3 Résistance d’un bon conducteur (5 points)

Électromagnétisme

Examen (4^e), durée 1h30 documents autorisés: aucun

26 avril 2010

Nom Prénom Note / 20

Nombre d’heures de travail

Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)

Ne pas dégrafer les feuilles svp !

Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) : Pendant la durée des épreuves il est interdit :

– de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro-ordi- nateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;

– de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du matériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;

– d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou matériels non autorisés pendant l’épreuve.

Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret N^o95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne- ment supérieur.

1 Communiquer avec un sous-marin (10 points)

L’eau de mer est un milieu diélectrique caractérisé parε^′_r≈81etµ_r = 1. La présence du sel sous forme d’ions Na⁺/Cl⁻ donne lieu à une conductivité σ = 4 S m⁻¹ qui est responsable des pertes.

On examine la faisabilité d’une liaison radio entre une station de base et un sous-marin en utilisant les fréquences f₁ = 500 kHz ou f₂ = 15 Hz. On considère une onde électro- magnétique se propageant dans l’eau de façon verticale, vers−z. Le champ électrique est polarisé seloneˆ_x.

a. Écrire l’équation de Maxwell-Ampère dans l’eau salée (régime harmonique) et mon- trer que la permittivité effective du milieu est complexe, égale à ε˜=ε^′− j^σ_ω.

Réponse :

∇~ ∧ ~

˜ H= ~

˜

J+ jωε^′~

˜ E =σ~

˜

E+ jωε^′~

˜

E = (σ+ jωε^′)~

˜ E

= jω

ε^′+ σ jω

~

˜

E= jω

ε^′− jσ ω

| {z }

˜ ε

~˜ E

b. Calculer les valeurs de la permittivité relative pour les deux fréquences f₁ etf₂. Réponse :

˜ εr = _ε^ε˜

0 = _ε¹

0 ε^′− j^σ_ω

=ε^′_r−j_ωε^σ

0 =

(81− j (144×10³) f₁= 500 kHz 81− j (4.8×10⁹) f1= 15 Hz c. Donner l’expression du nombre d’onde k˜ en fonction de ω et des paramètres du

milieu.

Réponse :

˜k=ω√

µ˜ε=ω√µ₀ε₀√

˜ ε_r

d. En écrivant ˜k=β− jα, on peut montrer que

α=ω√µ₀ε₀ rµ_rε^′_r

2



 s

1 + ε^′′_r

ε^′_r 2

−1





1/2

β =ω√µ₀ε₀ rµ_rε^′_r

2



 s

1 + ε^′′_r

ε^′_r 2

+ 1





1/2

Calculer les valeurs deα etβ pourf1,f2. Réponse :

Soit on fait l’application numérique directement avec les formules com- plètes, ou bien on prend en compte le fait que, pour les deux fréquences,

ε^′′_r ≫ε^′_r (qu. b) ce qui simplifie les formules. Dans ce cas on obtient : α=β =ω √µ0ε0

| {z }

1 3×10⁸m s⁻¹

qε^′′_r 2 =

(2.810 f₁ = 500 kHz 0.015 f2 = 15 Hz

Commentaire:

On réalise que cette simplification (venant de ε^′′_r ≫ ε^′_r) est équivalente à dire que l’eau salée est un bon conducteur. Donc k˜ = ¹_δ − j¹_δ ce qui implique α =β = 1/δ = p

µ₀ωσ/2. En simplifiant les formules de α et β on retrouve celle de 1/δ.

e. Donner l’expression de l’indice de réfractionn˜en fonction des paramètres du milieu.

Réponse :

˜ n=√

µ_rε˜_r =√

˜ ε_r

f. Donner la relation entre k˜ etn.˜ Réponse :

D’après les qu. c et f,k˜=ω√µ0ε0n˜

g. Calculer les valeurs de n˜ d’abord en partie réelle/imaginaire et ensuite en module et phase pour f₁,f₂.

Réponse :

On a calculé ˜k=α− jβ (qu. d) et d’après la qu. f.,

˜

n= _ω√µ¹0ε0

˜k=

(268.33− j 268.33 f₁ = 500 kHz 48990− j 48990 f₂ = 15 Hz

On remarque que ˜na la forme x− jx donc le module est égal à √ 2x et tan arg(˜n) =−1, donc arg(˜n) =−π/4 :

˜ n=

(379.47e^−jπ/4 f₁ = 500 kHz 69282e^−jπ/4 f₂ = 15 Hz

h. Exprimer l’impédance caractéristique du milieu en fonction de l’indice de réfraction.

Réponse : Z˜ =q

µ0

˜ ε =q

µ0

ε0ε˜r =q

µ0

ε0

√1

˜ εr = ^Z_n˜⁰ (Z₀= (120π)Ω = 377 Ω)

i. CalculerZ, en module et phase, pour˜ f₁,f₂. Réponse :

Z˜ =

( 377

379.47e^−jπ/4 = 0.993e^{+ jπ/4}Ω f₁ = 500 kHz

377

69282e^−jπ/4 = 0.0054e^{+ jπ/4}Ω f₂ = 15 Hz j. Calculer la vitesse de phase pour f₁,f₂.

Réponse : v_φ= ^ω_β =

(1.12×10⁶m s⁻¹ f₁= 500 kHz 6.12×10³m s⁻¹ f₂= 15 Hz

k. Calculer la longueur d’onde pourf₁,f₂. Réponse :

λ= ^2π_β =

(2.24 m f₁ = 500 kHz 408.25 m f₂ = 15 Hz

l. Calculer la profondeur de peau (distance à laquelle l’amplitude des champs est égale à1/e de la valeur à z= 0) pourf₁,f₂.

Réponse : δ= 1/α=

(0.36 m s⁻¹ f₁ = 500 kHz 64.97 m s⁻¹ f₂ = 15 Hz Commentaire:

Puisque il s’agit d’un bon conducteur (cf. remarque qu. d.) on peut égale- ment utiliser durectement δ=p

2/µ₀ωσ.

m. Quelle fréquence doit-on choisir pour la transmission ? Justifier la réponse.

Réponse :

À f₁ la prodondeur de peau est de l’ordre de quelques centimètres, donc les ondes é/m sont atténuées très rapidement dans l’eau ; le sous-marin doit faire surface afin de pouvoir communiquer.

À f₂ les ondes pénètrent dans l’eau de mer, le sous-marin peut rester à quelques dizaines de mètres sous la surface est recevoir le signal.

Donc on choisit f₂= 15 Hz pour la liaison.

n. Donner les expressions des champs ~

˜ E et ~

˜

H à la fréquence choisie, sachant que l’amplitude du champ électrique àz= 0 est égale à 0.1 V m⁻¹.

Réponse :

D’après l’énoncé, l’onde se propage selon −ˆe_z, le champ électrique est polarisé seloneˆ_x :

~˜

E = 0.1e^+0.015ze^{+ j 0.015z}eˆ_x V m⁻¹

~˜ H = 1

Z˜0.1e^+0.015ze^{+ j 0.015z}(−ˆe_y) =

=−18.52e^+0.015ze+ j (0.015z−π/4)eˆ_y A m⁻¹ o. Donner les expressions des champsE~ etH~ à la fréquence choisie.

Réponse :

E~= 0.1e^+0.015zcos(2π15t+ 0.015z)eˆ_x V m⁻¹

H~ =−18.52e^+0.015zcos(2π15t+ 0.015z−π/4)eˆ_y A m⁻¹

2 Incidence oblique : deux polarisations (5 points)

On considère une onde incidente sur une interface entre deux milieux lhi, non mag- nétiques, de permittivité ε₁ etε₂. On noteθ₁ l’angle d’incidence. L’interace est située à z= 0 (planxy).

a. Sur un schéma 2D, indiquer les vecteurs E~, H~,~k des ondes incidente, réfléchie et transmise pour la polarisation perpendiculaire.

b. Sur un schéma 2D, indiquer les vecteurs E~, H~,~k des ondes incidente, réfléchie et transmise pour la polarisation parallèle.

c. On noteE_i0,E_r0,E_t0 l’amplitude des champs électriques incident, réfléchi et trans- mis. Écrire l’expression des champs ~

˜ E_i, ~

˜ E_r, ~

˜

E_ten polarisation parallèle.

Réponse :

~˜

E_i=Ei0e^−j~ki·~r(+ cosθieˆ_x−sinθiˆe_z)

~˜

E_r =Er0e^−j~kr·~r(−cosθreˆ_x−sinθreˆ_z)

~˜

E_t=E_t0e^−j~kt·~r(+ cosθ_teˆ_x−sinθ_teˆ_z)

d. Appliquer la condition de continuité des composantes tangentielles du champ élec- trique sur l’interface et écrire l’équation qui en résulte. (On rappelle que sur l’in- terface, les trois ondes ont la même phase.)

Réponse :

L’interface est àz= 0, sur le planxy, donc les composantes tangentielles du champ électrique sont selon eˆ_x. À z = 0 l’égalité de la phase donne

~k_i·~r=~k_r·~r=~k_t·~r, et on obtient : E_i0cosθ₁−E_r0cosθ₁=E_t0cosθ₂

e. Pour une interface air/verre (permittivité relative 2.25) calculer les amplitudes des champs électriques réfléchis dans les deux polarisations, dans le cas où l’angle d’incidence correspond à l’angle de Brewster (tanθ_B =n₂/n₁) et E_i0 = 1 V m⁻¹. Rappel : r_⊥= ^Z_Z^2⊥−Z1⊥

2⊥+Z_1⊥,r_k = ^Z_Z^2k−Z1k

2k+Z_1k, oùZ_⊥ =Z/cosθetZ_k=Zcosθ.

Réponse :

Par définition, l’angle de Brewster correspond àr_k= 0, donc E_r0k = 0.

Pour la polarisation perpendiculaire, on a : n₂ =√ε_r2 =√

2.25 = 1.5 θ₁ = tan⁻¹(1.5/1) = 0.983 rad sinθ1 = 0.83205

cosθ₁ = 0.5547 sinθ₂ = n₁

n₂sinθ₁= 0.5547 θ₂ = 0.588 rad

cosθ₂ = 0.83205

Z_1⊥ =Z₀/cosθ₁ = 377/0.5547 = 679.65 Ω

Z_2⊥ =Z₀/(n₂cosθ₂) = 377/(1.5∗0.83205) = 302.07 Ω r_⊥ = E_r0

E_i0 = Z_2⊥−Z_1⊥

Z_2⊥+Z_1⊥ = Z_2⊥−Z_1⊥

Z_2⊥+Z_1⊥ =−0.38462 donc E_r0⊥ =−0.384 62 V m⁻¹

3 Résistance d’un bon conducteur (5 points)

Dans un bon conducteur de conductivité σ, la permittivité effective ε =ε^′− j_ω^σ ≈

−j^σ_ω ce qui donne ˜k= (1− j )/δ où δ =q

2 µ0ωσ.

Une onde électromagnétique (fréquence f, amplitude du champ électriqueE0, polar- isation linéaire seloneˆ_x) se propage dans un bon conducteur selon +eˆ_z.

a. Donner l’expression du champ électrique ~

˜ E. Réponse :

~˜

E=E₀e^{−j ˜kz}eˆ_x=E₀e^−z/δe^−jz/δeˆ_x

b. Donner l’expression de la densité volumique de la puissance moyenne dissipée,

<dP/dV >= ¹₂Ren~

˜ E· ~

˜ J∗o

. Réponse :

Loi d’Ohm : ~

˜ J =σ~

˜ E donc

<dP/dV > = 1 2Ren~

˜ E· ~

˜ J^∗o

= 1 2Ren~

˜ E·(σ~

˜ E^∗)o

= 1 2Ren

(E₀e^−z/δe^−jz/δeˆ_x)·(σE₀e^−z/δe^{+ jz/δ}eˆ_x)o

= 1 2Ren

σE₀²e^−2z/δo

= σ

2E₀²e^−2z/δ

c. Donner l’expression de la puissance moyenne <P> dissipée dans un volume V, défini par0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤10δ.

Réponse :

<P> = Z 10δ

0

Z b 0

Z a 0

σ

2E₀²e^−2z/δdxdydz

= σ 2E²₀ab

−δ 2

[e^−20δ/δ−1]≈ σδ 4 E₀²ab d. Donner l’expression du courant I˜traversant le volumeV.

Réponse :

~˜ J=σ~

˜

E, parallèle àeˆ_x. Le courant traversant le volumeV passe à travers une surface dont nˆ =eˆ_x, de dimensions 0≤y ≤b, 0 ≤z ≤10δ sur le plan yz :

I˜= Z

S

~˜

J·nˆdS = Z 10δ

0

Z b 0

σE0e^−z/δe^−jz/δeˆ_x·ˆe_xdydz

=bσE0

Z 10δ 0

e^{−(1+ j )z/δ}dz

=bσE₀

− δ (1 + j )

[e⁻(1+ j )10δ/δ−1]≈ σδ (1 + j )E₀b

e. On sait que la puissance moyenne consommée par une résistance R est donnée par <P>= ¹₂|I˜|²R. À partir de cette relation et les résultats précédants, donner l’expression de la résistanceR du volume V.

Réponse :

On a trouvé <P>= ^σδ₄E₀²abet I˜= _{(1+ j )}^σδ E₀b donc

R = 2 <P>

|I˜|² = 2σδ

4 E₀²ab |1 + j|² σ²δ²E₀²b² = 1

σ a bδ

f. La résistance d’un conducteur de longueur l, de sectionS et de conductivitéσ, est donnée parR= _σ¹_S^l. Comparer cette formule au résultat de la question précédante.

Quelle est votre conclusion ? Réponse :

On identifie l à a, la dimension du conducteur selon le sens du courant.

On voit alors que la section effective du conducteur (volumea×b×10δ) est S =bδ (au lieu de la surface de la section, b×10δ) : l’épaisseur de peau δ est l’épaisseur effective du conducteur !

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Brouillon

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