DETERMINATION DU NOMBRE DE COMPOSANTES D’UN SIGNAL InSAR

(1)

MEMOIRE

Présenté pour l’obtention du diplôme de MAGISTER Filière :

Systèmes Electroniques Option :

Techniques Avancées en Traitement de Signal

Par : M. CHIBANE Farid Ingénieur d’Etat en Electronique

( option : Contrôle )

Soutenu publiquement le : … / … / … devant le jury composé de :

Président : M. SMARA Y. Professeur / USTHB

Examinateurs : M. BELOUCHRANI A. Maître de conférences / ENP M. ATROUZ B. Chargé de cours / EMP

M. HAMADOUCHE M. Chargé de recherche / DRD-CFDAT Rapporteur : M. OULDALI A. Maître de conférences / EMP

DETERMINATION DU NOMBRE DE COMPOSANTES D’UN SIGNAL InSAR

AFFECTE PAR UN BRUIT

MULTIPLICATIF

(2)

Remerciements

Je tiens tout d’abord à exprimer mes remerciements à tous les membres du jury qui ont bien voulu accepter de juger mon travail.

Je remercie aussi le Col. M. Gouigah, chef d’UER Electronique, le Col. B. Atrouz responsable de l’option ‘‘ Techniques avancées en traitement du signal ’’ et le Col. S. Kellali responsable de l’option ‘‘ Télécommunications ’’, ainsi que le personnel des UER Electronique et Automatique de l’Ecole Militaire Polytechnique.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude et ma plus grande reconnaissance à mon directeur de mémoire le Cdt. Abdelaziz OULDALI, Maître de conférences à l’EMP pour m’avoir dirigé et assisté tout au long de ce travail. Je le remercie également pour ses nombreux conseils et remarques qui m’ont été d’une grande utilité.

Je tiens aussi à présenter mes remerciements à mes camarades de la 7^eme promotion, en particulier Mohamed, Abdelmalek et M’hamed sans oublier mes amis Boukhalfa, Mokrane le Lillois et Karim le Nantais etc. …

(3)

à toute ma famille

(4)

Liste des abréviations

AB0 Approche bi= 0 AB1 Approche b_i= 1

AIC Akaike information criteria ALU Antenne linéaire uniforme DDL Degré de liberté

EDC Efficient detection criteria

ESPRIT Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques

FB Forward-Backward

InSAR Interferometric synthetic aperture radar ITC Information theoretic criteria

MAP Maximum a posteriori probability MDL Minimum description length MV Maximum de vraisemblance MUSIC Multiple signal classification PCE Probabilité d’estimation correcte POE Probabilité de surestimation PUE Probabilité de sous-estimation SAR Synthetic aperture radar SNR Rapport signal sur bruit

(5)

Liste des notations

K Nombre de capteurs

Ne Nombre d’observations

Ns Nombre de composantes

y(n) Signal InSAR xi(n) Bruit multiplicatif

b_i Paramètre de la fonction de corrélation du bruit multiplicatif

v(n), n(n) Bruit blanc additif

Θ Produit de Hadamard

τi Texture radar

ϕi Phase interférométrique

a(ϕi) Vecteur directionnel

Ai Matrice diagonale des a(ϕi) σ²_v Variance du bruit additif

Ci Matrice de covariance du bruit multiplicatif Ry Matrice de covariance du signal InSAR

Rˆ (Rˆ_FB₎ Matrice de covariance estimée ( forward-backward )

Rˆ Conjugué de Rˆ

J Matrice d’échange

I Matrice identité

λi Valeurs propres de R_y

U Matrice des vecteurs propres ΛΛ

ΛΛ Matrice diagonale des valeurs propres λi

f (y/ϑ(m)) Densité de probabilité du signal InSAR ϑ^(m) Vecteur des paramètres du signal InSAR p(η(m)) Fonction pénalité

η(m), β(m) Nombre de degré de liberté

(6)

Liste des Figures

Figure I.1: Géométrie du système interférométrique en présence de layover (Exemple

de trois sources layover) B : ligne de base, hi : hauteur, θi : angle d’altitude, R : résolution en distance.……..……….…2

Figure I.2 : Géométrie du système InSAR classique à deux antennes.………3

Figure I.3 : Géométrie asymétrique du système InSAR à trois antennes....3

Figure II.1 : Valeurs propres de la matrice de covariance du signal (à l’échelle logarithmique) paramétrées par : (a) b1=b2=[0, 0.2, 0.5, 0.7, 1] ; (b) b1= 0.2 et b2=[0, 0.2,

0.5, 0.7, 1]. ..………....………. 12

Figure III.1 : Résultats de simulation des ITC en fonction de b2 : (a) ancien degré de liberté ; (b) nouveau degré de liberté. ……….……20

Figure III.2 : Comparaison de EDC1 et EDC2 évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction de b2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….…21 Figure III.3 : Comparaison de AIC et MDL évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction de b2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………...22

Figure III.4 : Résultats de simulation des ITC en fonction de Ne : (a) ancien degré de liberté ; (b) nouveau degré de liberté. ………23

Figure III.5 : Comparaison de EDC1 et EDC2 évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction de N_e: (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………...24

Figure III.6 : Comparaison de AIC et MDL évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction de N_e: (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………...25

Figure III.7 : Résultats de simulation des ITC en fonction de ∆ϕ⁼ϕ2-ϕ1 : (a) ancien degré de liberté ; (b) nouveau degré de liberté. ………26

Figure III.8 : Comparaison de EDC1 et EDC2 évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction de ∆ϕ⁼ϕ2-ϕ1 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………..27

(7)

Figure III.9 : Comparaison de AIC et MDL évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction de

∆ϕ⁼ϕ2-ϕ1 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………...28

Figure III.10 : Résultats de simulation des ITC en fonction du SNR2 : (a) ancien degré de liberté ; (b) nouveau degré de liberté. ………...29

Figure III.11 : Comparaison de EDC1 et EDC2 évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction du SNR2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………...30

Figure III.12 : Comparaison de AIC et MDL évalués avec η1(m) et η2(m) en fonction du SNR2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………...31

Figure III.13 : Résultats de simulation de Capon et Capon-FB comparés à EDC2 et EDC2-FB en fonction de b₂ : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ...………...33

Figure III.14 : Résultats de simulation de Capon et Capon-FB comparés à EDC2 et EDC2-FB en fonction de N_e : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………..34

Figure III.15 : Résultats de simulation de Capon et Capon-FB comparés à EDC2 et EDC2-FB en fonction de ∆ϕ : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………..35

Figure III.16 : Résultats de simulation de Capon et Capon-FB comparés à EDC2 et EDC2-FB en fonction du SNR2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….36

Figure III.17 : Résultats de simulation de MUSIC et MUSIC-FB comparé à Capon et Capon-FB en fonction de b2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….….38

Figure III.18 : Résultats de simulation de MUSIC et MUSIC-FB comparé à Capon et Capon-FB en fonction de N_e : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ………..39

Figure III.19 : Résultats de simulation de MUSIC et MUSIC-FB comparé à Capon et Capon-FB en fonction de ∆ϕ⁼ ϕ2-ϕ1 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….40

Figure III.20 : Résultats de simulation de MUSIC et MUSIC-FB comparé à Capon et Capon-FB en fonction du SNR2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….41

(8)

Figure III.21 : Résultats de simulation de AIC (approche bi connus) comparés à Capon, Capon-FB et AIC évalué avec η1(m) en fonction de b₂ : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous- estimation. ………..44 Figure III.22 : Résultats de simulation de AIC (approche bi connus) comparés à Capon, Capon-FB et AIC évalué avec η1(m) en fonction de N_e : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous- estimation. ……….……….45 Figure III.23 : Résultats de simulation de AIC (approche bi connus) comparés à Capon, Capon-FB et AIC évalué avec η1(m) en fonction de ∆ϕ⁼ϕ2-ϕ1 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous- estimation. ……….……….46 Figure III.24 : Résultats de simulation de AIC (approche bi connus) comparés à Capon, Capon-FB et AIC évalué avec η1(m) en fonction du SNR2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous- estimation. ……….……….47

Figure III.25 : Résultats de simulation des approches AB0 et AB1 comparées à Capon et Capon-FB en fonction de b2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….49

Figure III.26 : Résultats de simulation des approches AB0 et AB1 comparées à Capon et Capon-FB en fonction de Ne : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….50

Figure III.27 : Résultats de simulation des approches AB0 et AB1 comparées à Capon et Capon-FB en fonction de ∆ϕ⁼ϕ2-ϕ1 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….51

Figure III.28 : Résultats de simulation des approches AB0 et AB1 comparées à Capon et Capon-FB en fonction du SNR2 : (a) probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation. ……….52

(9)

SOMMAIRE

Liste des abréviations i

Liste des notations ii

Liste des figures iii

Sommaire vi

Chapitre I : Introduction générale 1

I.1 Technique InSAR à plusieurs antennes 1

I.2 Principe de l’interférométrie radar 2

I.3 Quelques méthodes de sélection de l’ordre du modèle 6 I.4 Les quelques méthodes de sélection de l’ordre et particularité du modèle

InSAR 7

I.5 Cadre et résumé du travail effectué 7

Chapitre II : Modèle des signaux InSAR et Principe des Méthodes ITC 9

II.1 Introduction 9

II.2 Modèle mathématique des signaux InSAR 9

II.3 Matrice de covariance des signaux InSAR 10

II.4 Principe des méthodes ITC 13

II.5 Démarche de Wax et Kailath 14

Chapitre III : Approches proposées et résultats des simulations 17

III.1 Introduction 17

III.2 Influence du nombre de degré de liberté 18

III.2.1 Influence du paramètre b de la fonction de corrélation 19 III.2.2 Influence du nombre d’observations Ne 23

III.2.3 Influence de la différence de phase 26

III.2.4 Influence du rapport signal sur bruit (SNR) 29 III.3 Approche basée sur l’utilisation de la méthode de Capon 32 III.3.1 Influence du paramètre b de la fonction de corrélation 32

III.3.2 Influence du nombre d’observations Ne 34

(10)

III.3.4 Influence du rapport signal sur bruit 36 III.4 Approche basée sur l’utilisation de MUSIC 37 III.4.1 Influence du paramètre b de la fonction de corrélation 37 III.4.2 Influence du nombre d’observations N_e 39

III.4.4 Influence du rapport signal sur bruit 41

III.5 Application du critère AIC sur le modèle de probabilité réel du signal 42

III.5.1 Estimateurs sous-optimaux 43

III.5.2 Casbi connus 43

III.5.7 Cas b_i inconnus 48

III.6 Conclusion 53

Chapitre IV : Conclusion générale 55

IV.1 Conclusion générale 55

IV.2 Perspectives 56

Bibliographie

(11)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre I : Introduction générale

Chapitre I : Introduction générale

I.1 Technique InSAR à plusieurs antennes

La technique ‘‘interférométrique synthetic aperture radar (SAR)’’ (InSAR) est une méthode de plus en plus utilisée pour l’obtention de cartes numériques, haute résolution, à trois dimensions (3D) avec une estimation précise de la hauteur des points de l’image. La hauteur de ces derniers est estimée, en général, à partir de la différence de phase entre deux images SAR complexes 2D, obtenues par deux capteurs (capteur = antenne) légèrement séparés [33].

Les domaines d’application de la technique InSAR sont assez nombreux. Nous citons à titre d’exemple :

- La télédétection - L’imagerie radar - L’urbanisme

- La géophysique, l’hydraulique et la sylviculture etc. …

La technique InSAR classique utilise deux voies de réception permettant de mesurer la troisième dimension : la hauteur. Cependant, dans certaines situations, cette technique est handicapée par son faible pouvoir de résolution le long de cette dimension. En effet, dans le cas où la scène illuminée, par les deux SAR, présente des surfaces inclinées, telles que les reliefs montagneux ou accidentés, le signal reçu par les deux antennes est la superposition des échos réfléchis issus de plusieurs parcelles de terrains qui se trouvent dans la même surface de gisement (azimut) ; mais qui ont des hauteurs différentes (Cf. figure I.1). Ce phénomène est généralement plus connu

(12)

sous le nom ‘‘layover phenomenon’’. Il s’agit précisément d’une distorsion géométrique observable sur les relevés radars, engendrée par le déplacement du relief illuminé par le capteur.

Pour minimiser l’effet du problème de layover, un regain d’intérêt très particulier s’est porté, ces dernières années, sur la technique InSAR à plusieurs antennes [6], [10] et [24]. Cette dernière a été proposée à l’origine pour réduire les problèmes de bruit et d’ambiguïté de phase [14].

I.2 Principe de l’interférométrie radar

Considérons un système InSAR classique à deux antennes et un point cible, comme représenté sur la figure I.2. Les deux antennes sont séparées par une distance appelée ligne de base, B [43]. Une impulsion avec une fréquence porteuse f₀ est transmise de l'antenne 1 dans la direction de la surface. Le point cible réfléchis l'impulsion transmise dans la direction des antennes et l'écho est reçu à l'antenne 1 avec un temps td1et à l'antenne 2 avec un temps td2qui sont donnés par :

Figure I.1:Géométrie du système interférométrique en présence de layover (Exemple de trois sources layover): B : ligne de base, h_i : hauteur, θi : angle d’altitude, R : résolution en distance

hauteur B

niveau du sol

θ1

K

1 2

h1

h₂ h3

r r

2 r θ

θ3 ^R

(13)

P r2

2

1 B

niveau du sol hauteur

h r1

θ

Figure I.2 : Géométrie du système InSAR classique à deux antennes

P b13

2

3

1 b12

b23

niveau du sol hauteur

h

Figure I.3 : Géométrie asymétrique du système InSAR à trois antennes.

(14)

c

t_d₁ = 2.r¹ (I.1)

c r

t_d₂ = r¹ + ² (I.2)

où r₁et r2 sont les distances qui séparent les antennes 1 et 2 du point cible et c est la vitesse de la lumière. La phase des signaux reçus à l'antenne 1 et 2 est liée au temps de retard, et est donnée par :

{ }







 



 



 −

=

−

= λ

4π )

. . 2π

( ₁ ¹

1

exp r arg t

f exp

arg

ψ ₀ _d (I.3)

{ }







 



 



 − +

=

−

= λ

) ( 2π )

. π . 2

( ₂ ¹ ²

2

r exp r

arg t

f exp

arg

ψ ₀ _d (I.4)

La différence de phase entre les deux signaux a une grande importance dans l'interférométrie. Elle est désignée sous le nom de phase interférométrique

ϕ

¹²^{et est}

définis par :

{ }







 



 



− −

=

−

= λ

) ( 2π )

( ₁ ₂ ² ¹

12

r exp r

arg exp

arg

ψ ψ ψ (I.5)

Par cette définition, la phase interférométrique est limitée à l’intervalle (- π, + π].

Dans une géométrie InSAR classique, la phase interférométrique mesurée est une mesure modulo 2π de la phase absolue

ϕ

12 :

( )

λ

2 ₂ ₁

12

r r π −

ϕ = (I.6)

La relation entre la phase interférométrique mesurée et la différence de phase absolue est exprimée mathématiquement comme suit :

ϕ

¹² =

ψ

¹² + k. 2. π (I.7)

ψ

¹² = W (

ϕ

¹²⁾ ^(I.8)

où kest un nombre entier et W (.) est un opérateur qui convertit la phase absolue en phase interférométrique. Dans l'interférométrie, la hauteur des points de l’image est calculée à partir de la différence de phase interférométrique en utilisant des expressions géométriques simples [33]. Cependant, comme la hauteur est liée à la phase absolue, la phase interférométrique mesurée modulo 2π doit être déroulée afin de récupérer la phase absolue [15].

(15)

Réduction de l’ambiguïté de phase

Dans le InSAR à plusieurs antennes, l'ajout de plus d'antennes au conventionnel InSAR engendre plusieurs lignes de base par opposition à une ligne de base simple dans le InSAR classique. Les différentes lignes de base produisent plusieurs mesures de phase interférométriques, chacune avec une ambiguïté différente. Si les antennes sont arrangées dans une configuration, par exemple, asymétrique, une combinaison de la diversité résultante des ambiguïtés peut être utilisée pour réduire l'ambiguïté globale du système.

Afin de comprendre la réduction de l'ambiguïté, considérant un système InSAR à trois antenne représenté dans la figure I.3. Les résultats de la configuration asymétrique des antennes donnent deux longues lignes de base entre la première et la deuxième antenne, la première et la troisième antenne et une ligne de base courte entre les deux dernières antennes. Ces lignes de base sont désignés sous le nom de b₁₃, b12 et b23, avec des indices se rapportant à la paire d'antenne utilisée. En utilisant cette diversité de ligne de base, l'ambiguïté globale du système à trois antennes peut être réduite [21], [26]. En fait,il a été montré [5][6], que pour un facteur asymétrique p

p =

13 23

b

b (I.9)

l'ambiguïté globale du système à trois antennes est réduite par ce dernier (p est un entier) comparé à l'ambiguïté du système équivalent à deux antennes avec la première et la troisième antenne. Ce facteur est généralement désigné sous le nom de facteur de perfectionnement d'ambiguïté. L'ambiguïté du système à trois antennes ∆θ est donnée par :

∆θ123 = p ∆θ13 (I.10)

où ∆θ13 est l'ambiguïté du système équivalent à deux antennes ; la première et la troisième antennes. L'ambiguïté réduite dans le système à trois antennes, réduit également la quantité de phase-aliasing dans la phase interférométrique pour les surfaces raides [5][6]. En conséquence, la hauteur peut être estimée avec précision par la réduction de phase-aliasing des zones raides. Dépendant des paramètres du système SAR et de sa géométrie ; la réduction de l'ambiguïté peut être un moyen pour obtenir la phase absolue et ainsi calculer la hauteur directement à partir des données mesurées sans passer par le déroulement de phase.

(16)

Estimation des phases interférométriques

Dans la technique InSAR à plusieurs antennes, l’estimation des phases interférométriques nécessaires pour déterminer la hauteur des points de l’image peut se faire en deux étapes :

- Détermination du nombre de sources (source = composante) : problème de détection ou problème de sélection d’ordre du modèle.

- Retrouver les paramètres de chaque composantes du signal : problème d’estimation.

Le problème de la sélection de l’ordre du modèle des signaux InSAR, différent de celui traité en général dans la littérature comme nous le verrons ultérieurement, a été étudié à l’origine dans [11]. Cet aspect fera l’objet du présent travail. Le second problème a été abordé, dans de nombreux travaux de recherche [12], [18], [23] et [25], en supposant a priori connu le nombre de sources. Cet aspect ne sera pas abordé dans ce travail.

I.3 Quelques méthodes de sélection de l’ordre du modèle

Dans les applications pratiques tels que le sonar passif ou le radar, le signal reçu est modélisé par la somme d’un nombre fini de signaux affectée par un bruit additif.

Dans [8], [39] et [44] ce bruit est supposé blanc et centré (le cas de bruits colorés est traité dans [9] et [45]). Pour la détermination du nombre de signaux de cette somme, certains auteurs ont utilisé les critères d’information théoriques ‘‘Information Theoretic Criteria’’ (ITC) entre autres :

- Wax et Kailath [36] ont proposé d’utiliser le critère d’information d’Akaïke (AIC) et le critère ‘‘Minimum Description Length’’ (MDL).

- Zhao et al. [44] ont proposé d’utiliser les critères de détection efficace (EDC) : ‘‘Efficient Detection Criteria’’.

D’autres approches pour l’estimation de l’ordre ont été proposées, telles que : - Méthodes des valeurs propres [40].

- Maximum a posteriori probability (MAP) [16]

- Tests d’hypothèses séquentiels [28].

Parmi ces méthodes, les ITC sont de loin les plus utilisés. L’avantage de l’utilisation de ces critères est que la décision est adoptée d’une façon non subjective par la minimisation d’une fonction coût.

(17)

I.4 Les quelques méthodes de sélection de l’ordre et particularité du modèle InSAR

Les ITC, ainsi que les autres approches citées ci-dessus, sont conçues pour traiter le cas de la somme finie de signaux à amplitude constante affectée par un bruit additif qui n’est malheureusement pas le cas des signaux InSAR. En effet, le signal réfléchi (reçu par l’antenne SAR) est affecté par un bruit multiplicatif. Ce phénomène est communément appelé “Speckle”. Ces perturbations (bruits) modifient la structure de la matrice de covariance du signal reçu entraînant, en particulier, la perte de la propriété sur laquelle toutes ces méthodes sont fondées :

‘‘disparition de la propriété d’égalité des plus petites valeurs propres’’.

Cette modification de la structure de la matrice de covariance, rend par conséquent non fondée l’application directe de ces méthodes sur les signaux InSAR. En effet, et à titre d’exemple, les résultats obtenus dans [11] montrent les limites des critères ITC dans la détermination du nombre de composantes dans le modèle InSAR. Par conséquent, la recherche de nouvelles méthodes beaucoup plus performantes s’avère plus qu’indispensable.

I.5 Cadre et résumé du travail effectué

Notre travail, qui fait abstraction des aspects relatifs à la géométrie du système InSAR, s’inscrit dans le cadre de la proposition de nouvelles méthodes pour sélectionner l’ordre du modèle (nombre de composantes). Pour ce faire, nous suivons la démarche suivante, qui résume succinctement le présent mémoire :

1. Dans le chapitre II, nous présentons le modèle mathématique utilisé pour caractériser les signaux InSAR ainsi que le principe des méthodes ITC.

2. Dans le chapitre III, nous mettons en évidence l’importance du choix du nombre de degré de liberté (DDL). En effet, en choisissant un nouveau nombre de DDL proposé dans [37] nous parvenons à améliorer relativement les résultats de [11].

Outre ces améliorations, nous proposons, pour la détermination du nombre de composantes, d’utiliser :

(18)

a. la méthode de Capon

b. un algorithme basé sur la méthode MUSIC

c. le critère d’Akaïke, appliqué sur le modèle de probabilité réel du signal, en remplaçant les estimateurs du maximum de vraisemblance (MV) des paramètres inconnus par d’autres estimateurs non optimaux.

3. Enfin, la conclusion générale et les perspectives sont présentées dans le chapitre IV.

(19)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre II : Modèle des signaux InSAR et Principe des Méthodes ITC

Chapitre II : Modèle des signaux InSAR et Principe des Méthodes ITC

II.1 Introduction

Les ITC sont des méthodes qui sont très souvent utilisées pour la sélection de l’ordre d’un modèle. Ces critères sont fondés sur la décomposition de l’espace vectoriel des observations en sous-espace signal, dont la dimension est l’ordre du modèle, et en sous-espace bruit. Cette décomposition n’est possible qu’une fois connu le modèle du signal et sa matrice de covariance. C’est pourquoi, la connaissance du modèle mathématique des signaux InSAR est nécessaire.

Le présent chapitre est organisé de la manière suivante :

- Dans le paragraphe II.2, nous présentons le modèle mathématique des signaux InSAR.

- Puis, dans le paragraphe suivant, nous donnons l’expression de la matrice de covariance de ces signaux et nous étudions l’effet des paramètres de la fonction de corrélation du bruit multiplicatif sur les valeurs propres.

- Dans le paragraphe II.4, nous présentons brièvement les méthodes ITC ; en particulier les critères AIC, MDL et EDC.

- Enfin, dans le paragraphe II.5, nous rappelons la démarche de Wax et Kailath.

II.2 Modèle mathématique des signaux InSAR [11]

Soit un système InSAR avec K capteurs alignés pour former une antenne linéaire uniforme (ALU). Le modèlemathématiqueest le suivant :

(20)

( ) τ ( )Θ ( ) ( )

1

n n

n _i _i

N i

i

S

v x

a

y =

∑

+

= ϕ ^,n = 1, …, N_e (II.1) où y(n), a(ϕi), xi(n) et v(n) sont des vecteurs complexes de dimension K, τi est un réel non négatif, Θ représente le produit de Hadamard, N_e est le nombre d’observations et enfin Ns le nombre total de composantes.

τi est appelée texture. C’est un paramètre déterministe inconnu. Il ne varie pas d’une observation à une autre, mais il est différent d’une source à une autre.

Le terme a(ϕi) est appelé vecteur directionnel de la i^eme source. Il est donné par : a(ϕi) = [1, …, exp{j (k - 1) ϕi / (K-1)}, …, exp{j ϕi } ]^T (II.2) où ϕi est une phase interférométrique déterministe inconnue . Cette dernière est liée à la fréquence spatiale ωi : ϕi = (K-1) ωi. Connaissant les phases interférométriques {ϕi}i=1,…,Ns, les hauteurs {hi} i=1,…,Ns des Ns sources peuvent être déterminées.

Le terme xi(n) représente le Speckle qui agit comme un bruit multiplicatif. On le modélise comme étant un processus gaussien complexe corrélé, centré, de variance unité et de matrice de covariance :

^Cⁱ⁼^E

{

^xⁱ⁽ⁿ^).^x^Hⁱ ⁽ⁿ⁾

}

, i = 1, …, Ns et n = 1, …, Ne (II.3) Les vecteurs {xi(n)}i=1,…,Ne sont supposés mutuellement indépendants et identiquement distribués, et {xi(n)}i=1,…,Ns sont aussi mutuellement indépendants.

Le vecteur v(n), qui modélise le bruit thermique, est un bruit blanc additif gaussien complexe, de variance σv² supposée connue ou parfaitement estimée tout au long du présent travail.

Remarque 2.1 : Le modèle (II.1) n’est pas propre à ce domaine. En effet, on rencontre ce type de modélisation dans d’autres applications [4].

II.3 Matrice de covariance des signaux InSAR

Sachant que le bruit additif et les bruits multiplicatifs (au nombre de N_s) sont gaussiens, alors le vecteur des observations y(n) est gaussien, centré et de matrice de covariance :

(21)

^R^y⁼^E

{

^y⁽ⁿ^).^y^H⁽ⁿ⁾

}

⁼ Â^CÂ ²Î

1

σ τ _i _i _i^H _v

N i

i

S +

∑

=

, (II.4) où Ai = diag{ a(ϕi) } est une matrice diagonale de dimension (K×K ) .

Dans les applications InSAR, très souvent on admet que les bruits {xi(n)}i=1,…,Ns

ont une fonction de corrélation triangulaire [24] [27] :







− −

=

0 1 1 )

( ⁱ

i

K b k k

c avec 0 ≤ b_i ≤ 1 (II.5)

Effet du bruit multiplicatif sur les valeurs propres de Ry

L’effet des paramètres bi de la fonction de corrélation du Speckle sur la dispersion des valeurs propres est illustré dans la figure II.1. Les paramètres du signal sont : N_s =2, ϕ1 = -ϕ2 = -270°, b₁ = b₂ = 0.2, SNR1 = SNR2 = 12 dB (SNRi= τi/(σv)²), σv = 1, K = 8, Ne = 32. La courbe représentée par b1 = b2 = 0 dans la figure II.2, se rapporte au cas de Speckle complètement corrélé, c.a.d un signal sinusoïdal à amplitude constante. Dans ce cas, le nombre de valeurs propres différentes de 1 est égal au nombre NS de composantes. Par ailleurs, lorsque les paramètres b1 et/ou b2

s’écartent de zéro, l’effet de la décorrélation du signal est tel qu’on ne peut pas séparer nettement les valeurs propres dues au signal de celles dues au bruit. Par ailleurs, dans le cas d’un bruit multiplicatif corrélé, nous remarquons aussi qu’il n’y a pas un grand intervalle entre les valeurs propres du signal et celles du bruit.

bi

K k≤( −1)/ pour

ailleurs

(22)

1 2 3 4 5 6 7 8

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

index i

Valeurs propres (log10)

( a ) ( a ) ( a ) ( a )

b1= b2= 0 b1= b2= 0.2 b1= b2= 0.5 b1= b2= 0.7 b1= b2= 1

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

index i

Valeurs propres (log10)

( b ) ( b ) ( b ) ( b )

b1= 0.2,b2= 0 b1= 0.2,b2= 0.2 b1= 0.2,b2= 0.5 b1= 0.2,b2= 0.7 b1= 0.2,b2= 1

Figure II.1 : Valeurs propres de la matrice de covariance du signal (à l’échelle logarithmique) paramétrées par : (a) b1=b₂=[0,0.2,0.5,0.7,1] ; (b) b1=0.2 et b2=[0,0.2,0.5,0.7,1].

(23)

Modèle ‘‘signal sinusoïdal à amplitude constante’’

Ce modèle s’obtient à partir du modèle InSAR donné par l’équation (II.1) pour b1 = b2 = … = bNs= 0. Ceci signifie que le signal est spatialement complètement corrélé.

Dans ce cas :

x_i(n)=x_i(n)1, avec 1=[1 …1]^T (II.6) Le signal y(n) et la matrice de covariance (II.4) deviennent respectivement :

( ) τ ( ) ( ) ( )

1

n n

x

n _i _i

N i

i

S

v a

y =

∑

+

= ϕ ^, n =1, … , Ne (II.7) R ²a a ²I ACA ²I

1

σ σ

σ ( ) ( )

τ xi i i v v

N

i i

y ^H ^H

S + = +

=

∑

= ϕ ϕ (II.8) où ^σ²xi=^E

{

^xi⁽ⁿ⁾^xi∗⁽ⁿ⁾

}

est la puissance de la i^eme source, A =[a(ϕ1), a(ϕ2), …, a(ϕNs)] est la matrice directionnelle, de dimension (K × Ns) , et C = diag{τ_iσ²_xi} est la matrice signal, de dimension (Ns× Ns).

II.3 Principe des méthodes ITC

Comme préalablement souligné, dans l’introduction, l’ensemble de ces critères est fondé sur la décomposition de l’espace vectoriel des observations en sous-espace signal, dont la dimension est l’ordre du modèle, et en sous-espace bruit. Pour appliquer les ITC, on nécessite le calcul de familles de densité de probabilité

{

f(^y/ϑ(m))

}

^K_m₌⁻0¹ où :

- ϑ(m) est le vecteur des paramètres qui décrivent le modèle générant le signal observé y(n).

- m est le nombre de composantes considérées présentes dans le signal utile.

- K est le nombre de capteurs de l’antenne.

Ces critères sont définis par :

ITC(m)=−ln f(^y/ϑˆ(m)) + p(η(m)) (II.9) où ϑˆ m( ) est l’estimateur du MV de ϑ(m) sous l’hypothèse que m composantes sont présentes dans le signal et p(η(m)) est la fonction pénalité qui est fonction du nombre de DDL η(m) du modèle.

(24)

Le nombre de composantes NS est estimé comme suit : Nˆ argmin ITC(m)

m

S = (II.10) Le choix de la fonction pénalité p(η(m)) est la seule différence entre AIC, MDL et EDC. En effet si pour le critère AIC : p(η(m)) = η(m), alors :

- pour MDL : p(η(m)) = { η(m) Log Ne} / 2 - pour EDC1 : p(η(m)) = η(m) Log Ne - pour EDC2 : p(η(m)) = η(m) N log_e N_e

II.4 Démarche de Wax et Kailath [36]

Nous allons présenter la démarche proposée dans [36] (modèle ALU à K capteurs) dans le cas d’un ‘‘signal sinusoïdal à amplitude constante’’. Soit :

( ) ( ) ( ) ( )

1

n n s n

NS

i i i

d a n

y =

∑

+

= ϕ , n = 1, …, N_e (II.11) où si(n) sont les amplitudes complexes des NS sources, a(ϕi) est le vecteur directionnel de dimension (K×1), {ϕi}i=1,…,Ns sont des paramètres déterministes inconnues, n(n) est un bruit blanc additif, de dimension (K×1), centré et de variance σ², et N_ele nombre d’échantillons. En utilisant l’écriture matricielle, yd(n) sera réduit à :

yd(n) = A(ϕϕϕϕ) s(n) + n(n) (II.12) où A(ϕϕϕϕ) est la matrice directionnelle de dimension (K × NS), ϕϕϕϕ = [ϕ₁ϕ₂...ϕN_S]^T et s(n) est le vecteur signal de dimension (NS×1) .

L’expression de la matrice de covariance des observations y(n) est donnée par : R=ACA^H + σ²I (II.13) où C = E{s(n) s^H(n)} est la matrice de covariance du signal de dimension (NS×NS).

La matrice R a la même structure que Ry dans (II.8) en l’absence de bruits multiplicatifs. R peut être réécrite comme suit :

UH

Λ U

R= (II.14)

où U est une matrice contenant les vecteurs propres et Λ est une matrice diagonale contenant les valeurs propres

{

λ₁,λ2,...,λNS

}

telles que :

(25)

σ2 2 ...

1 ≥ λ ≥ ≥ λ_N_S >

λ

2 2

1 = ₊ =... = = σ

+ N K

N_S

λ

_S

λ

Les (K- Ns) plus petites valeurs propres de R sont égales à σ² (variance du bruit additif). Le nombre de signaux Ns peut être estimé directement à partir de la multiplicité de la plus petite valeur propre. Etant donné que R est malheureusement inconnue, en pratique celle-ci doit être estimée à partir d’une séquence finie d’échantillons (soit Rˆ cette estimée). Cette opération fait en sorte que toutes les valeurs propres de Rˆ sont différentes les unes des autres avec une probabilité 1. Ce fait montre que l’application de ce principe peut induire des erreurs d’estimation de Ns. Pour remédier à ce problème Wax et Kailath proposent d’estimer ce nombre comme suit :

- Estimer R comme suit :

∑

=

= ^e

N

e n

n N n

H 1

) ( ) 1 (

ˆ y y

R (II.15)

- Estimer les λi et les ordonner en ordre décroissant - Calculer : ITC(m)=−ln f(^y/ϑˆ(m)) + p(η(m)) avec : η(m)=m(2K-m) et :

ln

















−

=

∑

∏

+

=

−

+

= K

m i

i m

K

m i

i e

λ m

K

λ

m K N m f

1 )

(

1

) (

ln 1 ) (

) ) ˆ( /

(^y ϑ (II.16)

Remarque 2.2 : Dans la référence [38], les auteurs ont proposé des fonctions log-

vraissemblance et des DDL très complexes.

Remarque 2.3 : Dans [42] les auteurs proposent d’utiliser la matrice de covariance estimée forward-backward (FB) :

( ˆ ˆ ) 2

ˆ 1 R JRJ

RFB= + (II.17)

où J est la matrice d’échange définie par :













=

0 1

1 0

J ⋰ (II.18)

(26)

Dans ce cas, les auteurs proposent d’utiliser dans les ITC : - la matrice RˆFBpour le calcul des valeurs propres - et un nouveau nombre de degré de liberté : (2 1)

) 2 (

η_FB m = m K−m+ (II.19) L’utilisation de la matrice de covariance Rˆ_FB élimine dans une certaine mesure les perturbations non désirées (bruits), en doublant le nombre d’échantillons et découple les sources cohérentes. Cependant, elle modifie de manière significative les propriétés statistiques du bruit, introduisant la corrélation de celui-ci [42].

Remarque 2.4 : En supposant que les sources sont indépendantes et que le bruit est blanc, les méthodes ITC sont un moyen puissant pour estimer le nombre de sources. En présence de sources corrélées, les méthodes ITC échouent [7]. Par exemple, dans le cas de trajets multiples, même si à l’origine C est de rang plein, il se produit une forte corrélation qui entraîne que quelques valeurs propres ‘‘signal’’ sont très petites et difficilement séparables de celles dues au bruit. C’est l’origine de la sous-estimation de NS [7].

(27)

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre III: Approches proposées et résultats des simulations

Chapitre III : Approches proposées et résultats des simulations

III.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous nous intéressons au problème de détermination du nombre de composantes d’un signal InSAR affecté par un bruit multiplicatif. Dans la référence [11], les auteurs ont étudié les performances des ITC appliqués au modèle (II.1) mais en omettant volontairement la présence du bruit multiplicatif. Pour rappel, ces critères ont été conçus à l’origine pour des signaux affectés par un bruit additif uniquement. L’approche développée dans [11] a révélé des performances assez limitées. Par conséquent, la recherche de nouvelles méthodes spécifiques, pour ce modèle, s’avère plus que nécessaire. A notre jour, hormis les travaux dans [11], peu de travaux de recherche ont abordé ce problème. C’est pourquoi, nous nous proposons dans ce chapitre d’apporter des solutions à ces préoccupations en présentant différentes approches pour l’estimation du nombre de composantes d’un signal InSAR.

Le présent chapitre est organisé comme suit :

- Dans le paragraphe III.2, nous analysons l’influence du nombre de degré de liberté sur les performances des ITC. En effet, nous utilisons dans ces derniers un nouveau nombre de degré de liberté proposé dans [37] et différent de celui utilisé dans [11].

(28)

- Puis, dans le paragraphe III.3 nous proposons l’application de la méthode de Capon pour estimer le nombre de sources à partir uniquement des pics du spectre calculé.

- Ensuite, dans le paragraphe III.4, nous proposons un algorithme basé sur la méthode MUSIC pour estimer le nombre de sources à partir des pics des pseudo-spectres calculés.

- Dans le paragraphe III.5, nous étudions les performances du critère d’Akaike en tenant compte cette fois-ci, contrairement à [11], de la présence effective du bruit multiplicatif.

- Enfin, nous terminons le chapitre par une conclusion générale.

III.2 Influence du nombre de degré de liberté

Dans [11], les auteurs étudient le comportement des ITC appliqués directement au modèle (II.1). Leur application nécessite la connaissance du nombre de degré de liberté du modèle. Dans [11], celui-ci est donné par :

η ( ) (2 - )

1 m =m K m (III.1) Cette valeur ne reflète pas, cependant, le nombre de paramètres indépendants dont dépend réellement le modèle (sans le bruit multiplicatif) [36]. Dans [37], l’auteur recommande le fait que seuls les vecteurs propres, qui engendrent l’espace signal, sont suffisants pour la détermination du nombre de degré de liberté du modèle.

Ainsi, ce dernier, lorsque m composantes sont présentes dans le signal, est égal à [37]:

η (m) m(2K-m)-m

2 = (III.2) Cette valeur n’est rien d’autre que le nombre de degré de liberté η1(m) (donné par (III.1)) auquel on soustrait m qui est tout simplement le nombre de valeurs propres associées aux vecteurs propres.

Dans toute la suite de ce paragraphe, nous allons utiliser ce nouveau nombre de degré de liberté dans l’analyse des performances des critères ITC suivants :

1. AIC 2. MDL 3. EDC1 4. EDC2

(29)

Dans ce but nous allons calculer et présenter dans toutes les figures qui suivent dans ce chapitre :

- La probabilité d’estimation correcte du nombre de composantes (PCE).

- La probabilité de surestimation du nombre de composantes (POE).

- La probabilité de sous-estimation du nombre de composantes (PUE).

Celles-ci sont calculées en réalisant 10⁴ expériences indépendantes de Monte Carlo.

Nous utilisons dans toutes les simulations numériques, à suivre, les valeurs suivantes des paramètres [11] :

NS = 2, ϕ₁= -270°, ϕ₂= +270°, b1 = b2 = 0.2, SNR1 = SNR2 = 12 dB, K = 8, Ne = 32.

Dans la suite de ce paragraphe, nous allons étudier les performances de ces critères en fonction des paramètres suivants :

‘‘b, Ne , ∆ϕ , SNR’’

Remarque III.1 : Pour alléger, dans ce paragraphe, la présentation des nombreux résultats de simulations obtenus, nous présentons à chaque fois volontairement :

1- Séparément les performances des ITC évalués d’abord avec η1(m) [11] de celles de ceux évalués ensuite avec η2(m) donné par (III.2).

2- Les performances des critères EDC dans une figure et celles des critères AIC et MDL dans une autre figure.

III.2.1 Influence du paramètre b de la fonction de corrélation

Dans cette simulation, nous faisons varier le paramètre b₂ de 0 à 1 avec un pas de 0.1 et nous gardons b1 fixé à 0.2. Les résultats des simulations numériques sont présentés dans les figures III.1, III.2 et III.3. Celles-ci montrent que les critères EDC sont les plus performants d’entre les ITC considérés (qu’ils soient évalués avec η2(m) ou η1(m)).

Le résultat le plus important qui se dégage est le fait que EDC2 évalué avec η2(m) soit plus performant que EDC2 évalué avec η1(m), justifiant ainsi l’introduction de η2(m). Par ailleurs, nous constatons que :

(30)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Est. Corr.

(a) (a)(a) (a)

AIC MDL EDC1 EDC2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Sur Est.

AIC MDL EDC1 EDC2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Est. Corr.

(b) (b)(b) (b)

AIC MDL EDC1 EDC2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Sur Est. _AIC

MDL EDC1 EDC2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Sous - Est.

b2

AIC MDL EDC1 EDC2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Sous - Est.

b2

AIC MDL EDC1 EDC2

- Pour des valeurs de b2 ≤ 0.2, EDC2 est le critère le plus robuste parmi les ITC avec des probabilités d’estimation correcte avoisinant l’unité.

- Lorsque b2 > 0.6, EDC2 échoue dans l’estimation de Ns avec une probabilité 1. Le critère EDC1 évalué avec η2(m) est moins performant que EDC1 évalué avec η1(m). Cependant, les performances de ce dernier restent en deçà des performances de EDC2 (qu’il soit évalué avec η2(m) ou avec η1(m)).

Figure III.1 : Résultats de simulation des ITC en fonction de b2 : (a) ancien degré de liberté ; (b) nouveau degré de liberté.

(31)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Est. Corr.

(a) (a)(a) (a)

ancienEDC1 nouveauEDC1 ancienEDC2 nouveauEDC2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Sur Est.

(b)(b)(b) (b)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Prob. Sous - Est.

b2 (c)(c)(c) (c)

Figure III.2 : Comparaison deEDC₁etEDC₂évalués avec η1(m)et η2(m)en fonction de b2 : (a)probabilité d’estimation correcte ; (b) probabilité de surestimation ; (c) probabilité de sous-estimation.