Variables d’état Complément 1 Page 1 sur 1
Thermodynamique T02.C1 © Isa 2019
Fonction thermome trique d’un thermome tre Celsius
Ce complément établit l’expression d’une fonction thermométrique particulière, celle de l’échelle Celsius en utilisant successivement deux méthodes différentes. Beaucoup d’autres fonctions thermométriques sont utilisées.
I. Première approche
Les deux premières colonnes du tableau 1 donnent les correspondances immédiates entre les températures des points repères, une température mesurée et les hauteurs. Les deux dernières colonnes établissent les correspondances entre différences de température et différences de hauteur.
Température Hauteur Différence de température Différence de hauteur
0 h0 t - 0 h - h0
t h 100 - 0 h100 - h0
100 h100
T02.C1 Tableau 1 : Correspondance entre les valeurs de la température et de la hauteur thermométrique.
Découper la différence de hauteur h100 - h0 en 100 parties égales signifie choisir une relation de proportionnalité entre les différences de température et de hauteur. Cette relation s’écrit :
0
100 0
0
100 0
100 100
h h t
h h
h h t
h h
= −
−
= −
−
Cette dernière équation t = f(h) fait correspondre à une valeur de la hauteur h une valeur de la température t. Elle définit la fonction thermométrique f des thermomètres Celsius à mercure ou alcool coloré.
II. Deuxième méthode
On peut aussi procéder en déduisant de la relation de proportionnalité que la fonction recherchée est une fonction affine :
t=ah+b
On applique cette fonction aux deux repères de température 0 et 100 degrés :
( ) ( )
( ) ( )
0 100 0
100 0
1 0 1' 100 ( )
d'où
2 100 2 '
ah b a h h
ah b b ah
= + = −
= + = −
On a déduit les égalités (1’) par soustraction « (2) –(1) » et (2’) à partir de (1).
Puis on en déduit les coefficients a et b :
( ) ( )
100 0
0
100 0
1'' 100
2 '' 100 a
h h
b h
h h
= −
= − −
On peut alors écrire la température en fonction de la hauteur c’est-à-dire la fonction thermométrique :
0 0
100 0 100 0 100 0
100
100 h finalement 100 h h
t h t
h h h h h h
= − = −
− − −
