Transfert de chaleur dans le béton (identification de la conductivité thermique par la méthode inverse)

(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE CLIMATIQUE N°d’ordre :...

Série :...

MEMOIRE

Présentée en vue de l’obtention de magister En génie climatique

THEME

OPTION

THERMIQUE DU BATIMENT ET REFRIGERATION PAR

Mme BOUFRAH MOUNIA

Soutenue le :

Devant le jury :

Président : Mr. A. Belhamri Pr. Université Mentouri Constantine Rapporteur : Mr. R. Benmerlaoui Dr. Université Mentouri Constantine Examinateurs :

Mr. H. Houari Pr. Université Mentouri Constantine Mr. A. Kaabi Pr.université Mentouri Constantine

Transfert de chaleur dans le béton (identification de la conductivité thermique par

(2)

Remerciements

Ce travail, effectuée au sein du département génie climatique faculté des

sciences de l’ingénieur, université Mentouri Constantine, m’a été proposé

et suivi par Dr R.Benmerlaoui, enseignant au département de génie civil,

à qui j’exprime toute ma reconnaissance pour les précieux conseils qu’il

m’a prodigués durant la réalisation de ce travail.

Je tiens à exprimer mes remerciements au professeur A.Belhamri

enseignant au département de génie climatique, pour avoir bien voulu

prendre ce travail en considération ainsi que de m’avoir honoré de

présider le jury de soutenance.

J’adresse aussi mes vifs remerciements aux professeurs H.Houari et

A.Kaabi de bien vouloir examiner et constituer le jury de ce mémoire.

Mes remerciements à tous les enseignants du département de génie

climatique et de génie civil.

Mes remerciements vont également à M. Samai, enseignant à l’université

de Sétif pour son aide.

Enfin mes remerciements à toutes les personnes qui m’ont aidé de loin ou

de prés afin de réaliser ce modeste travail.

(3)

Introduction générale

Introduction

Le matériau est l’élément qui donne sens et dimensions aux formes nées dans l’esprit des concepteurs, l’existence du matériau avec ses particularités physiques et technologiques, avec ces limites et ces capacités, est une donnée qui renouvelle la gamme des possibilités offertes aux constructeurs[3].

Parmi ces matériaux on a le béton qui est un matériau de construction le plus souvent utilisé dans les structures de nos jours. L’étude de ces transferts thermiques est complexe. Le béton est à la fois hétérogène, poreux, polyphasique.

Alors la caractérisation thermique des matériaux poreux constitue un domaine important de la métrologie thermique qui concerne les grandeurs liées aux transports de la chaleur. Dans le cas général, elles sont nombreuses, et ne peuvent être identifiées au cours d’une même expérience, en effet, le transport s’effectue par : conduction, convection, rayonnement, transport de masse, diffusion de masse, changement de phase, réaction chimique, …etc. autant de modes dont les mécanismes

ne sont pas indépendants, et qu’il est très difficile à découplés [14].

L’objectif principal de ce travail est une étude thermique (théorique et numérique) sur des matériaux poreux, ce qui nécessite une bonne description des phénomènes de transfert de chaleur et de masse, la diffusion de la vapeur, car ces phénomènes se trouvent en général couplés et agissent simultanément

sur les milieux poreux.

(4)

Ce travail est basé sur deux parties dont la première est une étude bibliographique comportant quatre chapitres.

Le premier et le deuxième ainsi que le troisième chapitre sont consacrés à une synthèse bibliographique de données générales sur le béton et les milieux poreux avec une description de quelques paramètres et caractéristiques thermophysique les plus importantes d’une paroi de bâtiment, et des mécanismes physiques complexe notamment le thermo migration.

Le quatrième chapitre est consacré aux différents modes de transfert de chaleur dans les milieux poreux, ainsi qu’une étude détaillée sur la caractéristique la plus importante dans le transfert de chaleur qui est la conductivité thermique.

La deuxième partie représenter dans le cinquième et le sixième chapitre est une étude numérique qui est basée essentiellement sur le développement d’un algorithme d’optimisation par la méthode inverse.

L’objet de cette étude consiste à résoudre un problème de transfert thermique dans un matériau solide par une méthode d’optimisation de problèmes inverses de conduction thermique.

Le problème traité dans cette étude est le contrôle et l’identification de la conductivité thermique d’un matériau poreux dans une géométrie unidimensionnelle (1-D).

Le système thermique de ce problème est gouverné par l’équation de la chaleur non linéaire. La non-linéarité est représentée dans la conductivité thermique qui varie en fonction de la température. Pour résoudre ce problème, on introduit un critère de moindres carrés qui caractérise l’écart entre la solution exacte et la solution calculée.

(5)

On introduit ensuite une équation adjointe pour ce problème afin de déterminer de façon exacte le gradient du critère.

L’utilisation d’un algorithme itératif Basé sur la méthode du gradient conjugué permet le calcul de la solution optimale.

La résolution numérique est menée par l’utilisation d’une méthode de différences finies classique dans un maillage, On présente les résultats obtenus dans le cas d’une solution exacte construite.

Le sixième chapitre présente l'ensemble des résultats obtenus, ainsi que leur interprétations et a la fin une brève conclusion.

Ces chapitres sont complétés par des annexes contenants les méthodes de résolution de l'équation de la chaleur.

(6)

Chapitre I généralités sur le béton

I-

COMPOSITION DU BETON I -1-Introduction

On sait depuis longtemps que le béton constitue un matériau de construction à la fois durable et susceptible d'applications diverses, aussi les éléments de maçonnerie en béton sont largement utilisés dans la construction des bâtiments modernes.

Le béton est composé principalement du ciment, de l’eau, des gravillons et du sable, en présence d’eau, les constituants du ciment forment des hydrates qui précipitent et s’organisent en une structure dotée de hautes résistances mécaniques [2].

Le béton-type contient en gros, en volume, 15 pour cent de pâte de ciment et 85 pour cent de granulats (la somme d’autres composants), malgré la teneur relativement basse en pâte de ciment, c'est de ce produit que dépendent essentiellement les propriétés du béton.[3]

I-2-Caractéristiques de la pâte de ciment

I-2-1-composant du ciment anhydre [3]

Le ciment portland est un mélange de clinker et de gypse dans lequel le clinker est formé à haute température à partir de calcaire et d’argile. Les constituants sont hydrauliques, c’est à dire qu’ils donnent en présence d’eau des hydrates qui précipitent et s’organisent en une structure mécaniquement résistante, Les quatre constituants principaux de clinker sont : le silicate tricalcique Ca3 Si. le silicate

bi-calcique Ca2SiO4 ,l’aluminate tricalcique Ca3 Al2 O3, l’alumino-ferrite bi- calcique Ca3 AlFe O5(Appelés également dans l’ordre C3S, C2S, C3A, C4AF).

Les silicates formés généralement 80% du mélange et C3S est toujours le minéral le plus abondant.

(7)

Alors la chimie des ciments est un domaine très complexe, on se contente de quelques notions de base sur l’élaboration des ciments.

Le tableau 01 présente la composition chimique type d’un ciment d’aujourd’hui. Nous constatons qu’un ciment est essentiellement composé de chaux (CaO), de silice (Si O2), et en proportions moindres d’oxyde de fer (Fe2 O3 par exemple), et d’alumine (Al 2O3)

En pratique, la chimie des ciments étant une chimie des oxydes, il est commode de désigner ceux-ci par des lettres tableau 02

Oxydes Teneurs massiques moyennes

SiO2 19 – 25 % AL2O3 2 – 9 % CaO 62 – 67 % Fe2O3 1 – 5 % M3O 0 – 3 % SO3 1 – 3 % K2O 0,6 % Na2O 0,2 %

(8)

Oxydes Notation CaO C SiO2 S AL2O3 A Fe2O3 F H2O H

Tableau 02 : Notation cimentaire des oxydes

I-3/Les rôles de l’eau

En résumé, l’eau est indispensable pour obtenir une bonne consistance, et plus le dosage en eau est important, plus l’écoulement du béton est facilité.

I-3-1/Mécanismes d’action d’eau

Le béton est composé principalement du ciment, de l’eau, des gravillons et du sable, en présence d’eau, les constituants du ciment forment des hydrates qui précipitent et s’organisent en une structure dotée de hautes résistances mécaniques, l’eau peut se trouver dans trois catégories principales :

Ø L’eau liée chimiquement dans les hydrates. Ø L’eau absorbée par les hydrates.

Ø L’eau capillaire, présente dans les capillaires et qui échappe à l’influence des diverses forces de surface.

(9)

L’adsorption

Il s’agit de la fixation en surface de molécules d’eau, elle peut être physique on chimique.

L’adsorption physique

Met en jeu les forces de « Van Der Waals » et donc des énergies faibles, Elle est réversible et peut superposer une ou plusieurs couches à la surface du solide.

L’adsorption chimique

Implique un transfert ou une mise en commun d’électrons on parle également de « chimisorption », la molécule adsorbée étant dans un état différent de son état libre. Les énergies mises en jeu ici peuvent être importantes et les liaisons ont un caractère plus permanent que dans l’adsorption physique une molécule d’eau adsorbée chimiquement est considérée comme une eau « liée »

L’hydrolyse

L’hydrolyse est une réaction de transformation du solide et de décomposition de l’eau.

(10)

I-4- L’hydratation du béton :(du béton frais au béton durci)

I-4-1- Les mécanismes d’hydratation (Aspect physique)[3]

Vu les constituées du béton au cours de l’hydratation du ciment on a :

Les figures de 1 et 2 illustrant l’évolution dans le temps de la microstructure d’une pâte de ciment, en montrant les divers hydrates qui remplissent petit à petit les espaces occupés initialement par l’eau de gâchage (pores capillaires) .

La microstructure à une heure

La figure (I –1) représente un domaine microscopique de quelques dizaines de microns on l’on trouve des grains de clinker (C3S, C2S, C3A, C4AF) (repère 2) et de gypse (repère3) au contact de l’eau de gâchage (repère 1). en bas à droite, la surface d’un grain de sable (repère 5) et une bulle d’air ( repère 4)

(11)

Au bout d’une heure, les grains sont recouverts d’une mince couche de C.S.H (repère 6) certain grain sont déjà soudés par cette «colle » mais la plupart ont

Conservé leur mobilité initiale ; le béton est maniable et peut-être mise en œuvre. a ce stade, les cristaux d’ettringite ne sont pas facilement visibles, même au microscope électronique.

Du point de vue thermique nous sommes alors dans la période dormante. Il faut rappeler que toutes les réactions d’hydratation sont exothermiques.

Pour la microstructure à un mois, la microstructure est devenue très compacte, la majorité du volume est occupé par les hydrates, mais il reste des grains de clinker qui ne sont pas totalement hydratés.

(12)

I-5-Les granulats

L’ensemble des matériaux inertes tels que le sable, les gravillons, etc..., qui constituent le squelette du béton sont dénommés les granulats.

On peut diviser les bétons en deux groupes principaux: bétons de poids normal et bétons légers, Les bétons de poids normal sont ordinairement constitués de dépôts naturels de granulats ; de gravier et de sable ou de pierre broyée.

Parmi les pierres naturelles communes, le quartz présente la plus haute conductivité. La conductivité thermique des bétons préparés avec des granulats de quartz peut atteindre 1.5 w/m.k la température de la pièce. La limite inférieure de conductivité des bétons de poids normal comprenant d'autres granulats naturels est d'environ 0.7 w/m.k Lorsque la température s'élève.

Les bétons légers se composent ordinairement de matériaux légers ayant subi un traitement, de sous-produits industriels tels que cendre et scories ou de diverses scories, schistes, argiles et ardoises ayant subis une dilatation. On utilise moins fréquemment les granulats naturels légers tels que la ponce, les scories et les cendres volcaniques et le tuf volcanique [1].

Les granulats étant très poreux, la conductivité thermique des bétons légers est très basse; elle est en effet habituellement de 0.2 à 0.5 w/m.k à la température de la pièce.

(13)

I-6-Conclusion

Le béton contient en générale 15% de la pâte de ciment et 85% de granulats [3]. Ce qui nous mène à dire que l’ossature principale du béton sont les granulats, et malgré son faible pourcentage la pâte de ciment et le principal produit sur lequel dépendent les propriétés du béton et cela suite à l’influence de la composition du ciment ; on a vu que les mécanismes d’hydratation du ciment transforment un milieu fluide (béton frais) en un matériau solide, par le développement d’une microstructure. La densité de cette microstructure va directement gouverner les performances mécaniques du béton.

Donc partant d’un béton frais à un béton durci , le béton est un matériau poreux cette porosité étant pour l’essentiel l’espace occupé par l’eau dans le béton frais, non

(14)

Chapitre II généralités sur les milieux poreux

II- Rappel sur les milieux poreux

II-1- Introduction

Les transferts de chaleur dans les milieux poreux non saturé interviennent dans de nombreux domaines : bâtiment, thermique des sol, séchage etc.…, alors il est essentiel de connaître les caractéristiques physiques, chimiques, thermiques, géométriques et hydriques des matériaux de construction.

II-2- Définition d’un milieu poreux [10]

Un milieu poreux est un corps solide poly-phasique , constitué d’une phase solide continue (matrice solide) avec des cavités ( pores) reliées entre elle de façon que la phase gazeuse soit également continue ou bien distribués d’une manière plus ou moins fréquentes. Les pores peuvent être isolés au sein du matériau (pores fermés) ou non isolés sur la surface (pores ouverts).

La matrice solide elle peut être formée de fibres ou de grains non soudées entre eux. (Graviers, sable,…) ou bien non (bois, argile…).

(15)

II-3-Caractéristiques d’un milieu poreux

La matrice solide d’un matériaux est caractérisée par un certain nombre de grandeurs moyennes, géométriques ou statistique (porosité, surface spécifique, perméabilité etc.…)[10]

II-3-1-La porosité totale (relative)

Elle se définit par le rapport du volume de gaz interstitiel (cavité entre particules, cellules…) au volume total du milieu.

materiau

du

total

apparent

volume

pores

des

volume

t

=

ε

Pour le béton standard on à : ε = 0.02 à 0.07

II-3-2-Porosité ouverte et fermé

On distingue :

Ø Porosité ouverte

Est donnée par le rapport entre le volume occupé par les pores ouverts et le volume apparent de matériau.

materiau

du

total

apparent

volume

ouverts

pores

des

volume

=

0

ε

(16)

Ø Porosité fermée

Est très importante car elle est le lieu de plusieurs phénomènes (diffusion, écoulement), elle est définie par le rapport entre le volume occupé par les pores fermés et volume apparent du matériau.

materiau

du

total

apparent

volume

fermés

pores

des

volume

f

=

ε

II-3-3-surface spécifique

Elle est définie comme étant la surface limitant l’espace des pores par unité de volume du milieu poreux. Cette grandeur joue un rôle capital dans les problèmes d’adsorption il convient parfois de distinguer la surface spécifique accessible et la surface spécifique totale comprenant l’air des parois des cavités occluses.

II-4-Relation entre les volumes et les masses des constituants

Les cavités d’un milieu humide non saturé contiennent généralement une phase liquide (eau) et une phase gazeuse (air et /ou vapeur d’eau) il est évidant que l’utilisation seul des volumes des différentes phases n’est pas suffisante pour donner la quantité la vapeur de d’eau stockée dans les pores, pour réparer cette quantité, trois Relations entre volume et masse des trois phases (liquide, solide et gaz) du matériau sont couramment utilisées :

(17)

II-4-1-Masses volumique

Pour un matériau poreux on définit trois notions de masse volumique :

Ø

La masse volumique apparente

Qui s’exprime par le rapport entre la masse m du matériau et son volume apparent

a a v m = ρ a

v : est le volume apparent

Ø La masse volumique réelle (absolue)

C’est une masse qui ne tient pas en compte les pores ouverts

0 v v m a r − = ρ 0

v : représente le volume des pores ouverts

Ø La masse volumique théorique

C’est le rapport de la masse de la matrice solide à son volume

P a th v v m − = ρ

(18)

II-4-2-Humidité

Cette appellation désigne le liquide contenu dans la matrice solide, et définie par :

Ø Teneur volumique en eau

sec

'

riauporeux

rentdumate

volumeappa

lespores

eauoccpant

volumed

e

=

θ

Ø Teneur pondérale, appelé aussi taux d’humidité

sec

'

x

eriauporeu

massedumat

pores

eaudansles

massed

e

=

Χ

Ø Taux de saturation en eau

t

poresouver

volumesdes

tlespores

eauoccupan

volumesd

S

e

=

'

Ces différentes grandeurs sont reliées entre elles par les relations suivantes :

e e e θ ρρ0 = Χ S S e e=θ

(19)

e

ρ etρ sont la masse volumique de l’eau et la masse volumique apparente du 0 matériau sec qui peut être exprimé par la relation suivante :

( )

ε ρ ρ0= th1−

II-5- Echelles de mesure [8]

Les propriétés locales d’un milieu poreux dépendent du choix de l’échelle de mesure.

II-5-1- L’échelle microscopique

Associe une propriété à l’échelle d’un pore ou d’une particule, ou bien la taille des particules de matière considérée est faible par rapport aux dimensions des pores.

II-5-2- L’échelle macroscopique

Associe une propriété à l’échelle d’un ensemble de pores ou particules, ou bien la taille des particules est grande par rapport aux pores.

Pour observé ce que nous avons déjà dit on à :

Ø le volume élémentaire représentatif

Il s’agit du volume délimité par une sphère de rayon -r- et de centre -p – contenant un ensemble de pores ou particules, suffisamment petit à l’échelle de l’observation pour que l’on puisse l ‘associer à un point.( Mais en même temps

(20)

suffisamment grand par rapport aux dimensions des pores, on particules pour en contenir un grand nombre) et permettre le calcul de moyennes macroscopiques locales représentative.

L : l’échelle macroscopique l : l’échelle microscopique s : phase solide

g :Phase gazeuse (air + humidité) a : phase liquide (eau)

Vue macroscopique

Vue microscopique

(21)

La modélisation théorique des transferts de chaleur dans les milieux poreux est souvent faite en utilisant un changement d’échelle microscopique où la taille du volume élémentaire est grande par rapport à celle des pores. Cette procédure permet de passer d’un milieu réel discontinu à un milieu continu fictif. Donc ce volume référence représentatif ( V.E.R). les grandeurs physiques doivent être définies par des valeurs moyennes.

II-6- Formulation des équations moyennes

Soit W une grandeur microscopique en fonction du temps et de l’espace, associée à la phase, sa moyenne volumique s’écrit :

(II-1)

Où :

Vi est le volume occupé dans le volume par la phase i

On définit également une moyenne intrinsèque sur la phase i

i W dV W V W i i vi i i i _ε 1 1 ₌ =

∫

(II-2) dV W V W i vi i =

∫

1

(22)

Les moyennes volumiques des opérateurs de dérivation spatiale ∇, et temporelle

t

∂∂ appliquée à cette grandeur sont définies par :

Wn dA V W W _ij A j i i ij

∫

∑

= + ∇ = ∇ ₁ 1 (II-3) dA n WZ V t W t W ij ij A j i i ij

∫

∑

= − ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 1 (II-4)

Aij : est la surface de séparation des phases i et j

nij : représente la vitesse de déplacement de l’interface Aij Zij : est le vecteur vitesse de déplacement

(23)

II-7- CONCLUSION

Nous sommes en présence d’un système hétérogène 3 phases (solide, liquide, gaz).la phase gazeuse étant composée de deux constituants air + vapeur d’eau. Ce qui nous contraints à connaître les caractéristiques physiques, thermiques, hydriques, des matériaux de construction, afin de pouvoir définir leur comportements vis à vis les phénomènes physiques mis en jeu.

La modélisation théorique des transferts de chaleur dans les milieux poreux est souvent faite en utilisant un changement d’échelle microscopique où la taille du volume élémentaire est grande par rapport à celle des pores. Cette procédure

(Concept du V.E.R) permet de passer d’un milieu réel discontinu à un milieu continu fictif.

(24)

(25)

Chapitre III L’humidité dans le béton

III- L’humidité dans le béton

III-1-Introduction

Le béton par sa constitution est un milieu poreux tri phasique non saturé, il est constitué par un squelette poreux dont les pores sont occupés par une phase liquide et une phase gazeuse, ces différentes phases peuvent à leur tour être composées de plusieurs constituants, la disposition spatiale de ces phases n’obéit à aucune règle précise, néanmoins on peut en donner un schéma probabiliste, ces phases sont séparées par des couches superficielles de grande extension [2][5].

Figure III-1

(26)

III-2- Différents transferts dans le béton

[11]

Dans ce système les transferts sont très variés

Ø Transfert de masse

v Transferts de masse de phase gazeuse (air, vapeur) v Transferts de masse de phase liquide (eau) v Transferts de masse de phase solide (solutés)

Ø Transferts d’énergie par

v Convection et diffusion au sein des fluides. v Conduction dans les solides et les fluides. v Diffusion au sein des fluides.

Ces transferts sont particulièrement complexes par suite:

v De la variété de leurs causes. v De l’interactivité des causes.

(27)

III-3- Mécanisme du déplacement de l’humidité Dans le béton [10]

Lorsqu’un matériau poreux contient de l’humidité, il peut y avoir déplacement de cette dernière, sous forme liquide et / ou gazeux.

III-3-1-

Transport du liquide

a- Migration capillaire

Au sein d’une matrice solide poreuse contenant un liquide et un gaz, le phénomène de capillarité sera donc un moteur de transfert du liquide dans les capillaires constitués par les parois des pores. Dans le cas où l’effet de pesanteur ne peut être négligé. A l’équilibre la capillarité va déterminer une distribution de concentration en liquide dans la direction de gravitation. Dans les autres cas, elle provoque un déplacement du liquide des zones à forte concentration vers des zones à faible concentration en liquide.

Ce déplacement est régi par la loi de Darcy [8]

( )

KK _gradP V i i µ − = (III-1) K : Perméabilité intrinsèque ; m 2 i

K : Perméabilité relative à la phase i; m 2

i

µ : Viscosité du fluide ; 2 m /s

P : Pression motrice =P_i −ρ_i.g ;Pa

Ou P : la pression correspondante à la phase i ; Pa _i

i

ρ : Densité de la phase i; 3 / m kg

(28)

b- Migration en phase adsorbée

L’origine physique de ce phénomène est attribuée aux forces intermoléculaires (force de Van Der Waals) agissantes sur les molécules de fluide dans les pores, par le fait que les molécules de vapeur sont fixées sous forme de film sur la surface interne des pores, les premières molécules adsorbées sont totalement immobilisées au fur et à mesure que des molécules s’empilent, les forces d’attraction exercées par le solide diminuent et les molécules d’eau commencent à migrer au sein de la couche d’adsorbait, cette migration est induite par le gradient de concentration de l’eau, il en résulte que les molécules d’eau se déplacent des zones où elles sont moins liées vers des zones où elles sont plus liées.

III-3-2-

Transport par diffusion [4]

La diffusion de la vapeur d’eau provient de différences de concentration entre les deux composantes du mélange gazeux air sec- vapeur d’eau. Il en résulte un transport moléculaire, qui se poursuit jusqu’à l’uniformisation des concentrations. La densité du flux massique par diffusion moléculaire s’exprime suivant la loi de FICK. V V gradP J =−δ (III-2) V

P : la pression de vapeur d’eau,

δ : Représente le coefficient de perméabilité à la vapeur d’eau qui s’exprime sous la forme : v v v

P

T

R

M

D

x

f

−

=

.

).

(

δ

(III-3)

f(x) est une fraction de pondération dépendant de la teneur en eau globale et de la tortuosité du milieu poreux.

(29)

Dv , R , Mv représentent respectivement le coefficient de diffusion moléculaire, la constante des gaz parfait, et la masse moléculaire de vapeur.

III-3-3-Transfert de vapeur d’eau par évapo- condensation

Ce mécanisme de transfert se décompose en quatre temps (FigureIII-2)

1- la vapeur arrive à la construction entre les pores et se condense sur le ménisque amont du fait de la réduction de la pression de vapeur d’équilibre en raison de la courbure du ménisque. La condensation provoque l’élévation de pression du liquide du ménisque.

2- La différence de pression du liquide entre le ménisque amont et aval induit un transfert convectif du liquide vers l’aval.

3- Le liquide arrivant sur le ménisque aval provoque l’augmentation de son rayon de courbure d’où le déplacement de l’équilibre liquide - vapeur vers une pression partielle de vapeur plus élevée, ce qui provoque l’évaporation du liquide.

4- La vapeur diffuse sous le gradient de pression partielle.

Figure III-2

(30)

III-4-Transfert de chaleur -masse dans les milieux poreux non saturés III-4-1-couplage chaleur- masse

En 1957. « DE VRIES et PHILIP » [7] proposent une modélisation mathématique prenant en considération coexistence des phases liquides et vapeurs au sein du milieu poreux et faisant apparaître les effets de couplage entre les transferts de chaleur et le transfert de masse.

Cette modélisation mathématique des phénomènes de transferts en milieu poreux s’inspire des méthodes classiques des mécanismes des milieux continus. En raison de la complexité de l’espace poreux, cette approche ne peut toutefois être mise en pratique qu’après un changement d’échelle dont l’étape essentielle consiste à définir un volume élémentaire de référence permettant d’établir une équivalence entre le milieu poreux et le milieux continu fictif.[8] ,[12]

III-4-2-Système d’équations de transfert de chaleur-masse [5],[13]

En se basant sur les bilans thermiques et massiques qui est donnée par des modèles passe sur les lois complémentaires des transferts :

Ø Loi de FOURRIER, pour expliciter la densité de flux de chaleur par conduction.

Ø Loi de FICK, pour exprimer la densité de flux de masse de vapeur par diffusion moléculaire.

Ø Loi de DARCY exprimant la densité de flux de masse de liquide par filtration.

(31)

D’après, ces lois on à les équations générales d’un modèle : [16]

( )

[

_D _s _xs

]

s ∂∂ ∂∂ = ∂ ∂ x t

( )

pvF

( )

s RT Mv deff s pc M KK s D / 1 1 1 ε ρ +       ∂ ∂ − =

(III-4)

( )

s PC RT PcMv RT Mv s F ∂ ∂ − ⋅     −     = 1 1 / exp ρ ρ

(

T_x

)

x t T s Cp e ∂ ∂ ∂∂ = ∂ ∂ ⋅ ⋅ρ λ

(III-5)

( )

[

a_g a a

]

a e 1 2 1 1 1

λ

ε

λ

1 ε

ε

λ

=

−

+

⋅

+

−

(III-4) représente l’équation générale de la chaleur (III-5) représente l’équation générale de la diffusion

(32)

III-5-CONCLUSION

Le transfert de chaleur à travers un milieu poreux non saturé s’effectue non

seulement par conduction (dans l’air et dans l’eau), convection, rayonnement mais aussi par diffusion de la vapeur d’eau à travers l’air des pores. Ce processus de diffusion, dû au gradient de température, conduit à des échanges d’énergie supplémentaires lors des phénomènes d’évaporation –condensation à la paroi des pores.

Alors l’humidité dans les constructions, provoque des grandes pertes de chaleur dans les locaux des bâtiments, car elle influe d’une manière claire sur la distribution de la température à travers la paroi.

(33)

Chapitre IV Transfert de chaleur dans les milieux poreux

IV-Le transfert de chaleur dans les milieux poreux

IV-1-Introduction

Dans la réalité, la transmission de la chaleur se fait dans toutes les directions par conduction, convection et par rayonnement.

Alors le transfert de chaleur est le déplacement de la chaleur d’une région à une autre, suite, à une différence de température entre deux corps en contact ou non ou entre deux parties d’un même corps, elle tend à disparaître spontanément par échange de chaleur jusqu’à égalisation des températures.

Convection Convection + Conduction pure + Rayonnement Rayonnement Ti Tfe Te Tfi Figure (IV-1) Transmission de la chaleur

Soit une paroi d’épaisseur « e » constituée d’un matériau pur et continue dont le coefficient de conductivité (λ est constante. )

- Si l’on a Ti>Te un flux de chaleur passera à travers ce mur de l’intérieur vers l’extérieur. Apres un certain temps un régime d’équilibre s’établira, la face interne du mur se trouvera à une température d’équilibre Tfi<Ti et la face extérieure à une température Tfe > Te

(34)

Te : température extérieure Ti : température intérieure

Tfe : température de la face extérieure Tfi : température de la face intérieure

Lorsque le régime est établi les quatre températuresTfi ,Ti, Tfe ,Te restent constantes.

Il n’y à donc pas d’accumulation ni de perte de chaleur par le mur, et pour une surface donnée « s » le flux de chaleur qui passera dans chacune des trois étapes suivantes sera égal.

1ere étape :

enceinte intérieure +air intérieur (RAYONNEMENT+CONVECTION)→

face intérieure du mur Tfi

On à donc : q =(Ti –Tfi ).s.hi (IV-1)

hi:coefficient de transfert de chaleur par convection intérieur

2eme étape :

face intérieure du mur Tfi(CONDUCTION)→ face extérieur du mur Tfe On à donc : q= (Tfi –Tfe ).s.

e

λ _(IV-2)

λ : conductivité thermique du mur 3eme étape :

face extérieure du mur Tfe (RAYONNEMENT+CONVECTION)→enceinte extérieur +air extérieur Te

(35)

he : Coefficient de transfert de chaleur par convection extérieur

Ecrivons les trois relations précédentes sous une forme légèrement différente et ajoutant : (IV-3-a) q⋅λe=

(

Tfi−Tfe

)

S (IV-3-b)

(

T T

)

S h q e fe e= − (IV-3-c) ) ( ) ( ) ( i fi fi fe fe e e i h ST T ST T ST T q e q h q₊ ⋅ ₊ ₌ ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ λ (IV-3-d)

(

)

[

i fi fi _fe e

]

e i h ST T T T T T e h q 1+ +1 = − + − + fe− λ (IV-3-e)

( )

1 S(Ti Te) K q = − (IV-3-f)

d’ou K est le coefficient global d’échange thermique

) (Ti Te KS q= − (IV-4)

(

T T

)

S h q fi i i= −

(36)

Chapitre IV Transfert de chaleur dans les milieux poreux Température Ti 1/hi Tfi e/λ Tfe 1/he Te Abscisses e Figure (IV-2)

Diagramme des températures

(37)

IV-2-Définition et modélisation du transfert de chaleur par

conduction, convection et par rayonnement dans les milieux poreux

IV-2-1 Modélisation du transfert de chaleur par conduction

Ø A l’échelle microscopique [12] [8]

Les équations qui rendent compte du transfert de chaleur par conduction au sein d’un volume poreux limité par une surface sont les suivantes :

Phase solide = ∂ ∂ t T C s s p) (ρ ∇(λs∇T_s) (IV-5) Phase liquide = ∂ ∂ t T C l l p) (ρ ∇(λl∇T_l) (IV-6) Phase gazeuse g g p g p C t T C g ρ γ ρ ) ( ) ( + ∂ ∂ ∇Tg = ∇(λg∇T_g) (IV-7)

Auxquelles il convient d’ajouter les conditions initiales et aux limites sur la surface dans ces expressions.

Ø A l’échelle macroscopique [12] [8]

La modélisation théorique des transferts de chaleur dans les milieux poreux est souvent faite en utilisant un changement d’échelle microscopique où la taille du volume élémentaire est grande par rapport à celle des pores.

(38)

Cette procédure permet de passer d’un milieu réel discontinu à un milieu continu fictif. Donc ce volume référence représentatif (V.E.R), les grandeurs physiques doivent être définies par des valeurs moyennes (chapitre II)

i v eff g g pg g g l pl l p C C V T T Ln t T C + + ∇ = ∇ − ∂ ∂ ₍ ₎ 2 ) (ρ ρ γ ρ λ (IV-8) avec : g p g l p l s p s p C C C C ρ ρ ρ ρ = + + (IV-9) eff

λ : la conductivité thermique effective.

IV-2-2-Modélisation du transfert de chaleur par convection [8]

On s’intéresse ici au transfert de chaleur qui se manifeste lorsque le milieu poreux est saturé par un fluide unique non isotherme en écoulement dans l’espace des pores. Ce mode de transfert de chaleur qualifié de convection thermique résulte de la : Conduction thermique, Transport d’énergie par les particules fluides en mouvement.

A l’échelle microscopique

Pour les vitesses d’écoulement faibles (Re 10≤ ) ; Les termes de compressibilité et de dissipation visqueuse peuvent être négligés dans l’équation microscopique de l’énergie E, de la phase fluide, qui s’écrit dans le cas de convection : ) ( . . ) ( ) ( p f f Cp fU Tf f Tf t T C ∂_∂ + ρ ∇ =∇ λ ∇ ρ (IV-10)

(39)

• Dans cette équation,(ρCp)f.U.∇Tf rend compte du transport d’enthalpie par

l’écoulement dans le champ de vitesse microscopique est identifié par U. • L’écoulement est lui-même régi par les équations de la mécanique des fluides

(équation de Navier –Stocks et de conservation de la masse) dans l’espace des pores.

A l’échelle macroscopique

Après la procédure de prise de moyenne, le transfert de chaleur par convection est :

( )

=0 ∇ + ∂ ∂ U t f f ρ ρ ε (IV-11) U=−υK(∇ρ−ρf.g) (IV-12) ) ) (( . . ) ( ) ( * C U T * T t T Cp + p f ∇ f=∇ + d ∇ ∂ ∂ _ρ _λ _λ ρ (IV-13) avec :

g : accélération due à la pesanteur ;

K : tenseur de perméabilité intrinsèque du milieu ;

U : vitesse de filtration reliée à la vitesse moyenne intrinsèque ;

d

λ : tenseur de conductivité thermique effective due à la dispersion ; ν : viscosité dynamique du fluide ;

s p f p p C C C ) ( ) (1 )( ) (ρ *=ε ρ + −ε ρ ;

(40)

IV-2-3-Modélisation du transfert de chaleur par Rayonnement

Comparativement à la conduction et la convection, le rayonnement a été relativement peu étudié en milieu poreux. Avec l’élaboration de nouveaux matériaux : céramiques, fibres, et l’élargissement des plages des températures d’utilisation de ces matériaux, on observe cependant un net accroissement des activités de recherche dans ce domaine. [8]

Dont ce qui suit est directement inspiré, la compréhension et la modélisation de ce mode de transfert en milieu poreux sont néanmoins encore bien que satisfaisante.

IV-2-3-1 Equation du bilan d’énergie

Si le volume élémentaire représentatif (VER), siège des transferts conductifs-convectifs, est de surcroît traversé par un rayonnement thermique, l’équation de l’énergie devient :

- En négligeant comme précédemment les thermes de dissipation visqueuse - En supposant l’équilibre thermique ente phase réalisée.

( )

* +

( )

.∇ =∇.

(

*.∇

)

−∇.( ∂ ∂ T T U c t T c f p p ρ λ ρ qr

) (IV-14)

ou : q_r

représente la densité totale de flux de rayonnement et s’exprime par :

q (s, r ∆) = ₀ ₄ L v s.. .t.∆.dΩ.dv      ∆

∫ ∫

∞ Ω= π Ω (IV-15)

(41)

Avec : L_Ω_v.(s.∆)

luminance spectrale directionnelle au point de coordonnée s dans la

direction ∆ et d’angle solide élémentaired , pour la fréquence. Ω

IV-2-3-2-Solution approchée de l’équation de transfert radiatif :

Lorsque le transfert radiatif peut être considéré comme indépendant des autres modes transfert de chaleur, des solutions approchées de l’équation (IV-15) peuvent être dégagées en vue de calcule la densité totale de flux de rayonnement

r

q . (Modèle de mur semi - transparent)

Dans ces conditions et pour cette géométrie, la densité totale de flux de rayonnement dans la direction (oz) perpendiculaire à la coche s’exprime par :

( )

dz T n d z q R r 4 2 3 4 β σ − = (IV-16) avec :

( )

dv T dL T dL o o v o v v R

∫

∞ = = β β 1 (IV-17) π σ 4 2 0 ) (T n T L = (IV-18)

(42)

L0(T) : est la luminance totale du corps noir σ : est la constante de stefan – boltzmane

v v v x σ β = + v σ : coefficient de diffusion v

x : coefficient d’absorption thermique

a condition de supposer que l’indice de réfraction n est indépendant de la fréquence v (et de la direction Ω ) et n de plus ne varie pas avec la température T dans toute l’épaisseur de la couche, on peut écrire (IV-16) sous une forme similaire à la loi de Fourier :

( )

dz dT z q_r =−λ_r (IV-19) avec : R r T n β σ λ 3 16 2 3

= Conductivité thermique de rayonnement par analogie avec la

conductivité thermique de conduction.

(43)

IV- 3-Conductivité thermique et ces modèles

IV-3-1 Introduction

Les transferts de chaleur en milieux poreux non saturé interviennent dans nombreux domaines, séchage, thermique des sols, bâtiment, etc.…, aussi la

connaissance des propriétés physico-chimiques de ces milieux revêt – elle une grande importance, en particulier la conductivité thermique. Car c’est la grandeur qui

caractérise la diffusion de la chaleur dans les milieux sans mouvement macroscopique de matière. Cette propriété est augmentée avec la saturation et elle varie aussi avec la température.

IV-3-2 La variation de la conductivité thermique

IV-3-2-1 Variation de la conductivité thermique avec la température

Pour de nombreux solides( métallique ou non) , il sera souvent acceptable de supposer λ constante sur une certaine plage de température surtout si celle-ci n’est pas très étendue, pour des plages de température plus importantes on pourra considéré une loi de variation linéaire :

(

)

(

0

)

01+bT−T

=λ

λ (IV-20)

b : une constante déterminée expérimentalement. λ 0 :la conductivité thermique à la température T0.

T : la température à laquelle on désire déterminer la conductivité.

(44)

Figure IV-3

Variation de la conductivité thermique de la brique ρ =1450 (kg/m3

) [11]

Figure IV-4

Variation de la conductivité thermique pour différentes Températures (Béton d’agrégats calcaire)[11]

(45)

Figure IV-5

Variation de la conductivité thermique du sable pour différentes Températures d’après DEVRIES

Figure IV-6

Variation de la conductivité thermique pour différentes températures d’après HUNDT

(46)

IV-3-2-2-Variation de « λ » en fonction de la teneur d’eau

Lorsqu’un matériau de construction se trouve au contact d’une ambiance humide, sa teneur en eau augmente ce qui conduit à l’augmentation de sa conductivité thermique :

KRICHER et DEVRIES [4], [21]ont étudiés expérimentalement et théoriquement le transfert de chaleur du à la diffusion de la vapeur d’eau dans les corps poreux. Les figures ci dessus, représentent la variation de la teneur en eau en fonction du rapport de la conductivité thermique humide divisée par la conductivité thermique à l’état sec, pour différentes températures figure (IV-5)

IV-3-2-3 –variation de « λ » en fonction de la température et de la teneur en eau HUNDT [11] a réalisé des mesures sur un béton lourd et à pu expliquer le phénomène de la variation de la conductivité thermique en fonction de la teneur en eau et de la température et a encore prouvé l’accroissement de la conductivité thermique avec la teneur en eau figure (IV-6)

(47)

IV-4-Modèles de calcul de conductivité thermique effective en milieux poreux

IV-4-1-Modèle de Maxwell : (borne inférieur)[8]

(

)

F S F f S λλ ε ε λλ ε ε λλ ₋ ₊ − + = ∗ 3 3 2 (IV-21)

Remarque :

Ø Milieu constitué de sphères dispersées dans une phase fluide continue(ε≈1) Ø Pas d’influence entre particules.

IV-6-2-Modèles de BATCHLOR et OLBRIEN : (point de contact pris en compte)

f λ λ∗ =4ln −11 f s λλ (IV-22) Remarque :

Ø Cas particulier de point de contact >100

f s

λλ

(48)

Chapitre IV Transfert de chaleur dans les milieux poreux En parallèle f λ λ∗ =

( )

F S λλ ε ε+1− (IV-23) En série f λ λ∗ = ε λλ ε λλ − +1 f s f s (IV-24) Géométrique ε ελ λ λ∗= 1− s f C’est-à-dire f λ λ∗ = ε λλ −     1 f s _(IV-25)

(49)

IV-4-3-Modèles empiriques

Ces modèles fournissent un moyen plus ou moins fidèle de représentation des données expérimentales, à titre indicatif nous citerons :

IV-4-3-1-Modèle SUGAWARA et YOSHIZAWA

Se basant sur un grand nombre de mesures de la conductivité thermique de plusieurs milieux poreux bi phasiques à différentes valeurs de la porosité les auteurs donnent la relation suivante : [10]

λ =

( )

1−Αλs+Αλf (IV-26)

avec :

s

λ : conductivité thermique de la matrice solide.

f

λ : conductivité thermique de la phase fluide.

Et Α =

( )

_      − − − n n n ε 2 1 1 2 2 1 (IV-27)

(50)

Plusieurs autres modèles empiriques ont été proposés, mais ne peuvent être appliqués des milieux poreux spécifiques (sols humides), comme les résultats de SMITH (1942) et de VANROOYAN et WINTERKORN(1959)le modèle le plus connu reste celui de KERSTEN(1949) qui relie la conductivité thermique λ d’un sol d’une part à sa densité sèche d et d’autre part à sa teneur en eau pondérale ω par des formules du type :

sec

λ =A.10B.d

et λhumide=C Log

( )

ω +D (IV-28)

Ou: A, B, C et D sont des constantes ajustées en fonction du type de matériau. Combinant ces deux relations, KERSTEN [10] propose :

pour un sol argileux : λ =0,1442[0,9Log

( )

ω -0,2]100,6243.d (IV-28-a) pour un sol sableux : λ =0,1442[0,7 Log

( )

ω -0,2]100,6243.d (IV-28-b) IV-4-3-2-Modèle de WOODSIDE-ASSAAD

La conductivité thermique est donnée par une relation moyenne géométrique pondérée conductivités thermiques de toutes les phases [19]

( ε )_λ ε

λ

λ = s − f

1

(Système à deux composants) (IV-29)

=

λ i

i θ

(51)

Avec :

ε : porosité totale

i

θ : teneur volumique en constituant

i

λ :conductivité du constituant i.

IV-4-3-3-

Modèle de «DUBRICKIJ » :

C’est un modèle qui est basé sur des données expérimentales. Ou déjà fais.

λ =λ0 +A.Te(13.S) (IV-31)

: 0

λ la conductivité thermique à l’état sec à T 0

0 c

= p

IV-5-Conclusion

Il a était démontrer que les équations régissant le transfert de chaleur dans les milieux poreux sont complexe par rapport au cas d'un matériau pur cette complexité se résume dans les différentes phases présentes dans les milieux poreux, d’où l'utilisation du concept (V.E.R) sous un échelle macroscopique et l'introduction de la conductivité thermique effective.

Donc on a présenté quelques modèles de cette dernières pour différents cas, ainsi que autre empiriques et depuis on conclu que dans l’analyse de tous les régimes de

transfert de chaleur en milieux poreux, nous sommes portés à étudier spécialement la conductivité thermique.

(52)

(53)

Chapitre V Méthode inverse et résolution numérique

V-1-Introduction

L’importance des méthodes inverses est considérable dans beaucoup de domaines d’application de la physique de la mécanique et de la géophysique comme la reconnaissance des gisements des hydrocarbures ,ces méthodes trouvent aussi leur application dans d’autres domaines que ceux cité par exemple, en mécanique des solides les méthodes inverses sont utilisés pour l’identification des singularités en mécanique de la rupture, l’identification des lois de comportement[27] et la détermination des constantes d’élasticité[28].

En mécanique des fluides elles sont utilisés pour estimer le profil de température des écoulements dans les conduits [29].l’application de ces méthodes permet aussi la détermination des réactions dans les modèles de vulcanisation .

Depuis quelques années, l’intégration des méthodes numérique par les grands groupes verriers est une solution efficace adoptée pour la résolution des problèmes liés à la fabrication d’un produit en verre ; ces méthodes sont appliquées pour :

-l’identification des propriétés. -optimisation de formage industriel. -optimisation de trempe industrielle.

V-1-1-Problème inverse appliqué à l’équation de la chaleur [31] [30]

Il existe plusieurs types de problèmes inverses appliqué à l’équation de la chaleur et qui sont définis suivant les paramètres traités, on distingue :

a) Les paramètres thermo physique caractérisant le matériau. b) Les conditions aux frontières.

c) Les termes intervenant dans l’équation ou dans le processus (source de chaleur ou résistance thermique).

(54)

Dans notre cas, on se limite aux problèmes inverses de catégories a) on s’intéresse alors à l’identification de la conductivité thermique du matériau.

V-1-2-Difficultés dans la solution inverse [32]

La difficulté principale dans la solution des problèmes inverse résulte du fait que ces problèmes sont mal posé.

On considère deux espaces métriques (V et F). V est l’espace des paramètres inconnus (U) et F l’espace des données Q.

Un problème est dit mal posé selon [J. Hadmard] 1923 s’il ne vérifie pas les trois conditions suivantes :

a) La solution U ∈V existe pour tout Q ∈F b) La solution est unique

c) La solution est continue par rapport aux données ou bien la solution est stable par rapport aux petites variations des données.

Le problème inverse pour déterminer la solution U est généralement mal posé. Le non –respect des conditions a, b et c , provient de causes diverses telles que : -des données fausses.

-des données incompatibles Q ∉F -des erreurs de modélisation ou de calcul

(55)

Il est possible de rendre le problème inverse bien posé par le choix approprié des espaces V et F.

Pour s’approcher de la solution et rendre le problème stable, O. M .ALIVANOV (1978) (a-2) a minimisé un critère de la mesure (ou de la donnée) ,il a pris comme teste d’arrêt des itérations :

║RU- Q ║2 _{≈ δ}2

Où : δ est l’erreur de mesure ou de la donnée, connue à l’avance.

Où : R est l’opérateur linéaire qui lie Q et U dans le sens direct.

(56)

V- 2-

Méthode inverse

V-2-1- Définition

Résoudre un problème de transfert thermique, c’est déterminer à tout instant le champ de température T(X, Y, Z, t) et celui de densité de flux thermiqueQ (X, Y, Z,t). →

Pour cela il faut établir la ou les équations de bilan thermique local et écrire les conditions aux limites spatiales et temporelles, mais d’un problème inverse c’est déterminer à tout instant la conductivité thermique λ , et pour cela il faut mesurer la température ou la densité du flux et ensuite minimiser l’écart entre la température mesurée T~(X, Y, Z, t) et la température calculée T(X, Y, Z, t) en fonction de λ c’est à dire trouvé λ tel que :[25],[27],[30]

J

( )

λ = inf J∗

( )

λ (V-1)

∈

λ L’ensemble des λ admissibles Où J

( )

λ = T

(

XYZt

) (

T XYZt

)

dXdYdZdt T D . . . ; , , ~ , , , 0

∫∫

− (V-2)

(57)

V-2-2 La différence entre la méthode direct et la méthode inverse

La différence entre la méthode directe et la méthode inverse pour la résolution de l’équation de la chaleur par conduction dans le régime transitoire.

( )

_      ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ x t x T x , t t x, T c λ ρ (V-3) T,x)=T0(x) , x∈

] [

0,l T(t,0)=T0(t) , t∈

] [

0,tf T(t,l)=Tl(t) , t∈

] [

0,tf

Le problème direct consiste à trouver la température T(x,t) à partir des données (T0(t), Tl(t), T0(x), λ , ρ,c,tf ) λ est connue .

Le problème inverse consiste à trouver la température T(x,t) à partir des données (T0(t), Tl(t), T0(x), T~

( )

x,t ,ρ,c,tf ) λ n’ est pas connue.

T~

( )

x,t : est la température mesurée au domaine

] [

0,l

(58)

V- 2- 3 -Présentation de la méthode

Dans cette méthode on introduit

1- le critère de moindres carrés :

( )

(

T

(

xt

)

T

( )

x t

)

dxdt J f t c 2 0 1 0 , ~ , ,

∫ ∫

− = λ λ (V-4)

Tc(x ,t, λ ) : est la température calculée par la méthode directe au point x dépend de la conductivité thermique λ

( )

xt

T~ , : est la température mesurée au point x

2- la dérivée de GATEAU DδλT

( )

λ de T au point λ dans la direction (δλ) est donnée par :

(

,,

)

lim

(

,,

) (

,,

)

( ,, ) 0 ε δ λ λ εδλ λ _ε δλT xt T xt T xt Txt D = − = → (V-5) avec : δλ δλ δ δT=_ T _ (V-6) T

δ Représente la variation de la température lorsqu’il y a une variation δλ de la conductivité.

(59)

Si on applique l’équation (V-4) de la définition de la dérivé de GATEAU à l’équation de la chaleur on obtient la variation de la température en tout point x sur les temps.

V-2-4-Calcul des variations

Pour obtenir la relation entre (δ )et( δλ ) , on écrit l’équation de la chaleur T pour T(x,t, λ ) et ensuite pour T(x,t εδλλ+ ), puis appliquant la limite c’est à dire de l’équation de GATEAU cependant ,pour obtenir cette relation , il est nécessaire de considéré aussi les conditions aux frontières et initiale , tel que pour les obtenir on fait une simple différence ; donc après développement on aura:

(

)

(

, ;

)

₀ t t; x, T c ₂ 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ x t x T δλ δ δλ δλ δ ρ (V-7) T(0,x)=0 , x∈

] [

0,l T(t,0)=0 t∈

] [

0,t_f T(t,l)=0 , t∈

] [

0,t_f

(60)

V-3- Formulation mathématique

V-3-1 Position du problème

Méthode inverse que nous utilisons est une méthode itérative d’optimisation, c’est à dire qui consiste en la recherche, par itération successive, donc d’un extremum qui peut alors être soit un minimum soit un maximum.

Dans le problème que nous traitons , la solution sera trouvée lorsque le critère J sera minimum , c ‘est à dire lorsque la différence entre les températures mesures (solution exacte) et calculée (différence finis) à partir de λ est minimale ,alors ∗ λ ∗ est la solution recherchée.[30],[27].

Soit un matériau anisotrope unidimensionnel de longueur dm et soit

( )

Xt =

T~ , x2+2X+t+6 (V-8)

La température mesurée en tout instant t∈

] [

0,1 en considère la fonctionnelle

J

( )

T

(

xt

) ( )

T xt dxdt t . , ~ , , 0 1 0

∫∫

− = λ λ (V-9)

Qui représente l’écart quadratique entre température calculée pour λ donnée et température mesuréeT~

( )

X,t

(61)

Si λ est une fonction de X et de t alors on peut prendre

] [

(

tc

)

L 0,1×0,~

∈ ∞

λ

On propose dans l’algorithme suivant le cas continu :

1/soit λ0une fonction arbitraire donnée initialement 2/on résout l’équation de transfert thermique.

( )

T_x x ∂ ∂ ∂∂ − = ∂ ∂ 0 t T c λ ρ ,t∈

] [

0,1 et t∈

] [

0 t,~1 avec : (V-10) T(0,t) = t+6 T(1,t) = t+9 T(x,0)=x2+2x+6 On calcul la fonction J

( )

T

(

xt

) ( )

T xt dxdt t . , ~ , , 0 1 0

∫∫

− = λ λ