Méthode des éléments finis hybrides duaux pour les problèmes elliptiques du second ordre

RECHERCHE OPÉRATIONNELLE . A NALYSE NUMÉRIQUE

J.-M. T HOMAS

Méthode des éléments finis hybrides duaux pour les problèmes elliptiques du second ordre

Revue française d’automatique, informatique, recherche opéra- tionnelle. Analyse numérique, tome 10, n^oR3 (1976), p. 51-79

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R.A.I.R.O. Analyse numérique (vol, 10, n° 12, décembre 1976, p. 51 à 79)

MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES

DU SECOND ORDRE

par J.-M. THOMAS Communiqué par P.-A. RAVIART

Résumé. — Les méthodes d'approximation conformes basées sur la formulation duale requièrent des champs de vecteurs satisfaisant dans chaque sous-domaine Véquation d'équilibre et dont les traces normales sur les interfaces sont réciproques. Nous dualisons cette dernière contrainte à l'aide d'un multiplicateur de Lagrange qui n'est autre que la trace sur les interfaces de la solution du problème primai.

1. INTRODUCTION

Pour cette introduction considérons le problème modèle -Au s= ƒ dans

u = 0 sur

a î

3Q, i

où Q est un ouvert borné de Rn et où ƒ est une fonction donnée dans l'espace L2 (Q).

Soit Vf (Q) la variété affine définie par

Vf{n) = {qe(L2(n)Y;divq+f=O dans Q}. (1.2) Le gradient de la solution u du problème (1.1) est caractérisé comme étant l'unique solution p du problème de minimisation

: Inf jf(4), (1.3)

4 6 vf (a>

où Jf est la fonctionnelle :

\²dx. (1.4)

En vue d'une approximation numérique de la solution p du problème (1.3), nous découpons le domaine Q, en sous-domaines Q^r, dans chacun desquels nous pourrons supposer que la fonction ƒ est un polynôme. A cette décompo- sition du domaine Q, nous associons la variété affine X* définie par

Xf = {qe(L2(Çl))n\ d i v g + / = 0 dans chaque Qr}. (1.5) (l) Université Paris VI, laboratoire d'Analyse numérique, Tour 55-65.

La variété Vf (Q) est l'ensemble des fonctions X$ dont les traces normales sont réciproques sur toute interface de la décomposition du domaine fi.

Il s'avère fort délicat de construire une sous-variété Vf (fi) de Vf (D) de dimension finie.

Pour éviter cette difficulté, on dualise la contrainte de réciprocité des traces normales à l'aide d'un multiplicateur de Lagrange À,, qui n'est autre que la trace de la solution u sur le bord des sous-domaines fi^r. Le couple (/?, X) est la solution d'un problème de point de selle :

, Â) = Inf Sup&(q, \i) (1.6)

qeXf ne M

où M est l'espace des multiplicateurs de Lagrange. Il est facile de construire une sous-variété Xf de R ^f de dimension finie et un sous-espace M^h de M de dimension finie. On cherche alors (p^h, X^h) solution du problème

(Ph,kh)eXfhxMh; J ? (f t, XJ * Inf Sup Sg (qk9 m). (1.7) Nous donnerons des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour que ce problème (1.7) admette une solution et une seule, nous étudierons Tordre de convergence.

Pour l'interprétation physique de cette méthode ainsi que pour la résolution pratique du système linéaire associé au problème (1.6), nous référons aux articles généraux de Pian [8], Pian et Tong [10] et De Veubeke [5], Nous généralisons la méthode d'approximation proposée par Pian [9] pour l'étude de la torsion d'une barre élastique; l'étude mathématique de ce problème a été faite par Brezzi [2]. Les résultats de convergence sont obtenus ici à l'aide d'une nouvelle extension des techniques d'éléments finis développées dans Ciarlet [3], Strang et Fix [13] par exemple.

Les résultats sont présentés sur le problème de Dirichlet lié à un opérateur elliptique non nécessairement symétrique. On généralise aisément au cas du problème mêlé avec conditions aux limites de Dirichlet-Neumann non homo- gènes. Le plan suivi est :

§ 2

§ 3

§ 4

§ 5

Formulations variationnelle duale et hybride duale.

Approximation du problème basée sur la formulation hybride duale.

Méthode d'éléments finis hybrides duaux.

Majorations d'erreur dans la méthode des éléments finis hybrides duaux.

Notations

L'espace L² (Q) est l'espace des fonctions (réelles) de carré sommable pour la mesure de Lebesgue, muni de la norme

• ^R= {\j ^v]2dx } ¹¹² -

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 53 Pour tout entier m ^ 0, H^m (Q) est l'espace de Sobolev d'ordre m muni de la norme

a'-

»

dx

où a = (oti, . . . , ocw) est un multi-entier de N" de longueur | a | = Sur cet espace H^m (Q), nous utiliserons la semi-norme

d^mv

+an.

f

2 y/2 dx

J

L'espace H1(1 (F) est l'espace des traces sur F = dû des fonctions de HY (Q).

L'espace H~^1/2 (F) est le dual de H¹¹² (F) lorsque l'espace L² (F) est iden- tifié à son dual. L'espace H& (Q) est le sous-espace des fonctions de H1 (Q) à trace mille sur F.

Si p et q sont deux vecteurs de Rn de composantes respectives pu ...,/?„

et q^x, ..., qⁿ, on note par/?.q leur produit scalaire

Si ^ est une fonction de l'espace (Hm (Q))n, c'est-à-dire telle que chacune de ses n composantes q{ soit une fonction de l'espace Hm (Q), on note

1/2

et de même

n,n -~ i Z-

2. FORMULATIONS VARIATIONNELLE DUALE ET HYBRIDE DUALE

Soit Q un ouvert (non vide) borné et connexe de R", de frontière F = dQ lipschitzienne. Soit se l'opérateur aux dérivées partielles du second ordre défini par

- ô f

i , y = i 3 X j \ (2.1) où les coefficients a^i} appartiennent à L^œ (Q) et vérifient l'hypothèse d'ellip- ticité usuelle : il existe une constante e > 0 telle que

On considère à titre d'exemple le problème de Dirichlet homogène pour l'opérateur se :

se u = ƒ dans Q

M = 0 sur F où la fonction ƒ est donnée dans l'espace L2 (Cl).

La formulation variationnelle classique - encore appelée formulation variationnelle primale — consiste à trouver u solution du problème :

Il est bien connu que ce problème (2.3) admet une solution u et une seule.

En outre, dans le cas symétrique, c'est-à-dire lorsque au = aJt pour tout i⁹j— 1, . . . , / J , cette solution u est caractérisée comme étant Tunique élément de 7/(5 (O) qui minimise la fonctionnelle d'énergie.

sur l'espace H& (Q).

Formulation variationnelle duale

En formulation duale, l'inconnue fondamentale du problème (2.2) n'est plus la fonction u elle-même mais son cogradient (relativement à l'opérateur si) c'est-à-dire le vecteur p de composantes

A ou

Pi= L aij— •

j - i dxj

Précisons tout d'abord le cadre fonctionnel utilisé : Soit F(Q) l'espace de Hubert

V(Q) = {qe(L2(Q))n; divqeL2(Q)} (2.4) muni de la norme

n}1 / 2. (2.5)

Nous utiliserons les résultats d'analyse fonctionnelle suivants (cf. [6] et [7]

par exemple) : soit v le vecteur unitaire de la normale à T dirigé vers l'extérieur de Cl; l'application trace normale : q—+v.q est linéaire continue surjective

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MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 5 5

de l'espace F(ft) dans l'espace H~1/2(T). En outre on a la formule de Green :

, VveHl(Q),

(2.6) vd\\qdx + gradu. qdx = vv.qdy,

Jn Jo Jr

ƒ , - •

où au second membre le symbole | . . . dy désigne la dualité entre les espaces Hi/2 (T) et H~1/2 (T).

A la fonction ƒ e L² (Ü), nous associons la variété afBne (fermée non vide) de K(Q) :

Vs(Q) = {qeK(Q); divq+f = 0 dans Q } . (2.7) En particulier pour ƒ = 0, nous avons le sous-espace :

V°(n) = {qeV(Q);divq~0 dans Q}. (2.8) II est évident mais fondamental de remarquer

Mkn. (2.9)

Avec les hypothèses sur les coefficients a^ij9 la matrice ((a^(V (x))) admet un inverse» noté ((A^ (x))\ pour presque tout x dans Q; les fonctions AtJ appar- tiennent à Lœ (Q) et il existe une constante a > 0 telle que

VxeQp.p., VçeR", f A⁷

A ces coefficients A^ nous associons la forme bilinéaire a (p, q) définie sur l'espace produit (L2 (Q))nx(L2 (Q))n par

l x . (2.10J

Cette forme bilinéaire est continue sur (L² (Q))^B x (L² (Q))" et est (L² (O))ⁿ- elliptique :

S a(p, q) ^ H « ||. || p | |⁰.^{t t}| | ^ ||o.n. (2-H) La formulation variationnelle duale du problème (2.2) consiste à trouver p solution du problème

1

, q) = 0. J

. . < * • - • <2 i3)

THÉORÈME 2.1 : Le problème (2.13) admet une solution p = (Pi)i=z x

et une seule donnée par

« QU

P i = I « y — . i = 1> •••>"> ( 2 . 1 4 )

y=i dxy

où la fonction u est la solution du problème (2.2). •

REMARQUE 2 . 1 : Dans le cas symétrique, la solution p du problème (2.13) se caractérise comme étant Tunique élément de Vs (Q) qui minimise la fonc- tionnelle

sur la variété affine Vf (Q). On vérifie aisément lnf jf(v)+ Inf

t>eHj(fl) q e Vf (Ci)

Ce résultat justifie l'appellation physique d'énergie complémentaire pour la fonctionnelle J T . . . relativement à l'énergie ƒ . M

Démonstration du théorème 2.1 : La forme bilinéaire a(/?, #) est continue sur F(Q)x F(Q), d'après (2.11), et elle est V° (Q)-elliptique, d'après (2.12) et (2.9). Il résulte alors du théorème de Lax-Milgram que le problème (2.13) admet une solution et une seule. Vérifions que la fonction p définie par (2.14) est solution : on a p e (L2 (Q))n et

= 0 dans Q.

Ainsi p e Vf (Q). D'autre part pour tout q e (L2 (Q))n, on a .<?)=* \ Z 4 y 0 j * T ^ & U x = gradu.^dx.

A l'aide de la formule de Green (2.6), on en déduit puisque la solution u appartient à l'espace H^ (Q) :

ce qui démontre que les relations (2.14) définissent une solution du problème (2.13). •

Formulation hybride duale

Une telle formulation est liée à une décomposition du domaine. Soit

_ R _ _ _ -

Q = (J Qr une décomposition du domaine Q en sous-domaines Çir tels que

r = l

(i) Qr est une partie ouverte (non vide) de Ü, de frontière Fr = <?Qr lipschit- zienne, pour tout r;

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 57

(ii) Qrn f is = 0 , pour tout r ^ s.

On note vr le vecteur unitaire de la normale à Fr dirigé vers l'extérieur de Qr. A cette décomposition de Q nous associons l'espace de Hilbert Xy isomorphe

R

à l'espace produit \\ V(Qr) :

X = {qe(L2(Q))n;divqeL2(Qr) pour tout r = 1, , R\ (2 15) muni de la norme

f r Ï I / 2

IklU-jIkilo^+IJIdivgil^^j . (2.16)

On a donc

VqeX, \\q\\\= £ ||q||î( o p ). (2-17)

r = l

A la fonction ƒ e L² (O), nous associons la variété affine (fermée non vide) de X :

X^r = { c e A'; div^+y = 0 dans Q^r, pour tout r = 1, . . . , .R}. (2 18) En particulier pour ƒ = 0, on a le sous-espace

X° = {qeX; d i v ^ O dans Q^r, pour tout r = 1, . . . , R}. (2.19) On remarquera, cf. (2.9),

0 | | < ï | |x= | | « | | of n. (2.20) II est facile de caractériser V (Û) comme étant le sous-espace de X des fonc- tions q telles que

(2.21) Formellement — l'espace H~^1/2 (T^r) n'étant pas de type local — cette condition (2.21) exprime la réciprocité des traces normales v.q d'une fonc- tion q e V (Q) sur toute interface intérieure à Q. Dans la formulation hybride on dualise cette contrainte de réciprocité.

Pour cela on considère l'espace de traces :

r = l

tel que \i = u sur tout Tr, r = 1, . . . , R >. ( 2 . 2 2 ) Par définition même de l'espace M, pour tout u. e M l'ensemble

^ (u) = { u e ^ J ( ^ ) ; v = \i sur tout Ir, r — 1, . . . , K } C2.23)

est une variété affine fermée non vide de H£ (Q). Muni de la norme

I M k =

Mi,n> (2-24)

l'espace M est un espace de Hubert.

Sur l'espace H1/z (Fr) nous introduisons la semi-norme

M i / 2 . r^r= Inf | » |1 > f t p, (2.25) où ^f P (u) est la variété

jfr(ji) = {veHl(Qr); v = \i sur Tr}. (2.26) On pourra remarquer que si M \i est le relèvement harmonique de \x dans Qrî

c'est-à-dire la fonction telle que

= 0 dans Qr, i^n = u sur Vr, on a

l^ii/2,rr = | ^ ^ | i , nr- (2.25 bis)

LEMME 2.1 : On a

V^ieM, ||n||£= t b|î/2.r

. (2-27)

r = l

Démonstration : Soit veJ^(\i); il est évident que la restriction D |n^ de i?

à Qr appartient à la variété J^r (\i) pour tout r — 1, . . . , R. Réciproquement

R

soit 0v)^r= i R e Yl J^r (V-)'* ^{o n} construit îa fonction u de L² (Q) définie

r = 1

P^{a r v}\n^{r = ü}r Po u r t o u t r = !» . . . , ^- Lorsque |i G M, cette fonction i; est dans ^ (Q), donc i ; e # (u). Cela prouve

r = i

Le résultat (2,27) en résulte trivialement. •

On introduit la forme bilinéaire b {q, u) définie sur Xx M :

,^) = - X f liV

r=l Jrr

(2.28) Par application de la formule de Green (2.6) dans chaque Qr5 on obtient pour tout v e ^ (u.) :

R Ç ^R

v.qdx-Y vd™Qdx^ H \\<l\\v{Gr)\\v\\i.nr

r=l Jfir r=l d'où à l'aide de (2.17) et de l'égalité de Cauchy-Schwarz :

b(q, n ) ^ | | q | i^x| j i ; | |^{l f n}.

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 5 9

A l'aide de (2.24) et de l'inégalité de Poincaré-Friedrichs, on en déduit l'existence d'une constante \\b\\ telle que

VqeX, V ^ e M , fefo, ji) <£ | [ i | | | M | , | H | * - (2.29) Plus précisément, lorsque q e X°⁹ on a pour tout veJtf* (\i) :

Jn d'où

VqeX\ V ^ e M , b(q, u) S \\q \\^x\\ p\\^M.

Choisissant, pour \i fixé dans l'espace M, la fonction v d e ^ (u) harmonique dans chaque £2^r et la fonction q = - g r a d v, on obtient en utilisant (2.25 bis) :

VjieAf, 3qeX°, b(q, tf = \\ u | | ^ = || ⁰ | |^x| | ^ ||^M. On démontre ainsi

V u e M , S u p ^ - ^ = ||ji||M. • (2.30) La formulation hybride duale consiste à trouver un couple (p, X) solution du problème :

(p⁹X)eX^fxM, \

VqeX⁰, a[p,q)+b(q⁹X) = 0,l (2.31) V u e M , b(p, u) = 0 . )

THÉORÈME 2.2 : Le problème (2.31) admet une solution (/?, X) et une seule donnée par

n *j

Pi = Z ^aij— ^{dans Q}> i = 1, . . . , n, (2.32)

y=i dxj

X = u sur rr, r = 1, ..,, R , (2.33) ow w ej/ la solution du problème (2.2).

REMARQUE 2.2 : Dans le cas symétrique (a0- = afj-), la solution (/?, >,) du problème (2.31) se caractérise comme l'unique point de selle de la fonctionnelle

&(q,V) = -a(q, q) + b(qy\i)

sur l'espace- produit X-fxM. Ainsi X = u apparaît comme le multiplicateur de Lagrange associé aux contraintes de réciprocité des traces normales de p à travers toute interface intérieure de la décomposition de Q en sous- domaines. •

Démonstration du théorème 2 . 2 : Par linéarité le problème (2.31) admet au plus une solution si le problème homogène associé

(pyX)eX°xM, |

iqeX\ a(p,q) + b(q,X) = Q9 (2.34) V^ieM, b(p,p) = 0 )

admet pour unique solution p = 0, X = 0. Soit (p, X) solution de (2.34). On a a(p,p) = 0,

d'où p = 0 en utilisant la À^-ellipticité de la forme bilinéaire a(p, q) [cf. (2.12) et (2.20)]; par suite X vérifie

VqeX0,

A l'aide de (2.30), on en déduit X = 0. La solution du problème (2.31) est unique.

Pour démontrer l'existence d'une solution, il suffit de vérifier que le couple (/?, X) donné en (2.32) et (2.33) fournit une solution. D'après le théorème 2.1, on a p e V* (Q). Par suite p e Xf et satisfait la deuxième équation de (2.31) :

b(p, |i) = 0.

D'autre part puisque ue H^ (Q), la fonction X appartient à l'espace M.

Enfin en utilisant la formule de Green (2.6) dans chaque Qr, on"a pour tout qeX :

a(p, q) + b(q,X)= \ grad«.<?<ix- £ uvr.qdy= £ udivqdx

Jn r=ijrr r=ijnr

Ainsi le couple (p9 X) satisfait la première équation de (2.31) :

REMARQUE 2.3 : On aurait pu démontrer directement l'existence et l'unicité du problème (2.31) en utilisant un résultat de F. Brézzi ([1], th. 1.1). •

REMARQUE 2.4 : On a les caractérisations

F°(Q) = {qeX°; V^ieM, ft(g, n) = 0}, (2.35) V^f(Q) = {qeX^f; V p M , b(q, n) 0}. • (2.36) 3. APPROXIMATION DU PROBLÈME BASÉE SUR LA FORMULATION HYBRIDE DUALE

Nous supposons (*) connaître explicitement a priori un élément f de Xf : p e (L² (Q))ⁿ et

d i v p + / = 0 dans L²(Q^r) pour tout r = 1, . . . , R. (3.1) Nous reviendrons sur cette hypothèse à la fin du paragraphe 4.

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MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DU AUX 61

La variété affine X^f est le translaté du sous-espace X° par la fonction p :

Xf = p+X°. (3.2)

Ainsi la formulation hybride duale (2.31) consiste à trouver le couple (/>, k) solution de

-a{p,q), (3.3) -b(~p,\i) \

, b(p9\L) où nous avons posé

p = p + p . (3.4) Pour définir une méthode d'approximation interne du problème (3.3), nous nous donnons

(i) un sous-espace X° de X° de dimension finie;

(ii) un sous-espace M^h de M de dimension finie.

On considère alors le problème : trouver (p^h, X^h) solution de I

= -a(pt qh)\ ( 3 . 5 ) V\ihGMh i b(ph,\ih) =~b(p, m ) .

En vue de l'étude théorique, il est agréable d'introduire la variété affine translatée du sous-espace X® par la fonction p :

(3.6) et de poser

Ainsi le problème (3.5) consiste à trouver (p^h9 X^h) solution de

(3.8) , b(phi»h) = 0 . )

On obtient là une méthode d'approximation du problème basée sur la formu- lation hybride duale (2.31).

Guidé par la remarque 2.4, il est naturel de définir les espaces

tó = 0}, (3.9)

, b{qh9 \ih) = 0 } , (3.10)

Alors si (/>/,, Xh) est solution du problème (3.8), ph est solution du problème

L ' (3 11)

VqheVk°9 a(ph,qh) = Q.\

Nous avons là une méthode d'approximation du problème basée sur la formu- lation duale (2.13).

THÉORÈME 3.1 : Le problème (3.8) admet une solution (ph, Xh) et une seule si et seulement si les espaces X% et Mh satisfont l'hypothèse de compatibilité : {n*eMA;V^eXj,6(^,^) = 0} = {0}. (3.12) En outre si (phi Xh) est solution de (3.8), alors ph est Punique solution du pro- blème (3.11). •

REMARQUE 3 . 1 : Nous verrons dans les exemples que lorsque la condition (3.12) est satisfaite, alors K° (Q) n'est pas un sous-espace de V° (Q); on obtient donc en (3.13) une méthode d'approximation externe du problème (2.13).

REMARQUE 3.2 : Dans le cas symétrique (atj ~ a y), lorsque la condition (3.12) est satisfaite, la solution (p^h, X^h) du problème (3.8) se caractérise comme l'unique point de selle de la fonctionnelle

^ ( 4 * , HO = -a(qkt qh)+b(qhi [ih)

sur l'espace produit X^xMh.

Démonstration du théorème 3.1 : Par construction le problème (3.8) se ramène à la résolution d'un système linéaire carré d'ordre dim (A^ + dim (Mh).

Ce problème (3.8) admet donc une solution et une seule si et seulement si le problème homogène associé admet une solution unique : utilisant la Ar°-ellipt- ticité de la forme bilinéaire a(p,q), on a l'unicité de P^h\ la condition (3.19) est équivalente à l'unicité de Xh.

La seconde partie de ce théorème 3.1 est évidente; notons que l'existence d'une solution (ph, Xh) du problème (3.8) assure que la variété affine Vsh (Q) est non vide. •

MAJORATIONS D'ERREUR : Considérant h comme un paramètre > 0 destiné à tendre vers zéro, nous appelons « constante indépendante de h » toute cons- tante indépendante du choix de la décomposition de Q en sous-domaines et du choix des sous-espaces X% et M^h.

Avant d'énoncer le résultat fondamental, remarquons que l'hypothèse de compatibilité (3.12) signifie que l'application

iklL

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 6 3

est une norme sur Mh. Nous dirons que les espaces X% et Mh satisfont une hypothèse de compatibilité uniforme si les normes || \ih | | * et || \ih \\M sont uniformément (en h) équivalentes sur l'espace M^h.

Comme X% est un sous-espace de X°, on a d'après (2.30) :

L'hypothèse de compatibilité uniforme signifie donc l'existence d'une constante P > 0, indépendante de h, telle que

Sup ^ ^ L ^ 3 | | n , | jM. (3.13)

THÉORÈME 3.2 : On suppose que les espaces X% et Mh satisfont Vhypothèse de compatibilité uniforme (3.13). Alors le problème (3.8) admet une solution (ph, Xh) et une seule et il existe une constante C indépendante de h telle que

\\p-p„\\x+\\^-h\\MèC{ Inf \\p-qh\\x + Inf |jA.-H*||v} 0-14)

Qh 6 x£ Un e Mh

où (p, X) est la solution du problème (2.31). •

Ce résultat est une application immédiate d'un théorème fondamental dû à F. Brézzi ([1]} th. 2.1). Dans notre problème particulier, la constante C intervenant dans (3.14) ne dépend que des constantes || a ||, a et P définies respectivement en (2.11), (2.12) et (3.13).

Avec la fonction p définie par (3.4), on a

Inf \\p-qh\\x= Inf | | p - ^ | U = Inf ||p-5*|jo.n O. J 5) Ainsi d'après (3.14) l'étude de l'erreur commise sur la solution se ramène à l'étude des erreurs d'approximation commises sur p et X. La principale difficulté consiste à vérifier sur les exemples l'hypothèse de compatibilité uni- forme (3.13). Pour des raisons purement techniques, ce problème ne sera abordé qu'en dimension d'espace n = 2. •

4. MÉTHODE D'ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX

Nous appliquons les résultats généraux développés au paragraphe précédent dans le cas où Q est un ouvert polygonal de R2 muni d'une triangulation lFh

à l'aide de triangles K de diamètre ^ A.

Q = U K. (4.1) Les définitions (2.19) et (2.22) des espaces X° et M s'écrivent à présent

X° = {qe(L2(Q))2; VKe^/,, divg = 0 dans K} (4.2) M={iie fi Hll2(ÔKy,3veHx0(Q)

tel que \i~ v sur tout ÔK, Ke$~h}. (4.3) décembre 1976.

Soit m un entier § 1 ; on choisit pour sous-espace Mh de M :

M^h = {^he A f ; V K e ^ , \i^h\^dKeP^m(ÔK)}, (4.4) où Pm (dK) est l'espace des restrictions au bord dK des polynômes à deux variables de degré ^ m. Cet espace P^m (ÔK) est encore l'ensemble des fonctions définies sur le bord 8Ky polynômiales de degré ^ m sur chaque côté du triangle K et qui sont continues aux trois sommets de ce triangle. Pour tout

\i^h G M^h il existe une fonction v e Jf (\i^h) telle que veHM; VKeJA, v\KsPm(K)

(dès que m ^ 3, il n'y a pas unicité d'une telle fonction v). On pourra donc prendre pour degrés de liberté des fonctions de Mh les mêmes degrés de liberté que dans l'approximation classique de type « serendipity d'ordre m » du problème (2.3).

Soient d'autre part k et k' deux entiers satisfaisant 0 ;g k g k\ On se donne pour tout triangle K e &~^h un espace & (K) de fonctions définies sur K et à valeurs dans R2 tel que

(Pk(K))2 ci 0»(K) cz (Pk,(K))2. (4.5) On choisit alors pour sous-espace X® de X°

X°hh \ = { ^ e lo; VlCeiT,, qh\KB»{K)}. (4.6) A titre d'exemple lorsque k = k' ~ 0, X° est l'espace des fonctions q à valeurs dans R² constante dans chaque triangle K de $~^h> la condition div q = 0 dans ^ étant automatiquement vérifiée. Lorsque k ~ k' = 1, X® est l'espace des fonctions q = (#l9 #2) Qui s o n t dans chaque triangle ^Tde 2Th de la forme

= a^{o i} + a^{1 1}x¹+ a^{2 1}x² avec a^{1 1}+ a^{2 2} = 0.

D'après le théorème 3.1, le problème (3.8) associé à ces choix (4.4) du sous-espace Mh et (4.6) du sous-espace X% admet une solution et une seule si l'hypothèse de compatibilité (3.12) est satisfaite. Introduisant la notation

f

hJd

\i^hv^K.q^hdy = o\, (4.7) Ke<rhJdK J

cette hypothèse de compatibilité s'écrit brièvement

(4.8)

THÉORÈME 4.1 : Une condition nécessaire pour que r hypothèse de compati- bilité (3.12) soit satisfaite est

k'^m-\. m (4.9) Revue Française d'Automatique, Informatique et Recherche Opérationnelle

MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 65

Démonstration : Soit { At }i e I l'ensemble des sommets de la triangulation et soit A^ÎQ £ F. On définit une fonction JI⁰ e M de la manière suivante :

Sur chaque côté A^iQA^j9 \i⁰ est la fonction polynômiale de degré k' + 2 telle que

J A

et sur tout autre côté A^t Aj (i ^ ÎQJ ¥=• *o)> |^O — 0*

La fonction \i⁰ ainsi construite est un élément non nul de l'espace M qui satisfait :

f

Or si la condition (4.9) n'est p a s satisfaite, c'est-à-dire si k'^m — 2, cette fonction JI0 appartient à l'espace Mh donc au sous-espace Zh9 ce qui démontre le théorème 4 . 1 . •

Avant d'énoncer une condition suffisante pour que l'hypothèse de c o m p a - tibilité soit satisfaite, nous étudions les espaces

- _ j • o . f X

h

- j ^ e

( , qe n ' J

/

* ^

" J*

LEMME 4.1 : Si k ^ m, m pair, ou si k ^ m— 1, m impair, on a

Zh(ÔK) = P0(dK). (4.11) Lorsque k = k' = m—l, m pair, Vespace Z^h(ôK) est de dimension 2. m Démonstration : II suffit de vérifier ces résultats lorsque ^ (K) = (P^k (K))², ce que nous supposerons au cours de cette démonstration. Notons qu'alors qe£P(K)n V° (K) si et seulement s'il existe une fonction w e P^{k + 1}(K) telle que q — rot w; la trace normale vK.q est l'opposée de la dérivée tangen- tielle dw/diK prise le long du bord ÔK orienté dans le sens direct :

r c A,., c A»

[ivK.qdy = - \ \i—dy=\ ~wdy.

JdK JdK OXK JÔKdXK

Ainsi on peut écrire

JdKdxK

déœmbre 1976.

Notant Sm-x(dK) l'espace des fonctions polynomiales de degré ^ m - sur chaque côté du triangle K, toute fonction \x de Zh (ÔK) satisfait

• \ r

JdKdXK

VwePk+1(ÔK) dxK

On en déduit (la démonstration de ce point est donnée dans [12]) :

• si k ^ m, m pair, ou si k ^ m— 1, m impair, on a dx^K

(4.13) si k = m — 1, m pair, il existe une constante cK telle que

dxK

où QdK est la fonction de Sm^x (ÔK) qui s'annule aux m—\ points deGauss- Lobatto de chaque côté du triangle K et telle que (2) :

®ÔK(AÎ+) = +1 pour i = 1, 2, 3,

où Au A2, A3 (et AA = Ax) est une numérotation des sommets du triangle K en parcourant le bord ÔK dans le sens direct.

Puisque QÔK s'annule aux points de Gauss-Labatto, on a

jAtAi+l ÔK J ~

et par conséquent il existe une primitive 0a K de QdK telle que

II est clair que cette primitive GÔK appartient à l'espace Pm (dK).

Par intégration, on déduit de (4.13) que l'appartenance d'une fonction |i à l'espace Zh (dK) équivaut à

• si k ^ m, m pair, ou si k ^ m— 1, m impair, il existe une constante cK

telle que \i = cK;

m si k = m—l, m pair, il existe deux constantes cK et c'K telles que

\i = cK + c>K®dK m

REMARQUE 4.1 : La démonstration précédente prouve en outre que dans le cas k = m—1, m pair, il suffit, pour que l'espace Zh(ôK) soit réduit

(2) La notation QdK(Al + ) [resp. QdK(^i-)] désigne la valeur en At de la fonction poly- nômiale ddK sur le côté AiAi + 1 (resp. At_xAÙ, Puisque^ — 1 est impair, ona QdK(At-) = — 1.

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 6 7

à P^o (dK), que l'espace & (K) contienne outre (P^k (K))² une fonction que

r

I dK ^L JÔK

On trouvera dans [12] une détermination explicite d'une telle fonction w^{L K} appartenant à Pk+2(K).

L'importance de cette remarque n'apparaîtra que lors des majorations d'erreur.

THÉORÈME 4.2 : Une condition suffisante pour que Vhypothèse de compa- tibilité (3.12) soit satisfaite est

k^m-L m (4.14) COROLLAIRE 4.1 : Si k = k\ c^} est-à-dire si 0> (K) = (P^k (K))², la condi- tion (4.14) est une condition nécessaire et suffisante pour que Vhypothèse de compatibilité (3.12) soit satisfaite, m

Démonstration du théorème 4.2 : Soit \i^h un élément quelconque de Z^h. Pour tout triangle Ke 3Th, la restriction \ih]dK de \ih à dK appartient à Zh {dK).

D'après le lemme 4 . 1 , lorsque la condition (4.14) est satisfaite, il existe deux constantes cK et c'K telles que

où la fonction G^dK a été explicitée au cours de la démonstration du lemme 4 . 1 ; la constante c'K est nulle si k ^ ra? m pair, ou si k ^ m— 1, m impair.

Exprimons à présent que la fonction \i^h appartient à l'espace M : pour tous triangles Kx et K2 adjacents, les restrictions ^f S K ] et |ihiaK2 définissent la même fonction sur le côté commun (dK^) n (dK²) d'où par connexité

D'autre part puisque \ih = 0 sur la frontière F, on a pour tout triangle Ko

ayant un côté inclus dans F

CKO = 0, c'Ko = 0.

On en déduit

soit \x^h = 0, ce qui prouve que la condition (4.8) est satisfaite. •

Le résultat suivant prouve que la méthode des éléments finis hybrides duaux peut s'interpréter comme une approximation externe du problème (2.13).

PROPOSITION 4 . 1 : Lorsque la condition (4.14) est satisfaite, K° (Q) n'est pas un sous-espace de V° (Q). •

Démonstration : Soit Ko un triangle frontalier de 5"A, de sommets Àu A2

et A3 ; on suppose le côté A2 A3 inclus dans la frontière F et A1 $ F. On définit alors une fonction q0 e X° de la manière suivante :

/ q0 = o dans tout triangle J£ distinct de Ko :

q0 = rot w0, dans le triangle À^, où la fonction wQ est un polynôme I de Pm (*0) tel que :

si m est impair,

l w0 (At) = + 1, w0 = ° s u r Ie 2 3

| ôw0/ôxKo = 0 en les (m— 1) points de Gauss-Lobatto de chaque côté ^ ^2

et A^x A³; et si m est pair,

[ w^Q (At) = 0, w;⁰ — 0 sur le côté A² A³,

) dwo/dxKo = 0 en les (m— 1) points de Gauss-Lobatto de chaque côté Ax A2

et A^x A³,

wo (^12) = ^wo (^13) = 1» ^12 (resp. A¹³) milieu de A^y A² (resp. A^x A³).

(On démontre l'existence de telles fonctions w0; la trace de w0 sur le bord ôK0

est définie de manière unique.)

On vérifie facilement que pour toute fonction |x appartenant à Pm (dK0) et nulle sur le côté A2 A3i on a

JdKo JÔKQ OTKa

Par suite :

VnfteMft, b(q0, \ih) = 0.

Lorsque la condition (4.14) est satisfaite, la fonction q0 appartient ainsi au sous-espace V® (Q). Or la trace normale de q0 sur le côté Ax A2 (de même que sur le côté At A3) est discontinue : div q0 pris au sens des distributions dans Q ne définit pas une fonction de L2 (Œ); ainsi q0 n'appartient pas au sous-espace V° (O). •

En conclusion de ce paragraphe, il résulte que la condition (4.14) est une condition suffisante pour que le problème (3,8), associé aux choix (4.4) et (4.6), admette une solution (pb, Xh) et une seule. Toutes hypothèses de régu- larité faites, nous allons voir que cette condition (4.14) n'est pas en général une condition suffisante pour obtenir les majorations d'erreur optimales auxquelles il semble naturel de s'attendre.

D'autre part il n'est guère réaliste de supposer connu a priori un élément p de la variété AT". Nous déterminerons explicitement un relèvement pk de fh,

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MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 6 9

i. e. ph e Xfh9 oùfh est la fonction de L2 (H) donc la restriction à tout triangle

~^h est la projection orthogonale de ƒ sur P^m-i (K) :

_!(X), fvdx = f^kvdx. (4.15) JK JK

On est ainsi conduit à résoudre le problème

(4.16) V\xheMh9 b(ph,\ih) = 0,

où la variété X*» est le translaté de X° par la fonction ph. En vertu des théorèmes 3.1 et 4.2, ce problème (4.16) admet une solution (ph, Xh) et une seule dès que la condition (4.14) est satisfaite. •

REMARQUE GÉNÉRALE : Pour des raisons de simplicité, nous avons donné des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour que l'hypothèse de compatibilité (4.14) soit satisfaite en des propriétés des espaces 0> {K)\

il est clair que ces propriétés ne portent en fait que les espaces 0 {pK\ espaces des traces des fonctions de & (K).

5. MAJORATION D'ERREUR DANS LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX

Pour obtenir les majorations d'erreur, nous utilisons la technique du passage à l'élément fini de référence, comme dans [4] par exemple. Soit Ô xx x2

un plan euclidien dit de référence et K le triangle de ce plan de sommets (1, 0), (0, 1) et (0, 0). Pour tout triangle K (non dégénéré) du plan euclidien O xx x2, il existe une application FK affine inversible telle que

A = r K (JVJ. \p . 1)

L'application linéaire tangente ÔFK est représentée par une matrice 2 x 2 constante, inversible; le jacobien JK de FK n'est autre que le rapport des aires des triangles K et K :

JK = \âct(ôFK)\ = Mes(K)/Mes(X). (5.2) Nous notons ^K l'application qui à toute fonction scalaire w définie sur le triangle K associe la fonction w = gPK (w) définie sur K par w = iboF-1. De même tFdK est l'application qui à toute fonction scalaire ji définie sur le bord dK associe la fonction \i = ïFeK (ji) définie sur 8K par (i = \x0 (F~x)\eK. D'autre part, soit $K l'application qui à toute fonction q définie sur le triangle K et à valeurs dans R² associe la fonction q = ^eê^K (q) définie sur K par

q)oF~\ (5.3) décembre 1976.

Par convention d'écriture, on a désormais

x = F^K (x), w = S?^K (w\ \x = &^dK (il), q = <ë^K (q),

LEMME 5.1 : L'application &^K est un isomorphisme de Vespace V (k) (³).

sur l'espace V(K) tel que

iweL2(K), wdivqdx=\ wdiv^qdx, (SA) JK JK

V\LeHⁱⁿ(dK\ \iv^K.qdy=\ {iv^qdy. m (5.5)

JôK J ÔK

Puisque dx = JKdx, la propriété (5.4) s'écrit encore :

V x e X, div q (x) - J% ^l div>. q (x). (5.4 bis)

REMARQUE 5.1 : La restriction de &^K au sous-espace V° (K) est l'appli- cation qui à la fonction q = rot^ w associe la fonction q = rot w. m

REMARQUE 5.2 : La démonstration donnée ci-après est valable dès que FK est un C^-difféomorphisme de K sur K, ce qui permet l'extension aux élé- ments finis courbes. De même on n'utilise pas que K soit un triangle; on a la même démonstration avec £ «-simplexe de R", A"hypercube de R", etc. • Démonstration du lemme 5.1 ; A l'aide d'un argument de densité, il suffit de vérifier la relation (5.4) pour toute fonction w de classe C¹ dans K et nulle sur le bord ÔK.

Soit w une telle fonction. Par intégration par parties dans K⁹ on a w div qdx — —\ grad w.qdx.

J K J K

On vérifie aisément la relation

V x e A', \dF^K) grad w (x) = grad^ w (x), (5.6) d'où

grad w(x).q (x) = J* ^l grad w (x). (ôF^K) q (x) = J% * grad- w(x).q (x)

(3) Dans le plan de référence Ox^xz, si § - (gu q2), ,. - dqx dq2

x ôx^x ôx² {qe (L2 (k)); div- $ « L2 (K) ).

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 7 1

soit puisque dx = JKdx :

gradw.qdx — \grad$w.qdx. (5.7)

JK Jk

f f

w div qdx — —

JK J%

Par conséquent

g £ q x , k

et on obtient en utilisant une intégration par parties dans K : I w div q dx = w div^ Q dx.

JK Jk x

soit la relation (5.4).

Pour la seconde partie du lemme, soit \i un élément quelconque de l'espace Hif2 (dK) : il existe une fonction weH1^) dont la trace sur le bord ÔK est la fonction u. La formule de Green (2.6) dans K s'écrit :

\ivK.qdy=\ grad w, q dx + wd'wqdx.

JôK JK JK

On obtient en vertu de (5.4) et de (5.7) :

uvx.gdy= gr&d£w.qdx+ wdiv^qdx

JÔK Jk Jk x

et en utilisant la formule de Green (2.6) dans K : [iv^K.qdy= ^{xv-.qdy.

JÔK JÔK K

soit la relation (5.5). •

Soit d'autre part R l'application qui à une fonction scalaire g définie sur K associe la fonction q = R (g) de composantes

/v vv y\ I y\ /v

Qi(xl9x2) = - g(t9x2)dt9

Qi&u x2) = 0.

Cette application R est linéaire continue de L2 (K) dans V (K) et telle que

igeL

(k), R(g)evhh (5-9)

Nous définissons alors l'application RK par

VgeL2(K), ^ ( g ) = ^ x ( ^ ( ^ g ) ) . (5.10)

II résulte du lemme 5.1 que R^K est une application linéaire continue de L² (K) dans V(K) telle que

VgeL2(K), RK(g)eV9(K). (5.11) Dans le cas particulier qui nous intéresse ici, l'application FK est affine;

on a alors l'expression simplifiée

R^K(g) = ôF^KRQy (5.10 bis) La fonction fh ayant été définie à l'aide des relations (4.15), soit/?,, la fonction de (L2 (P))2 dont la restriction à tout triangle Ke£Th est

PAIX = «*(ƒ*)• (5-12) A l'aide de (5.11), on obtient

fh- (5.13)

On notera que la restriction de p^h à tout triangle K est un élément de (P^m (K))² dont la détermination explicite se ramène à un calcul évident de primitive dans le triangle K.

Nous supposons désormais :

(i) la suite des triangulations ST^h est régulière, i. e. il existe une constante a indépendante de h telle que

VA'eJT,, G^K^G, (5 A4)

où <J^K est le rapport du diamètre du triangle K au diamètre du cercle inscrit dans K;

(ii) pour tout triangle K de &~^h9 l'espace & (K) est construit à partir d'un espace de référence 0* (K) par

(5.15) où & (K) est un espace de fonctions définies sur K tel que

(Pk(K)f cz 0>(K) cz {PW(K))\ (5.16) Dans toute la suite, C désigne diverses constantes indépendantes de h.

THÉORÈME 5 . 1 : On fait les hypothèses (5.14) et (5.15); on suppose en outre que

(5.17)

ÔK

Alors Vhypothèse de compatibilité uniforme (3.13) est satisfaite, m Revue Française d'Automatique, Informatique et Recherche Opérationnelle

METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 7 3 REMARQUE 5.1 : Le lemme 4.1 et la remarque 4.1 fournissent des conditions suffisantes pour que l'hypothèse (5.17) soit satisfaite. •

Démonstration du théorème 5.1 ; Montrons tout d'abord la minoration locale : il existe une constante p > 0 indépendante de h telle que pour tout triangle K de 3~h :

J^

\ivK.qdy

Soit \i une fonction de Pm(dK); la fonction jl = J ^1 (u) appartient à l'espace Pm d(K). D'autre part à l'aide de l'hypothèse (5.15) et du lemme 5.1, on a

\ivK.qdy

Sup ^ ; — Sup

H l j

D'après l'hypothèse (5.15) on obtient par des majorations standard

En vertu de l'hypothèse (5.17),

Ü - Sup Jd*

\0,k

définit une norme sur l'espace Pm (dK)/R de dimension finie, on en déduit l'existence d'une constante P > 0 telle que

I \ivk.qdy

Sup ^ ^ \ l

Enfin puisque pour toute fonction v de l'espace H1 (K)9 on a

C2| ^ ( » ) | I . J C ^ | S | I . 8 ( C2> 0 ) on déduit de la définition (2.25) :

Récapitulant les résultats, on obtient la minoration (5.18) avec pour constante C = C^x P C².

décembre 1976.

Soit alors \ih un élément quelconque de l'espace Mh. Pour tout triangle K e STh, nous pouvons donc trouver une fonction qKe^ (K) n V° (K) telle que

Soit qh la fonction de (L2 (Q))2 dont la restriction à tout K e &~h est qK ; cette fonction qh appartient à l'espace X%. Elle vérifie d'une part

KeSrhJôôK

soit en vertu du lemme 2.1 :

Elle vérifie d'autre part

115*111= X il

= Z

KEtrh KeSrh

soit

| | 5 * I U = | | ^ 1 I M -

On a ainsi trouvé une fonction qh de l'espace A"J qui satisfait

ce qui démontre la relation (3.13). •

On notera que dans le cas k = k' ~ m— 1, m pair, l'hypothèse de compa- tibilité (simple) (3.12) est satisfaite; or dans cette situation l'hypothèse (5.17) n'est pas satisfaite. A l'aide d'un contre-exemple, nous avons montré dans [14] que l'hypothèse de compatibilité uniforme (3.13) n'est pas satisfaite dans ce cas. •

Les théorèmes 3.1 et 5.1 permettent de majorer l'erreur commise sur la solution (/?, X) à l'aide des erreurs d'approximation dans les espaces X£

et Mk.

LEMME 5.2 : On fait les hypothèses (5.14) et (5.15); on suppose en outre que (Pm^(K))2<^^(K). (5.18) Alors, pour toute fonction p e X° n [~] (Hm (K))2, on a la majoration

KeSTh

Inf \\~p-

\\

<;Ch"{ X \p\i,

y

, (5.19)

où C est une constante indépendante de h. m

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 7 5

Démonstration : Soit K un triangle de &~h9 puisque âivp = 0 dans K, en introduisant une fonction courant : p = rot îb, on a

Inf | | p - « | [ o , x = I n f \w-w\i,K'

2 V° (K) wePm (K)

Par un argument classique, on a Inf \

wePm (K)

ce qui conduit, après avoir remarqué que \w\m+1>K = \p\?„tK, à la majo- ration dans K :

\\~p-q\\o,KèChm\~p\mtK. (5.20) A Paide de l'hypothèse (5.18), on a

g E { Inf \\~p-q\\

o,

r

,

KeSTh qe(Pm-l(K))*nV°(K)

soit avec la majoration (5.20) :

Inf \\~p-q

\

<LCh"{ Y.

•

LEMME 5.3 : On fait V hypothèse (5.14). Pour toute fonction X e M telle que la variété ffl (X) n Hm+ L (Q) soit non vide, on a la majoration

Inf \\X-\i>\\K£Chm\u\m+uo, (5.21) où u est une fonction (quelconque) de $? (k) nHm+1 (Q). m

Démonstration : Soit u eJf (X) n Hm+1 (Q); puisque nous sommes en dimension 2 d'espace et comme m est un entier ^ 1, les théorèmes d'injection de Sobolev impliquent que la fonction u est continue sur Q.

Il est alors bien connu qu'il existe une fonction vh continue sur Q, nulle sur F , polynômiale de degré S m dans tout triangle K et telle que

Soit \ih la fonction de J~[ (L2 (dK)) définie par

Ke£Th

VKE0~H9 Ïih = vh sur ÔK.

Il est clair que cette forxtion jïA appartient à l'espace Mh\ de plus u — vh est élément de 3tf (k-)\h). On en déduit

d'où la majoration

Inf \\X^\ih\\M^Chm\u\n+ltÇl. •

\xheMh

Nous pouvons à présent énoncer le résultat fondamental :

THÉORÈME 5.2 : On fait les hypothèses (5.14) et (5.15); on suppose en outre

Z(dK)=P0(ÔK) (5.17)

et

2£ (5.18)

Le problème (4.16) admet une solution (phi Xh) et une seule.

Si

+l(Ql pe(Hm(Q))2,

où u est la solution du problème (2.2) et (p, X) la solution du problème (2.31), il existe une constante C indépendante de h telle que

|jp-PA|U + ||>--^lk^Cfcl l l{|tt|l f I + 1 > n+|p|l f I > n + |divp|IIIfQ}. • - (5.22) Démonstration : Nous introduisons la solution M* du problème analogue à (2.2) obtenue avec pour second membre non plus la fonction ƒ mais son approximation fh :

^M* = fh dans Q, u* = 0 sur F.

De même soit (/?*, X*) la solution du problème obtenu en substituant fh à ƒ dans la formulation (2.31). On a

d'où en utilisant les caractérisations données au théorème 2.2 :

| | p - P * i | o . Q + | | * - - ^ | U ^ C | | / - /A| |o.Q. (5.23) D'après le théorème 5.1 la condition de compatibilité uniforme (3.13) est satisfaite, de sorte que l'application du théorème 3.2 fournit la majoration

| C { Inf \\p*-qh\\0,a+ Inf |jX*-»i*|U}. (5.24) Soit p la fonction de (L2 (fî))2 dont la restriction à tout triangle K e 3Th est

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METHODE DES ÉLÉMENTS FINIS HYBRIDES DUAUX 7 7

A l'aide de (5.14), on a

\\p-Ph\\oM = { £ \\RK(f~Â)\\lKY/2 èCh\\f-fh\\Otn. (5.25)

KeST^h

Des majorations (5.23), (5.24) et (5.25) on déduit

| | | U

où /> = p—p appartient au sous-espace X°; comme div (p—ph) +f—fh~ 0 dans tout triangle K, on a ainsi

/„j|o,n+ Inf ||p-«»||o,Q+ Inf | | ^ - ^ | U } - (5.26)

qh e^J Hh e Af h

A l'aide des lemmes 5.2, 5.3 et de la majoration standard obtenue à partir de (4.15) :

\\f-fk\\o.n£Chm\f\m9a9

on trouve,

\a } . (5.27) II reste à majorer la quantité ( £ \p \ntK)1/2; on a à l'aide de l'inégalité

KePh

triangulaire :

On remarque que si q = R (g), on a d'après la définition (5.8)

fl"«l o dx (t,x2)dt si a = <

2

3""'g - -

âïP=ï

'

d'où la majoration dans le triangle On en déduit