Quelques « formules de masse  » raffinées en degré premier

Bulletin

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Publié avec le concours du Centre national de la recherche scientifique

de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Tome 140 Fascicule 4

2012

pages 599-606

QUELQUES « FORMULES DE MASSE » RAFFINÉES

EN DEGRÉ PREMIER

Chandan Singh Dalawat

140(4), 2012, p. 599–606

QUELQUES « FORMULES DE MASSE » RAFFINÉES EN DEGRÉ PREMIER

par Chandan Singh Dalawat

Dans la théorie des équations, j’ai recherché dans quels cas les équations étaient résolubles par des radicaux.

Évariste Galois, 29 mai 1832.

Résumé. — Pour un corps local à corps résiduel fini de caractéristiquep, nous donnons quelques raffinements de la formule de masse de Serre en degrépqui nous permettent de calculer par exemple la contribution des extensions cycliques, ou celles dont la clôture galoisienne a pour groupe d’automorphismes un groupe donné à l’avance, ou possède des propriétés de ramification également données à l’avance.

Abstract (Some refined prime degree “mass formulas”). — For a local field with finite residue field of characteristicp, we give some refinements of Serre’s mass formula in degreepwhich allow us to compute for example the contribution of cyclic extensions, or of those whose Galoisian closure has a given group as group of automorphisms, or has ramification properties given in advance.

Texte reçu le 6 février 2012, accepté le 21 septembre 2012.

Chandan Singh Dalawat, Harish-Chandra Research Institute, Chhatnag Road, Jhunsi, Allahabad 211019, Inde • E-mail :dalawat@gmail.com

Classification mathématique par sujets (2010). — 11S15, 11S20.

Mots clefs. — Formule de masse de Serre.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2012/599/$ 5.00

©Société Mathématique de France

600 C. S. DALAWAT

1. Introduction

Soientpun nombre premier,kune extension finie deFpde degréf = [k:Fp] et de cardinalq=p^f, etF un corps local de corps résiduelk. On sait queF est alors ou bien une extension finie deQp d’indice de ramificatione= [F :Qp]/f, ou bien le corpsk((T)). On désigne parv:F^×→Zla valuation normalisée de F.

Soit

T

p(F)l’ensemble de toutes les extensions séparablesE|F (totalement) ramifiées de degré[E :F] =pcontenues dans une clôture algébrique donnée de F. Pour touteE ∈

T

p(F)de discriminant δ_E|F, Serre posec(E) =v(δ_E|F)− (p−1); c’est un entier strictement positif qui mesure la ramification sauvage de E|F. Le cas de degrépde la formule de masse de Serre dit queP

Eq^−c(E)=p: la masse de

T

p(F)vautp[4].

La formule de masse en tout degré fut également démontrée par Krasner [3]

peu après.

Notre but dans cette Note est de calculer la masse de diverses parties de

T

p(F), par exemple celle des extensions E qui sont cycliques surF, ou celle des extensions E dont la clôture galoisienne E˜ a pour groupe Gal( ˜E|F) un groupe Γdonné à l’avance, ou encore celle des extensions telles que E˜ =EF⁰, pour une extensionF⁰|F fixée.

On pose K = F(^p−1√

F^×) et G = Gal(K|F); K est l’extension abélienne maximale de F d’exposant divisantp−1. Noter queK contient pracines p- ièmes de1sicar(F) = 0; on désigne parω:G→F^×_p le caractère cyclotomique donnant l’action deGsur lesdites racines, et l’on poseω= 1 sicar(F) =p.

Il résulte essentiellement du critère de résolubilité de Galois que, pour tout E ∈

T

p(F), l’extension composée EK est cyclique de degré p sur K et ga- loisienne sur F. Inversement, toute extension cyclique L|K de degré pqui est galoisienne sur F provient d’une extension séparable de degré p de F. Par ailleurs, les extensions cycliques L|K de degrépsont en bijection avec lesFp- droites D ⊂ K^×/K^×p en caractéristique 0, respectivement D ⊂ K⁺/℘(K⁺) en caractéristique p, où ℘(x) = x^p −x. Les L qui sont galoisiennes sur F correspondent auxD qui sont G-stables.

Ce qui précède définit une application

T

p(F) → Hom(G,F^×_p) qui envoie toute E sur le caractèreχ :G→ F^×_p à travers lequel Gagit sur la F_p-droite D telle queEK=K(√^p

D)ouEK =K(℘⁻¹(D)), suivant les cas. SiE|F est cyclique, alors χ=ω.

Notre résultat principal (prop. 1) calcule la contribution P

E7→χq^−c(E) de chaque caractèreχ:G→F^×_p à la formule de masse de Serre en degrép.

L’accouplement parfait G × (F^×/F^×p−1) → F^×_p identifie le groupe Hom(G,F^×_p)avecF^×/F^×p−1; le caractèreωs’identifie à−psicar(F) = 0, à¯1

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sicar(F) =p. On peut donc parler de la « valuation »v(χ)¯ ∈Z/(p−1)Zd’un caractèreχ:G→F^×_p ; on a¯v(ω)≡eou≡0 (mod. p−1)respectivement.

Pour un caractèreχ:G→F^×_p et un indicei∈[0, e[(resp.i∈N), definissons jχ,i ∈[1, p[par la conditionv(χ)¯ ≡v(ω)¯ −(i+jχ,i) (mod. p−1).

Proposition 1.1. — La contribution P

E7→χq^−c(E) de χ à la formule de masse de Serre en degré pvaut

(1) p(q−1)

(p−1) X

i

q^{i−(ip+jχ,i)}

(i∈[0, e[ sicar(F) = 0, i∈N sicar(F) =p,

sauf si χ= 1et car(F) = 0, auquel cas les extensions très ramifiées contribuent par un terme p/q^(p−1)e supplémentaire.

[Bien entendu, on retrouve la formule de masse de Serre en degrépen ajou- tant les contributions de tous lesχ.]

Voir §3 pour la démonstration. Rappelons que E ∈

T

p(F) est dite très ramifiée si p|c(E); pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit quecar(F) = 0 et c(E) =ep.

Il est facile d’évaluer la somme(1), en notant que sii≡i⁰(mod. p−1), alors jχ,i =jχ,i⁰. En caractéristique 2, on a G= {1} qui n’a qu’un seul caractère.

En caractéristiquep6= 2, on a le

Corollaire 1.2. — Si p6= 2,F =k((T)) et si v(χ)¯ ≡ −a(mod. p−1) pour un a∈[0, p−1[, alors la contribution P

E7→χq^−c(E) de χ vaut (2) p(q−1)

(p−1)

Çq^p−2(q^(p−2)a−1)

q^(p−1)a(q^p−2−1)+ q^p−2(q^{(p−2)(p−1)}−1) q^(p−1)a(q^p−2−1)(q^(p−1)2−1)

å .

Le casχ= 1donne la contribution des extensions cycliques dans

T

p(F).

Les formules sont légèrement plus compliquées en caractéristique0mais ré- sultent de la même méthode ; nous ne les explicitons que dans un cas particulier.

Corollaire 1.3. — Supposons que F|Qp est une extension finie et écrivons e−1 = (p−1)m+s(avecs∈[0, p−1[,m∈N). Pour tout caractère χ:G→F^×_p de « valuation »¯v(χ)≡e(mod. p−1), la contributionP

E7→χq^−c(E)deχvaut

(3) p(q−1) (p−1)q^p−1

m−1

X

n=0 p−2

X

r=0

q^{−(p−1)2n−(p−2)r}+

s

X

r=0

q^{−(p−1)2m−(p−2)r}

!

sauf siχ= 1, auquel cas les extensions très ramifiées contribuent par un terme p/q^(p−1)e supplémentaire. En particulier, le cas χ=ω donne les contributions des extensions cycliques dans

T

p(F)suivant queω6= 1 ouω= 1.

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Remarque 4. — SoitE ∈

T

p(F)et soit D⊂K^×/K^×p ouD ⊂K⁺/℘(K⁺) la droite telle que EK=K(√^p

D)ouEK =K(℘⁻¹(D))respectivement. Si le caractèreχ:G→F^×_p donne l’action deGsurD, alorsωχ⁻¹donne l’action de GsurGal(EK|K).

Remarque 5. — Le caractère χ permet de récupérer E˜₁ ⊂ E, l’extension˜ maximale modérément ramifiée deF dans la clôture galoisienneE˜ deE|F. En effet,E˜1=K^Gχ, oùGχ= Ker(ωχ⁻¹). On a aussiE˜ =EK^Gχ.

Exemple 6. — Fixons une extension F⁰ ⊂ K de F. La contribution des E ∈

T

p(F) telles queE˜ =EF⁰ est la somme des contributions de tous lesχ tels que K^Gχ =F⁰.

Exemple 7. — De même, la contribution desE∈

T

p(F)telles queE˜1|F soit non ramifiée est la somme des contributions de tous les caractèresχ:G→F^×_p tels que ¯v(ωχ⁻¹)≡0 (mod. p−1).

Remarque 8. — Le caractère χ détermine le groupe Γ = Gal( ˜E|F) à iso- morphisme près. En effet, Γ est l’extension de Im(ωχ⁻¹)⊂F^×_p par le groupe P = Gal( ˜E|E˜1)d’ordrep(avec l’identificationAutP =F^×_p).

Exemple 9. — Cette remarque permet de calculer la contribution de toutes les E ∈

T

p(F) telles que Gal( ˜E|F)soit isomorphe à un groupe Γ (extension canonique d’un sous-groupe deF^×_p = AutP par un groupeP d’ordrep) donné à l’avance. C’est la somme des contributions de tous les χ:G→F^×_p tels que Card Im(ωχ⁻¹) = (Card Γ)/p.

Remarque 10. — Soitb⁽ⁱ⁺¹⁾la suite des entiers positifs premiers àp, de sorte queb⁽ⁱ⁺¹⁾=i+ 1 +bi/(p−1)cpour touti∈N. Réconcilier le casχ=ωde la prop. 1 avec les formules (1)–(3) de [1, prop. 14–16] revient à vérifier l’identité

ip+jω,i= (p−1)b⁽ⁱ⁺¹⁾

pour tout i∈N. Écrivanti= (p−1)n+r (avecr∈[0, p−1[, n∈N), nous avons jω,i=p−1−retb⁽ⁱ⁺¹⁾=i+ 1 +n, d’où l’identité.

2. Modules galoisiens filtrés

Dans ce § nous rappelons la structure du Fp[G]-module filtré K^×/K^×p en caractéristique 0 et K⁺/℘(K⁺) en caractéristique p. Le lecteur est prié de se rapporter au §6 de [2], ou plutôt de arXiv:1004.2016v6, pour les démonstrations.

Nous allons construire de toute pièces un F_p[G]-module filtré auquel K^×/K^×p (resp.K⁺/℘(K⁺)) est isomorphe.

On noteo⊂Kl’anneau des entiers deK,p⊂oson unique idéal maximal, et l=o/pson corps résiduel ; on aGal(l|k) =G/G0, oùG0⊂Gest le sous-groupe d’inertie deG= Gal(K|F). Pour toutn∈Z, on désigne parl[n]lek[G]-module pⁿ/pⁿ⁺¹, de sorte que l[0] =l. Sim ≡n (mod. p−1), les k[G]-modulesl[m],

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l[n] sont isomorphes. Pour tout caractère χ: G→F^×_p, leχ-espace propre de l[n]est unek-droite siv(χ)¯ ≡n(mod. p−1); il est réduit à0sinon.

Pour tout i ∈ N, on pose V_i+1 =l[−(ip+ 1)]⊕ · · · ⊕l[−(ip+p−1)] en caractéristique pet

V_i+1=l[e−(ip+ 1)]⊕ · · · ⊕l[e−(ip+p−1)]

en caractéristique0, et l’on munit cek[G]-module libre de rang1de la filtration croissante pour laquelle le gradué associé est la somme directe définissantV_i+1. Finalement, on désigne par Fp{ω}une Fp-droite sur laquelleGagit à travers ω.

En caractéristique 0, le F_p[G]-module K^×/K^×p est muni de la filtration ( ¯Un)n image de la filtration· · · ⊂U2 ⊂U1⊂K^× du groupe multiplicatif, où Un = 1 +pⁿ pour toutn > 0. On aU¯ep+1 = {1}, et les quotients successifs sont indiqués dans le diagramme suivant (oùj∈[1, e[) :

{1} ⊂

|{z}

F_p{ω}

U¯_ep ⊂

|{z}

l[ep−1]

U¯_ep−1· · ·

· · · ⊂

|{z}

l[jp+1]

U¯jp+1 =

|{z}

{1}

U¯jp ⊂

|{z}

l[jp−1]

U¯_jp−1· · ·

· · ·U¯2 ⊂

|{z}

l[1]

U¯1 ⊂

|{z}

Fp

K^×/K^×p.

Pour n∈[0, ep], on pose

F

n= ¯U_ep−n (avec la conventionU¯0=K^×/K^×p).

Proposition 2.1. — Soit F une extension finie de Qp. Le Fp[G]-module fil- tré K^×/K^×p est isomorphe à

Fp{ω} ⊕(V1⊕0)⊕(V2⊕0)⊕ · · · ⊕(V_e−1⊕0)⊕Ve⊕Fp. On a inséré des 0 pour rappeler que

F

tp−1=

F

tp pour tout t∈[1, e[.

En caractéristique p, leFp[G]-moduleK⁺/℘(K⁺) est muni de la filtration (pⁿ)_n image de la filtration· · · ⊂p⊂o ⊂p⁻¹⊂ · · · ⊂K⁺ du groupe additif.

On a¯p={0}et les quotients successifs sont indiqués dans le diagramme suivant (oùj <0) :

{0} ⊂

|{z}

Fp

¯o ⊂

|{z}

l[−1]

p⁻¹· · · ⊂

|{z}

l[jp+1]

p^jp+1 =

|{z}

{0}

p^jp ⊂

|{z}

l[jp−1]

p^jp−1· · · ⊂K⁺/℘(K⁺).

Pour n∈N, on pose

F

n=p⁻ⁿ. On a alors le résultat structural analogue : Proposition 2.2. — SoitF le corpsk((T)). LeFp[G]-module filtréK⁺/℘(K⁺) est isomorphe à

Fp⊕(V1⊕0)⊕(V2⊕0)⊕ · · · ,

où les 0 sont insérés pour rappeler que

F

tp−1=

F

tp pour tout t >0.

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Définition 2.3. — SoitD⊂K^×/K^×p ouD⊂K⁺/℘(K⁺)uneFp-droite. Le niveau d(D)deD est le plus petit indicen∈Ntel que D⊂

F

n.

La seule droite de niveau 0 est la droite

F

0 = ¯U_ep en caractéristique 0 ou la droite

F

0= ¯oen caractéristiquep; c’est la droite qui donne l’extension non ramifiée de degré p de K. Le niveau de toute autre droite est premier à p, à l’exception des droites de niveau epen caractéristique0.

Corollaire 2.4. — Soit D ⊂K^×/K^×p ou D ⊂ K⁺/℘(K⁺) une F_p-droite G-stable de niveau n >0 et soit χ : G→F^×_p le caractère à travers lequel G agit sur D. Si p|n, alors car(F) = 0, n =ep et χ= 1. Si pgcd(p, n) = 1, alors v(χ)¯ ≡v(ω)¯ −n(mod. p−1).

Remarque 15. — Soit M|K l’extension abélienne maximale d’exposant di- visant p, à savoir M =K(√^p

K^×)en caractéristique0 et M =K(℘⁻¹(K))en caractéristique p. Le groupe profini H = Gal(M|K)est muni de sa filtration en numérotation supérieure, et la suite exacte courte

{1} →H →Gal(M|F)→G→ {1}

fournit une action de G sur H. La relation d’orthogonalité [1], §5, pour l’ac- couplement

H×(K^×/K^×p)→µp (resp.H×(K⁺/℘(K⁺))→Fp)

permet de déduire la structure du Fp[G]-module filtré H de la structure du Fp[G]-module filtré K^×/K^×p (prop. 11) (resp. K⁺/℘(K⁺)(prop. 12)).

3. Le calcul

Avant d’en venir à la démonstration de la prop. 1, rappelons un dernier petit lemme. SoitE∈

T

p(F)une extension séparable deF de degrép,b(L|K) l’unique saut de ramification de Gal(L|K), où L = EK, et d(D) le niveau (déf. 13) de la droiteD⊂K^×/K^×p ouD⊂K⁺/℘(K⁺)telle queL=K(√^p

D) ouL=K(℘⁻¹(D))respectivement.

Lemme 3.1. — On a b(L|K) =c(E) =d(D).

Cela résulte de la formule de transitivité du discriminant, combinée avec les relations d’orthogonalité [1], §7.

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Démonstration de la prop. 1. — Fixons un caractère χ : G → F^×_p. Si une droite D ⊂ K^×/K^×p ou D ⊂ K⁺/℘(K⁺) de niveau d(D) > 0 (déf. 13) est G-stable, et siGagit sur D à travers χ, alors le nombre deE ∈

T

p(F)telles que E 7→D est 1 si χ =ω et p si χ 6=ω. La contribution deD à la somme P

E7→χq^−c(E)est donc

(2) X

E7→D

q^−c(E)=

( q^−d(D) siχ=ω, pq^−d(D) siχ6=ω,

d’après le lemme 16. Par ailleurs, pour touti∈[0, e[(resp.i∈N), la dimension duχ-espace propre

F

ip(χ)de

F

ip vaut

dim_Fp(F_p{ω} ⊕V₁⊕ · · · ⊕V_i)(χ) =

(1 +if siχ=ω, if siχ6=ω,

(prop. 11 si car(F) = 0, prop. 12 si car(F) =p), donc le nombre de droites dans

F

(i+1)p(χ)qui ne sont pas dans

F

ip(χ)vaut

(5) pqⁱ⁺¹−1

p−1 −pqⁱ−1 p−1

Å

resp. qⁱ⁺¹−1

p−1 −qⁱ−1 p−1 ã

suivant que χ=ω ouχ6=ω. Or le niveau de toute telle droiteD vaut (6) d(D) =ip+j_χ,i,

oùjχ,i ∈[1, p[est déterminé parv(χ)¯ ≡¯v(ω)−(ip+jχ,i) (mod. p−1)(cor. 14).

Donc la contribution de toutes ces droitesD (pouridonné) vaut p

Åqⁱ⁺¹−qⁱ p−1

ã

q^−d(D)= p(q−1)

(p−1) q^{i−(ip+jχ,i)}

indifféremment dans les deux casχ=ω etχ6=ω, d’après (4), (5) et (6). Fai- sant la somme sur i∈[0, e[(resp.i∈N) donne la prop. 1, sauf sicar(F) = 0 et χ = 1. Dans ce cas, une analyse similaire fournit p/q^(p−1)e de plus comme contribution des droites de niveauepdans

F

ep(1). C’est ce qu’il fallait démon- trer.

Remarque 17. — C’est le calcul de la contribution individuelle de chaqueχ qui rend les applications mentionnées dans les Exemples6, 7, et 9 possibles. Il est également clair que la même méthode permet de calculer le cardinal de telles parties de

T

p(F)quand on les rend finies en bornantc en caractéristiquep.

4. Remerciements. — Cette Note a été conçue lors d’un court séjour à l’Uni- versité de Rennes au printemps 2011. Que toute l’équipe soit remerciée pour son accueil.

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BIBLIOGRAPHIE

[1] C. Dalawat – « Final remarks on local discriminants », J. Ramanujan Math. Soc.25(2010), p. 419–432.

[2] , « Serre’s “formule de masse” in prime degree »,Monatshefte Math.

166(2012), p. 73–92.

[3] M. Krasner– « Remarques au sujet d’une note de J-P. Serre : “Une ‘for- mule de masse’ pour les extensions totalement ramifiées de degré donné d’un corps local” : une démonstration de la formule de M. Serre à partir de mon théorème sur le nombre des extensions séparables d’un corps va- lué localement compact, qui sont d’un degré et d’une différente donnés », Comptes-Rendus de l’Acad. des Sciences 288 (1979), p. 863–865.

[4] J-P. Serre – « Une “formule de masse” pour les extensions totalement ramifiées de degré donné d’un corps local », Comptes-Rendus de l’Acad.

des Sciences 286 (1978), p. 1031–1036.

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