1. La bonne strat´egie est la suivante : Apr`es que Wolan ait retourn´e une tasse, Clara change syst´ematiquement d’avis et retourne la troisieme tasse. En effet,
(a) Si le choix initial de Clara est le bon, en changeant ce choix elle perd ´evidemment.
(b) Sinon Clara montre l’une des deux tasses qui ne recouvrent pas la pi`ece, Wolan va retourner la deuxi`eme tasse qui ne recouvre pas la pi`ece, et la pi`ece est donc sous la troisi`eme tasse. En changeant son choix, c’est `a dire en retournant cette troisi`eme tasse, Clara gagne.
Ainsi, avec cette strat´egie, l’´ev`enement Clara gagne est le mˆeme que l’´ev`enement La pi`ece n’est pas sous la premi`ere tasse montr´ee par Clara. La probabilit´e de cet
´ev`enement est ´evidemment 2/3.
2. Une objection erron´ee souvent entendue est la suivante :
Oui je veux bien admettre le raisonnement pr´esente plus haut, mais celui-ci aussi me parait correct, et il montre que la probabilit´e de gain ne peut pas d´epasser 1/2.
Pour all´eger les ´ecritures appelons A la tasse initialement point´ee par Clara, B la tasse retourn´ee par Wolan, et C la troisi`eme tasse. L’objection fausse est la suivante : Apr`es que Wolan ait retourn´e B, la pi`ece est sous l’une des deux tasses non re- tourn´ees, A et C. Il y a 1 chance sur 2 pour qu’elle soit en A et 1 sur 2 pour qu’elle soit en C. Que je maintienne mon choix en retournant A, ou que je le change en retournant C, j’ai une chance sur 2 de gagner.
Quelle est l’erreur dans ce raisonnement ? La probabilit´e pour que la pi`ece soit sous A est 1/3, (et donc la probabilt´e qu’elle soit sous B ou C est 2/3). Apr`es que Wolan ait retourn´e la tasse B cette probabilit´e n’a pas chang´e, elle est toujours 1/3.
Puisque la pi`ece est avec la probabilit´e 2/3 sous B ou C, et puisque qu’elle n’est pas sous B, elle est sous C avec la probabilit´e 2/3.
3. Voici une autre pr´esentation qui satisfera peut ˆetre les amateurs de formules et de syst`emes complets d’´ev`enements. Notons A l’´ev`enement La pi`ece est sous la tasse point´ee par Clara lors de son premier choix, et Ason compl´ementaire. Notons enfin G l’´ev`enement La pi`ece est sous la tasse point´ee par Clara lors de son deuxi`eme choix, c’est `a dire l’´ev`enementClara gagne.
La r´eunion disjointeG=G∩A ∪ G∩Adonne
P(G) =P(G∩A) +P(G∩A), puis, par d´efinition d’une probabilit´e conditionelle
P(G) =P(G|A)P(A) +P(G|A)P(A).
Vu la strat´egie adopt´ee par Clara, la probabilit´e conditionelle P(G|A) est nulle, tandis que P(G|A) = 1. Avec P(A) = 1/3 et P(A) = 2/3 cela donne
P(G) = 0×1
3 + 1×2 3 = 2
3.
Cette derni`ere d´emonstration est peu ridicule et maladroite, car, une fois constat´e que P(G|A) = 0 et P(G|A) = 1, il est plus simple de dire que l’´ev`enement G est le mˆeme que l’´ev`enementAretrouvant ainsi la d´emonstration 1.
