Etude qualitative des solutions d'équations différentielles sur les échelles de temps

Texte intégral

(1)N◦ d’ordre :. République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique ——————————————————–. Université Djillali Liabes-Sidi Bel Abbès. Faculté des Sciences Exactes Département de Mathématiques. Thèse de doctorat Spécialité : Système Dynamique et Application Présentée par LADRANI Fatima Zohra. ´ Etude qualitative des solutions d’´ equations diff´ erentielles sur les ´ echelles de temps Soutenue le 16/02/2016 devant le jury composé de : Pr. BENCHOHRA Mouffak. UDL Sidi Bel Abbes. Président. Pr. BELMEKI Mohamed. Université de Saida. Examinateur. Pr. OUAHAB Abdelghani. UDL Sidi Bel Abbes. Examinateur. Dr. Oumansour Abderrahmane. UDL Sidi Bel Abbes. Examinateur. Pr. HAMMOUDI Ahmed. Centre Universitaire Ain Témouchent. Encadreur. Année Universitaire : 2015 − 2016.

(2) Remerciements Je tiens a` exprimer toute ma profonde reconnaissance a` mon encadreur, le Professeur A. hammoudi, pour le sujet qu’il m’a proposé et pour ses conseils précieux durant toutes ces années. Je le remercie surtout pour ses qualités humaines et scientifiques qui m’ont permis de réaliser ce travail. Merci pour tout. Je remercie le Professeur M. Benchohra qui a honoré ce travail en acceptant de présider le jury. Je remercie les Professeurs A. Ouahab, M. Belmeki et A. Oumansour pour m’avoir fait l’honneur d’être les rapporteurs de cette thèse. Je tiens à remercier toute ma famille, parents, frères et soeurs, en particulier ma maman pour m’avoir donné tout son amour, son affection et son instruction. C’est pour tout cela je lui dédie ce manuscrit. Je remercie mon mari Amine pour son amour, sa confiance, ses conseils et surtout sa patience. Enfin, j’adresse aussi des remerciements à mes amis (ies) universitaires et extra-universitaires..

(3) Table des mati` eres. Introduction g´ en´ erale. 3. 1 Pr´ eliminaires. 6. 1.1. Calculs sur les échelles de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2. Différentiabilité et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.2.1. Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.2.2. Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 1.3. Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.4. Fonctions exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 1.5. Polynômes généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 1.6. Définition de l’oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 2 Comportement asymptotique de la solution d’une ´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire du troisi` eme ordre sur les ´ echelles de temps. 20. 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2.2. Cas o` u l’équation (1) admet une solution non oscillante . . . . . . . . 21. 2.3. Comportement asymptotique pour l’équation (1) . . . . . . . . . . . . 24. 3 Oscillation pour une ´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire du quatri` eme ordre sur les ´ echelles de temps 3.1. 32. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.

(4) 3.2. Cas o` u l’équation (2) admet une solution non oscillante . . . . . . . . 34. 3.3. Théorèmes d’existence de l’oscillation pour l’équation (2) . . . . . . . 37. 3.4. 3.3.1. Théorème d’oscillation pour l’équation (2) pour α > 0 . . . . . 38. 3.3.2. Théorème d’oscillation pour l’équation (2) pour α ≥ 1 . . . . . 43. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 4 Oscillation pour une ´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire d’ordre n sur les ´ echelles de temps. 47. 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 4.2. Cas o` u l’équation (3) admet une solution non oscillante . . . . . . . . 48. 4.3. Théorèmes d’existence de l’oscillation pour l’équation (3) . . . . . . . 53. 4.4. 4.3.1. Théorème d’oscillation pour l’équation (3) pour α > γ. . . . . 54. 4.3.2. Théorème d’oscillation pour l’équation (3) pour α = γ. . . . . 55. 4.3.3. Théorème d’oscillation pour l’équation (3) pour α < γ. . . . . 57. Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Bibliographie. 61. R´ esum´ e. 67. Summary. 68. 3.

(5) Introduction g´ en´ erale La théorie des échelles de temps est un nouveau secteur des mathématiques qui unifient et prolongent l’analyse discrète et continue, elle a été présenté par Stefan Hilger en 1988 dans Ph.D [25]. Beaucoup de résultats que l’on rencontre dans l’étude des équations différentielles et de différence restent valable dans le cas des échelles de temps. En outre, le calcul dans les échelles de temps est une source riche d’étude des problèmes intéressants qui n’ont aucun équivalent normal dans le cas continu ou discret. Actuellement, l’étude des équations dynamiques est un champ large dans les mathématiques pures et appliquées sur l’existence et l’unicité des solutions. Les mathématiques appliquées soulignent l’importance de la justification rigoureuse du comportement qualitatif des solutions (oscillation, périodicité, stabilité, etc.). La théorie de l’oscillation comme partie de la théorie qualitative d’équations dynamiques a été développée rapidement ces dix dernières années sur l’échelle de temps. Notre thèse se compose de quatre chapitres. Chapitre I : Il consiste en un rappel des principales définitions et propriétés sur la théorie de l’échelle de temps utilisées dans la suite du travail. Chapitre II : Il s’agit dans ce chapitre d’étudier le comportement asymptotique d’une équation 4.

(6) différentielle non linéaire du troisième ordre sur l’échelle de temps β ∆ ∆ γ ∆ q p x (t) + f (t, x(t)) = 0,. t ∈ [t0 , +∞)T .. (1). Ce problème a été initié par L. Erab, A. Peterson et S.H. Saker [12] dans son papier de 2005 dans le cas que o` u f est linéaire et γ = β = 1. Ensuite, beaucoup d’auteurs ont étudié des problèmes similaires, voir par exemple R. P. Agarwal, M. Bohner, S. Tang, T. Li et C. Zhang [18] ont étudié le comportement asymptotique de l’équation semi linéaire d’ordre trois γ 0 0 0 a rx (t) + p (t) xγ (t) = 0,. t ∈ [t0 , +∞) .. T. Li, C. Zhang, B. Baculikova et J. Dzurina [38] ont étudié le comportement asymptotique de l’équation dynamique semi linéaire d’ordre trois 00 α 0 a x + q (t) xα (t) = 0,. t ∈ [t0 , +∞) .. T. Li, Z. Han, S. Sun et Y. Zhao [41] ont étudié le comportement asymptotique pour l’équation dynamique a` retard du troisième ordre sur l’échelle de temps γ ∆ ∆ ∆ a rx (t) + f (t, x (τ (t))) = 0,. t ∈ [t0 , +∞)T .. L’équation dynamique (1) elle généralise toute les équations ci-dessus. Chapitre III : Dans ce chapitre, on s’intéresse a` l’oscillation pour une équation différentielle non linéaire du quatrième degré sur les échelles de temps de type : p x∆. α ∆3. (t) + q (t) p x∆. α ∆2. (t) + f (t, x (τ (t))) = 0,. t ∈ [t0 , +∞)T . (2). Ce problème généralise tous les problèmes considérés par S.R. Grace, M.Bohner et S.Sun [30]. T. Li, E. Thandapani et S. Tang [42]. Ce travail a fait l’objet d’une publication [10].. 5.

(7) Chapitre IV : Dans ce chapitre, on étudiera l’oscillation pour une équation différentielle non linéaire d’ordre n ∈ N sur l’échelle de temps de type : n−2 γ ∆2 a x∆ (t) + f (t, xα (t)) = 0,. t ∈ [t0 , +∞)T ,. (3). avec n ≥ 3. Notre but ici est d’établir quelques nouveaux critères de l’oscillation pour l’équation (3) qui généralise [36, 37]. Ce travail est soumis pour publication. Mots cl´ es : Les échelles de temps, Equation différentielle ordinaire, Théorie de l’oscillation.. 6.

(8) Chapitre 1 Pr´ eliminaires Dans ce chapitre nous présentons quelques définitions de base concernant les calculs sur les échelles de temps. La plupart de ces résultats seront énoncés sans preuve. Les preuves peuvent être consultées dans [15] et [16].. 1.1. Calculs sur les ´ echelles de temps. Une échelle de temps T est un sous-ensemble fermé non vide de l’ensemble des nombres réels R. Ainsi Z, N, i.e. les nombres entiers relative, les entiers naturels sont des exemples des échelles de temps. D´ efinition 1.1.1. Soit T Une échelle de temps. Pour t ∈ T, on définit l’opérateur de saut avant σ : T → T par : σ(t) := inf{s ∈ T : s > t}, et l’opérateur de saut arrière ρ : T → T par : ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}. Par convention, on suppose : inf ∅ = sup T (i.e σ(t) = t si T admet un maximum t) sup ∅ = inf T (i.e ρ(t) = t si T admet un minimum t). 7.

(9) Soit f : T −→ R une fonction, nous définisons la fonction f σ : T −→ R par : f σ (t) = f (σ (t)) ,. pour tout t ∈ T.. Les définitions ci-dessus pour l’opérateur de saut avant et l’opérateur de saut arrière prêtent à la classification des points dans une échelle de temps. D´ efinition 1.1.2. Soit t ∈ T. Si σ (t) = t et t 6= sup T, alors t est dense à droite. Si σ (t) > t, alors t est dispersé à droite. De même, si ρ (t) = t et t 6= inf T, alors t est dense à gauche, et si ρ (t) < t, alors t est dispersé à gauche. Si un point t dispersé à droite et dispersé à gauche, nous dirons que t est un point isolé. D´ efinition 1.1.3. La fonction de granulation µ : T → [0, ∞) est définie par : µ(t) = σ(t) − t. La fonction de granulation en arrière υ : T → [0, ∞) est définie par : v(t) = t − ρ(t). D´ efinition 1.1.4. Si sup T =m tel que m est dispersé à gauche, alors on définit Tk := T\ {m} ; si nom Tk := T. Exemple 1.1.1. Pour T = R, nous avons σ (t) = t = ρ (t) et µ (t) = 0. Pour T = Z, nous avons σ (t) = t + 1, ρ (t) = t − 1 et µ (t) = 1. Exemple 1.1.2. Soit h un nombre réel positif fixé. On définit l’échelle de temps hZ par : hZ := {hz : z ∈ Z} = {· · · , −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, · · · } . Ici, σ (t) = t + h,. ρ (t) = t − h,. et. µ (t) = h.. Exemple 1.1.3. Soit q un nombre réel fixé tel que q > 1. On définit l’échelle de temps q Z par : . q Z = {q z : z ∈ Z} ∪ {0} = · · · , q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q 2 , q 3 , · · · ∪ {0} . 8.

(10) Ici, σ (t) = qt,. 1.2. t ρ (t) = , q. et. µ (t) = (q − 1) t.. Diff´ erentiabilit´ e et d´ eriv´ ees partielles. 1.2.1. Diff´ erentiabilit´ e. Maintenant nous considérons une fonction f : T → R et on définit la delta dérivée de la fa¸con suivante. D´ efinition 1.2.1. Soient f : T → R une fonction et t ∈ Tk . On dira que f est ∆-différentiable en t s’il existe un nombre f ∆ (t) ∈ R tel que pour tout ε > 0, il existe un voisinage U de t o` u

(11) σ

(12)

(13) f (t) − f (s) − f ∆ (t) (σ (t) − s)

(14) ≤ ε |σ (t) − s| ,. pour tout s ∈ U.. On appelle f ∆ (t) la ∆-différentiable de f en t. Si f est ∆-différentiable en t pour tout t ∈ Tk alors f ∆ : Tk → R est appelée la ∆-différentiable de f sur Tk . Rappelons quelques propriétés de la delta dérivées qui sont utilisées dans ce travail. Th´ eor` eme 1.2.1. Soit f : T → R une fonction et soit t ∈ Tk . Alors nous avons les propriétés suivantes : 1. Si f est ∆-différentiable en t, alors f est continue en t. 2. Si f est continue en t et si t est dispersé à droite, alors f est ∆-différentiable en t et f ∆ (t) =. f (σ(t)) − f (t) . µ (t). 3. Si t est dense à droite, alors f est ∆-différentiable en t si et seulement si, lim s→t. f (t) − f (s) , t−s 9.

(15) existe et est finie. Dans ce cas, f (t) − f (s) . s→t t−s. f ∆ (t) = lim 4. Si f est ∆-différentiable en t, alors. f σ (t) = f (t) + µ(t)f ∆ (t). Th´ eor` eme 1.2.2. Soient f, g : T → R des fonctions ∆-différentiables et soit t ∈ Tk . Alors nous avons les propriétés suivantes : (i) La somme f + g : T → R est ∆-différentiable en t et (f + g)∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t). (ii) Pour α constante, αf : T → R est ∆-différentiable en t et (αf )∆ (t) = αf ∆ (t). (iii) Le produit f g : T → R est ∆-différentiable en t et (f g)∆ (t) = f ∆ (t)g(t) + f σ (t)g ∆ (t). (1.1). = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g σ (t). (iv) Si g(t)g σ (t) 6= 0, alors. f est ∆-différentiable en t et g ∆ f f ∆ (t)g(t) − f (t)g ∆ (t) (t) = . g g σ (t)g(t). Exemple 1.2.1.. 1. Si T = R, alors pour t ∈ Tk = R est un point dense à droite, f (t) − f (s) 0 = f (t) . s→t t−s. f ∆ (t) = lim. 10. (1.2).

(16) 2. Si T = Z, alors pour tout t ∈ Tk = Z est un point isolé, f ∆ (t) =. f (σ(t)) − f (t) = f (t + 1) − f (t) = ∆f (t) . µ (t). 3. Si T =hZ, alors pour tout t ∈ Tk = hZ est un point isolé, f ∆ (t) =. f (σ(t)) − f (t) f (t + h) − f (t) = = ∆h f (t) . µ (t) h. Enfin, nous présentons la propriété de la composée (f ◦ g)∆ , pour f : R → R et g : T → R. Elle a été démontrée par Christian Pötzsche en 1988. Th´ eor` eme 1.2.3. Soient f : R → R une fonction continˆ ument différentiable et g : T → R une fonction ∆−différentiable. Alors f ◦ g est ∆−différentiable et on a la formule suivante : (f ◦ g)∆ (t) =.  1 Z . 1.2.2. 0 f g (t) + hµ (t) g ∆ (t) dh.  . g ∆ (t) .. (1.3). . 0. D´ eriv´ ees partielles. On introduit la ∆-dérivée partielle pour les fonctions de plusieurs variables sur les échelles de temps. Soit n ∈ N fixé. Soit f : T −→ R une fonction et soient (Ti )i∈[1,n]∩Z des échelles de temps, on note 1. T = T1 ×T2 ×· · ·×Tn = {t = (t1 , t2 , . . . , tn ) : ti ∈ Ti , pour tout i ∈ [1, n] ∩ Z} , 2. Tk = Tk1 × Tk2 × · · · × Tkn , 3. σi (ti ) = inf {s ∈ Ti : s > ti } , pour tout i ∈ [1, n] ∩ Z, 4. ρi (ti ) = sup {s ∈ Ti : s < ti } , pour tout i ∈ [1, n] ∩ Z, 5. f σi (t) = f (t1 , t2 , · · · , ti−1 , σi (ti ) , · · · , tn ) , pour tout i ∈ [1, n] ∩ Z, 6. f si (t) = f (t1 , t2 , · · · , ti−1 , si , · · · , tn ) , pour tout i ∈ [1, n] ∩ Z. 11.

(17) D´ efinition 1.2.2. Soit f : T −→ R une fonction. La ∆−dérivée partielle de f par rapport à ti ∈ Tki est définie par : f σi (t) − f si (t) ∂f (t1 , . . . , tn ) = lim , si −→ti ∆i ti σi (ti ) − si σi (ti )6=si. si elle existe et est finie. ∂f (t1 , . . . , tn ) On notera par l’un des symboles suivants : ∆i ti ∂f (t) ∂f , (t) , ft∆i i (t) , f ∆i (t) . ∆i ti ∆i ti ∂f (t) ∆i ti existent pour tout i ∈ [1, n] ∩ Z, on peut aussi considérer la delta dérivée partielle D´ efinition 1.2.3. Soit f : T −→ R une fonction. Si les dérivées partielles. du second ordre ∆j ∂ 2 f (t) ∆∆ = fti tij j (t) = ft∆i i tj (t) ∆i ti ∆j tj. pour tout i, j ∈ [1, n] ∩ Z.. Les delta dérivés partielles d’ordre supérieur sont définies de manière similaire. Exemple 1.2.2. Soit f la fonction définié sur T = R × hZ, avec h > 0 par : f (t, s) = t4 s2 ,. pour tout (t, s) ∈ T.. Alors ∂f (t, s) = 4t3 s2 , ∆1 t et f (t, s + h) − f (t, s) ∂f (t, s) = ∆2 s h 2 2 4 (s + h) − s = t h 4 = t (2s + h) .. 1.3. Int´ egration. Naturallement, les calculs sur les échelles de temps ne sera pas complet sans l’introduction de la ∆-intégrabilité. Nous définissons alors les fonctions qui sont intégrables et pour cela nous présentons les concepts suivants : 12.

(18) D´ efinition 1.3.1. Nous dirons qu’une fonction f : T → R est régulière si sa limite à droite existe en tout point dense à droite de T et sa limite à gauche existe en tout point dense à gauche de T. D´ efinition 1.3.2. Une fonction f : T → R est dite rd-continue si elle est continue en tout point dense à droite de T et si sa limite à gauche existe et est finie en tout point dense à gauche de T. On note l’ensemble des fonctions f : T → R qui sont rd-continues sur T par : Crd = Crd (T) = Crd (T, R) . L’ensemble des fonctions f : T → R qui sont ∆−différentiables et ses ∆−dérivées sont rd-continues sur T sera noté par : 1 1 1 Crd = Crd (T) = Crd (T, R) .. Th´ eor` eme 1.3.1. Soit f : T → R. 1. Si f est continue, alors f est rd-continue. 2. Si f est rd-continue, alors f est régulière. 3. L’opérateur de saut avant σ est rd-continue. 4. Si f est rd-continue ou régulière, alors f σ c’est ainsi. 5. Soit f continue. Si g : T → R est rd-continue ou réguliére, alors f ◦ g est également rd-continue ou régulière respectivement. D´ efinition 1.3.3. Une fonction continue f : T → R est pré-différentiable avec domaine différentiabilité D, tel que D ⊂ Tk , Tk \D est compatible et ne contient les point dispersé à droite dans T et f est ∆−différentiable pour tout t ∈ D. Le Théorème suivant garantit l’existence de pré-antidérivée. Th´ eor` eme 1.3.2. Soit une fonction f : T → R régulière. Alors il existe une fonction F pré-différentiable avec de domaine D telle que F ∆ (t) = f (t) ,. pour tout t ∈ D. 13.

(19) D´ efinition 1.3.4. Soit une fonction f : T → R régulière. Toute fonction F donnée dans le Théorème 1.3.2 s’appelle pré-antidérivée de f . D´ efinition 1.3.5. Une fonction F : T → R est appelée antidérivée de f : T → R si F ∆ (t) = f (t) ,. pour tout t ∈ Tk .. D´ efinition 1.3.6. Soit une fonction f : T → R régulière. Nous définissons l’intégrale de Cauchy par : Zb f (t) ∆t = F (b) − F (a) ,. pour tout a, b ∈ T.. a. D´ efinition 1.3.7. Supposons que sup T = ∞. L’intégrale impropre est définie par : Z∞. Zb f (t) ∆t = lim. f (t) ∆t.. b−→∞. a. a. Le théorème suivant fournit les propriétés pour les fonctions delta intégrales. Th´ eor` eme 1.3.3. Si a, b, c ∈ T, α ∈ R et f, g ∈ Crd (T, R), alors Zb Zb Zb 1. [f (t) + g(t)] ∆t = f (t)∆t + g(t)∆t; a. a. Zb 2.. (αf (t)) ∆t = α a. Za f (t)∆t = −. a. Zc f (t)∆t =. a. f (t)∆t; b. Zb 4.. f (t)∆t; a. Zb 3.. a. Zb. Zb f (t)∆t +. a. f (t)∆t; c. Za 5.. f (t)∆t = 0. a. 6. Si |f (t)| ≤ g (t) sur [a, b) ∩ T, alors

(20) b

(21)

(22) Z

(23) Zb

(24)

(25)

(26) f (t)∆t

(27) ≤ g(t)∆t;

(28)

(29)

(30)

(31) a. a. 14.

(32) Zb 7. Si f (t) ≥ 0 pour tout t ∈ [a, b] ∩ T, alors. f (t)∆t ≥ 0. a. 1 Th´ eor` eme 1.3.4. Si a, b ∈ T et f, g ∈ Crd (T, R), alors. Zb. f σ (t)g ∆ (t)∆t = (f g) (b) − (f g) (a) −. a. Zb. f ∆ (t)g(t)∆t.. a. Th´ eor` eme 1.3.5. Soient a, b ∈ T et f ∈ Crd (T, R) 1. Si T = R, alors Zb. Zb f (t)∆t =. a. f (t)dt, a. o` u l’intégrale à droite est l’intégrale usuelle de Riemann. 2. Si [a, b] ∩ T ne contient que des points isolés, alors Zb. X. f (t)∆t =. µ (t) f (t) .. t∈[a,b). a. 3. Soient a, b ∈ hZ tels que b > a, et f ∈ Crd (T, R), alors k= hb −1. Zb f (t)∆t =. X. hf (kh) .. a k= h. a. Exemple 1.3.1. Si T = Z et si t ∈ Z tel que t > 1 et a 6= 1, alors Zt. s. a ∆s =. k=t−1 X k=0. 0. at − 1 . a = a−1 k. Exemple 1.3.2. Si T = q Z , avec q > 1, alors Z∞. 1 ∆t = t2. Zb lim. b−→∞. 1. 1 ∆t t2. 1. =. lim. b−→∞. X µ (t) t2. t∈[1;b). = (q − 1) lim. n−→∞. 15. k=n−1 X k=0. q −k = q..

(33) 1.4. Fonctions exponentielle. Dans cette section, nous définissons une fonction importante sur une échelle de temps qui généralise la fonction exponentielle sur R, ep (., t0 ). D´ efinition 1.4.1. Soit h > 0, on définit les nombres complexes de Hilger par : 1 Ch := z ∈ C : z 6= . h et l’axe imaginaire de Hilger n πo π . Zh := z ∈ C : − < Imz ≤ h h Pour h = 0, on pose par définition C0 = C, Z0 = C. D´ efinition 1.4.2. On dit que la fonction p : T −→ R est régressive si 1 + µ (t) p (t) 6= 0,. pour tout t ∈ Tk .. On note l’espace des fonctions rd-continues régressives par : R = R (T) = R (T, R) . On munit cet ensemble de l’addition définie pour tous p, q ∈ R par : (p ⊕ q) (t) := p (t) + q (t) + µ (t) p (t) q (t) ,. pour tout t ∈ Tk .. Le groupe (R, ⊕) est dit groupe régressif. Le conjugué de chaque élément p du groupe R noté par p est donnée par : ( p) (t) =. −p (t) , 1 + µ (t) p (t). pour tout t ∈ Tk .. D´ efinition 1.4.3. Pour h ≥ 0, la transformation cylindrique ξh : Ch −→ Zh est définie par :   1 ln(1 + hz) si h 6= 0, h ξh (z) :=  z si h = 0. L’inverse de transformation cylindrique ξh−1 : Zh −→ Ch est définie par :   exp (hz) − 1 si h 6= 0, −1 h ξh (z) :=  z si h = 0. 16.

(34) D´ efinition 1.4.4. Soit p ∈ R, la fonction exponentielle généralisée ep : T × T −→ R est donnée par la formule : . . Zt. ep (t, s) = exp . ξµ(τ ) (p (τ )) ∆τ  ,. pour tout t, s ∈ T.. s. Th´ eor` eme 1.4.1. Soient p ∈ R(T) et t0 ∈ T. Alors la solution unique du problème à valeur initiale.   y ∆ (t) = p (t) y (t) ;  y (t ) = y . 0. 0. est donné par : y (t) = y0 ep(t) (t, t0 ) . Proposition 1.4.1. Soient p, q ∈ R(T), t, s, τ ∈ Tk , la fonction exponentielle généralisée de l’échelle de temps vérifit les propriétés suivantes : 1. Propriété de semi-groupe ep (t, s) = ep (t, τ ) ep (τ, s) . 2. ep (σ (t) , s) = (1 + µ (t) p (t)) ep (t, s) . 1 3. ep (s, t) = = e p (t, s) . ep (t, s) 4. ep (t, s) eq (t, s) = ep⊕q (t, s) . ep (t, s) 5. = ep q (t, s) . eq (t, s) 6. La fonction ep (., s) est ∆-différentiable en t et (ep (., s))∆ (t) = p(t)ep (t, s) . Exemple 1.4.1. Soit T =hZ pour h > 0. Soit α ∈ R une constante, i.e. 1 α∈C− − . h Tous les point dans l’échelle de temps hZ sont dispersés à droite et nous avons   Zt 1 eα (t, 0) = exp  ln (1 + αh) ∆τ  h 0. 1 ln (1 + αh) t h t = (1 + αh) h . = exp. 17.

(35) 1.5. Polynˆ omes g´ en´ eralis´ es. Nous commen¸cons par donner la définition des polynômes généralisés sur les échelles de temps. D´ efinition 1.5.1. [15] Soit k ∈ N, on définit les fonctions hk : T × T → R par :    1, si k = 0   t Z hk (t, s) := , pour tout t, s ∈ T.  h (τ, s) ∆τ, si k ≥ 1  k−1   s. Exemple 1.5.1. Si en prend T =R, on a (t − s)k hk (t, s) = , k!. pour tout t, s ∈ R. et. pour k ∈ N.. Proposition 1.5.1. [15] Pour tout t, s ∈ T et k ∈ N, les fonctions hk satisfont   0, si k = 0 ∆t , pour tout t, s ∈ Tk . hk (t, s) :=  h k−1 (t, s) , si k ≥ 1 Lemme 1.5.1. [36] Si n ∈ N, t1 , t ∈ T et f ∈ Crd (T, R) ,alors Z t sZn+1 Zs2 Zt · · · f (s1 ) ∆s1 ∆s2 · · · ∆sn+1 = hn (t, σ (s)) f (s) ∆s. t1. 1.6. t1. t1. t1. D´ efinition de l’oscillation. Soit une échelle de temps T et soit a, b ∈ T, tel que a < b. On note [a, +∞)T := [a, +∞) ∩ T, [a, b)T := [a, b) ∩ T, [a, b]T := [a, b] ∩ T. Nous définissons l’oscillation des solutions et nous donnons un exemple simple. D´ efinition 1.6.1. On dit qu’une fonction f : [a, +∞)T → R est éventuellement positive, si il existe t0 ∈ [a, +∞)T tel que f (t) > 0,. pour tout t ∈ [t0 , +∞)T . 18.

(36) D´ efinition 1.6.2. On dit qu’une fonction f : [a, +∞)T → R est éventuellement négative, si il existe t0 ∈ [a, +∞)T tel que pour tout t ∈ [t0 , +∞)T .. f (t) < 0,. D´ efinition 1.6.3. On dit qu’une fonction f : [a, +∞)T → R est oscillante sur [a, +∞)T si elle est ni éventuellement positive ni éventuellement négative. Elle est dite non oscillante dans le cas contraire. Exemple 1.6.1. Considérons l’équation différentielle suivante x(2) (t) + x (t) = 0,. pour t ∈ [0, +∞)R .. Elle a une solution x (t) = sin (t) oscillante. Nous considérons quelques lemmes qui seront utilisés dans cette thèse. Lemme 1.6.1. [26] Soient A, λ et B des constantes strictement positives. Nous avons alors l’inégalité suivante λλ B λ+1. 1. Bx − Ax1+ λ ≤. (λ + 1)λ+1 Aλ. ,. pour x ≥ 0.. (1.4). n Lemme 1.6.2. [36] Si n ∈ N, sup T = ∞ et f ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R) alors les propriétés. suivants sont vraies. n. k. 1. lim inf f ∆ (t) > 0 =⇒ lim f ∆ (t) = ∞ pour tout k ∈ [0, n)Z . t→∞. t→∞. 2. lim supf t→∞. ∆n. k. (t) < 0 =⇒ lim f ∆ (t) = −∞ pour tout k ∈ [0, n)Z . t→∞. Nous donnons le lemme de Kiguradze’s. n Lemme 1.6.3. [36] Soit n ∈ N et f ∈ Crd (T, R) et sup T = +∞. Supposons que n. f est positive ou négative et f ∆ n’est pas identiquement nulle et est négative ou positive sur [t0 , ∞)T , pour t0 ∈ T. Alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T et m ∈ [0, n)Z tels que (−1)n−m f (t) f ∆ (t) ≥ 0 est vérifié pour tout t ∈ [t1 , ∞)T , avec n. j. (i) f (t) f ∆ (t) ≥ 0 pour tout t ∈ [t1 , ∞)T et pour j ∈ [0, m)Z , 19.

(37) (ii) (−1)m+j f (t) f ∆ (t) ≥ 0 pour tout t ∈ [t1 , ∞)T et pour j ∈ [m, n)Z . j. 1 Lemme 1.6.4. [36] Soient f ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R+ ) et λ > 0. Alors σ −λ. f ∆ (f ). ∆ f 1−λ ≤ ≤ f ∆ f −λ , 1−λ. 20. sur [t0 , ∞)T .. (1.5).

(38) Chapitre 2 Comportement asymptotique de la solution d’une ´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire du troisi` eme ordre sur les ´ echelles de temps 2.1. Introduction. Dans ce chapitre, nous présentons le comportement asymptotique de toute solution de l’équation différentielle non-linéaires d’ordre trois. On supposera que le probléme (2.1) admet au moins une solution dans l’espace 3 Crd ([t0 , ∞)T , R).. β ∆ ∆ γ ∆ q p x (t) + f (t, x(t)) = 0,. dans l’échelle de temps T, avec β, γ sont de la forme β = γ2 impairs positifs, βγ ≥ 1. 21. t ∈ [t0 , +∞)T ,. (2.1). γ1 β1 ,γ= o` u β1 , β2 , γ1 , β2 γ2.

(39) p, q : T −→ R+ sont des fonctions rd-continue et o` u f satisfait les conditions suivantes : (H1 ) f : T × R −→ R est continue, (H2 ) f (t, −x) = −f (t, x) pour tout t ∈ [t0 , ∞)T , x ∈ R, (H3 ) Il existe une fonction r : T −→ R positive et rd-continue telle que f (t, x) ≥ r(t), xγβ. 2.2. pour tout t ∈ [t0 , ∞)T , x ∈ R − {0} .. (2.2). Cas o` u l’´ equation (1) admet une solution non oscillante. Dans cette section, nous supposons que l’équation (2.1) admet une solution éventuellement positive (le raisonnement reste valable si elle est éventuellement négative). Lemme 2.2.1. Soit x une solution de l’équation (2.1) et Z∞ . 1 q (s). Z∞ . 1. β. ∆s =. 1 p (s). 1 γ. ∆s = +∞.. (2.3). t0. t0. Alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que γ ∆ p x∆ (t) > 0,. t ∈ [t1 , ∞)T .. (2.4). Démonstration. Soit x une solution éventuellement positive de l’équation (2.1). Alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que x (t) > 0 pour tout t ∈ [t1 , ∞)T . D’après (2.2) on a h iβ ∆ ∆ γ ∆ q p x (t) = −f (t, x (t)) ≤ −r (t) xβγ (t) ≤ 0, 22. t ∈ [t1 , +∞)T ..

(40) γ ∆ Montrons que p x∆ (t) > 0, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T . Supposons le contraire c’est-à-dire, il existe t2 ∈ [t1 , +∞)T tel que Puisque la fonction q. h. p x∆. p x∆. γ ∆ iβ. γ ∆. (t2 ) < 0.. est décroissante sur [t1 , +∞)T , alors il existe. une constante M > 0 telle que h. p x∆. γ ∆ iβ. (t) ≤. −M , q (t). pour tout t ∈ [t2 , +∞)T .. (2.5). Par intégration de (2.5) entre t2 a` t, on trouve ∆ γ. Zt . ∆ γ. p(t)(x ) (t) ≤ p(t2 )(x ) (t2 ) −. M q(s). 1. β. ∆s.. t2. D’après (2.3), on déduit que p(t)(x∆ )γ (t) tend vers −∞ lorsque t tend vers+∞. Donc il existe t3 ∈ [t2 , +∞)T tel que p(t)(x∆ )γ (t) ≤ −1,. pour tout t ∈ [t3 , +∞)T .. Par intégration de cette formule entre t3 a` t, on trouve Zt x(t) ≤ x(t3 ) −. 1 p (s). 1 γ. pour tout t ∈ [t3 , +∞)T .. ∆s,. t3. D’après (2.3) x(t) tend vers −∞ lorsque t tend vers +∞. D’ou la contradiction. γ ∆ Alors p x∆ (t) > 0, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T . Remarque 2.2.1. Soit x une solution de l’équation (2.1) et (2.3) vérifiée, alors il y a seulement deux cas possibles c’est-à-dire, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T , avec t1 ∈ [t0 , ∞)T suffisamment grand : γ ∆ 1. x (t) > 0, x∆ (t) > 0 et p x∆ (t) > 0, γ ∆ 2. x (t) > 0, x∆ (t) < 0 et p x∆ (t) > 0. 23.

(41) Lemme 2.2.2. Soit x une solution de l’équation (2.1) et qui satisfait le cas (1) de la remarque 2.2.1, alors h iβ βγ β ∆ γ ∆ x (t) ≥ (φ (t, t1 )) q (t) p x (t) , ∆. pour tout t ∈ [t1 , ∞)T ,. (2.6). ∆s.. (2.7). avec 1 φ (t, t1 ) := p (t). Zt . 1 q(s). 1. β. t1. Démonstration. Si x∆ (t) > 0, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T , de l’équation (2.1) on déduit que la fonction h iβ ∆ γ ∆ q p x est strictement décroissante sur [t1 , ∞)T . Par conséquent, nous avons. p (t) x. ∆ γ. (t) = p (t) x. ∆ γ. Zt (t1 ) +. γ (p x∆ )∆ (s)∆s. t1. Zt ≥. . . . 1 q(s). 1 β. q (s). h. p x. iβ ∆ γ ∆.  1 β (s)  ∆s. t1. ≥. q (t). h. p x. iβ ∆ γ ∆. 1 β (t) φ (t, t1 ) p (t) . (t). Ce qui prouve le lemme. Lemme 2.2.3. Soit x une solution de l’équation (2.1) et qui satisfait le cas (2) de la remarque 2.2.1, telle que Z∞ r(t)∆t = ∞.. (2.8). t1. Alors lim x(t) = 0.. t−→∞. Démonstration. Satisfaisant le cas (2) de la remarque 2.2.1. 24. (2.9).

(42) Alors lim x(t) = b ≥ 0, supposons que b > 0, de (2.1) et (2.2) nous déduisons : t−→∞. h iβ ∆ ∆ γ ∆ q p x (t) = −f (t, x(t)) ≤ −r(t)xγβ (t) ≤ −r(t)bγβ . Par intégration de l’inégalité ci-dessus de t1 a` t, nous obtenons q (t). h. p x. iβ ∆ γ ∆. (t) ≤ q (t1 ). h. p x. iβ ∆ γ ∆. (t1 ) − b. γβ. Zt r(s)∆s, t1. ce qui implique que lim q (t). t→+∞. h. p x∆. γ ∆ iβ. (t) = −∞.. D’ou la contradiction.. 2.3. Comportement asymptotique pour l’´ equation (1). Maintenant, nous établissons quelques conditions suffisantes pour que toute solution x de (2.1) soit oscillante sur [t0 , ∞)T ou convergente. Pour la simplification, on note d+ (t) := max {0, d (t)} , et αα , (α + 1)α+1. ξα :=. pour tout α > 0.. Th´ eor` eme 2.3.1. Supposons que (2.3) est vérifiée. S’il existe une fonction δ : T → 1 R+ telle que δ ∈ Crd (T, R) et pour tout t1 ∈ [t0 , ∞)T grand, t2 ∈ [t1 , ∞)T et si. 1 lim m t→+∞ t. Zt t2. βγ+1 ∆ δ+ (s). ( (t − s)m. r(s)δ(s) − ξβγ. (δ(s))βγ (φ (s, t1 ))β 25. ) ∆s = ∞,. (2.10).

(43) avec m ≥ 0 et φ (., t1 ) est définit dans le lemme 2.2.2. Alors toute solution de (2.1) est oscillante sur [t1 , ∞)T ou converge.. Démonstration. Supposons le contraire, que x est une solution non oscillante de (2.1). Supposons que x est une solution éventuellement positive de l’équation (2.1), la substitution y = −x transforme l’équation (2.1) en une équation de la même forme. On a alors deux cas, si x∆ éventuellement positive, alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que x∆ (t) > 0, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T . Nous définissons la fonction w par :. q (t). h. w (t) := δ(t). p x. iβ ∆ γ ∆. (t) ,. xγβ (t). t ∈ [t1 , ∞)T .. (2.11). Alors w (t) > 0 et de (1.1) et (1.2) nous obtenons. δ (t) w (t) = γβ x (t) ∆. h ∆ h iβ ∆ γ ∆ iβ δ (t) ∆ γ ∆ q p x q σ (t) p x∆ (t) + γβ (σ (t)) x (t). −δ (t) = γβ f (t, x(t)) + x (t). (. ∆ ) h iβ δ ∆ (t) xγβ (t) − δ (t) xγβ (t) σ ∆ γ ∆ q (t) p x (σ (t)) xβγ (t) xβγ (σ(t)). ∆ h iβ βγ δ(t) x (t) δ ∆ (t) σ ∆ γ ≤ −r(t)δ (t) + σ w (t) − q σ (t) p x∆ (σ (t)) βγ . δ (t) x (t)xβγ (σ(t)) Par le théorème 1.2.3, on obtient l’inégalité suivante. βγ. x (t). ∆. Z. 1. [hxσ (t) + (1 − h)x (t)]βγ−1 x∆ (t) dh. = βγ 0. Z ≥ βγ. 1. [hxσ (t)]βγ−1 x∆ (t) dh = xβγ−1 (σ(t)) x∆ (t).. 0. 26. (2.13). (2.12).

(44) D’après (2.12) et (2.13) nous avons w∆ (t) ≤ −r(t)δ (t) +. h iβ δ ∆ (t) σ δ (t) x∆ (t) σ ∆ γ ∆ w (t) − q (t) p x (σ (t)) δ σ (t) xβγ (t) x (σ(t)). δ ∆ (t) σ ≤ −r(t)δ (t) + σ w (t) − δ (t) 1 1 iβ βγ h γ δ (t) (φ (t, t )) ∆ γ 1 . q σ (t) p x (σ (t)) βγ q (t) p x∆ (t) x (t) x (σ(t)) h γ ∆ iβ Comme la fonction q p x∆ est strictement décroissante sur [t1 , ∞)T , alors. iβ ∆ γ ∆. h. h h iβ iβ σ ∆ γ ∆ ∆ γ ∆ (t) , (t) ≤ q p x q p x. pour tout t ∈ [t1 , ∞)T .. Donc, 1 δ ∆ (t) w∆ (t) ≤ −r(t)δ (t) + +σ wσ (t) − δ (t) {φ (t, t1 )} γ δ (t). . wσ (t) δ σ (t)). 1+. 1 βγ. .. (2.14). D’après le lemme 1.6.1, nous avons βγ+1 ∆ (t) δ+. ∆. w (t) ≤ −r(t)δ (t) + ξβγ. .. (2.15). (t − s)m .. (2.16). δ βγ (t) (φ (t, t1 ))β. Nous déduisons que βγ+1 ∆ (t) δ+. ( (t − s)m w∆ (t) ≤ − r(t)δ (t) − ξβγ. δ βγ. ) β. (t) (φ (t, t1 )). D’autre part, pour t ∈ [t1 , ∞)T fixé, on définit la fonction ϕt par : ϕt (s) = (t − s)m ,. pour tout s ∈ [t1 , t)T .. Alors ϕt est ∆-différentiable et ϕ∆ ee par : t est donn´    −m (t − s)m−1 , si σ (s) = s, ∆ ϕt (s) = 1  ((t − σ (s))m − (t − s)m ) , si σ (s) 6= s.  µ (s) Avec m > 0. On déduit que ϕ∆ t (s) ≤ 0,. pour s ∈ [t1 , t)T . 27.

(45) Par intégration de (2.16) entre t2 a` t, nous avons ( βγ+1 ) Zt Zt ∆ δ (s) + (t − s)m r(s)δ (s) − ξβγ ∆s ≤ − (t − s)m w∆ (s) ∆s β βγ δ (s) (φ (s, t1 )) t2. t2. ≤ − [(t − s). m. t w (s)]t2. Zt +. σ ϕ∆ t (s) w (s) ∆s. t2. ≤ (t − t2 )m w (t2 ) . Par conséquent 1 tm. Zt. βγ+1 ∆ (s) δ+. ( m. (t − s). r(s)δ(s) − ξβγ. t2. (δ(s))βγ (φ (s, t1 ))β. ). ∆s ≤. t − t2 t. m w (t2 ) .. d’o` u la contradiction de (2.10) pour t grand. Si x∆ est éventuellement négative, alors x est converge vers une limite finie car la fonction x est décroissante et minorée par 0. Exemple 2.3.1. On considère l’équation dynamique suivante sur l’échelle de temps 2Z . ( h. ∆ i 13 t(x∆ )5. )∆ (t) + t−2 x(t) = 0,. pour tout t ∈ [1, +∞)2Z .. (2.17). Ici, q (t) = 1,. p (t) = t,. γ = 5,. 1 β= , 3. f (t, x) = t−2 x et. r (t) = t−2 .. Il est clair que (2.3) est vérifiée. φ (t, t1 ) =. t − t1 , t. pour tout t ∈ [t1 , +∞) . 2Z. Soit δ(t) = t, de (2.10) nous avons ) ( ) Z∞ ( 1 n=∞ X 1 s3 η −η 5 ∆s = 1− n = +∞. 1 1 s 3 (s − t ) 3 3 (2n − 2n1 ) 3 s 2 1 n=n2 t 2. Avec η ∈ (0, 1) . Alors toute solution de (2.17) est oscillante sur 2Z ou converge . 28.

(46) Corollaire 2.3.1. Supposons que (2.3) est vérifiée pour tout t2 ∈ [t0 , ∞)T grand et si 1 lim m t−→∞ t. Zt. (t − s)m r(s)∆s = ∞,. (2.18). t2. avec m ≥ 0. Alors toute solution de (2.1) est oscillante sur [t1 , ∞)T ou converge. Exemple 2.3.2. On considère l’équation dynamique suivante sur l’échelle de temps continue T = [1, ∞) 00. ((x0 (t))3 ) + tx3 (t) = 0,. pour tout t ∈ [1, ∞) .. Ici p(t) = q(t) = 1,. γ = 3,. f (t, x) = tx3. β = 1,. et r (t) = t.. Il est clair que (2.3) est vérifiée. Alors, le corollaire 2.3.1 donne Z∞. Z∞ t∆t = ∞.. r (t) ∆t = 1. 1. Ce qui signifie que toute solution de (2.19) est oscillante sur T ou converge. Soit D un sous-ensemble de T × T définit par : D := {(t, s) ∈ T2 : t > s ≥ t1 }. Soit H : D → R une fonction satisfaisant les conditions suivantes a) H est continue sur D, b) ∃t1 ∈ T, H (t, t) = 0, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T , c) H (t, s) > 0, pour tout (t, s) ∈ D, d) H est ∆−dérivable par rapport a` s. Remarque 2.3.1. Nous pouvons prendre par exemple, H (t, s) = (t − s)m ,. pour tout (t, s) ∈ D,. avec m > 0. 29. (2.19).

(47) Th´ eor` eme 2.3.2. Supposons que (2.3) est vérifiée. S’il existe une fonction δ : T → 1 (T, R) et H : D → R, pour tout t1 ∈ [t0 , ∞)T grand, t2 ∈ R+ telle que δ ∈ Crd. [t1 , ∞)T , si 1 lim t−→∞ H(t, t2 ). Zt ( r(s)δ(s)H(t, s) − ξβγ t2. ). (v+ (s, t)δ σ (s))βγ+1. ∆s = ∞,. (φ (s, t1 ))β (δ(s)H(t, s))βγ. (2.20) et v(s, t) =. ∆ δ+ (s) H (t, s) + H ∆s (t, s) , σ δ (s). pour tout (t, s) ∈ D,. o` u φ (., t1 ) est définit dans le lemme 2.2.2. Alors toute solution de (2.1) est oscillante sur [t1 , ∞)T ou converge. Démonstration. Supposons le contraire, que x une solution non oscillante de (2.1). Nous pouvons supposer que x est une solution éventuellement positive de l’équation (2.1) ; la substitution y = −x transforme l’équation (2.1) en une équation de la même forme. On a deux cas : Si x∆ est éventuellement positive, alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que x∆ (t) > 0, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T . Par l’inégalité (2.14), on obtient ∆ 1 δ+ (s) r(s)δ (s) H(t, s) ≤ −w (s) H(t, s)+ σ wσ (s) H(t, s)−δ (s) {φ (s, t1 )} γ δ (s) ∆. . 1+ 1 βγ wσ (s) H(t, s). δ σ (s) (2.21). Par intégration de la formule (2.21) entre t2 a` t, on trouve Zt r(s)δ (s) H(t, s)∆s ≤ w(t2 )H(t, t2 ) t2. +.  Zt  t2. v(s, t)wσ (s) − δ (s) {φ (s, t1. . 1 )} γ. . σ. w (s) δ σ (s). 1+. 1 βγ. H(t, s).  . ∆s..  (2.22). 30.

(48) Par l’inégalité (1.4), on a 1 H(t, t2 ). Zt ( r(s)δ (s) H(t, s) − ξβγ t2. (v+ (s, t)δ σ (s))βγ+1 (φ (s, t1 ))β (δ(s)H(t, s))βγ. ) ∆s ≤ w(t2 ),. lorsque t est assez grand , on a la contradiction par (2.20). Th´ eor` eme 2.3.3. Supposons que (2.3) est vérifiée. Soit δ définie dans le théorème 2.3.1 telle que (2.10) soit vérifiée. si Z∞ . ϕ(s) p(s). Z∞. 1 γ. ∆s = ∞,. r(s)∆s < ∞,. ψ(τ ) :=. t1. (2.23). τ. et. Z∞ ϕ (s) :=. ψ(τ ) q(τ ). 1. β. ∆τ < ∞.. (2.24). s. Alors toute solution de (2.1) est oscillante sur [t1 , ∞)T ou converge vers zéro. Démonstration. De la preuve du théorème 2.3.1, chaque solution de l’équation (2.1) est oscillante sur [t1 , ∞) ou lim x (t) existe. D’autre part, supposons que x∆ (t) < 0, pour t ∈ [t1 , ∞)T . t−→∞. Alors x(t) est décroissante et lim x(t) = b ≥ 0 existe. t−→∞. Supposons que b > 0. Par intégration de la formule (2.2) entre t a` ∞, on obtient Z∞. βγ. Z∞. r(s)x (s)∆s ≤ t. f (s, x(s)) ∆s t. h h iβ iβ ∆ γ ∆ ∆ γ ∆ = − lim q p x (s) + q p x (t) s−→∞. h iβ ∆ γ ∆ ≤ q p x (t) .. (2.25). Par (2.25) et comme x(t) > b, on a bγ. . ψ(t) q(t). 1. β. γ ∆ ≤ p x∆ (t). 31. (2.26).

(49) Par intégration de la dernière inégalité entre s a` t, avec t tend vers +∞, on trouve b. 1. ϕ (t) p(t). γ. ≤ −x∆ (t),. pour t ∈ [t1 , ∞)T .. (2.27). Par intégration l’inégalité (2.27) entre t1 a` t, nous avons Zt b. ϕ (s) p(s). 1 γ. ∆s ≤ x(t1 ),. pour t assez grand.. t1. Cet résultat donne la contradiction de (2.23). Remarque 2.3.2. Si on prend T =2Z , soit α ∈ R. Si α > 1, on a Z∞ s. −α. τ −α+1 ∆s = , 1 − 2−α+1. pour tout τ ∈ 2Z .. (2.28). τ. Si α ≤ 1, on a. Z∞. s−α ∆s = +∞,. pour tout τ ∈ 2Z .. (2.29). τ. Exemple 2.3.3. On considère l’équation dynamique (2.17). Par (2.28) et (2.29), nous avons Z∞ ψ(τ ) =. s−2 ∆s =. 2 , τ. τ −3 ∆τ =. 32 , 3s2. pour tout τ ∈ 2Z ,. τ. et. Z∞ ϕ (s) = 8. pour tout s ∈ 2Z ,. s. o` u ϕ, ψ sont définis dans le thérème 2.3.3. Alors. Z∞ . ϕ(s) p(s). 1. . γ. ∆s =. 32 3. 15 Z∞. t1. 3. s− 5 ∆s = +∞.. t1. Du Théorème 2.3.3, on déduit que toute solution de (2.17) est oscillante ou converge vers zéro. 32.

(50) Chapitre 3 Oscillation pour une ´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire du quatri` eme ordre sur les ´ echelles de temps Dans ce chapitre nous nous intéressons à l’étude de l’oscillation pour une équation différentielle d’ordre quatre.. 3.1. Introduction. Il y a beaucoup d’articles étudiant l’oscillation de l’équation ordinaire d’ordre quatre o` u titre d’exemple : S. R. Grace, M. Bohner et S. Sun [30] ont étudié l’oscillation de l’équation suivante 4. x∆ (t) + q (t) xλ (t) = 0. T. Li et E.Thandapani et S. Tang [42] ont étudié l’oscillation pour l’équation dynamique à retard du quatrième ordre sur l’échelle de temps 3 ∆ r x∆ (t) + p (t) x (τ (t)) = 0. 33.

(51) Y. Qi et J. Yu [45] ont étudié l’oscillation de l’équation semi-linéaire 4. x∆ (t) + p (t) xγ (τ (t)) = 0. R. P. Agarwal, M. Bohner, T. Li et C.Zhang [20] ont étudié l’oscillation de l’équation dynamique semi linéaire d’ordre quatre sur l’échelle de temps 3 γ 3 γ ∆ (t) + p (t) x∆ (t) + q (t) xγ (τ (t)) = 0. r x∆ Dans ce chapitre on donne quelques critères d’oscillation pour l’équation dynamique non-linéaire d’ordre quatre qui généralise toute les équations ci-dessus : p(x∆ )α. ∆3. (t) + q (t) p(x∆ )α. ∆2. (t) + f (t, x (τ (t))) = 0.. sur une échelle de temps T, avec α de la forme α =. (3.1). α1 o` u α1 , α2 impairs positifs. α2. On impose les conditions suivantes : (H1 ) f : T × R −→ R une fonction continue et vérifiant xf (t, x) > 0,. pour tout t ∈ [t0 , ∞)T , x ∈ R\ {0} .. (H2 ) Il existe une fonction r : T −→ R+ rd-continue, telle que f (t, x) ≥ r(t), xα. pour tout t ∈ [t0 , ∞)T , x ∈ R\ {0} .. (H3 ) Les fonctions p et q sont a` valeurs réelles et sont rd-continues positives définies sur T, telles que 1 − q (t) µ (t) 6= 0,. pour tout t ∈ [t0 , ∞)T .. (H4 ) La fonction τ : T −→ T est rd-continue, telle que τ (t) ≤ t,. pour t ∈ [t0 , ∞)T. et. lim τ (t) = ∞.. t→∞. On supposera que le problème (3.1) admet au moins une solution dans l’espace 4 Crd ([t0 , ∞)T , R).. 34.

(52) 3.2. Cas o` u l’´ equation (2) admet une solution non oscillante. Nous présentons le lemme suivant qui donne les propriétés de la solution éventuellement positive x de l’équation (3.1) . Lemme 3.2.1. Supposons que x est une solution éventuellement positive de (3.1) et. Z∞. Z∞ e−q(t) (t, t0 ) ∆t =. 1 p (t). 1. α. ∆t = ∞,. (3.2). t0. t0. alors, il y a seulement deux cas possibles, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T avec t1 ∈ [t0 , ∞)T suffisamment grand : α 2 1. x∆ (t) > 0, (p x∆ )∆ (t) > 0, (p(x∆ )α )∆ (t) > 0, α 2 2. x∆ (t) > 0, (p x∆ )∆ (t) < 0, (p(x∆ )α )∆ (t) > 0. Démonstration. Soit x une solution éventuellement positive de (3.1). Alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que x (t) > 0 et x (τ (t)) > 0 pour tout t ∈ [t1 , ∞)T . Par (3.1), nous avons p x∆. α ∆3. (t) + q (t) p(x∆ )α. ∆2. (t) = −f (t, x (τ (t))) < 0,. pour t ∈ [t1 , ∞)T . (3.3). De (3.3), on obtient (p(x∆ )α )∆ e−q (., t0 ). 2. !∆. 3. 2. (p(x∆ )α )∆ (t) + q (t) (p(x∆ )α )∆ (t) (t) = < 0. eσ−q (t, t0 ). α ∆2 p x∆ Donc est décroissante sur [t1 , ∞)T . e−q (., t ) 0 α 2 α Alors (p x∆ )∆ , (p x∆ )∆ et x∆ sont de signe constant pour t assez grand. α 2 Montrons que (p x∆ )∆ (t) > 0 pour t ∈ [t1 , ∞)T . . Supposons le contraire, alors il existe une constante c > 0 et t2 ∈ [t1 , ∞)T tels que α 2 (p x∆ )∆ (t) ≤ −ce−q (t, t0 ) , 35. t ∈ [t2 , ∞)T ..

(53) Par intégration de la dernière inégalité entre t2 a` t, nous obtenons (p x. ∆ α. )∆ (t) ≤ (p x. ∆ α. )∆ (t2 ) − c. Zt e−q (s, t0 ) ∆s, t2. ce qui implique que α lim (p x∆ )∆ (t) = −∞.. t−→∞. Alors, lim p (t) x∆. α. t−→∞. (t) = −∞.. Ce qui signifie qu’il existe une constante m > 0 et t3 ∈ [t2 , ∞)T tels que ∆. . x (t) ≤ −. m p (t). 1. α. t ∈ [t3 , ∞)T .. ,. Intégrons la dernière inégalité entre t3 a` t, nous obtenons Zt x (t) ≤ x (t3 ) −. m p (s). 1. α. ∆s.. t3. Ceci donne que lim x (t) = −∞, d’ou la contradiction. αt−→∞ α 2 Si (p (t) x∆ (t) )∆ > 0, alors x∆ (t) > 0 car (p (t) x∆ (t) )∆ > 0. α Si (p (t) x∆ (t) )∆ < 0, alors x∆ (t) > 0 car x (t) > 0. Lemme 3.2.2. Supposons que x est une solution éventuellement positive de (3.1) satisfaisant le cas (1) du Lemme 3.2.1. Alors α α 2 (p x∆ )∆ (t) ≥ (t − t1 ) (p x∆ )∆ (t),. t ∈ [t1 , ∞)T .. (3.4). 1 S’il existe une fonction φ ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R+ ) et t2 ∈ [t1 , ∞)T tels que. φ (t) − φ∆ (t) (t − t1 ) ≤ 0,. t ∈ [t2 , ∞)T ,. (3.5). α (p x∆ )∆ (t) alors est une fonction décroissante sur [t2 , ∞)T , et φ (t) φ (t) p (t) x. ∆ α. (t) ≥ (p x. ∆ α. )∆ (t). Zt φ (s) ∆s, t2. 36. t ∈ [t2 , ∞)T .. (3.6).

(54) 1 Et s’il existe une fonction ψ ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R+ ) et t3 ∈ [t2 , ∞)T tels que. Zt. ∆. φ (s) ∆s ≤ 0,. φ (t) ψ (t) − ψ (t). t ∈ [t3 , ∞)T ,. (3.7). t2. α p x∆ (t) alors est une fonction décroissante sur [t3 , ∞)T , et ψ (t). ∆. . x (t) ≥ x (t). p (t) ψ (t). 1 Zt α. ψ (s) p (s). 1. α. ∆s := R (t, t3 ) x∆ (t) ,. t ∈ [t3 , ∞)T . (3.8). t3. Démonstration. Soit x une solution éventuellement positive de (3.1) . α 2 α Comme (p x∆ )∆ (t) > 0, (p x∆ )∆ (t) > 0, nous avons. (p x. Zt. ∆ α ∆. ) (t) ≥. α 2 (p x∆ )∆ (s)∆s. t1. α 2 ≥ (p x∆ )∆ (t) (t − t1 ) . De (3.4) et (3.5) on obtient α !∆ α 2 α (p x∆ )∆ (p x∆ )∆ (t)φ (t) − (p x∆ )∆ (t) φ∆ (t) (t) = φ φ (t) φσ (t) α (p x∆ )∆ (t) φ (t) ∆ ≤ − φ (t) ≤ 0. φ (t) φσ (t) t − t1 α (p x∆ )∆ (t) Par conséquent, est une fonction décroissante sur [t2 , ∞)T . φ (t) Alors p (t) x. ∆ α. (t) = p (t2 ) x. ∆ α. Zt (t2 ) +. α (p x∆ )∆ (s) φ (s) ∆s φ (s). t2. ∆ α. ≥. (p x )∆ (t) φ (t). Zt φ (s) ∆s. t2. 37.

(55) D’autre part p x∆ ψ. α !∆. α α (p x∆ )∆ (t)ψ (t) − p x∆ (t) ψ ∆ (t) (t) = ψ (t) ψ σ (t)           ∆ α p (t) x (t) φ (t) ψ (t) ∆ − ψ (t) ≤ 0. ≤ Z t  ψ (t) ψ σ (t)      φ (s) ∆s   t2. α p (t) x∆ (t) Donc est une fonction décroissante sur [t3 , ∞)T et ψ (t) Zt ( x (t) ≥. )1 α 1 p (s) x∆ (s) α ψ (s) α ∆s ψ (s) p (s). t3.     p (t) α1 Z t ψ (s) α1 ∆s x∆ (t) . ≥   ψ (t) p (s) t3. Remarque 3.2.1. Dans le lemme 3.2.2, nous pouvons prendre par exemple Z t φ (t) := (t − t1 ) et ψ (t) := (s − t1 ) ∆s.. (3.9). t2. Les fonctions φ et ψ vérifient les conditions (3.5) et (3.7).. 3.3. Th´ eor` emes d’existence de l’oscillation pour l’´ equation (2). Dans cette section, nous établissons quelques conditions suffisantes qui garantissent que chaque solution x de (3.1) oscille sur [t0 , ∞)T . Pour la simplification, on note T d (t) :=. dσ (t) , d (t) 38.

(56) et.   1, si α ≥ 1, Qdα (t) :=  T dα−1 (t) , si α < 1.. 3.3.1. Th´ eor` eme d’oscillation pour l’´ equation (2) pour α > 0. Th´ eor` eme 3.3.1. Supposons (3.2) est vérifiée et qu’il existe une fonction positive 1 δ ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R) telle que pour tout t1 ∈ [t0 , ∞)T assez grand, t2 ∈ [t1 , ∞)T ,. t3 ∈ [t2 , ∞)T et t4 ∈ [t3 , ∞)T , on a Zt lim. t−→∞. . 1 δ (s) r (s) k (s, t3 ) − 4 σ. δ ∆ (s) T δ (s) − q (s) δ (s) T φ (s). 2. δ (s) T φ (s) ∆s = ∞, T δ (s). t4. (3.10) o` u φ et ψ sont définies dans le lemme 3.2.2, et  τ (t) α τ (t) 1 Z   Z α 1 ψ (s) k (t, t3 ) := ∆s φ (s) ∆s.  ψ (τ (t)) φσ (t)  p (s) t3. t3. 1 S’il existe des fonctions positives θ, λ ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R) telles que. λ (t) − λ∆ (t) ≤ 0, ξ (t, t1 ) avec 1 (p (t)) α. ξ (t, t1 ) :=. t ∈ [t2 , ∞)T ,. Zt . 1 p (s). (3.11). 1. α. ∆s,. t1. et. Zt. σ. θ (s) c (s) −. lim. t−→∞ t3. (α + 1). avec c (t) :=. θ∆. + α+1. (t) t. . 2. (s) T λα (s) p (s). (Qλα )α (s) T θα (s) θα (s).  Z∞ Z∞. 1 T λα. α+1. α. r (u). v. ∆s = ∞,.  . λ (τ (u)) ∆u ∆v.  λα (u). Alors la solution de (3.1) est oscillante. Démonstration. Supposons que (3.1) admet une solution x non oscillante sur [t0 , ∞)T . 39. (3.12).

(57) Alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que x (t) > 0 et x (τ (t)) > 0 pour t ∈ [t1 , ∞)T . Supposons d’abord que x satisfait (1) dans le lemme 3.2.1. Nous définissons la fonction ω1 par : α 2 (p x∆ )∆ (t) ω1 (t) := δ (t) , (p (x∆ )α )∆ (t). t ∈ [t1 , ∞)T .. (3.13). Alors ω1 (t) > 0 pour t ∈ [t1 , ∞)T et ( )∆ ∆ α ∆2 ∆ α ∆2 (t) ) ) (p x (p x ω1∆ (t) = δ ∆ (t) + δ σ (t) (t) , (p (x∆ )α )∆ (t) (p (x∆ )α )∆ ce qui implique que ∆ α. ∆ α. σ. . ∆ α ∆2. 2. δ (t) (p x ) (t) (p x ) (t) (p x ) (t) σ +δ (t) − . α α α (p (x∆ ) )∆ (t) (p (x∆ ) )∆σ (t) (p (x∆ ) )∆ (t) (p (x∆ )α )∆σ (t) (3.14) ∆ α ∆ ) (t) (p x est une fonction décroisante, nous avons Comme φ (t) ∆2. ∆3. ω1∆ (t) = δ ∆ (t). α (p x∆ )∆ (t) φ (t) ≥ . α (p (x∆ ) )∆σ (t) φσ (t). (3.15). De (3.13), (3.1) et de la dernière inégalité, nous obtenons ∆ α ∆2 ∆ q (t) (p x ) (t) δ σ (t) r (t) xα (τ (t)) δ (t) T δ (t) ω1 (t) − δ σ (t) − − ω 2 (t) ω1∆ (t) ≤ α α ∆σ ∆ ∆σ ∆ δ (t) (p (x ) ) (t) (p (x ) ) (t) δ (t) T φ (t) 1 α (p x∆ )∆ (t) δ ∆ (t) δ σ (t) r (t) xα (τ (t)) T δ (t) ≤ ω1 (t) − q (t) T δ (t) ω (t) − − ω 2 (t) . 1 α ∆σ α ∆σ ∆ ∆ δ (t) (p (x ) ) (t) (p (x ) ) (t) δ (t) T φ (t) 1 (3.16) Substituons (3.15) dans (3.16), on trouve ω1∆ (t) ≤. δ ∆ (t) T δ (t) δ σ (t) r (t) xα (τ (t)) T δ (t) ω1 (t) − q (t) ω1 (t) − − ω 2 (t) . α ∆σ ∆ δ (t) T φ (t) (p (x ) ) (t) δ (t) T φ (t) 1 (3.17) 40.

(58) α (p x∆ )∆ (t) De (3.6), (3.8) et comme est une fonction décroisante, nous obtenons φ (t) α (p x∆ )∆ (τ (t)) xα (τ (t)) xα (τ (t)) = (p (x∆ )α )∆σ (t) (p (x∆ )α )∆ (τ (t)) (p (x∆ )α )∆σ (t). ≥.  τ (t)  Z ψ (s) α1. 1 ψ (τ (t)) φσ (t) . p (s) t3. α τ (t)  Z ∆s φ (s) ∆s  t3. = k (t, t3 ) .. (3.18). Substituons (3.18) dans (3.17), on obtient ω1∆. . σ. (t) ≤ −δ (t) r (t) k (t, t3 ) +. δ ∆ (t) T δ (t) − q (t) δ (t) T φ (t). ω1 (t) −. T δ (t) ω 2 (t) . δ (t) T φ (t) 1. Soit B (t) :=. T δ (t) δ ∆ (t) − q (t) δ (t) T φ (t). et A (t) :=. T δ (t) . δ (t) T φ (t). De l’inégalité suivante By − Ay 2 ≤. B2 , 4A. A > 0, B ∈ R,. (3.19). nous obtenons ω1∆. 1 (t) ≤ −δ (t) r (t) k (t, t3 ) + 4 σ. . δ ∆ (t) T δ (t) − q (t) δ (t) T φ (t). 2. δ (t) T φ (t) . T δ (t). Intégrant la dernière l’inégalité entre t4 a` t, nous obtenons Zt. 1 δ (s) r (s) k (s, t3 )− 4 σ. . δ ∆ (s) T δ (s) − q (s) δ (s) T φ (s). 2. δ (s) T φ (s) ∆s ≤ ω1 (t4 )−ω1 (t) ≤ ω1 (t4 ) . T δ (s). t4. Ce qui donne la contradiction avec (3.10). Supposons que x satisfait le cas (2) dans le lemme 3.2.1. Soit. α p (t) x∆ (t) , ω2 (t) := θ (t) xα (t) 41. t ∈ [t1 , ∞)T .. (3.20).

(59) Alors ω2 (t) > 0 pour t ∈ [t1 , ∞)T et α ∆ α α (t) p x∆ p (t) x∆ (t) (xα )∆ (t) p (t) x∆ (t) σ σ ∆ ∆ +θ (t) −θ (t) . ω2 (t) = θ (t) xα (t) xα (σ (t)) xα (σ (t)) xα (t) (3.21) α Comme x∆ (t) > 0 et (p x∆ )∆ (t) < 0, on obtient Zt. α 1 α p (s) x∆ (s). x (t) ≥. . 1 p (s). 1. α. ∆s. t1. ≥ x. ∆. Zt . 1 (t) (p (t)) α. 1 p (s). 1. α. ∆s. t1. = ξ (t, t1 ) x∆ (t) .. (3.22). Donc, x ∆ λ. (t) =. x∆ (t) λ (t) − x (t) λ∆ (t) λ (t) λσ (t). x (t) ≤ λ (t) λσ (t) Par conséquent. . λ (t) − λ∆ (t) ξ (t, t1 ). ≤ 0.. (3.23). x est une fonction décroisante sur [t2 , ∞)T et λ. λ (t) x (τ (t)) λ (τ (t)) x (t) ≥ σ , ≥ . σ x (t) λ (t) x (t) λ (t) Du théorème 1.2.3, on obtient l’inégalité suivante Z1 (xα )∆ (t) = αx∆ (t) [hx (t) + (1 − h) xσ (t)]α−1 dh. (3.24). 0. ≥ αQλα (t) x∆ (t) xα−1 (t) .. (3.25). Substituons (3.25) dans (3.21), nous avons ∆ α ∆ α ∆ p (t) x (t) p x (t) ω2∆ (t) ≤ θ∆ (t) + θσ (t) α α x (t) x (σ (t)) −αQλα. α+1 p (t) x∆ (t) (t) θ (t) α . x (σ (t)) x (t) σ. 42. (3.26).

(60) D’autre part, par (3.1), on a (p x. ∆ α ∆2 ). (s) − (p x. ∆ α ∆2 ). Zs (t) +. r (u) (x (τ (u)))α ∆u ≤ 0.. t. Comme x∆ > 0 et de (3.24), on obtient (p x. ∆ α ∆2 ). (s) − (p x. ∆ α ∆2 ). Zs. α. (t) + x (t). r (u). λα (τ (u)) ∆u ≤ 0. λα (u). t. Lorsque s tend vers ∞ dans la dernière l’inégalité, nous déduisons que (p x. ∆ α ∆2 ). Z∞. α. (t) ≥ x (t). r (u). λα (τ (u)) ∆u. λα (u). t. Par conséquent, α α −(p x∆ )∆ (s) + (p x∆ )∆ (t) + xα (t).  Zs Z∞ . t. Alors (p x. ∆ α. )∆ (t) + xα (t).  Z∞ Z∞ t. . v. v.  λ (τ (u))  ∆u ∆v ≤ 0. r (u)  λα (u) α.  λ (τ (u))  r (u) ∆u ∆v ≤ 0.  λα (u) α. Par (3.24), on trouve ∆ α ∆. α. (p x ) (t) x (t) ≤ − xα (σ (t)) xα (σ (t)).  Z∞ Z∞ . t. ≤ −. λ (t) λσ (t). r (u). v.  α Z∞ Z∞ t. . v.  . α. λ (τ (u)) ∆u ∆v  λα (u).  λ (τ (u))  ∆u ∆v r (u)  λα (u) α. = −c (t) .. (3.27). Substituons (3.20), (3.24) et (3.27) dans (3.26), nous avons ω2∆. α α+1 p (t) x∆ (t) p (t) x∆ (t) λ σ − αQα (t) θ (t) α . (t) ≤ −θ (t) c (t) + θ (t) α x (t) x (σ (t)) x (t) σ. ∆. 43.

(61) Donc θ∆. ω2∆ (t) ≤ −θσ (t) c (t) +. +. (t). θ (t). ω2 (t) −. αQλα (t) T θ (t) 1. 1. θ α (t) p α (t) T λα (t). 1+. ω2. 1 α. (t) .. D’après le lemme 1.6.1, nous avons ω2∆ (t) ≤ −θσ (t) c (t) +. ∆ α+1 2 θ + (t) T λα (t) p (t) (α + 1)α+1 (Qλα )α (t) T θα (t) θα (t). .. En intégrant la dernière l’inégalité entre t3 a` t, nous obtenons Zt. σ. θ (s) c (s) − t3. θ∆. (α + 1). α+1. + α+1. 2. (s) T λα (s) p (s). (Qλα )α (s) T θα (s) θα (s). ∆s ≤ ω2 (t3 ) − ω2 (t) ≤ ω2 (t3 ) .. Ce qui donne la contradiction par (3.12). Remarque 3.3.1. Dans le théorème 3.3.1, nous pouvons prendre par exemple Zt λ (t) =. 1 p (s). 1. α. pour tout t ∈ [t1 , ∞)T .. ∆s,. (3.28). t1. La fonction λ est satisfait la condition (3.11).. 3.3.2. Th´ eor` eme d’oscillation pour l’´ equation (2) pour α ≥ 1. Th´ eor` eme 3.3.2. Supposons que (3.2) est vérifiée et α ≥ 1. S’il existe des fonctions 1 positives η, m ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R) telles que pour tout t1 ∈ [t0 , ∞)T suffisamment. grand , t2 ∈ [t1 , ∞)T , t3 ∈ [t2 , ∞)T et t4 ∈ [t3 , ∞)T tels que Zt lim. t−→∞. η σ (s) r (s). mα (τ (s)) 1 2 − E (s) F (s, t3 ) ∆s = ∞, α m (σ (s)) 4α. (3.29). t4. et m (t) − m∆ (t) ≤ 0, R (t, t3 ). t ∈ [t4 , ∞)T ,. o` u φ et ψ sont définies dans le lemme 3.2.2, et  t −1 Z   p (t) φ (t) η (t) T m (t) F (t, t3 ) := φ (s) ∆s ,  (t − t3 ) η σ (t) Rα−1 (t, t3 )  2. α. t3. 44. (3.30).

(62) E (t) :=. T η (t) η ∆ (t) − q (t) . η (t) T mα (t). 1 S’il existe des fonctions positives θ, λ ∈ Crd ([t0 , ∞)T , R) telles que (3.12) soit vérifiée. Alors (3.1) est oscillante. Démonstration. Supposons que (3.1) admet une solution x non oscillante sur [t0 , ∞)T . Alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que x (t) > 0 et x (τ (t)) > 0 pour t ∈ [t1 , ∞)T . Supposons d’abord que x satisfait (1) dans le lemme 3.2.1. Nous définissons la fonction ω3 par : α 2 (p x∆ )∆ (t) ω3 (t) := η (t) , xα (t). t ∈ [t1 , ∞)T .. (3.31). Alors ω3 (t) > 0 pour t ∈ [t1 , ∞)T , et ∆ α ∆2 ∆ α ∆3 ∆ α ∆2 (p x ) (t) (p x ) (t) (p x ) (t) (xα )∆ (t) ∆ ∆ σ σ ω3 (t) = η (t) +η (t) −η (t) . xα (t) xα (σ (t)) xα (σ (t)) xα (t) (3.32) Substituons (3.1) dans (3.32), nous avons ∆ α ∆2 ∆ α ∆2 ) (t) ) (t) q (t) (p x (p x − η σ (t) ω3∆ (t) ≤ η ∆ (t) α α x (t) x (σ (t)) α 2 (p x∆ )∆ (t) (xα )∆ (t) xα (τ (t)) σ −η (t) r (t) α − η (t) . x (σ (t)) xα (σ (t)) xα (t) σ. (3.33). De (3.8) et (3.30), on obtient x ∆ m Alors. x (t) (t) ≤ σ m (t) m (t). . m (t) ∆ − m (t) ≤ 0. R (t, t3 ). x est une fonction décroisante sur t ∈ [t4 , ∞)T , et m x (t) m (t) ≥ , xσ (t) mσ (t). x (τ (t)) m (τ (t)) ≥ . xσ (t) mσ (t). (3.34). Par (3.25), on a (xα )∆ (t) ≥ αx∆ (t) xα−1 (t) . 45. (3.35).

(63) Par les inégalités (3.4), (3.6) , (3.8) et (3.35), nous obtenons (xα )∆ (t) ≥ αRα−1 (t, t3 ) x∆ (t). α. α Rα−1 (t, t3 ) (p x∆ )∆ (t) ≥ α φ (t) p (t). Zt φ (s) ∆s t3. α 2 Rα−1 (t, t3 ) ≥ α (t − t3 ) (p x∆ )∆ (t) φ (t) p (t). Zt φ (s) ∆s t3. ≥. α 2 αη 2 (t) T mα (t) (p x∆ )∆ (t) . σ η (t) F (t, t3 ). (3.36). Substituons (3.36) et (3.31) dans (3.33), nous obtenons ω3∆ (t) ≤. xα (τ (t)) αT mα (t) xα (t) ω32 (t) η ∆ (t) q (t) xα (t) ω3 (t)−T η (t) α ω3 (t)−η σ (t) r (t) α − . η (t) x (σ (t)) x (σ (t)) F (t, t3 ) xα (σ (t)) (3.37). Par (3.34), nous avons ω3∆ (t) ≤. η ∆ (t) T η (t) mα (τ (t)) α σ ω3 (t) − q (t) ω (t) − η (t) r (t) − ω 2 (t) 3 α α η (t) T m (t) m (σ (t)) F (t, t3 ) 3. ≤ −η σ (t) r (t). α mα (τ (t)) + E (t) ω3 (t) − ω 2 (t) . α m (σ (t)) F (t, t3 ) 3. Par l’inégalité (3.19), on obtient ω3∆ (t) ≤ −η σ (t) r (t). mα (τ (t)) 1 2 + E (t) F (t, t3 ) . α m (σ (t)) 4α. Intégrons la dernière inégalité entre t4 a` t, on trouve Zt. η σ (s) r (s). ma (τ (s)) 1 2 − E (s) F (s, t3 ) ∆s ≤ ω3 (t4 ) − ω3 (t) ≤ ω3 (t4 ) . mα (σ (s)) 4α. t4. Contradiction avec (3.29). La preuve de cas (2) est identique le cas (2) dans le théorème 3.3.1. Remarque 3.3.2. Si l’échelle de temps est T = R, dans ce cas on a T d = Qdα = 1. 46.

(64) 3.4. Exemple. Dans cette partie considérons l’exemple d’application de théorèmes. Exemple 3.4.1. Considérons l’équation différentielle semi-linéaire suivante (2) √ (3) 7p 1 √ 3 3 x0 x0 (t) + (t) + t− 3 3 x (t) = 0, t. t ∈ [1, ∞)R .. (3.38). Ici, 1 α= , 3. p (t) = 1,. 7. r (t) = t− 3 ,. q (t) =. 1 t. et. τ (t) = t.. Soit Zt (s − t1 ) ds, λ (t) = t − t1 et δ (t) = θ (t) = 1.. φ (t) = t − t1 , ψ (t) = t2. Alors (3.2), (3.5) et (3.7) sont vérifiées et 4. k (t, t3 ) ≥ ηt 3 ,. pour t assez grand,. 1 η 1 r (t) k (t, t3 ) − q 2 (t) ≥ − 2 , 4 t 4t. pour t assez grand,. avec η ∈ (0, 1). Donc (3.10) est vérifiée. D’autre part, nous avons λ (t, t1 ) = t − t1 , alors (3.11) vérifiée 1. c (t) = 49 t− 3 . Donc, (3.12) vérifiée. Le Théorème 3.3.1 implique que la solution de l’équation (3.38) est oscillante.. 47.

(65) Chapitre 4 Oscillation pour une ´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire d’ordre n sur les ´ echelles de temps 4.1. Introduction. Dans ce chapitre, nous étudions l’oscillation de toute solution de l’équation dynamique non-linéaire d’ordre n. n−2 γ ∆2 a x∆ (t) + f (t, xα (t)) = 0,. t ∈ [t0 , +∞)T ,. (4.1). sur une échelle de templs T avec sup T = ∞, n ∈ [3, +∞)Z et n pair. Avec α, γ α1 γ1 sont de la forme α = ,γ= o` u α1 , α2 , γ1 , γ2 impairs positifs, tels que f et a α2 γ2 satisfont les conditions suivantes : (H1 ) f : T × R −→ R est une fonction continue, (H2 ) f (t, −x) = −f (t, x) pour tout t ∈ [t0 , ∞)T , x ∈ R, (H3 ) Il exist une fonction r : T −→ R+ rd-continu, tel que f (t, x) ≥ r(t), x. pour tout t ∈ [t0 , ∞)T , x ∈ R − {0} . 48. (4.2).

(66) (H4 ) a : T −→ R+ est une fonction ∆-différentiable telle que a∆ (t) ≥ 0,. pour tout t ∈ [t0 , ∞)T .. On supposera que le probléme (4.1) admet au moins une solution dans l’espace n ([t0 , ∞)T , R). Crd. 4.2. Cas o` u l’´ equation (3) admet une solution non oscillante. Lemme 4.2.1. Supposons que x est une solution éventuellement positive de (4.1) et 1 = λ ∈ R∗+ . t→+∞ a (t) lim. (4.3). Alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que n−2 γ ∆ a x∆ (t) > 0,. pour tout t ∈ [t1 , ∞)T .. (4.4). Démonstration. Supposons que x est une solution éventuellement positive de (4.1) , alors il existe t1 ∈ [t0 , ∞)T tel que x (t) > 0, pour tout t ∈ [t1 , ∞)T . γ ∆ n−2 est décroissante sur [t1 , ∞)T . Par (4.1) , en déduit que la fonction a x∆ Montrons que n−2 γ ∆ (t) > 0, a x∆. pour tout t ∈ [t1 , ∞)T .. Supposons le contraire, alors il existe une constante M > 0 et t2 ∈ [t1 , ∞)T tels que n−2 γ ∆ a x∆ (t) ≤ −M,. pour tout t ∈ [t2 , ∞)T .. Par intégration de (4.5) entre t2 a` t, on obtient . x∆. n−2. γ. (t) ≤. −M t + ξ , a (t). pour tout t ∈ [t2 , ∞)T . 49. (4.5).