EFFET DU TYPE ET DE LA TAILLE D’UN DEFAUT SUR LE COMPORTEMENT MECANIQUE D’UNE PLAQUE EN ALLIAGE DE TITANE SOUMISE A UN CHARGEMENT AXIAL

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3^ème Conférence Internationale sur

le Soudage, le CND et l’Industrie des Matériaux et Alliages (IC-WNDT-MI’12) Oran du 26 au 28 Novembre 2012, http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 74

EFFET DU TYPE ET DE LA TAILLE D’UN DEFAUT SUR LE COMPORTEMENT MECANIQUE D’UNE PLAQUE EN ALLIAGE DE

TITANE SOUMISE A UN CHARGEMENT AXIAL

A. Brick chaouche ¹, N. Tala-ighil ¹

1: DMM, Centre National de Recherche en Soudage et Contrôle (CSC), route de Dely-Ibrahim, PB 64 Cheraga 16000, a.brickchaouche@gmail.com

Résumé :

Dans la mécanique élastique linéaire de la rupture, le champ de contrainte au voisinage d’un défaut est singulier. Cette singularité varie selon la forme et la taille du défaut. Les fissures sont les défauts qui induisent la plus forte singularité ce qui a été prouvé par la théorie de Griffith [1]. En élasticité linéaire, le champ de contrainte dans une structure en présence d’une fissure est donnée en 1/(r)^1/2 (r est le rayon d’un cercle centré sur la pointe de la fissure), avec un facteur multiplicateur qui est le facteur d’intensité de contrainte K et une dépendance angulaire. Plus le rayon est faible plus on s’approche de la pointe et plus les contrainte sont singulière. En élasticité linéaire, l’utilisation de la MEF (Méthode des Eléments Finis) avec les lois de la mécanique de la rupture afin de traiter le problème d’une plaque contenant un défaut de forme latéral, permet de confirmer le résultat de la Théorie de Griffith. Trois types de défauts avec différentes tailles ont été traités : un demi-cercle de différents rayons, une entaille avec différents angles d’ouverture et une fissure de différentes longueurs.

Mots clés : Théorie de Griffith, FEM, facteur d’intensité de contrainte, taux de restitution d’énergie élastique, fissure.

1 Introduction

Dans des expériences menées sur un matériau fragile (le verre), Swedlow [2] a montré que le produit de la racine carrée de la longueur du défaut √a et de la contrainte à la rupture σf était à peu près constant :

√ (1)

En élasticité linéaire, la théorie prédit que la contrainte à l'extrémité d'une fissure dans un matériau idéalement élastique est infinie. Pour éviter ce problème, Griffith a développé une approche thermodynamique afin d’expliquer la relation qu'il a observé. Le développement d'une fissure nécessite la création de deux nouvelles surfaces et donc une augmentation de l'énergie de surface. Griffith a trouvé une expression pour la constante C sur le plan de l'énergie de surface de la fissure en résolvant le problème de l'élasticité d'une fissure finie dans une plaque élastique :

√ (2)

(2)

γ est la densité d’énergie de surface du matériau et E est le module de Young. La théorie de Griffith concorde parfaitement avec les données expérimentales sur des matériaux fragiles tels que le verre. Pour des matériaux ductiles comme l'acier, bien que la relation (1) soit toujours valable, l'énergie de surface γ prédite par la théorie de Griffith est souvent irréaliste Erdogan [3]. Un groupe de travail dirigé par Irwin [4] a réalisé que la plasticité doit jouer un rôle important dans la rupture des matériaux ductiles, Irwin a introduit le terme Gp (dissipation plastique par unité de surface de la fissure) dans l’équation (2) :

√⁽ ⁾ (3)

Il a gardé les notions énoncé par Griffith en particulier la notion du taux de restitution d’énergie (création d’énergie de surface) et relié ce taux par la notion de singularité du champ de contrainte. Dans le cas d'un chargement en mode I le champ de contrainte est donné par la formule suivante :

(_√) ( ) (4)

KI est le facteur d'intensité de contrainte en déformation plane. Des expressions de KI ont été déterminées pour un grand nombre de cas de chargement et de configuration de géométrie. Toutes les expressions sont de la forme :

√ (5)

Avec α un facteur tenant compte de la géométrie de la fissure et de la répartition des contraintes, σ le champ de contraintes dans le matériau normal au plan de fissure et en l'absence de celle-ci.

A l'amorçage d'une fissure correspond une valeur particulière de KI, cette valeur particulière est désignée par le symbole KIc et c'est une propriété du matériau au même titre que la limite d'élasticité. KIc

caractérise la résistance du matériau à la propagation des fissures. L’expression qui relie la grandeur critique GIc (la valeur critique donnée par la formule d’Irwin (3)) au facteur d’intensité de contrainte critique KIc, pour un état de déformations planes (cas des structures épaisses), est la suivante :

√ (6)

ν est le coefficient de poisson. Pour un état de contraintes planes (cas des structures minces), on a :

√ (7)

L'intégrale-J (intégrale curviligne) représente un moyen de calculer le taux de restitution de l'énergie de déformation ou de travail (énergie par unité de surface) de la zone rompue au sein d'un matériau. Introduit par Rice [5], l’intégrale-J est donnée d’une façon générale par la formule suivante :

∫ ( ) (8)

W(x1, x2) est la densité d'énergie de déformation selon les deux directions x1 et x2, (t=n.σ) est le vecteur de traction, n est la normale à la courbe Г, σ est le tenseur de contrainte de Cauchy et u est le vecteur déplacement. L’intégrale-J peut être directement lié au mode de rupture ductile. Dans le cas d'une déformation plane dans les conditions de chargement correspondant au mode I, la relation est donnée par :

(3)

( ) (9) GIc est le facteur de relaxation de l'énergie de déformation critique (ou taux de restitution d’énergie de déformation critique) et KIc est le facteur d'intensité de contrainte en rupture ductile sous chargement en mode I.

2 Problème traite

2.1 Définition du problème

Une plaque rectangulaire contenant un défaut latéral d’une certaine forme (demi-cercle, entaille latérale ou fissure) est étudiée. On fait varier la taille du défaut en faisant changer la dimension caractéristique de celui-ci. C’est le rayon pour le défaut de type demi-cercle, c’est l’angle d’ouverture (la profondeur de l’entaille est considérée constante) dans le cas d’une entaille et pour la fissure, c’est sa longueur. Les dimensions de la plaque considérée sont : une épaisseur e=2.5mm et une largeur W=50mm. Le chargement appliqué et les conditions aux limites sont représentés sur la figure 1. Le chargement appliqué F est une traction constante uniformément repartie sur la partie supérieure de la plaque et dans la direction de la longueur. La charge F est de 600Mpa et la partie inferieur de la plaque est encastrée.

Figure 1 : Géométrie de la plaque.

On note « LLigament », la longueur du ligament qui est la partie de la plaque partant du défaut jusqu'à l’autre arrête de la plaque. Le matériau constitutif de la plaque est un Alliage de Titan (TA6V) dont les caractéristiques mécaniques sont résumées dans le tableau suivant, Donachie [6] :

σa

D=2W

W

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le Soudage, le CND et l’Industrie des Matériaux et Alliages (IC-WNDT-MI’12) Oran du 26 au 28 Novembre 2012, http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 77 Tableau 1 - caractéristiques mécaniques de l’alliage de Titan (TA6V) [6].

Matériau d’élasticité ^Module E (Mpa)

Coefficient de poisson 

Limite élastique à la traction

Re (Mpa)

Résistance à la rupture en traction Rr

(Mpa)

Masse volumique

 (Kg/m3) KIc

TA6V 105000 0,3 1110 1250 4400 77-116

2.2 Résolution

Suite à la faible épaisseur de la plaque (Plaque mince), la détermination des contraintes et des déformations est effectuée en contrainte plane. La résolution du problème se fait numériquement en utilisant une méthode numérique puissante connue pour résoudre des problèmes compliqué avec géométrie complexe, cette méthode est celle des Eléments Finis (MEF). Les calculs sont effectués par le logiciel libre de la mécanique de rupture Franc2D/L, qui est basé sur la MEF, Swenson [7].

Figure 2 : Maillage de la plaque avec un défaut latéral de type a/ demi-cercle ; b/ entaille et c/ fissure.

Le maillage de la plaque pour différents type de défauts, est représenté sur la figure 2. Il est réalisé en utilisant des éléments rectangulaires à 8 nœuds et des éléments triangulaires à 6 nœuds. En ce qui concerne le défaut demi-circulaire, entaille et fissure, une discrétisation grossière est réalisé dans la zone lointaine du défaut, par contre un raffinement du maillage est indispensable à proximité du défaut, ce qui permettra d’obtenir une bonne convergence et une meilleurs précision des résultats.

Le maillage est effectué à l’aide du module CASCA du programme Franc2D/L, les données de la géométrie et du maillage sont introduit par un fichier d’entré qui sera utilisé dans l’analyse par le logiciel.

Les résultats calculés pour les trois types de défauts considérés, sont la distribution des contraintes sur toute la surface de la plaque (figure 3a, 3b et 3c), la contrainte le long du ligament (sur une ligne horizontale passant par la pointe du défaut) (figure 4a, 4b et 4c) ainsi que le facteur d’intensité de contraintes KI et le taux de restitution d’énergie élastique GI (figure 5a et 5b).

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3 Résultats

3.1 Champ de contraintes

La figure 3 représente le champ de contraintes normales σy en fonction du rayon dans le cas du défaut demi-circulaire (figure 3a), en fonction de l’angle d’ouverture dans le cas de l’entaille (figure 3b) et en fonction de la longueur du défaut dans le cas de la fissure (figure 3c).

Figure 3 : Contraintes normales σy dans la plaque pour un défaut latéral de type a/demi-cercle avec différents rayons ; b/ entaille avec différents angles d’ouverture ; c/ fissure avec différentes longueurs.

On remarque que les contraintes sont concentrées au niveau du défaut, cette concentration diminue au fur et à mesure qu’on s’éloigne de celui-ci. La concentration de contrainte augmente avec le l’accroissement du rayon du demi-cercle et de la longueur de la fissure. Dans le cas de l’entaille (figure 3b), les contraintes diminuent avec l’augmentation de l’ouverture de cette dernière, ceci s’explique par le fait que pour des petits angles d’ouverture, l’entaille tend vers une vraie fissure (entaille fermé) et d’après la théorie de Griffith, les fissures engendrent des concentrations de contrainte importantes au voisinage de la pointe. Il est intéressant de voir la distribution des contraintes dans la direction du chargement le long du ligament, en partant du défaut. Les figures 4a, 4b et 4c représentent les valeurs de la composante du champ de contrainte normale σy pour les différents types de défaut.

(a) (b) (c)

(6)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

rayon= 02,5 mm rayon= 05,0 mm rayon= 07,5 mm rayon= 10,0 mm rayon= 12,5 mm

y / F

r / w

(a)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

(b)

y / F

L / w

Tétha 11 deg Tétha 22 deg Tétha 30 deg Tétha 38 deg Tétha 45 deg

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

(c) ^L^fissure^{= 02,5 mm}

Lfissure = 05,0 mm Lfissure = 07,5 mm Lfissure = 10,0 mm Lfissure = 12,5 mm

y / F

L_Ligament / w

Figure 4 : Contrainte adimensionnelle pour a/ différents rayons du défaut demi-circulaire ; b/ différents angles d’ouverture de l’entaille et c/ différentes longueurs de la fissure le long du ligament.

Sur la figure 4a sont représentées les valeurs de σy/F pour un défaut demi-circulaire latéral. Les valeurs importantes sont au voisinage direct du défaut, elles diminuent au fur et à mesure qu’on s’éloigne du ce dernier. Il faut noter que plus le rayon et grand, plus les valeurs de σy/F augmentent. Pour toutes les valeurs du rayon, les graphes coïncide au milieu du ligament (r/W=0.4) et tendent vers des valeurs proches. Sur la partie droite du ligament l’inverse est observé et les valeurs des contraintes calculées sont plus faible pour de grands rayons du défaut, ceci et due à la déformation de la plaque contenant un défaut de type demi-circulaire latéral.

La figure 4b représente les valeurs de la composante du champ de contrainte σy/F pour le défaut de type entaille. Il s’avère que les plus grande valeurs sont au voisinage de la pointe et sont celles qui correspondent à l’entaille avec le plus petit angle d’ouverture (conformément aux résultats obtenue pour une fissure qui est considéré comme un défaut fermé), puis ils diminuent avec l’augmentation de l’angle d’ouverture. On remarque que les valeurs de σy/F sont très proches le long du ligament en s’éloignant du défaut. En conclusion, l’angle d’ouverture de l’entaille a peut d’influence sur le champ de contrainte dans le ligament loin du défaut.

Pour le cas du défaut de type fissure, les valeurs de la contrainte σy/F le long du ligament pour différentes longueurs de la fissure sont représentées sur la figure 4c. Au voisinage de la pointe, les valeurs calculées de σy/F sont faibles pour des petites longueurs de la fissure, les contraintes augmentent ensuite avec l’accroissement de la taille de la fissure. Loin de la pointe (on s’éloignant de la pointe vers la partie droite du ligament), les valeurs de σy/F tendent à se rapprocher. On peut dire que pour un défaut de type fissure, les contraintes au voisinage de la pointe sont plus sensible à la taille du défaut, cette sensibilité diminue tout en s’éloignant de la pointe.

3.2 Influence de la forme du défaut sur les valeurs de KI et GI

On considère une petite fissure de 1 mm de longueur localisée au fond d’un défaut latéral demi-circulaire et au fond d’un autre en forme d’entaille. Différents rayons et angles d’ouverture ont été envisagés pour les défauts de formes demi-circulaires et entaille, respectivement. Les valeurs du facteur d’intensité de

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contrainte KI et le taux de restitution d’énergie élastique GI, pour les deux cas sont représentées sur les figures 5a et 5b.

D’après la figure 5, le facteur d’intensité de contraintes KI et le taux de restitution d’énergie GI sont très sensible au rayon du défaut en demi-circulaire et augmentent considérablement avec ce dernier. Par contre, pour le défaut de type entaille, les facteurs KI et GI varies très peu avec l’angle d’ouverture et on peut dire qu’ils sont quasiment constants.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

r/w ; /90 KI (Mpa.m1/2)

Demi-cercle Entaille

(a)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

(b)

GI (J.m-2)

r/w ; /90

Demi-cercle Entaille

Figure 5 : a/Coefficient d’intensité de contrainte KI et b/ Taux de restitution d’énergie GI, dans le cas d’une petite fissure de 1mm de longueur, localisée au fond d’un défaut en demi-circulaire et en entaille.

4 Conclusion

La présente étude paramétrique a permis de tirer des conclusions sur l’influence du type et de la taille d’un défaut sur le comportement mécanique d’une plaque mince soumise à un effort de traction. Il s’avère que les défauts de type demi-circulaire latérale sont des défauts qui engendrent les plus faibles contraintes par rapport aux autres types de défauts, à savoir les entailles et les fissures. Les entailles sont caractérisées par l’angle d’ouverture, le champ de contraintes est plus sensible aux entailles de faible ouverture conformément aux résultats analytique obtenue pour une fissure (entaille fermée). Les fissures sont les défauts qui ont le plus d’influence sur le champ de contrainte qui est très sensible à la taille de la fissure.

Références

[1] A. A. Griffith “The phenomena of rupture and flow in solids”, Phil. Trans. Roy. Soc. London, CCXXI-A, pp. 163-198, 1920.

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[2] Jerold L. Swedlow “On Griffith's theory of fracture”, International Journal of Fracture Mechanics, Vol. 1, Issue 3, pp. 210-216, 1965.

[3] E. Erdogan “Fracture Mechanics”, International Journal of Solids and Structures, Vol. 27, pp. 171- 183, 2000.

[4] G. Irwin “Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 24, pp. 361-364, 1957.

[5] J. R. Rice “A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 35, pp. 379-386, 1968.

[6] Matthew J. Donachie “Titanium: A Technical Guide”, ASM International, 381 pages, 1988.

[7] D. Swenson, M. James “FRANC2D/L: A Crack Propagation Simulator for Plane Layered Structures”, Kansas State University, Manhattan, Kansas, USA.