Algorithmes Evolutionnaires: Prise en compte des contraintes et Application Réelle

LE GRADE DE DOCTEUR EN INFORMATIQUE

DE L'UNIVERSIT



E DE PARIS XI ORSAY

par

Sana Ben Hamida

Algorithmes Evolutionnaires :

Prise en Compte des Contraintes

et Application Réelle

Soutenue le 29 mars 2001 devant le Jury ompose de:

Evelyne LUTTON (rapporteur)

Jean Claude NEDELEC (examinateur)

Philippe PREUX (examinateur)

Mar SCHOENAUER (dire teur de these)

Mi hele SEBAG (examinateur)

mesure a l'inspiration qui les fait na^tre.

Cettetheseestuneetudeheuristiqueetexperimentaledansledomainedu al ulevolutionnaire,

et ommen e paruneintrodu tionaudomaine del'evolutionarti ielle ave unesynthese des

prin ipalesappro hes.

La premiere partie est ensuite une etude heuristique onsa ree a la prise en ompte des

ontraintes dans l'optimisation evolutionnaire. Son premier hapitre est une presentation

detaillee des methodes dans la litterature a ompagnee d'une dis ussion de leurs avantages

etleurslimites. Pourremediera ertaineslimites,deuxsolutions sont proposees. La premiere

vise l'amelioration de la apa ite d'exploration des operateurs de reprodu tion en presen e

des ontraintes. Elle propose l'operateur de mutation logarithmique on u pour explorer a

la fois lo alement et globalement l'espa e de re her he. La deuxieme est une proposition

d'un nouvel algorithme pour la prise en ompte des ontraintes (ASCHEA), base sur trois

ingredients: une fon tionde penalite adaptative, un operateur genetique fonde sur le on ept

de sedu tion/sele tion et un me anisme de sele tion segregationnelle en fon tion de la

fais-abilite. Pourgerer lesfon tions multimodales,unepro edurede ni hageaete introduite,dont

le rayon est adapte automatiquement. Finalement,pour ompleter le systeme ASCHEA, une

nouvelle strategie de prise en ompte des ontraintes d'egalite a ete introduite, qui restreint

progressivement le domaine de faisabilitedes solutions explorees dansle butde l'appro her a

lan de l'evolution del'espa e reelde mesure nulle.

Ladeuxiemepartieestuneetuded'uneappli ationreelleayant pourobje tifl'optimisation

du prol d'une lame de phases pour le laser Mega-Joule. Le but est de minimiser la perte

d'energie surleplanfo aldusysteme laseretlarepartiruniformementsurla iblea illuminer.

Abstra t

The present work is a heuristi and experimental study in the evolutionary omputation

do-main,andstartswithanintrodu tiontothearti ialevolutionwithasynthesisoftheprin ipal

approa hes.

The rstpartis aheuristi studydevotedto onstraint handlinginevolutionary

omputa-tion. It presentsanextensive reviewofprevious onstrainthandlingmethodsintheliterature

andtheirlimitations. Twosolutionsarethenproposed. Therstideaistoimprovegeneti

op-erator exploration apa ity for onstrained optimization problems. The logarithmi mutation

operatoris on eivedtoexplorebothlo allyandgloballythesear hspa e. These ondsolution

introdu es the original Adaptive Segregational Constraint Handling Evolutionary Algorithm

(ASCHEA),themainideaofwhi histomaintainpopulationdiversity. Inordertoa hievethis

goal,threemainingredientsareused: Anoriginaladaptivepenaltymethod,a onstraint-driven

re ombination,and a segregationalsele tionthat distinguishesbetweenfeasibleand infeasible

individualsto enhan ethe han esofsurvivalofthefeasibleones. Moreover, ani hingmethod

withanadaptiveradiusisaddedtoASCHEAinordertohandlemultimodalfun tions. Finally,

to ompletethe ASCHEA system, a new equality onstraint handling strategy is introdu ed,

that redu es progressively the feasibledomain inorder to approa h thea tual null-measured

domainas lose aspossibleat theendof theevolution.

The se ond part is a ase study ta kling a real-world problem. The goal is to design the

2-dimensionalproleofan opti al lens(phase plate)inorder to ontrolfo al-planeirradian e

of some laserbeam. The aim is to designthephase plate su hthat a small ir ulartarget on

Table des mati `

eres

Introduction G ´

en ´

erale

5

1 Introduction `

a l’Evolution Artificielle

7

1.1 LesAlgorithmesEvolutionnaires . . . 7

1.1.1 Prin ipeGeneral . . . 8

1.1.2 Denitions . . . 8

1.1.3 Historique . . . 10

1.2 LaRepresentationBinaire . . . 11

1.2.1 Le roisementbinaire . . . 12

1.2.2 Lamutationbinaire . . . 12

1.3 LaRepresentationReelle. . . 13

1.3.1 Le roisementreel . . . 13

1.3.2 Lamutationreelle . . . 14

1.4 LaRepresentationFon tionnelle . . . 19

1.4.1 Le roisementenGP . . . 19 1.4.2 LamutationenGP . . . 19 1.5 LeDarwinismeArti iel . . . 21 1.5.1 Lasele tionproportionnelle . . . 22 1.5.2 Letournoi. . . 24 1.5.3 Lerempla ement . . . 25

1.5.4 Less hemasd'evolution . . . 25

1.6 Leni hage. . . 26

1.6.1 Lesurpeuplement(Crowding). . . 27

1.6.2 Lepartage(sharing) . . . 28

1.6.3 Lepartagepar lassi ation. . . 28

1.6.4 L'e lair issementelitiste . . . 28

1.7 L'optimisationmulti- ritere . . . 29

1.7.1 Lesmethodes lassiques . . . 30

1.7.2 Lesmethodesevolutionnaires . . . 30

1.8 Appli abilitedesEA . . . 32

I Algorithmes Evolutionnaires: Prise en compte des contraintes

35

2.2 Methodesdeterministes . . . 39

2.2.1 Methodesbaseessurle al uldugradient . . . 40

2.2.2 LamethodedeNewton . . . 40

2.2.3 Lesmethodesametriquesvariables. . . 41

2.2.4 Lamethodedesdire tionsadmissibles . . . 41

2.2.5 Methodesdepenalite . . . 42

2.2.6 Laprogrammationlineaire . . . 44

2.2.7 MethodesdeSeparation-Bran h andbound . . . 44

2.2.8 Dis ussion . . . 44

2.3 Methodesevolutionnaires:Penalisation . . . 45

2.3.1 Lapenalitemortelle ou\deathpenalty" . . . 47

2.3.2 Penalitesstatiques . . . 48

2.3.3 Penalitesdynamiques . . . 49

2.3.4 Penalitesadaptatives. . . 51

2.3.5 Superioritedesindividusfaisables . . . 54

2.3.6 \SegregatedGA" SGGA. . . 56

2.3.7 Sto hasti Ranking. . . 57

2.4 Methodesevolutionnaires:Re her hedessolutionsfaisables . . . 58

2.4.1 Reparationdesindividusinfaisables:Geno opIII . . . 59

2.4.2 \Behavioralmemory" . . . 61

2.5 Methodesevolutionnaires:Preservationdelafaisabilitedessolutions . . . 63

2.5.1 LesystemeGENOCOP . . . 63

2.5.2 Re her hesurlafrontieredelaregionfaisable . . . 65

2.5.3 \Homomorphousmapping" . . . 69

2.6 Methodeevolutionnaires: methodesHybrides . . . 72

2.6.1 Utilisationdespro eduresd'optimisationdeterministes. . . 72

2.6.2 Appro hemulti-obje tif . . . 73

2.6.3 La o-evolution[90℄ . . . 75

2.6.4 Autreste hniques . . . 76

2.7 Resumedesdierentsresultatspresentes. . . 76

3 La mutation logarithmique

81

3.2 L'operateurdemutationlogarithmique . . . 82

3.2.1 Denition . . . 83

3.2.2 Respe terlesbornesdel'espa edere her he . . . 85

3.3 Comparaisondedierentsoperateursdereprodu tion . . . 85

3.3.1 Castest:Lafon tionSphereinversee. . . 85

3.3.2 lesoperateursdereprodu tion . . . 86

3.3.3 Congurationdel'algorithme . . . 87

3.3.4 Resultatsave lamethodede\deathpenalty" etdis ussion . . . 87

3.4 Resultats omparatifs . . . 95

3.4.1 Denitiond'unoperateurdesele tionpourlesproblemesd'optimisationsous ontraintes . . . 95

3.4.2 Conditionsexperimentales. . . 97

4 Un Algorithme adaptatif pour l’optimisation sous contraintes: ASCHEA

101

4.1 Introdu tion. . . 101

4.2 L'AlgorithmeSegregationnelAdaptatifASCHEA . . . 103

4.2.1 Penaliteadaptativeauniveaupopulation . . . 103

4.2.2 Sele tion/sedu tionbaseesurles ontraintes. . . 105

4.2.3 LaSele tionSegregationnelle . . . 106

4.2.4 Dis ussion . . . 107

4.3 Experimentation . . . 108

4.3.1 Conditionsexperimentales . . . 108

4.3.2 Cas1:Solutionsurlafrontieredudomainefaisable(G6) . . . 109

4.3.3 Cas2:Lasolutional'interieurdudomainefaisable(G8) . . . 112

4.4 Etudedes omposantes d'ASCHEA. . . 115

4.4.1 Premier as:Penalitestatique . . . 115

4.4.2 Deuxieme as:Rempla ementdelasele tionsegregationnelle . . . 117

4.4.3 Troisieme as:Rempla ementdelastrategiedesedu tion/sele tion . . . . 118

4.5 Plusderesultatsexperimentaux. . . 119

4.6 Con lusion . . . 123

5 ASCHEA : Optimisation de la fonction de P´

enalisation

125

5.2 Lafon tiondepenalisation . . . 126

5.3  EtudeExperimentale . . . 128

5.3.1 Conditionsexperimentales . . . 129

5.3.2 Cas1:Solutionsurlafrontieredudomainefaisable . . . 129

5.3.3 Cas2:Solutional'interieurdudomainefaisable . . . 131

5.3.4 Cas3:Quelques ontraintesnesontpasa tivesauniveaudel'optimum . . 134

5.3.5 Resultatspourl'ensembledes astest . . . 135

5.4 Introdu tiond'unepro eduredeni hage . . . 138

5.4.1 Adaptationdurayondeni hage . . . 140

5.4.2 Extensiondestests . . . 142

5.5 Con lusion . . . 144

6 ASCHEA : Prise en compte des contraintes d’ ´

egalit ´

e

147

6.2 Priseen omptedes ontraintesd'egalite . . . 148

6.2.1 Ajustementdynamique . . . 149

6.2.2 Ajustementadaptatif . . . 150

6.3 EtudeExperimentale . . . 152

6.3.1 Conditionsexperimentales . . . 153

6.3.2 AjustementDynamique . . . 153

6.3.3 AjustementAdaptatif . . . 159

6.3.4 Dis ussion . . . 166

6.4 Con lusion . . . 166

II Algorithmes Evolutionnaires: Application r ´

eelle

171

7 Optimisation d’une lame de phases pour un syst `

eme laser

173

7.1 Introdu tion. . . 173

7.2 LaFusionNu leaire . . . 175

7.2.1 Lepro essus defusion . . . 175

7.2.2 LafusionsurTerre . . . 175

7.3 ModelisationduSystemeOptique. . . 176

7.3.1 FormulationAnalytique . . . 177

7.3.2 LeProblemed'Optimisation. . . 178

7.3.3 LesContraintesdeFabri ation . . . 179

7.3.4 Dis retisation . . . 180

7.3.5 Domainedere her he . . . 181

7.3.6 LaFon tiondePerforman e. . . 181

7.4 Choixdel'algorithmeevolutionnaire . . . 181

7.5 Choixdelaphaseinitiale . . . 186

7.5.1 Resultatsobtenusave lesdierentes ongurationset omparaison . . . . 187

7.6 Resultatsobtenuspourdierentes dis retisations . . . 191

7.7 ComparaisondelaRepresentationParametriquevslaRepresentationFon tionnelle (GP) . . . 195

7.7.1 LaRepresentationFon tionnelle(GP) . . . 195

7.7.2 Lesresultats omparatifsESvsGP . . . 196

7.7.3 Optimisationdes onstantes delasolutionGP . . . 198

7.8 on lusion . . . 199

A Les fonctions tests pour l’optimisation sous contraintes

201

B Des notions d’optique pour l’application du syt `

eme laser

207

Introduction G ´

en ´

erale

Malgrelesgrandesameliorationsapporteesparles her heurs,lesalgorithmesevolutionnaires sourenttoujoursdequelquesdiÆ ultes.UnedesgrandesdiÆ ultesqu'ilsren ontrentsouventest lapriseen omptedes ontraintesau oursdupro essusd'optimisation.Plusieurssolutionsontete proposeespendantladernierede ennie,maislamajoriteontquelqueslimitationsquifontqu'elles nesoientpasappliqueesparlesutilisateurs.Lebut denotretravailestdeparti iperalamiseen pla e desolutionseÆ a espourlapriseen omptedes ontraintes.

Pourintroduire ettethese,nouspouvonslapresenter ommeuneetudeheuristiqueetexperimentale dans le domaine du al ul evolutionnaire. Elle est omposee de deux parties. La premiere est dedieeal'etudedesalgorithmesd'evolutionarti ielleappliquesal'optimisationnumeriquesous ontraintes.Ladeuxiemeestuneappli ationreelledesalgorithmesevolutionnairesdansledomaine delaphysiquedulaser(etude ommandeeparleCEA).

Le premier hapitre propose une introdu tion au domaine de l'evolution arti ielle ave une synthese des prin ipales appro hes. Apres une illustration des origines et du prin ipe des algo-rithmesevolutionnaires,nouspresentonslesrepresentationslesplusutilisees,lesnotionsdu darwi-nismearti ieletleste hniquesd'amelioration.Ce hapitrepresenteaussilesdierentesnotations et abreviationsutiliseesdans erapport.

La Premiere partie est une etude heuristique onsa ree ala prise en ompte des ontraintes dans l'optimisationevolutionnaire. Elle englobeles hapitres2,3, 4,5et 6.Le premier hapitre est un etat de l'art du domaine de l'optimisation numeriquesous ontraintes. Il ommen e par une presentationdesprin ipalesmethodesmathematiquesdeterministes. Lerestedu hapitreest onsa realapresentationdesmethodesevolutionnaireslesplus onnues,a ompagneed'une dis- ussiondeleursavantages etleurslimites.

Pourpallier ertaineslimitationsdesmethodesdelalitterature,deuxsolutionssontproposees. La premiere vise l'amelioration de la apa ite d'exploration des operateurs de reprodu tion en presen ede ontraintes.Eneet,l'etudeexperimentaledu hapitre3montreladegradationde l'eÆ- a itedesoperateursgenetiques lassiquespourl'optimisationnumeriquesdansle asdeproblemes ontraints.Un nouveloperateurdemutationestalorspropose.Ilest on upourexploreralafois lo alementetglobalementl'espa edere her he.Desseriesdetestssurdesproblemesdereferen e sontee tues pour omparerle omportement de et operateurave eluides autres operateurs standards.

gorithm), presentedans le hapitre4.ASCHEA utilisetrois ingredients:une penalite adaptative ajusteeautomatiquementselonl'etat ourantdelapopulation;unoperateurgenetiquefondesurle on eptdesedu tionou,dans ertains as,lesindividusfaisablesnepeuventsereproduirequ'ave lesindividusinfaisables danslebutd'explorerlafrontieredelaregionfaisable;unme anisme de sele tionsegregationnelledont l'obje tif est d'assurerun degreminimumde faisabilitede la po-pulation.Uneetudedetailleede haque omposante estrealiseedanslebutdemontrerler^ole de ha une.Elleestsuivieparuneetudeexperimentalesurunensemblede asdereferen e(presentes dansl'annexeA),permettantdetesterl'eÆ a itedenotrealgorithme.

Le hapitre 5 de rit deux extensions pour ASCHEA. D'abord, an de prendre en ompte la variation des degres de diÆ ulte des ontraintes, la fon tion de penalisation a ete etensue dans le but d'utiliser un Æ ient de penalite propre a haque ontrainte. L'utilisation d'une ponderationadaptativepour haque ontrainte permet d'orienter le pro essus de re her he vers leszonesdes ontraintes lesplusdiÆ iles asatisfaire.De plus,pourgererlesfon tions multimo-dales,une pro eduredeni hageaeteintroduite,dontlerayonestadapteautomatiquement.Une etude experimentale sur les m^emes as test du hapitre 4 est ee tuee dans le but de montrer l'ameliorationdelarobustessed'ASCHEAave l'introdu tiondes esdeux options.

Pour ompleter le systeme ASCHEA, le hapitre 6 propose une nouvelle strategie de prise en ompte des ontraintes d'egalite. Elle restreint progressivement le domaine de faisabilite des solutionsexplorees dans le but de l'appro her ala n de l'evolution de l'espa e reel de mesure nulle. Deux strategies sont proposees, une par ajustement dynamique et l'autre par ajustement adaptatif.Ave lastrategied'ajustementdynamique,letauxderedu tiondel'espa efaisableest xeparl'utilisateuretrestein hange.Par ontre,ave lastrategied'ajustementadaptatif,letaux deredu tiondependde ladisposition ourante dela population dansl'espa e de re her he.Son but est de preserverquelques individus faisables apres haqueredu tion, permettant ainsi d'at-tirer plus fa ilement le restede la population vers lenouveaudomaine de faisabilite. Uneetude experimentale des deux appro hes est presentee suivie d'une dis ussion sur les avantages et les diÆ ultesren ontreesparl'algorithmeave ha unedesdeuxte hniques.

La deuxieme partie de e travail est une etude d'une appli ation reelle ayant pour obje tif l'optimisationduprold'unelamedephasespourlelaserMega-Joule.Lebutestdeminimiserla perted'energiesurleplanfo aldusystemelaseretlarepartiruniformementsurla ibleailluminer. Suitealamodelisationduprobleme,desseriesd'experien essontrealiseesenqu^etedelameilleure ongurationduproblemeetde l'algorithmeevolutionnaire autiliser (typede l'algorithmeet les plagesdeparametres).Leproblemeaeteinitialementresoluave une appro heparametrique,ou la lame de phases est representee par une matri e 2D. Ave ette appro he, la omplexite des solutionsaugmente quadratiquementave le degrede dis retisation. Pourreduire la omplexite, unerepresentationalternativeaetetesteebaseesurlesarbresdelaprogrammationgenetique.Une etude omparativedesdeuxappro hesestillustreedansladernierepartiedu hapitre7.

Chapitre 1

Introduction `

a l’Evolution Artificielle

Ce hapitreintroduitlesalgorithmesevolutionnaires(EvolutionaryAlgorithms: EA)etpresente lesdierentesnotationsetabreviationsutiliseesparlasuite.Lapremierese tionestune introdu -tiongeneraleauxEA,illustrant leursorigines, leurprin ipe et leur historique.Les troisse tions suivantes introduisent les trois representations les plus utilisees dans les EA. La representation binairen'estpasutiliseedanslathese,maiselleestpresenteevuesonimportan edansl'historique des EA. Par ontre, la plus grande partie de notre travail se base sur la representation reelle. Elle est alors presentee en details dans lase tion 1.3. La se tion 1.4 introduit la representation fon tionnelle,utilisee dans ladeuxieme partie de lathese. Lasuite du hapitreest onsa reeau darwinismearti ieletauxte hniquesd'amelioration.

1.1 Les Algorithmes Evolutionnaires

LesEA sontdesalgorithmesd'optimisationsto hastiqueinspiresduparadigmedel'evolution darwiniennedespopulations.IntroduitsparFogelen1965[36℄,Re henbergen1973[97℄,Holland en1975[57℄, etpopulariseparGoldberg en1989[42℄,ilsfontevoluerunepopulationd'individus, ou seulement les mieux adaptes a un environnement donne peuvent survivre et se reproduire. En termes mathematiques, l'environnement est la fon tion de performan e a optimiser, et elle onstituelaseuleinformationne essaireauxEA, equileurpermetdetraiterune grandevariete deproblemesnumeriques,impossiblesatraiterave lesmethodesd'optimisation lassiques.

Depuis les annees soixante, plusieurs tendan es d'algorithmes evolutionnaires sont apparues, qui se lassenten4 ategories:

{ lesalgorithmesgenetiques(Geneti Algorithms:GA)[56℄ { lesstrategiesd'evolution(Evolution Strategies:ES) [97℄

{ laprogrammationevolutionnaire(Evolutionnary Programming :EP) [36,35℄ { laprogrammationgenetique(Geneti Programming: GP)[69℄

Cha un de es algorithmes manipuleune population dont lataille, ontrairementa une popula-tion naturelle, reste in hangee au long de l'evolution. Ils ont un prin ipe de base ommun, qui ari ature le prin ipe de l'evolution biologique etablie par Darwin. En eet, seulement les plus aptessurviventalasele tionnaturelleetpeuventsereproduire.L'iterationde eprin ipependant plusieurs generationsdevraitfaire appara^tre dans lapopulationles individus les plusadaptesa

1.1.1 Principe G ´

en ´

eral

Lebut prin ipal desalgorithmesevolutionnairesest de her her, dansunespa ed'etat ,un elementde etespa eayantlameilleureadaptational'environnementpose.Chaqueelementde estunindividu,noteI.Unepopulationestdon unensembledeNelements(individus)de: P =(I 1 ;I 2 ;


;I n

).Lamesuredudegred'adaptationde haqueindividu onstituelafon tionde performan eF (enanglaistness).L'obje tifdesEAestdefaireevoluerunepopulationPdans lebutdetrouverl'optimumI



.Pour efaire,a haquegenerationt,lesindividusdelapopulation P(t) sont muteset roisesave des probabilitespredenies respe tivement p

m et p

, et e sont lesplusaptes qui surviventpourlagenerationsuivante t+1, onstituant lanouvellepopulation P(t+1).Cepro essusestrepetependantun ertainnombredegenerations,enesperantqueles optimadeF apparaissentdanslapopulation.

Lesetapesprin ipales ommunes aux dierents algorithmesd'evolutionsontde ritesdans la gure1.1.

Parents

Remplacement

Selection

Croisement

Mutation

Initialisation

Evaluation de la performance

Stop

Fig.1.1{Cy le d'unEA

1. On ommen e pargenereraleatoirementunensemble d'individusdenissant lapopulation initialeP(0)et al ulerlaperforman ede ha un.

2. Pour assurer l'evolution,des individus, sele tionnesselon leur performan e, sont mutes et roisesentreeuxave destauxpredenis,donnantnaissan eadesenfantsdontonevaluela performan e.

3. La nouvelle population est onstituee en sele tionnant les meilleurs parmi les enfants ou l'ensembledesparentsetdesenfants(selon les hemad'evolution hoisi).

4. On rebou le ensuite sur lesetapes2 et 3,jusqu'a e qu'on arrivea la onvergen e oua la satisfa tiond'undes riteresd'arr^et(e.g.nombremaximumdegenerationsautorise).

1.1.2 D ´

efinitions

L'espa edere her hedesEAestl'espa e,appeleaussi,ave destermesgenetiques,l'espa e desgenotypes,maisilpeut^etredierentdel'espa edessolutions,appelel'espa edesphenotypes surlequelestdenilatness.Parexemple,ungenotypepeut^etreunve teurreel,etilrepresente

La fon tion de odage qui transforme un phenotype en un genotype doit ^etre inje tive: a haquephenotype orrespondunseulgenotype.Latnessdugenotypeest elleduphenotype or-respondant.L'initialisationdelapopulationP(0)sefait,generalement,d'unefa onaleatoiredans l'espa edes genotypes.Le hoixdes operateursde roisementet de mutation dependdu odage desindividus.Par ontre,lesoperateursdesele tionet derempla ementsontindependantsdela representationgenotypique,puisqu'ilsutilisentuniquementlaperforman edesindividus.

Le roisement:C'estunbrassaged'informationentrelesindividusdelapopulation.Il onsiste 

ae hanger des parties omposantes (genes) entre deux (ouplusieurs) solutionspotentielles.La formestandarddel'operateurde roisementest :(I

1 ;I 2 )!(I 0 1 ;I 0 2

),qui roise,ave une ertaine probabilitep (06p 61),deuxparentsI 1 etI 2

pourdonnerlesenfantsI 0 1 etI 0 2 .D'autresformes de roisementsontpossibles omme elleouunenfantestproduitparplusieursparentsenm^eme temps.

Lamutation:L'operateurdemutation modie unouplusieursgenesdu hromosome (indi-vidu) sele tionne,dans le but d'introduire une nouvelle variabilitedans lapopulation.La forme generaledel'operateurdemutationest m :I !I

0

,quimuteunindividu I pourdonnerI 0

,ave une ertaineprobabilitep

m (06p

m 61).

Lasele tion: L'operateur de sele tion determine les individus qui vont se reproduire par roisementetmutation. Generalement,ilssont hoisisselonleurperforman e.

Le rempla ement: Cette operation rempla e les parents au moyen d'une sele tion darwi-nienneparmilesenfants,ave parti ipationeventuelledesparents.

A ha unedesetapesdel'algorithmede rit i-dessus,ilfautee tuerle ompromisentre l'ex-ploitationet l'exploration.Ces deux notions,denies i-dessous,sont despoints lesdans les EA,et onstituentundilemmediÆ ile aresoudre.

Exploitation: L'idee est d'exploiter eÆ a ement l'information obtenue pre edemment par les meilleures solutions pour spe uler sur la position de nouveaux points a explorer, ave l'es-poird'ameliorerlaperforman e.Sonbutestd'ee tuerunere her helo aledanslevoisinagedes meilleursindividusdelapopulation.

Toutefois,l'exploitationtouteseulenepermetpasdepreserverladiversitegenetique,puisqu'elle guidelapopulationverslepluspro heoptimumlo al,quirisquededominerlapopulation rapide-ment.Cettedernieredevientalorshomogeneet sonevolutionsereduital'evolutiondel'individu dominant.Ce phenomeneestappelela onvergen e prematuree.

Exploration: Sonbut est d'explorerdes nouvellesregions de l'espa ede re her he pour in-troduireuneinformationinnovatri edanslapopulation.C'estl'explorationquiaideaumaintient de la diversitede la population. Cependant, l'ex esd'exploration ne permet pas a l'algorithme de onverger(en asextr^emed'exploration,l'evolutiondelapopulationseresumeaunemar he aleatoire).Ilfautdon maintenirunequilibreentrel'exploitationdesbonnessolutionsren ontrees et l'explorationdeszonesin onnuesdepourgarantirl'eÆ a itedel'algorithme.

Typiquement,lesoperationsdesele tionetde roisementsontdesetapesd'exploitation,alors que l'initialisation et lamutation sont desetapes d'exploration. Toutefois, lamutation peut de-venirunoperateurd'exploitationsilesperturbationsgenereessonttrespetites.De plus,onpeut perdre la diversite de la population au ours de la pro edure de sele tion des survivants pour la generationsuivante. En eet, si on sele tionne plusieurs opies des meilleurs, le risque de la

derivegenetiquequ'on risque,quipermet a ertainsindividus desurvivreaudetriment d'indi-vidusmeilleurs, et eloigneapriori lapopulationde l'optimum. Ilfaut don quela sele tionsoit apabledemaintenirladiversitetoutenfavorisantlesmeilleurs.

1.1.3 Historique

Les Algorithmes G ´

en ´

etiques : GA

LesGAsontprobablementlesalgorithmeslesplus onnusetutilisesdansle al ulevolutionnaire. IlontetedeveloppesdanslesanneessoixanteparHolland[56℄.L'ideedebasedesonsystemeetait d'etudier,dansle adredelapsy hologie/biologie,lepro essusd'adaptationdespopulations,ense basantsurdesdonneessensoriellesintroduitesausystemegr^a eadesdete teursbinaires[56,57℄. LesGAonteteappliquesal'optimisationparametriquepourlapremierefoisparDeJong en 1975 [21℄, qui a pose lesfondementsde ette te hniqued'appli ation. Cependant, lemanque de puissan edesordinateursal'epoquenepermettaitpasleurappli ationsurdesproblemesreelsde grandetaille.Ce n'est quependant lesannees quatrevingt dix, pre isementave l'apparition de l'ouvragedereferen ee ritparGoldberg[42℄,quelesGAsesontfait onna^tredansla ommunaute s ientique.

Les Strat ´

egies d’Evolution : ES

LesStrategiesd'Evolutionsontdedieesalaresolutiondeproblemesd'optimisationnumerique dans l'espa e des ve teurs de reels. Les premiers eorts pour la mise en pla e des strategies d'evolutiononteu lieu en 1964 a l'universitede Berlin au ours de la resolution d'un probleme aerodynamique [119℄. En1965, Re henbergaintroduit l'algorithme (1+1)-ES (se tion1.5.3)qui faitevoluerun seulindividu et utilise la mutation Gaussienne (se tion1.3.2) pour assurer ette evolution.Ilaproposelaregle1=5pourl'adaptationdeladeviationstandarddelamutation[97℄. Cettestrategieaetelabasepourlatransitiona(+)-ESet(;)-ES(se tion1.5.3)introduits parS hwefelen1977[120,121℄. Dem^eme,desnouvellesappro hesde mutationet de roisement ontetemises enpla e. Sontalorsapparuslesnotionsd'auto-adaptativitepour lamutationainsi quedesdierentstypesde roisemententreve teursreelsillustresdanslase tion1.3.

La Programmation Evolutionnaire : EP

La ProgrammationEvolutionnaire aetedeveloppeepar L.J. Fogel[36℄ en Californiedans les annees 60,dans l'espa edes automatesaetatsnis(gure 1.2),pourla resolutionde problemes depredi tion.Latable de transitiondesautomatesest modiee gr^a eadesmutations aleatoires uniformesdansl'alphabetdis ret orrespondant.L'evaluationdelaperforman edesindividus or-respondaunombredesymbolespredits orre tement.Chaqueautomatedelapopulationparente genere un enfant par mutation, et les meilleures solutions entre les parents et les enfants sont sele tionneespoursurvivre, equi orrespondalastrategie(+)danslaterminologiedesES.

LesEPonteteensuitedeveloppesetleurdomaineaeteelargiparD.B.Fogel,anqu'ilpuissent travailler dans l'espa e reel [33, 34℄, ou la sele tion deterministe est rempla ee par un tournoi sto hastique.

La Programmation G ´

en ´

etique : GP

1/a

0/b

0/c

0/b

1/c

1/b

A

C

B

Fig. 1.2 { Exemple d'un automate a etats nis ayant trois etats dierents S = fA;B;Cg, un alphabetd'entreeI =f0;1g,etunalphabet de sortie O =fa;b; g.Chaquear^eteentre deuxetats indiqueunetransition possible, etla fon tion detransition Æ:SI !SO estspe ieepar les labelsauniveaudesar^etesayantla forme i=o, signiantqueÆ((s

i

;i))=(s j

;o).

algorithmiquesimple.L'algorithmed'evolutionutiliseestleSSGA ( .f.se tion1.5.4).

L'adoption de ette presentation pourdenir la programmationgenetique omme un nouvel algorithme evolutionnaire a ete faite par John Koza en 1992 [69℄. Son obje tif initial etait de faireevoluerdessous-programmesdu langageLISP (gure 1.3).Gr^a ea l'ouvragede Koza [69℄, l'utilisation de GP s'est etendue pour la resolution de nombreux types de problemes dont les solutionspeuvent ^etre representees par des stru tures arbores entes, omme les representations fon tionnelleslineaires[89℄,lesgraphes[129,107℄, lesstru turesmole ulaires,...

and

d0

not

-if

and

d0

d1

or

d1

d2

d1

Fig.1.3{Exempled'une solutionGPenLISP:fd0;d1;d2gestunensembled'instru tions onsti-tuantlesterminaux,etfif;and;orgsontdesexpressionsLISP onstituantlesnuds.

1.2 La Repr ´

esentation Binaire

Le odagebinaireestle adregeneraldesGAtraditionnels[42℄.ChaqueindividuIestrepresente parunve teurbinaire(ou ha^nedebits), ou haqueelementprend lavaleur0ou1:

I =(a ;


;a)2f0;1g l

ou lest lataille duve teur(nombrede bits).L'espa e dere her he(espa ephenotypique)est alorsf0;1g

l .

Cetterepresentations'adaptebienadesproblemesoulessolutionspotentiellesontunerepresentation binaire anonique, ommelesproblemesbooleens.Elle s'appliqueaussi pourdesproblemes d'op-timisationparametrique ontinue(f :R

n

!R), maisilest ne essairededenir unete hniquede odageadequatedeR

n

versf0;1g l

.

1.2.1 Le croisement binaire

Le roisement est vu omme l'operateur d'exploration essentiel des GA. Son r^ole onsiste a ombiner les genotypesde deux individus pour enobtenir deux nouveaux,ene hangeantun ou plusieursfragmentsdesdeuxgenotypes.Ondistingueplusieurs roisementspossibles,dontlesplus utilisessont:

{ Le roisementa1point[56℄:unseul fragmenteste hangeselonunpointde oupure hoisi aleatoirement,

{ Le roisementa2points[23, 24℄: deux fragmentssonte hangesselon 2points de oupure hoisisaleatoirement,

{ Le roisementUniforme[128℄: One hangelesbitsa haquepositionindependammentave uneprobabilitede0.5. Ilpeut^etrevu ommeun roisementmulti-pointsdontlenombrede oupuresest determinealeatoirementau oursdel'operation.

Croisement 1 point

Croisement Uniforme

Croisement 2 points

Fig.1.4{Lesdivers roisementsbinaires:a1point, a2pointsetle roisementuniforme.

1.2.2 La mutation binaire

C'est unoperateurqui inversealeatoirementles bitsdugenotypeave une faible probabilite, typiquementde0,01a0,001.Ilestdestineadiversiergenetiquementleselementsdelapopulation (ensonabsen e,au une ara teristiquegenetiquenouvellenepeutappara^tre).Lesmutationsles plusutiliseessont:

{ Lamutationsto hastique(bit ip) [64, 42℄: inverse haque bit independamment ave une probabilite

l

,ave >0etlestlatailleduve teur.C'estlamutationlaplusemployeedans larepresentationbinaire.

Mutation

Fig.1.5{Lamutation 1bit:Lesymboledu5 eme

bitaeteinverse.

1.3 La Repr ´

esentation R ´

eelle

Ave la representation reelle, l'espa e de re her he est l'espa e reel: = R n

(variables non bornees)ouunepartiedel'espa ereel:=S, ave S R

n

(variablesbornees).

Cette representation a ete introduite initialement pour les strategies d'evolution [120℄, mais son utilisation s'est etendue rapidement aux autres types d'algorithmes evolutionnaires. Pour des problemes d'optimisation dans l'espa e reel, l'espa e des genotypess'identie al'espa e des phenotypes: I = ! x =(x 1 ;


;x n )2R n ,ou haquex i 2R n

estunevariableobje tive.

1.3.1 Le croisement r ´

eel

Dans larepresentationreelle,il y adeuxmanieresde ombinerdeux alleles dedeux parents: hoisir l'un des deux alleles ( roisement dis ret) ou ombiner lineairement les deux ( roisement intermediaireouarithmetique).Dansledeuxieme as, plusieursvariantesonteteproposees.

{ Le roisementdis ret: 8i2f1;


;ng; x 0 i =x S;i oux T;i ;

oun estlataille duve teurreeletS et T sontdeuxindividussele tionnesdelapopulation parentepourl'ensembledes omposantesde

! x. { Le roisementintermediaire(arithmetique):

8i2f1;


;ng; x 0 i =x S;i +(1 )x T;i ;

ouestunevariablealeatoireuniformeappartenantal'intervalle[0;1℄(=U[0;1℄) etS et T sontdeuxindividussele tionnespourl'ensembledes omposantesde

! x.

Uneautrevariantedu roisementintermediaireestle roisementBLX-(\BlendCrossover"), proposepar Eshelmanet S haer [27℄, qui a laproprietede pouvoirelargirle domainede denition de l'enfant, en utilisant un intervalle plus large pour . En eet,  n'est plus omprisentre0et1,maisentre( )et(1+),ave 0<<1(gure1.6).Onnotequele roisementBLX-0 orrespondau roisementarithmetique traditionnel.

p1

p2

I

φΙ

φΙ

Fig.1.6{BLX-.

ap-Gene op (GEneti algorithm for Numeri al Optimization of Constrained Problems) ( ha-pitre2,se tion2.5.1).Il roisedeuxparents

! x 1 et ! x 2  alaposition k; (k2[1;n℄), etdonne lesdeuxenfants

! x 0 1 et ! x 0 2

denis ommesuit:

! x 0 1 =(x 1 ;


;x k ;y k +1 :+x k +1 :(1 );


;y n :+x n :(1 )) ! x 0 2 =(y 1 ;


;y k ;x k +1 :+y k +1 :(1 );


;x n :+y n :(1 )) ave =U[0;1℄.

Danssonouvragesurlatheoriedesstrategiesd'evolution[121℄,S hwefelaimagineunautretype de roisementoutoute lapopulationparente peutparti iperalagenerationd'unenfant, appele le roisementglobal. Chaqueparentestsele tionneindependamment.Comme pourle roisement simple, selon la strategie de generation des alleles de l'enfant (dis ret ou intermediaire), deux types de roisement global sont possibles: le roisement global dis ret et le roisement global intermediaire.

Onnotequele roisementmulti-parentexisteaussidanslarepresentationbinaire[26℄

{ Le roisementglobal dis ret:

8i2f1;


;ng; x 0 i =x Si;i ; ouS i

est unindividu sele tionnedelapopulationparente pourla omposante x i

. Onnote qu'ilyaautantdeparentssele tionnesquede omposantesdansl'individu.

{ Le roisementglobalintermediaire:

8i2f1;


;ng; x 0 i = i x Si;i +(1 )x Ti;i ; ou i =U[0;1℄et S i etT i

sontdeuxindividus sele tionnesdelapopulationparente pourla omposante x

i .

1.3.2 La mutation r ´

eelle

Une grande varietede strategiesde mutation onteteproposeespourla representationreelle. Nouspresentons i-dessouslesplus onnues, lasseesendeux ategories:lesmutationsGaussiennes, quimodientunindividuenluiajoutantunbruitGaussien[62,97,121,122℄,etd'autresmutations baseessurdesprin ipesdierents[82℄.

Les mutations Gaussiennes

La prin ipale te hnique utilisee pour la mutation reelle est l'ajout d'un bruit Gaussien aux dierentes omposantes du ve teur

!

x. La diÆ ulte de ette appro he est l'ajustement de la deviation standard  du bruit genere. En eet, au debut de l'evolution d'une population, la deviation standard doit^etre assezelevee pourgenerer des fortes perturbations et ainsi explorer rapidementtoutl'espa edere her he.Unefoislespi sdelafon tionetudieelo alises,l'algorithme doit^etre apablededeterminerave pre isionlessolutionsoptimales.

Le prin ipal moyen d'assurer ette onvergen e est degenerer des faibles perturbations pour la mutation des meilleurs individus. Pour e faire, la deviation standard de la mutation Gaus-siennedoit^etredel'ordredelapre isiondemandee. Par ontre,unepetitedeviationaudebutde

x

x

x

x

x

σ

σ

σ

σ

σ

x

x

x

x

x

σ

σ

σ

σ

σ

x

x

₅₂

x

₅₃

x

₅₄

x

₅₅

σ

₅₁

σ

₅₂

σ

₅₃

σ

₅₄

σ

₅₅

x

₆₁

x

₆₂

x

₆₃

x

₆₄

x

₆₅

σ

₆₁

σ

₆₂

σ

₆₃

σ

₆₄

σ

₆₅

21

22

23

24

25

21

22

23

24

25

x

₁₁

x

₁₂

x

₁₃

x

₁₄

x

₁₅

σ

₁₁

σ

₁₂

σ

₁₃

σ

₁₄

σ

₁₅

31

32

33

34

35

31

32

33

34

35

51

x

₄₁

x

₄₂

x

₄₃

x

₄₄

x

₄₅

σ

₄₁

σ

₄₂

σ

₄₃

σ

₄₄

σ

₄₅

x

₂₁

x

₃₂

x

₅₃

x

₃₄

x

₄₅

σ

_11,

σ

₂₁

σ

_32,

σ

₆₂

σ

_43,

σ

₄₃

σ

_24,

σ

₅₄

σ

_15,

σ

₆₅

parent1

parent 2

parent 3

parent 4

parent 5

parent 6

enfant

Fig.1.7{Exempled'un roisementglobal:les omposantesprin ipales(x i

)del'enfantsontgeneres ave un roisement global dis ret, alors que ses deviations standards (

i

) sont generees ave un roisementglobal intermediaire.

l'evolution.Pourresoudre eprobleme,plusieursstrategiesadaptativesetauto-adaptativesontete proposeespour ajuster ladeviationau ours del'evolution, omme laregle des1=5 proposepar Re henberg en73 [97℄ou lamutation Log-Normaleproposee parS hwefelen 81[121℄. Parmi les plus onnues,on ompte quatreappro hes,presentees i-dessous.

{ LamutationGaussienne statique,quimodietoutesles omposantesd'unindividuen ajou-tantunbruitGaussien:

8i2f1;


;ng; x 0 i =x i +N(0;);

ou  est unique pour toute la population. Il est deni par l'utilisateur et sa valeur reste in hangeeaulongdel'evolution.

{ LamutationGaussienne adaptative:laregledes1/5:Lamutationstatique,ave unegrande valeurde ,permet d'explorerl'espa ede re her he,mais nepermet pasl'exploitation des meilleures solutions.Par ontre,une petite valeurde  permet une exploitation lo ale des solutions,maisnepermet pasdevisiterdesnouvellesregionsdel'espa edere her he. Pourresoudre e probleme,Re henberg proposede mettre a jour lavaleurde  toutes les generations.Iladenilaregledes1=5[97℄,quimesurelaprobabilitep

s

desmutationsreussies (performan edeI

0

est meilleureque elle deI),et ajuste alagenerationt ommesuit:

(t)= 8 < : (t 1)fa t si p s <0:2 (t 1)=fa t si p s >0:2 (t 1) si p s =0:2

ou0<fa t<1estletauxd'adaptationde.SelonuneetudefaiteparS hwefelen[121℄,une bonnevaleurdefa test0:83.Deplus, ettereglepeut^etreappliqueetouteleskgenerations aulieudetouteslesgenerations(kparametredelamethode).

Ave ette regle, le taux des mutations reussies doit ^etre toujours pro he de 0.2, e qui n'est pastoujours un tauxideal pour lepro essus de re her he.En plus, l'utilisationd'un seul parametre pour ontr^oler la mutation de toute la population limite la robustesse de ettestrategie.Les eortssesontalors orientesversl'auto-adaptativitedesvarian esde la mutation, danslebut ontr^olerlesperturbationsgenereespour haqueindividu.

{ LamutationLog-Normaleauto-adaptativeisotrope[121℄,oulesvariablesx i

d'unindividu !

x sontmuteesenadditionnantune quantitealeatoirenormalementdistribuee dans[0,1℄,ave une deviationstandard uniquepourtoutes lesvariables. Chaque individu asonpropre in orporedansson odegenotypique:I =(

!

x;). est ajustea haqueiterationselonune loiLog-Normaleenutilisantuntauxd'adaptation,et e iavantd'appliquerlamutation:

 0 =exp(N(0;1)) 8i2f1;


;ng; x 0 i =x i +N i (0; 0 )

ave 0< 61.SelonBa ketS hwefel[10℄, unevaleuroptimalepour serait:  '( p

n) 1

{ LamutationLog-Normaleauto-adaptativeanisotrope [122℄, ou une deviation standard  i est atta hee a haque variable x

i

en apsulee dans le genotype (I = ( !

x; !

)). L'operateur demutationmuted'abordlesdeviations

i

selonuneloiLog-Normale,ensuite,ilmodiela variable x

i

en luiajoutant unbruit Gaussiengenerealeatoirementen utilisant lanouvelle deviation 0 i : 8i2f1;


;ng;  0 i = i exp( L N(0;1)+ N i (0;1)) 8i2f1;


;ng; x 0 =x i +N(0; 0 )

ou 0< L

61est letauxd'adaptation lo al et 0< 61est letauxd'adaptation global. Ba k et S hwefelproposent,pour denir  et 

L

, lesvaleurssuivantes:  '( p 2( p n) 1 et  L '( p 2n) 1 .

{ Lamutation orrelee: C'est une autre appro hede mutation auto-adaptativeproposee par S hwefel,utilisantune art-typematri iel pourlamutation des omposantesd'unesolution donnee, danslebut d'orienterladistribution normaleversladire tiond'ameliorationde la variable (gure 1.8). Un angle de rotation est alors in orporedans le genotypede haque individuqui devient(

! x;

! ;

!

).Lamutationd'unesolutionsepasseen3etapes: 1. D'abord,onmuteles omposantesduve teurdesdeviationsstandards

i

selonle prin- ipede ritpre edemment.

2. Onpro edeensuitealamutationduve teurdesanglesd'orientation !

 enadditionnant unequantitenormalementdistribueepour haque omposante 

j

(j=1;


; n(n 1)

2 ). 3. La troisieme et derniere etape est la mutation de la omposante x

i

en ajoutant une quantitealeatoireselonunedistributionnormalededimensionn (

! N; ! C 0 ). 8i2f1;


;ng;  0 i = i exp( L N(0;1)+ N i (0;1)) 8j2f1;


; n(n 1) 2 g; 0 j = j +:N j (0;1); ! x 0 = ! x + ! N( ! 0;C 0 ( !  0 ; !  0 ))

ou  estunparametreexogene,queS hwefelproposedelexera0:0873.

Lamatri e des ovarian esC est deniepositive. Elle est al ulee apartirdu produit des n(n 1) 2 rotation( i )parladiagonalede( i ).

Mutation isotrope

Mutation Corréléé

Axes de la distribution normale et les lignes d’iso-probabilite

Mutation anisotrope

Fig.1.8{Ellipsodespourlesdire tionsdemutationpourlesmutationsauto-adaptativesisotrope, anisotropeet orrelee

On noteque les ve teurs !

 desdeviationsstandardset !

 desangles de rotationsont aussi roisesetindependammentduve teur

!

x (gure1.7).

On note aussi que la omplexite et la taille du ode du genotype ro^ent en passant d'une methode a une autre: de la mutation Gaussienne statique jusqu'a la mutation orrelee. Cette dernieren'estpresquejamaisutilisee,vuela omplexitedu al uldelamatri edes ovarian esC.

Cependant, des etudes omparatives realisees par Saravanan et Fogel [109℄ et Saravanan et al[110℄, sur plusieurs as test, montrentque la mutation Log-Normale ave auto-adaptativitea generalementune performan e superieurea elle adaptative. Une autreetude omparative entre ladeuxiemeet latroisieme strategiespresenteesdans ette se tion, et une nouvelle strategie de mutation proposee dans [94, 48℄ est presentee dans le hapitre 3, mais pour un as test sous ontraintes.

Autres op ´

erateurs de mutation

D'autresoperateursdemutationdeve teursreelsonteteproposesparMi halewi zdans[82℄, dedies a des problemes ontraints (variables bornes et/ou soumises a des ontraintes lineaires). Cesoperateursontetemisen pla epourlesystemeGene op( hapitre2,se tion2.5.1). Cesont des operateurs unaires, qui a partir d'un parent

! x = (x 1 ;


;x k ;


;x n

), generent un enfant ! x 0 =(x 1 ;


;x 0 k ;


;x n ),oux 0 k

estl'elementmuteet kest hoisialeatoirementdansl'intervalle [1;n℄.Pour al ulerx

0 k

,ilsutilisentledomaineadmissibledesvariablesdurangk[l(k);u(k)℄,deni 

apartirdesbornes del'espa edere her heetdes ontraintesduproblemes'ilyena,a ondition qu'ellessoientlineaires.Troistypesdemutationsontalorsproposees.

{ LamutationUniforme: Ave lamutation uniforme,x

0 k

prend une valeur aleatoire(distribution deprobabilite uni-forme)dansl'intervalle[l(k);u(k)℄.

{ Lamutationauxfrontieres:

C'est une variation de lamutation uniforme.Ave ette mutation, x 0 k

prend une desdeux valeursdesbornesdel'intervalledevalidite orrespondant:l(k)ouu(k),ave desprobabilites 

egales.Cet operateuraete onstruit andetraiterles asou l'optimumsetrouvetout pres ousurlesfrontieresdudomaineadmissible.Par ontre, etoperateurpeutnuireaupro essus d'evolutionsil'espa edere her heesttresvaste.

{ LamutationNon-UniformeouTriangulaire:

C'est et operateurqui ore ausystemeGene op sesgrandes apa itesde onvergen e,en luipermettantunajustementpre isdessolutions,spe ialementpendantlesdernieresetapes del'evolution.Ladenitiondelanouvellevaleurdel'elementmutex

0 k

sefait ommesuit:

x 0 k =  x k +
(t;u(k) x k ) siS=-1 x k
(t;x k l(k)) siS=1;

ave Sestune variablealeatoireegale1.

La fon tion
(t;y) retourne une valeur dans l'intervalle [0;y℄ telle que la probabilite que
(t;y)soit pro hede0augmente ave l'augmentationdet(test lenombredegenerations ourant).Cetteproprietepermetal'algorithmed'explorerl'espa edere her heuniformement pendant lespremieres generations,et treslo alementpendantdesetapesplusavan ees. La denition hoisieparlesauteurspour ette fon tionest:

(t;y)=y:r:(1 t T ) b ;

ou r= U[0;1℄,T est le nombre maximalde generationset b est unparametre dusysteme determinantledegredenon-uniformite.

1.4 La Repr ´

esentation Fonctionnelle

Danslarepresentationfon tionnelle,unesolutiondansl'espa egenotypiqueestrepresenteepar une stru turearbores entedynamique,souvent onsideree ommeunprogramme genetique.

En tant que stru tures d'arbres {graphes a y liques{, les programmes genetiques requierent la donnee de l'ensemble des fon tions de base et des terminaux, de rivant alors le \langage de programmation"duproblemearesoudre.Eneet,ave lesfon tionsprenantpla eauniveaudes nuds et desterminauxs'assimilantadesfeuillesde l'arbre,nousobtenons unjeu d'instru tions onstituant lesbriqueselementairesqui, assembleesjudi ieusement, doiventfournirune solution. Dans larepresentation fon tionnelle, ette solutionest une fon tionadeux dimensions(f(x;y)), onstruit apartirde:

1. unensemblede terminaux (T):les variables, les onstantesuniverselles,fon tions sans ar-guments(rnd(),time(),...).

2. unensembledenuds(N):desoperateurs: ; ;+,desfon tions:sin, os,...

*

+

X1

C1

C2

*

X0

X1

X0

-*

Fig.1.9{Exemple d'une solution en GP: N =f;+; get T =fX0;X1;Rg. L'espa e explore est eluidespolyn^omes reelsa2variables.

1.4.1 Le croisement en GP

Typiquement,lastrategiedelare ombinaison onsisteenune hangededeuxsous-arbresdes deux individus a roiser,sele tionnesapriori parmiles plusperformants,don ontenant poten-tiellementdessous-stru turesinteressantes.Le hoixdessous-arbresae hangerestgeneralement faitpartirageuniforme.

1.4.2 La mutation en GP

LeGPtraditionnelproposeparKoza[69℄n'utilise pasd'operateursdemutation.Pourassurer l'a esatouteslesprimitivesdulangagedere her he(e.g.LISP)etassurerladiversitegenetique, onutilisedespopulationsdetresgrandetaille,pouravoirlemaximumd'information.C'esten1996 quelamutationaeteintroduiteparAngeline[6,4℄danslebutdereduirelatailledespopulations duGPstandard.

Ondistinguedemultiplessortesdemutationsdufaitdela omplexitedesstru tures arbores- entes,dontles apa itesexploratoirespeuventetre^ lo ales ou, al'inverse, degrande envergure. Parmilesdierentesmutations, lesplus ourantessont:

{ Mutationparinsertion(grow mutation):onajouteunnudetdesfeuilles omplementaires n'importeoudansl'arbre(gure 1.11).

*

c1

c2

x0

x1

*

-x1

*

c3

x1

c3

-x0

+

x1

x0

+

+

x1

x0

+

-x0

*

*

c2

x0

x1

*

-c1

c1

Parent 1

Parent 2

Enfant 1

Enfant2

Fig.1.10{Exemple de roisementde deuxindividus enGP

x0

+

*

x0

+

*

c1

x1

c1

-x1

c2

mutation par

insertion

Enfant

Parent

Fig.1.11{Exemplede la mutationparinsertionen GP.

+

x1

x0

+

*

c2

x0

x1

*

-c1

Parent

*

c2

x0

x1

*

-x0

Enfant

mutation par

promotion

{ Mutationd'unnud( y le mutation):unnuddel'arbreest hangeenunautredem^eme arite(gure1.13).

Parent

x0

+

*

x0

+

-mutation d’un

noeud

Enfant

x1

c1

x1

c1

Fig.1.13{Exemple de mutationd'unnuden GP

{ Mutationd'unebran he:onelagueunebran hedel'arbreetonlarempla eparunsous-arbre generealeatoirement(gure1.14).

+

x1

x0

+

*

c2

x0

_x1

*

-c1

Parent

*

c2

x0

_x1

*

-Enfant

-x1

c3

mutation d’une

d’une branche

Fig.1.14{Exemple de mutationd'une bran heen GP

Dansle asou lesterminauxpeuvent^etre des onstantesnumeriques,d'autresmutations ont 

eteintroduites,donton ite:

{ Mutationdes onstantes: quelques onstantes sont modiees selon une loi Gaussienne ou uniforme[4℄.

{ Mutationoptimiseedes onstantes:onappliquequelquesiterationsd'unhill limberaleatoire envued'aÆner les onstantes[116℄.

1.5 Le Darwinisme Artificiel

Le Darwinismedans un algorithmeevolutionnaire est appele dansdeux etapesdierentesau ours d'une generationdonnee: l'etape de reprodu tion an de sele tionnerles parentsqui vont se reproduire et l'etape de rempla ement, qui rempla e les individus non sele tionnes par eux designesasurvivre, onstituantainsilanouvellepopulation(gure1.1).

Lasele tionest un operateurprin ipal utilisedans la programmationevolutionnaire, dontle premierr^oleest d'a entuerlesmeilleursindividusdanslapopulation.Ilsele tionnelesindividus relativementperformantspour sereproduire. Il doitaider l'algorithme a onverger, et en m^eme temps, maintenirladiversitede lapopulation,an d'eviterla onvergen e prematuree.Plusieurs

1.5.1 La s ´

election proportionnelle

La roulette

Lapremieresele tionmiseen pla epourlesGAest letiragealaroulette,ouRoulette Wheel Sele tion (RWS) introduite par Goldberg [42℄. C'est une methode sto hastique qui exploite la metaphored'uneroulettede asino,qui ompteraitautantde asesqued'individusdansla popu-lation.Lalargeurdela ased'unindividu

! x

i

estproportionnelleasaperforman ef( ! x i ): f( ! x i ) P n j f( ! xj) . Leroueetantlan ee,l'individusele tionneestdesigneparl'arr^etdelarouesursa ase(gure1.15).

L'esperan en i

denombrede opiesd'unelement ! x

i

delapopulation ouranteestdonneepar l'expression: n i = N P N j f( ! x j ) f( ! x i );

ou N estlenombred'individus. L'esperan emaximaleMax(n i

)dans l'ensembledeselementsde lapopulationest appeleelapression sele tive.

Fig.1.15{Rouede loteriepourune populationde 4individus ave f(x i

)=f50;25;15;10g.Pour tirerunelement,onlan e laroue,et sielles'arr^etesurla asei,x

i

estsele tionne.

Cettemethodefavoriselesmeilleursindividus,maistouslesindividusonttoujoursdes han es d'^etre sele tionnes. Cependant, elle peut auser la perte de la diversite de la population si la pressionsele tive(oun

i

dumeilleur)estelevee.Deplus,savarian eet son o^ut sonteleves. Andediminuerlavarian e,Bakeraproposeen1987lasele tionalarouletteave reste sto- hastique,ousto hasti universalsampling(SUS)[12℄.Ave etteappro he,d'unefa onsimilairea RWS,on onsidereuneroulettepartitionneeenautantde asesqued'individus,ou haque aseest detailleproportionnellealaperforman e.Mais ettefois,lesindividussele tionnessontdesignes parunensembledepointsequidistants(gure1.16).Lenombreee tifde opiesdel'individu

! x

i seralapartieentiereinferieureousuperieuredesonesperan en

i : E( n:f( ! x i ) P n i=j f( ! x j ) )

Fig. 1.16 { Sto hasti Universal Sampling Sele tion: pour sele tionner des individus, on lan e la roue, et quand elle s'arr^ete, haque individu dont la ase est pointee par un marqueur est sele tionne.

La mise `

a l’ ´

echelle (scaling)

Au oursdel'evolutiond'unepopulation,ave lasele tionproportionnelle,lesindividus ayant lesmeilleuresperforman essontreproduitsplussouventquelesautresetrempla entgeneralement lesmoinsbons.Silapressiondesele tionestelev ee,lerisquede onvergen eprematureeest impor-tant.Cettesituationseproduitlorsqu'unsuper-individu,nettementmeilleurquelesautres,devient majoritairedanslapopulationqu'ilnit parenvahir ompletement(gure1.17).L'explorationde l'espa edesgenotypesrestealorsuniquementassureeparlamutation,puisque l'hybridation d'in-dividussemblablesne reeplusdenouveautes.Lorsque epointestatteint,l'explorationseramene 

aunere her helo ale entreesurlesuper-individu.

n

_i

_n

_{du super-individu}

i

Rang(x )

_i

Fig.1.17{Exemple d'unsuper-individuqui risquede dominer la population.

Par ontre,silapressiondesele tionesttropfaible,lesmeilleursindividus,quiontunnombre esperede des endantspresqueidentiquea elui desindividus afaibles performan es,ne peuvent plusguider l'evolutionqui devient tributaire de laderive genetique. Dans detelles situations, la sele tionproportionnelle lassique est insuÆsante pour ontourner laderive genetique. Plusieurs te hniquesontetealorsmisesenpla eandemaintenirladiversitedelapopulation,dontlamise 

al'e helleet leste hniquesde ni hage. Cesdernieres,vu leurr^ole primordialdansl'optimisation multimodale,ont onnupendantlesdernieresanneesuneevolutionimportante,donnantnaissan e

Leprin ipedelamiseal'e helle onsisteaee tuerunetransformationaÆnedelafon tionde performan ebrutef,andereduirelese artsentrelessolutionsaudebutdupro essusd'evolution (en asdesuper-individu)etdelesa entueralan(lorsquelapopulation ommen ea onvergeret lestnessdesindividusdeviennentpresquetoutes omparables).C'estlaperforman emodieef

s quiestutiliseelorsdelasele tion.Ilexistedeuxtypesdemiseal'e helle,lineaireetexponentielle:

{ Les alinglineaire:f s

=a:f+b,ouaetbsont al ulesa haquegeneration,detellesorteque lapression sele tive(max(n

i

)ait une valeurdonnee. L'allure de ette fon tion est illustree dansla(gure1.18(a)).

{ Les alingexponentiel: f s

=f b(t)

,out designe lageneration ourante et best une fon tion quivarieentredesvaleurspro hesdezeroaudebutdel'evolution(pourreduirelese artsde tness)etdesvaleurssuperieuresa1alandel'evolution(poura entuerlesdieren esde tnessetfavoriserlesmeilleurs)(gure1.18(b)).

f s

f

min

max

avg

f

f s = a

+ b

min

avg

max

f s

f

min

max

avg

f

f s

min

avg

max

=

b

b<1

b>1

b=1

(a)Fon tion des alinglineaire (b)Fon tiondes alingexponentielle

Fig.1.18{Exemple de fon tionsde miseal'e helle

Le Ranking

Une autre variante de la sele tion par roulette est la roulette par le rang, on ueegalement pour lutter ontre les eventuels super-individus. La largeur de la ase d'un individu donne est proportionnelleasonrangdanslapopulation(trieeparordrede roissantdelaperforman e).Les valeursdelatnesssontalorssansimportan epourlasele tion,seulle lassementdesindividus ompte. largeurdela asei: R ang( ! x i ) n(n 1)=2 :

1.5.2 Le tournoi

CommepourleRanking,lasele tionpartournoinefait pasintervenirlesvaleursdestness, maisseulement des omparaisonsentre lesindividus. Son prin ipeest de hoisir ungroupe deq individusaleatoirementdanslapopulation,desele tionnerd'unemanieredeterministelemeilleur

Au oursd'unegeneration,ilyaautantdetournoisqued'individusasele tionner.Lapressionde sele tionestajusteeparlenombredeparti ipantsauntournoi(q).Unqeleve onduitauneforte pressiondesele tion.

L'avantagede ettete hniquedesele tionestqu'elleest parametrableparlavaleurdeq, peu sensible auxerreurssur f et n'est pas here amettreen oeuvre etaexe uter.Par ontre,sa va-rian eestelevee[22℄.

Ilexisteplusieursvariantesdelasele tionave tournoi,donton iteletournoideBoltzmann [130℄, qui assure quela distributiondesvaleurs d'adaptationd'une population soit pro he d'une distributionde Boltzmann. Pourune ompetitionentreune solution ourante

! x i et une solution alternative ! x j , ! x i

gagneave laprobabilite

1 1+e (f( ! x i ) f( ! x j ))=T

,ouT estlatemperaturedesele tion.

1.5.3 Le remplacement

Le remplacement d ´

eterministe

Lerempla ementdeterministeestutilisedanslesstrategiesd'evolution.Son ara terepurement deterministe luidonne unr^ole lefdans l'evolutionvuqu'il guidela re her heversleszonesdes meilleurs individus.Ilopereensele tionnantles(1<6)meilleuressolutionsparmi:

{ l'uniondesparentset enfants: s hemaappele(+)-ES, { l'ensembledesenfants: s hemaappele(;)-ES.

Lerempla ement(+)estelitisteetilgarantituneameliorationmonotonedelaperforman e delapopulation,maisils'adaptemalauneventuel hangementd'environnement.Par ontre,ave lerempla ement(;),lameilleureperforman epeutde ro^tre,maisl'algorithmeestplus exiblea des hangementsd'environnement.Deplus,laregressiondesmeilleuresperforman espeutaiderle pro essusdere her heasortirdesregionsd'attra tiondesoptimalo auxet ontinuerl'exploration ailleurs.D'oulare ommandationdus hema(;)-ESparS hwefel[121℄.

Le remplacement g ´

en ´

erationnel

Uneautrete hniquederempla ementestlerempla ementgenerationnel,utiliseprin ipalement dans les GA standards. Ave ette appro he, la population des enfants rempla ent entierement la population parente. La duree de vie d'un individu est alors d'une seule generation.Dans ses 

etudes surlaperforman e de ettete hnique,De Jong [21℄a proposededenirunparametre G (Generation Gap), spe iantle taux de rempla ement a haque generation,an d'augmenter la dureedeviedesmeilleursindividus.G=1 orrespondaurempla ementgenerationneltotal.Une 

etudeempirique faiteparGrefenstette en1986[44℄montrequedestauxelevesdeGdonnentdes meilleurs resultatsquedestauxfaibles.

1.5.4 Les sch ´

emas d’ ´

evolution

Onregroupesous e nomlesensembles sele tion/rempla ement,qui nepeuvent^etredisso ies lors desanalyses du darwinisme ausein des algorithmesevolutionnaires. Un s hemad'evolution est don lareuniond'unepro eduredesele tionetd'unepro edurederempla ement.Toute om-binaisondespro edurespresenteesplushautestli ite.Toutefois, ertaines ombinaisonssontplus souventutilisees,que esoitpourdesraisonshistoriques,theoriquesouexperimentales.Pour ette

e olestravaillaientsurdesespa esdere her hebienpre is, ependant,less hemassonttotalement independantsdel'espa edere her he.

{ L'algorithme genetiquestandard:SGA("Simple Geneti Algorithm")

Ce s hema est base sur le rempla ement generationnel. A haque generation, N parents sont sele tionnessto hastiquementparune desmethodesde ritesdansles se tions1.5.1et 1.5.2. Ces N parents donnentnaissan e ensuitea N enfants parappli ation desoperateurs genetiques(ave desprobabilitesdonnees).Enn, esNenfantsrempla entpurementet sim-plementlesN parentspourlagenerationsuivante.

{ Les strategies d'evolution: ES+,ES,

Deuxtypesdes hemassontpossiblesdanslesstrategiesd'evolution:les hema\ES+"base sur le rempla ement deterministe (+), et le s hema \ES," base sur le rempla ement deterministe (;). A haque generation, les  enfants sont generes a partir des parents sele tionnespartirageuniforme(onpeutdirequ'iln'yapasdesele tionausensdarwinien). Onnoteque es hemaestsouventasso iealarepresentationreelle.

{ Le s hema stationnaire:SSGA("Steady StateGeneti Algorithm")

Ce s hema onsisteaproduire, a haquegeneration,seulementunoudeuxenfantsapartir d'unoudeuxparentssele tionnesselonleursperforman es.Cesenfantsrempla entalorsdes individus de la population parente, sele tionnes soit d'une maniere deterministe (les pires danslapopulation), soitpartournoiinverse,ouselonles^ages(lesplusvieux).

Ce modele s'applique aussipour les strategies d'evolutionave l'appro he ((+1) ES) ou>1,introduite parRe henbergen73 [97℄, ou tout lesparentspeuventparti iperala produ tion de l'enfant. Cependant, il n'est pas tresutilisepar e qu'ilne permet pas l'im-plantationdel'auto-adaptationpourlamutation.

{ Laprogrammation evolutionnaire: EP

Les hemautiliseressemblea eluidesstrategiesd'evolutionES+,quoiquedeveloppe ompl e-tementindependamment.Cependant,ave EP,lenombredesenfantset eluidesparentssont identiques:(N+N) ES.

1.6 Le nichage

Les te hniques de ni hagesontpourobje tif la formationet lemaintien de sous-populations (ni hes)danslam^emepopulation(gure1.19)danslebut de:

{ eviterla onvergen eprematureeversunoptimumlo al, { identierplusieursoptimaouquasi-optima.

Ondistinguedeuxstrategiesdeni hage:lesstrategiesavoisinageimpli ite (pasdeparametre devoisinageaxer)[59℄etlesstrategiesavoisinageexpli ite.Lesmethodespresenteesdans ette se tionsebasentsurlevoisinageexpli ite.

Lesmethodes utilisant lafon tiondeperforman e ommeunesour e uniqueapartager entre lesdierents individus de lapopulationbene ientduplus grandsu esparrapport aux autres methodes de ni hage, spe ialement dans l'optimisation des fon tions multimodales. Parmi es methodes,on ite lesharing etl'e lair issementelitiste, presentesdanslesse tions1.6.2et 1.6.4,

des sous-populations

Y

X

Fig.1.19{Eetduni hagesurune population.

1.6.1 Le surpeuplement (Crowding)

InitialementproposeparDeJongen1975[21℄,le rowdings'appliqueaunalgorithmegenetique simpleet permet seulementaunefra tiondelapopulationdesereproduire a haquegeneration. Chaquenouvelindividugenererempla eunindividuexistantquiluiesttrespro hegenotypiquement. Lederoulementdelapro edurede rowdingest lesuivant.

Un ertain pour entageGdes individus sont sele tionnesproportionnellement aleurs perfor-man espoursereproduire par roisementetmutation. Gnindividus delapopulationdoivent ^etreensuiterempla esparlesnouveauxenfants.Chaqueelementinseredanslapopulationprend lapla ed'unautre hoisiave lapro eduresuivante:

1. Un e hantillon de CF individus est sele tionnealeatoirementde la population, ou CF est appelele\fa teur de rowding".

2. ParmilesCF elements,l'elementle pluspro hede eluiainserer estsele tionnepour^etre rempla e. Le degre de similarite entre deux individus est deni en faisant une omparai-sonelement parelement de leurs genotypes. Le but de ette omparaisongenotypique est d'assurerlades endan edans lazoned'espa eduparentrempla e.

3. Cepro edeestensuiteitereGnfoisande ompleterlanouvellepopulation.

Le rowdingest inspireduphenomenee ologiqueoulesindividus semblablesdans une popu-lation naturelle, souvent de m^eme espe e, sont en ompetition entre eux pour l'a quisition des ressour eslimitees [79℄. Parailleurs,les individus dissemblablestendenta o uperdes domaines distin tsdansl'espa ed'etat,etnesontdon pasenpositionderivalitepoura ederauxressour es. Leresultatgeneralde ettete hniqueestlemaintiendeladiversiteetl'equilibredela popula-tion,oulesnouveauxmembresd'uneespe eparti uliererempla entlesan iensmembresde ette m^eme espe e, e qui permet de stabilisersa taille.Ainsi, le rowding permet d'eviter la onver-gen eprematuree. Cependant, la seule diversite possibleau ours de l'evolution est la diversite preexistante (de la population initiale), et la han e de reation d'une nouvelle espe e est tres

1.6.2 Le partage (sharing)

Lapartageexpli itedelaperforman eaeteintroduitparGoldbergetRi hardsonen1987[43℄, ou la performan e d'un individu donnedepend dunombre d'individusqui lui sont pro hesdans lapopulation. Son but prin ipal est de penaliser lesindividus qui sont troppro hes les uns des autres.Ainsi,laperforman epartagee(sharedtness)f

0

d'un individu ! x

i

estdonnee par:

f 0 ( ! x i )= f( ! x i ) P n j=1 sh(d( ! x i ; ! x j ))

ou sh designe la fon tion de partage (sharing fun tion) et elle a omme parametre d'entree la distan e d entre deux solutions. Elle retourne '1' si les deux solutions sont identiques, '0' si la distan eentreeuxdepasseun ertainseuil(

share

)etunevaleurintermediairepourdesdegresde dissimilariteintermediaires.Lafon tiondepartagelaplusutiliseeest:

sh(d)=  1 ( d shar e )  ; sid< share 0; sinon;

ou  est une onstante (typiquementegalea1) utilisee pour ontr^olerl'allure de la fon tion de partage. Le al ul de la distan e entre deux individus peut se faire dans l'espa e genotypique (e.g.distan edeHamming)ouphenotypique(e.g.distan eEu lidienne),selonleproblemetraite. Cependant,desetudesexperimentalesfaitesparDebet Goldbergen1989[20℄surlesm^emestests ontmontrequelepartagedansl'espa ephenotypiquedonnedesresultatslegerementmeilleurs.

1.6.3 Le partage par classification

La pro edurede partage lassique aune omplexiteelevee(O(N 2

)), vu qu'elle ne essite une omparaisondeuxadeuxdetouslesindividusdelapopulation.Andereduire ette omplexite, Yinet Germay, en 1993, ont proposede lassier lapopulationen ni hesavant lapro edure de partage[135℄. Cettederniereestappliqueeensuitesur haqueni he, e quireduitla omplexitea O(Nlog(N)).

CettemethodeaeteensuiterendueadaptativeparAlliot[3℄quiproposed'a tualiserladistan e minimaledeni hagea haquegeneration,de maniere amaintenirunbonniveaudeperforman e desindividus appartenantauxdierentes lasses.

1.6.4 L’ ´

eclaircissement ´

elitiste

L'e lair issement est une autre version de ni hage proposee par Petrowski en 1996 [93℄, ou toutes les ressour esd'une sous-population sont reserveesau meilleur du groupe, au lieu d'^etre partageespartouslesmembres.Commelesmethodespre edentes,lesdierentessous-populations sontdetermineesgr^a eaunseuilde dissimilarite

share

. Lapro edured'e lair issementpreserve laperforman edel'individudominantdugroupe,appele\legagnant",etae tedesvaleursnulles pourtout le restedesindividus delasous-population.En onsiderantlepro essus d'unpoint de vuee ologique, esontlesindividuslesplusfortsde haquegroupequisepartagentlatotalitedes ressour es,et lesplus faibles n'ont pasa esauxressour es(performan e nulle). Les ni hes des individusdominesnesontpas onnues(defaitqu'ilspeuvent^etredominesparplusieursgagnants enm^emetemps),maisl'ensembledesgagnantsest uniquepourunepopulationdonnee.

Cettemethodepeut^etregeneraliseeena eptantplusieursgagnantsparmilesmeilleurs indivi-dusd'uneni he.Lenombremaximumdegagnantsdansuneni hedenitsa apa ite.L'operateur

L'algorithmedelapro edured'e lair issementseresume ommesuit:

trier la population (par ordre de roissant de la performan e) Pour i=1 jusqu'a i=N 1 faire

Si fitness( ! x i ) >0 nbgagnants=1

pour j=i+1 jusqau'a j=N 1 faire Si fitness( ! x j )>0 et distan e( ! x i ; ! x j )< share Si nbgagnants <Capa iteni he

nbgagnants nbgagnants + 1 sinon fitness( ! x j )=0 Fin ave : { tness( ! x i

): estlaperforman edel'individu ! x i , { distan e( ! x i ; ! x j

): retourneladistan eentrelespoints ! x i et ! x j , {  share :lerayond'e lair issement,

{ Capa iteni he: apa itede haqueni he(nombremaximumdegagnantsparni he). Cettemethodeal'avantagede ontr^olerla densitedes points dans haqueregion del'espa e dere her he.Enplus,sa omplexiteestinferieurea elledupartage lassique(O(C :N),ouC est lenombredessous-populations).

1.7 L’optimisation multi-crit `

ere

L'objet de l'optimisation multi- ritere est la maximisation ou la minimisation de plusieurs fon tions obje tifs simultanement. Par exemple, dans un pro ede de fabri ation, on her he a maximiserungaintout enminimisantun o^ut.

Minimiserf( ! x)=(f 1 ( ! x);


;f m ( ! x)) ouf i

est unefon tionobje tif etmet lenombred'obje tifs.

Le front de Paretooptimal:

C'est l'ensembledessolutionsnon-domineesdans l'espa edere her he.Lanotiondedomination pourunproblemedeminimisationestdenie ommesuit:

Si ! x 1 et ! x 2

sontdeuxsolutions,alors ! x 1 domine ! x 2 ( ! x 2  ! x 1 )sietseulementsi: 1. 8j2f1;


;mg : f j ( ! x 2 )6f j ( ! x 1 ) 2. 9i2f1;


;mg : f i ( ! x 2 )<f i ( ! x 1 )

Deuxbutsmajeurssontvisesau oursdel'optimisationmulti- ritere: 1. guiderlare her heverslasurfa edePareto globale,

2. maintenirladiversitedelapopulationauniveaudufrontdePareto.