rk1_{, L} N ∈ R k2 et L T ∈ R k3 satisfaisant KU = F + BT NLN + B T TLT L_N L_T  = P Λh F L_N − rB_NU + rF S_T(U ) L_T − rB_TU  , (3.12)

où ST(U ) est le vecteur déni par

(S_T(U ))i = Z Γ_C ψi|uT|dΓ et Λh_F = {(λ_N, λ_T) ∈ X_N0h× X_T0h : λh_N ∈ Λh_N, λh_T ∈ Λh_T(F L_N)}.

3.1.3 Formulation en point xe et existence et unicité de la solution

pour le problème discret

Les problèmes (3.3) et (3.11) se réécrivent en formulation en point xe. Dénissons les deux applications Th 1, T2h comme suit T₁h : X0h −→ X0h  λh N λh T  ` −→ P Λh N (λh N − ru h N) P Λh T(λhN) (λh<sub>T</sub> − ruh T) ! , T<sub>2</sub>h : X0h −→ X0h λh <sub>`−→P</sub> Λh F  λh_{− r} uhN − F |u h T| uh T   ,

où uh est solution de

a(uh, vh) = l(vh) + Z Γ_C λh Nu h NdΓ + Z Γ_C λh T.u h TdΓ, ∀v h _{∈ V}h_.

Les points xes de ces applications sont solutions du problème de Coulomb discret et sont indépendants du paramètre d'augmentation r > 0.

38 CHAPITRE 3. DISCRÉTISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS Théorème 1 Sous les hypothèses (2.1), (2.2), (2.3), (3.1), (3.2) et pour r > 0 susamment petit, les applications Th

1 et T2h ont au moins un point xe. Donc, les problèmes (3.3), (3.8),

(3.9), (3.11) et (3.12) ont au moins une solution pour des valeurs arbitraires de F et r > 0. Preuve. La preuve est faite pour Th

1, celle pour T2h est similaire.

Montrons tout d'abord que pour un r > 0 susamment petit et λh susamment grand

kTh 1(λ h_)k L2(Γ_C) ≤ kλ h_k L2(Γ_C), où λ h _{= (λ}h N, λ h T). On a kT₁h(λh)k2 L2(Γ_C) = kPΛ h N(λ h N − ru h N)k 2 L2(Γ_C) + kPΛ h T(F λ h N)(λ h T − ru h T)k 2 L2(Γ_C) ≤ kλh− ruhk2 L2(Γ C) ≤ kλh_k2 L2(Γ C) − 2r Z Γ_C λh.uhdΓ + r2kuh_k2 L2(Γ C) . Mais _Z Γ_C

λhuhdΓ = a(uh, uh) − l(uh) ≥ αkuhk2

V − CL ku h_k V, (3.13) et kuhk L2(Γ_C) ≤ βku h_k V , ku h_k L2(Γ_C) ≤ β α(CL+ βkλ h_k L2(Γ_C)), (3.14)

et des conditions inf-sup (3.1), (3.2) kλh_k L2(Γ_C) ≤ 1 ηh_γ(CMku h_k V + CL) où η

h _{est tel que kλ}h_k

X0 ≥ η

h_kλh_k

L2(Γ_C),

où CM et CL sont dénies par (2.1) et (2.2). Finallement,

kTh 1(λ h_)k2 L2(Γ C) ≤ kλh_k2 L2(Γ C) − 2rαkuh_k2 V + 2r CL ku h_k V + r 2_kuh_k2 L2(Γ C) ≤ kλh_k2 L2(Γ C) − 2rα(η h_γ CM kλh_k L2(Γ C) − CL CM )2 + 2rCL α (CL+ βkλ h_k L2(Γ_C)) + r 2β2 α2(CL+ βkλ h_k L2(Γ_C)) 2 .

Alors, il existe Ch _{tel que, pour kλ}h_k

L2(Γ C)

> Ch, le terme en facteur de r est toujours négatif et il existe r0 tel que

kTh 1(λh)kL2(Γ_C) < kλ h_k L2(Γ_C), pour kλh_k L2(Γ_C) > C h _{et 0 < r < 2r} 0.

Maintenant, en utilisant l'inégalité triangulaire, ils existent k1 et k2 tels que

kTh 1(λ h_)k L2(Γ_C) ≤ kλ h_k L2(Γ_C) + rku h_k L2(Γ_C) ≤ k1kλ h_k L2(Γ_C) + k2,

3.1. DISCRÉTISATION HYBRIDE PAR ÉLÉMENTS FINIS 39 et donc kTh 1(λh)kL2(Γ C) ≤ Ch_k 1+ k2, où kλhk_L2(Γ C) ≤ Ch_.

Cela veut dire que Th

1(λh)est une application continue de la boule de rayon Chk1+ k2 dans elle

même et donc on peut conclure avec le théorème du point xe de Brower.

Théorème 2 Sous les hypothèses (2.1), (2.2), (2.3), (3.1), (3.2) et pour un r > 0 susamment petit et kFk∞ susamment petit aussi, les applications T

h

1 et T2h sont des contractions strictes.

Alors, les problèmes (3.3), (3.8), (3.9), (3.11) et (3.12) ont une unique solution pour kFk∞

susamment petit et un r > 0 arbitraire. Preuve. La preuve et faite pour Th

2, celle pour T1h est similaire.

Notons δTh 2(λh) = T2h(λh1) − T h 2(λh2), δλ h _{= λ}h 1 − λ h 2 et δu h _{= u}h 1 − u h 2. Alors kδTh 2(λ h_)k2 L2(Γ C) = P_Λh F  λh₁ − ru h 1N − F |u h 1T| uh_1T  − P_Λh F  λh₂ − ru h 2N − F |u h 2T| uh_2T  2 L2(Γ_C) ≤ δλh− rδu h N − F δ|u h T| δuh_T  2 L2(Γ C) = k(δλh− rδuh) + rδvhk2 L2(Γ_C) avec v h =F|u h T| 0  ≤  kδλh_{− rδu}h_k L2(Γ C) + rkδvh_k L2(Γ C) 2 . Mais kδλh_{− rδu}h_k2 L2(Γ C) ≤ kδλh_k2 L2(Γ C) − 2 r Z Γ_C δλh. δuhdΓ + r2 kδuh_k2 L2(Γ C) , et _Z Γ_C δλh. δuhdΓ ≥ αkδuhk2 V, d'autre part kδuh_k L2(Γ C) ≤ βkδuh_k V et kδv h_k L2(Γ C) ≤ kF k∞ kδu h_k L2(Γ C) .

Alos, avec ξ = kδuhkV

kδλh_k

L2(Γ C)

≥ η

h_γ

C_M , et on choisissant r susamment petit de sorte que (1 − 2rα ξ2_{+ r}2_β2_ξ2_{) < 1, on aura} kδTh 2(λ h_)k2 L2(Γ C) ≤ kδλh_k2 L2(Γ C) (1 − 2rα ξ2 _{+ r}2_β2_ξ2₎1/2_{+ rkF k} ∞β ξ
2 ≤ kδλh_k2 L2(Γ C) 1 − 2rα ξ2_{+ r}2_β2_ξ2 _{+ 2rkF k} ∞β ξ + r 2_{kF k}2 ∞β 2_ξ2
_.

Alors, la constante de contraction est plus petite que un pour un r susamment petit quand kF k∞ ≤

αηhγ C_Mβ,

40 CHAPITRE 3. DISCRÉTISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS et donc Th

2 est une contraction pour r < 2r0 où

r₀ = αγη

h_{− C}

MβkF k∞

(1 + kF k∞)2β2ηhγ

.

Ceci assure l'existence et l'unicité de la solution.

Remarque. La constante ηh, dans les preuves des deux théorèmes précédents, représente

la constante d'équivalence entre la norme L2_(Γ

C) et la norme de X

0_{. Pour des discrétisations}

régulières, cette constante est d'ordre √h (voir [11]). Ceci veut dire que la limite de kFk∞ qui

assure l'unicité tend vers 0 quand h tend vers 0. Ce qui est cohérent avec le fait qu'aucun résul-tat d'unicité n'a été prouvé pour le problème continu, même pour un coecient de frottement susamment petit. Par conséquent, il n'est pas possible de donner une estimation d'erreur dans le cadre général.

Chapitre 4

Exemples de discrétisations

Pour commencer les tests numériques et les comparaisons entre les diérents approches, une description exhaustive de la discrétisation sera donnée dans deux cas :

 discrétisation presque conforme en déplacement où le même élément ni de Lagrange est utilisé pour le déplacement et les forces sur le bord de contact.

 discrétisation presque conforme des forces de contact et de frottement avec des éléments nis diérents pour le déplacement et les forces sur le bord de contact.

Notons ai, i = 1, ..., Nc l'ensemble de tous les noeuds de l'élément ni et IC = {i : ai ∈ ΓC}

les indices des noeuds sur ΓC. Nous continuerons d'utiliser les notations dénies en (3.4), (3.5)

et (3.6). Pour un élément Lagrange, il est possible de dénir Ni ∈ Rk1 pour i ∈ IC tel que le

déplacement normal des noeuds sur le bord de contact s'exprime par uh_N(ai) = U.Ni.

D'une façon similaire, on considère à chaque noeud ai une base orthonormale tαi, α = 1, ..., d − 1

pour le plan tangent à ΓC. En notant ti les matrices d × (d − 1) (remplies par les t

α

i en colonne),

il est possible de dénir Ti les matrices k1× (d − 1) pour tout i ∈ IC telles que

uh T(ai) = u i T = tiT T i U.

4.1 Discrétisation presque conforme en déplacement

Ce cas correspond approximativement à une discrétisation directe du problème (2.4) (i.e. une procédure de Galerkin standard appliquée à ce problème), on a

∀ F ∈ X0 , ∃ eF ∈ Xh tel que hF, vhi = Z

Γ

e

F .vh, ∀vh ∈ Xh. Une discrétisation directe est équivalente au choix Xh

N = X 0_h N et X h T = X 0_h T . Une discrétisa-tion conforme en uh

N est obtenue quand K

h

N ⊂ KN. Un choix naturel pour K

h N serait uh N ∈ X h N : u h N(x) ≤ 0 . 41

42 CHAPITRE 4. EXEMPLES DE DISCRÉTISATIONS L'inconvénient de ce choix est que pour K ≥ 2, la condition ui

N ≤ 0n'est pas facile à exprimer ni

sur les coecients des polynômes ni sur les valeurs nodales (voir [21]). C'est pourquoi, souvent une discrétisation non-conforme est choisie, où la condition de non-pénétration est donnée comme suit : Kh N =u h N ∈ X h N : u h N(ai) ≤ 0, ∀ i ∈ IC .

Dans la formulation matricielle, ceci correspond à la condition U.Ni ≤ 0pour i ∈ IC. L'ensemble

correspondant des forces normales admissibles est déni par Λh_N = ( λh_N ∈ X_Nh : Z Γ C λh_N(x)uh_N(x)dΓ ≤ 0 ∀uh_N ∈ K_Nh ) .

En notant ψi les fonctions de bases de l'espace élément ni X_Nh où

ψi ∈ XNh et ψi(aj) = δij, ∀i, j ∈ IC, on obtient Λh N = ( λh N ∈ X h N : Z Γ_C λh N(x)ψidΓ ∀ i ∈ IC ) .

Cela veut dire, en utilisant la formulation matricielle (3.9), que Λeh

N est déni par

e Λh N =    e L_N = X i∈I_C e λi NNi : eλ i N ≤ 0, ∀i ∈ IC    ,

avec la relation eλi

N = Z Γ C λh_N(x)ψidΓ. Remarque. Puisque Λeh

N est très simple dans ce cas, nous utiliserons la formulation

ma-tricielle (3.9) au lieu de la formulation (3.8).

Concernant la force tangentielle, une façon naturelle est de considérer l'ensemble ( λh T ∈ X h N : − Z Γ_C λh T(x).wT(x)dΓ + Z Γ_C F λh N(x)|wT(x)|dΓ ≤ 0, ∀wT ∈ X h T ) ,

mais, dû à la non-linéarité du terme |wT(x)|, cet ensemble n'est pas facile à exprimer. La façon la

plus classique est de faire une interpolation de ce terme dans la base de Lagrange, ce qui revient à faire l'approximation suivante

|w_T(x)| ≈X i∈I_C |w_T(ai)|ϕi(x)|_Γ C . En notant ξα

i les fonctions de bases de l'espace élément ni XTh où

4.2. DISCRÉTISATION HYBRIDE PRESQUE CONFORME EN FORCE 43 alors, Λh

T sera déni par

Λh_T(F λh_N) =    λh_T ∈ X_Th : − Z Γ C λh_T(x).w_T(x)dΓ +X i∈I_C Z Γ C F λh_N(x)|w_T(ai)|ψidΓ ≤ 0, ∀wh_T ∈ X_Th    , ce qui correspond à Λh T(F λ h N) = ( λh T ∈ X h T :      Z Γ_C λh T.ξ α i dΓ ! α      ≤ −F eλi N, ∀i ∈ IC ) ,

ce qui est compatible avec le fait que eλi

N =

R

Γ_Cλ h

T.ψidΓ ≤ 0.

Avec la formulation matricielle (3.9), Λeh

T(F eLN) est dénie par

e Λh T(F eLN) =    e L_T = X i∈I_C Tieλi T : |eλ i T| ≤ −F eλ i N, ∀i ∈ IC    , où (eλi T)α = Z Γ_C λh_T.ξ_iαdΓ.

Le problème discret se réécrit avec une condition de contact et de frottement nodale comme suit :                      Trouver U ∈ Rk1_{, eL} N = X i∈I_C e λi NNi et LeT = X i∈I_C Tieλi T satisfaisant KU = F + eL_N + eL_T, −eλi_N ∈ J_N(U.Ni), ∀ i ∈ IC ⇐⇒ eλ i N = −(rU.Ni− eλ i N)+, −eλi_T ∈ −F eλi_NDirT(u i T), ∀ i ∈ IC ⇐⇒ eλ i T = PB(0,−F eλi N) (eλi_T − rui_T), (4.1)

où PB(0,δ) est la projection sur la boule de centre 0 et de rayon δ dans Rd−1, (x)+ est la partie

positive de x ∈ R, et r > 0 est un paramètre d'augmentation arbitraire.

4.2 Discrétisation hybride presque conforme en force

Nous supposons que la force sur le bord de contact est discrétisée avec un élément ni de Lagrange scalaire (en particulier, cela implique que k3 = (d − 1)k2).

La formulation matricielle (3.8) sera facile à exploiter numériquement si l'ensemble Λh

N est

simple à exprimer. L'approximation de ΛN la plus simple est

Λh N = ( λh N = k2 X i=1 λi Nψi(x) : λ i N ≤ 0 ) .

44 CHAPITRE 4. EXEMPLES DE DISCRÉTISATIONS Pour la même raison comme dans le section précédente, celle-ci n'est pas une approximation conforme de ΛN (i.e. Λ

h

N ⊂ ΛN) excepté pour des éléments P1. Dans la formulation matricielle

(3.8) cela correspond à

Λh

N =LN ∈ R

k2 _{: (L}

N)i ≤ 0, i = 1...k2 .

De la même façon, ΛhT(F LN) peut être déni par

Λh

T(F LN) =LT ∈ R

(d−1)k2 _{: |L}i

T| ≤ −F (LN)i, 1 ≤ i ≤ k2 ,

où Li

T est le vecteur ((LT)(d−1)i, ..., (LT)(d−1)i+d−1). La formulation matricielle est la suivante :

                   Trouver U ∈ Rk1_{, L} N ∈ R k2 et L T ∈ R (d−1)k2 satisfaisant KU = F + BT NLN + B T TLT, (L_N)i = −(r(BNU )i− (LN)i)+, ∀ i = 1...k2, Li_T = P_{B(0,−F (L} N)i)(L i T − r(BTU ) i_{), ∀ i = 1...k} 2, (4.2) où (BTU ) i est le vecteur ((B TU )(d−1)i, ..., (BTU )(d−1)i+d−1).

Un exemple classique de ce genre de discrétisations hybrides est d'utiliser un élément ni PK

(pôlynomial d'ordre K par morceaux) pour le déplacement et un élément ni PK−1 pour les

multiplicateurs. La condition inf-sup est satisfaite pour K > 1. Pour K = 1 la condition inf-sup n'est généralement pas vériée pour d = 2 et jamais pour d = 3. Il est toutefois possible de sta-biliser la méthode élément ni par l'adjonction de fonctions bulles comme dans [5] où d'utiliser des maillages plus grossiers pour approcher les multiplicateurs comme dans [18].

Remarque. La formulation (4.1) peut être écrite sous la formulation similaire (4.2) en dé-nissant les matrices BN =

    N₁T N₂T ... N_kT 2     et BT =     (T₁1)T (T2 1) T ... (T2 k2) T    .

Chapitre 5

Etude numérique

Dans ce chapitre, deux cas tests sont considérés : un disque pour le cas bidimensionnel et un tore pour le cas tridimensionel. Les corps sont soumis à leur propre poids. Ils sont en contact frottant avec une fondation rigide plane. L'ecacité de diérentes méthodes numériques pour la résolution du problème discret est comparée.

Cas(a) : un disque, en élasticité linéaire isotrope, d'un rayon de 20 cm avec des coecients de Lamé λ = 115 GP ; µ = 77 GP (voir Fig. 5.1). Le maillage est non structuré ayant de 16 triangles (82 d.d.l pour u et 72 d.d.l pour λ) à 2760 triangles (11306 d.d.l pour u et 266 d.d.l pour λ). C'est un élément ni P2 isoparamétrique.

Cas(b) : un tore, en élasticité linéaire isotrope, de rayon maximal 20 cm et avec les mêmes caractéristiques (voir Fig. 5.2). Le maillage est structuré ayant de 8 hexahèdres (288 d.d.l pour u et 72 d.d.l pour λ) à 512 hexahèdres (13824 d.d.l pour u et 987 d.d.l pour λ). C'est un élément ni Q2 isoparamétrique.

Pour tous les tests numériques, le critère d'arrêt des méthodes est atteint dès que le résidu relatif est plus petit que 10−9_.

Cas sans frottement F = 0.2

Fig. 5.1  Cas(a), le critère de Von Mises sur le disque déformé discrétisé avec un élément P2

isoparamétrique (avec Getfem [47]).

46 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE

Fig. 5.2  Cas(b), le critère de Von Mises sur le tore déformé avec une couche de cellules héxahedriques et un élément Q2 isoparamétrique (avec Getfem [47]).

5.1 Méthodes de point xe

Deux méthodes de point xe sont étudiées ici : la première est un point xe sur les forces de contact et de frottement et la deuxième est un point xe sur le seuil de frottement. Quelques aspects théoriques concernant ces méthodes peuvent être trouvés dans [28].

5.1.1 Point xe sur les forces de contact (PFF)

L'approche la plus naturelle est de prendre le point xe Th

1 ou la variante de De Saxcé

T₂h dénie dans la Section 3.1.3. Dans le cas de la discrétisation dénie dans la Section 4.2, l'algorithme peut être exprimé, pour le point xe Th

1, comme suit :                      (0) L0 N, L 0 Tdonnés, (1) calculer Uk solution de KUk _{= F + B}T NL k N + B T TL k T,

(2) calculer Lk+1_N et Lk+1_T tels que (Lk+1_N )i = −(r(BNU k₎ i− (LkN)i)+, ∀ i = 1, ..., k2, Li,k+1 T = PB(0,−F (Lk_N)i)(L i,k T − r(BTU ) i,k_{), ∀ i = 1, ..., k} 2.

3) Revenir à (1) jusqu'à ce que le critère d'arrêt soit vérié.

5.1. MÉTHODES DE POINT FIXE 47 Remarque. Pour un problème de Tresca (i.e. un problème de Coulomb avec un seuil xe −F (λk

N)i = s, ∀i = 1...k2), l'algorithme (5.1) correspond à l'algorithme d'Uzawa.

Remarque. La diculté pour les deux points xes Th

1 et T2h est de choisir la valeur du

paramètre d'augmentation. La preuve du Théorème 2 montre clairement que la propriété de contraction dépend de r. Suivant cette preuve une estimation de la valeur optimale du para-mètre r est donné par

ropt =

1/λmax− kF k∞/λmin

(1 + kF k∞)2

, (5.2)

où λmax, λmin sont les valeurs propres maximale et minimale de BK−1B

T

et B = BN

B_T 

.

Les Fig. 5.3 et 5.4 montrent l'évolution du nombre d'itérations en fonction du coecient de frottement F et du paramètre d'augmentation r. Le système linéaire est résolu à chaque itéra-tion avec une méthode de gradient conjugué précondiitéra-tionné.

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Augmentation parameter Iterations Friction = 0.0 Friction = 0.4 Friction = 0.8

Fig. 5.3  (PFF) Inuence du paramètre d'augmentation r pour le disque avec diérentes valeurs du coecient de frottement.

48 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Augmentation parameter Iterations Friction = 0.0 Friction = 0.4 Friction = 0.8

Fig. 5.4  (PFF) Inuence du paramètre d'augmentation r pour le tore avec diérentes valeurs du coecient de frottement.

Etonnamment, dans le cas bidimensionnel, le paramètre optimal r ne dépend pas de F, ce-pendant le nombre d'itérations croit avec F. Cela ne correspond pas à l'estimation (5.2), qui donne une très petite valeur optimale du paramètre r pour F > 0.

Cette situation est un peu diérente dans le cas tridimonsionnel. Le coecient de frottement a une très grande inuence sur la valeur optimale du paramètre d'augmentation.

Les tests numériques correspondants aux Fig. 5.5 et 5.6 sont réalisés avec un coecient de frottement xe (F = 0.2) et des pas d'espaces diérents pour le disque et le tore.

5.1. MÉTHODES DE POINT FIXE 49 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Augmentation parameter Iterations h=0.11 − 82 dof h=0.08 − 150 dof h=0.06 − 246 dof h= 0.04 − 622 dof

Fig. 5.5  (PFF) Inuence du paramètre d'augmentation r pour le disque avec diérents pas d'espaces. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Augmentation parameter Iterations h=0.16 − 288 dof h=0.08 − 1920 dof

Fig. 5.6  (PFF) Inuence du paramètre d'augmentation r pour le tore avec diérents pas d'espaces.

Comme on peut voir, la valeur optimal du paramètre d'augmentation r dépend fortement du pas d'espace h.

50 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Les résultats expérimentaux des deux cas 2D et 3D montrent une propriété remarquable. Le nombre d'itérations augmente soudainnement pour un paramètre d'augmentation r un peu plus grand que la valeur optimale numérique mais nous n'avons pas d'interprétation de ce phénomène.

5.1.2

Point xe sur le seuil de frottement (PFS)

Ce point xe est une approche très connue pour résoudre le problème de Coulomb (voir [13]). Il consiste en une séquence de problème de Tresca. Chaque itération demande la résolution d'un problème non-linéaire. La formulation est

                               (0)s0 _{≥ 0arbitraire,}

(1)Trouver Uk, Lk_N et Lk_T solution du problème (Tresca) non-linéaire           KUk_{= F + B}T NL k N + B T TL k T, −(Lk N)i ∈ JN (BNU k₎ i
, ∀ i = 1...k2, −Li,k T ∈ s k_Dir T (BTU ) i,k
_{, ∀ i = 1...k} 2, (2)sk+1 _{= −F (L}k

N)i. Revenir à (1) jusqu'à ce que le critère d'arrêt soit vérié.

(5.3)

Sur les Figures 5.7 et 5.8 les résultats expérimentaux pour les cas (a) et (b) sont présentés avec diérentes valeurs de pas d'espace et du coecient de frottement.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Friction coefficient Iterations h=0.11 − 82 dof h=0.08 − 150 dof h=0.06 − 246 dof h=0.04 − 622 dof h=0.02 − 2782 dof h=0.01 − 11306 dof

Fig. 5.7  (PFS) Inuence du coecient de frottement pour le disque avec diérentes valeurs de pas d'espace.

5.2. MÉTHODE ITÉRATIVE SUR-RELAXÉE (ISR) 51 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 Friction coefficient Iterations h= 0.16 − 288 dof h=0.08 − 1920 dof h=0.04 − 13824 dof

Fig. 5.8  (PFS) Inuence du coecient de frottement pour le tore avec diérentes valeurs de pas d'espace.

Pour des valeurs raisonables du coecient de frottement, c'est à dire F entre 0 et 1.5, le nombre d'itérations augmente avec F.

Pour des maillages grossiers et pour de grandes valeurs de F, l'algorithme converge en un petit nombre d'itérations. Cela peu être relié au petit nombre de noeuds en contact et le fait qu'ils sont collés (uT = 0). Ce phénomène ne persiste pas pour des maillages ns.

5.2 Méthode itérative sur-relaxée (ISR)

Dans le contexte des problèmes de frottement, cette méthode a été proposée par plusieurs autheurs comme Lebon dans [32] et Raous dans [42] dans le cas bidimensionel. Ici, la méthode est présentée pour les deux cas 2D et 3D.

La Formulation (4.1) de la section 4.1, peut être réécrite d'une manière équivalente comme suit              KU = F + eL_N + eL_T, −eL_N.Ni ∈ JN(U.Ni), ∀ i = 1...k2, −T_iTLe_T ∈ −F eL_N.NiDirT(U T T i ), ∀ i = 1...k2. (5.4)

La résolution de (5.4) avec la méthode ISR est la suivante :