Électromagnétisme
Examen (4e), durée 1h30 documents autorisés: aucun
26 avril 2010
Nom Prénom Note / 20
Nombre d’heures de travail
Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)
Ne pas dégrafer les feuilles svp !
Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) : Pendant la durée des épreuves il est interdit :
– de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro-ordi- nateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;
– de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du matériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;
– d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou matériels non autorisés pendant l’épreuve.
Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret No95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne- ment supérieur.
1 Communiquer avec un sous-marin (10 points)
L’eau de mer est un milieu diélectrique caractérisé parε′r≈81etµr = 1. La présence du sel sous forme d’ions Na+/Cl− donne lieu à une conductivité σ = 4 S m−1 qui est responsable des pertes.
On examine la faisabilité d’une liaison radio entre une station de base et un sous-marin en utilisant les fréquences f1 = 500 kHz ou f2 = 15 Hz. On considère une onde électro- magnétique se propageant dans l’eau de façon verticale, vers−z. Le champ électrique est polarisé seloneˆx.
a. Écrire l’équation de Maxwell-Ampère dans l’eau salée (régime harmonique) et mon- trer que la permittivité effective du milieu est complexe, égale à ε˜=ε′− jσω.
b. Calculer les valeurs de la permittivité relative pour les deux fréquences f1 etf2.
c. Donner l’expression du nombre d’onde k˜ en fonction de ω et des paramètres du milieu.
d. En écrivant ˜k=β− jα, on peut montrer que
α=ω√µ0ε0
rµrε′r 2
s
1 + ε′′r
ε′r 2
−1
1/2
β =ω√µ0ε0
rµrε′r 2
s
1 + ε′′r
ε′r 2
+ 1
1/2
Calculer les valeurs deα etβ pourf1,f2.
e. Donner l’expression de l’indice de réfractionn˜en fonction des paramètres du milieu.
f. Donner la relation entre k˜ etn.˜
g. Calculer les valeurs de n˜ d’abord en partie réelle/imaginaire et ensuite en module et phase pour f1,f2.
h. Exprimer l’impédance caractéristique du milieu en fonction de l’indice de réfraction.
i. CalculerZ, en module et phase, pour˜ f1,f2.
j. Calculer la vitesse de phase pour f1,f2.
k. Calculer la longueur d’onde pourf1,f2.
l. Calculer la profondeur de peau (distance à laquelle l’amplitude des champs est égale à1/e de la valeur à z= 0) pourf1,f2.
m. Quelle fréquence doit-on choisir pour la transmission ? Justifier la réponse.
n. Donner les expressions des champs E~˜ et H~˜ à la fréquence choisie, sachant que l’amplitude du champ électrique àz= 0 est égale à 0.1 V m−1.
o. Donner les expressions des champsE~ etH~ à la fréquence choisie.
2 Incidence oblique : deux polarisations (5 points)
On considère une onde incidente sur une interface entre deux milieux lhi, non mag- nétiques, de permittivité ε1 etε2. On noteθ1 l’angle d’incidence. L’interace est située à z= 0 (planxy).
a. Sur un schéma 2D, indiquer les vecteurs E~, H~,~k des ondes incidente, réfléchie et transmise pour la polarisation perpendiculaire.
b. Sur un schéma 2D, indiquer les vecteurs E~, H~,~k des ondes incidente, réfléchie et transmise pour la polarisation parallèle.
c. On noteEi0,Er0,Et0 l’amplitude des champs électriques incident, réfléchi et trans- mis. Écrire l’expression des champs ~
˜ Ei, ~
˜ Er, ~
˜
Eten polarisation parallèle.
d. Appliquer la condition de continuité des composantes tangentielles du champ élec- trique sur l’interface et écrire l’équation qui en résulte. (On rappelle que sur l’in- terface, les trois ondes ont la même phase.)
e. Pour une interface air/verre (permittivité relative 2.25) calculer les amplitudes des champs électriques réfléchis dans les deux polarisations, dans le cas où l’angle d’incidence correspond à l’angle de Brewster (tanθB =n2/n1) et Ei0 = 1 V m−1. Rappel : r⊥= ZZ2⊥−Z1⊥
2⊥+Z1⊥,rk = ZZ2k−Z1k
2k+Z1k, oùZ⊥ =Z/cosθetZk=Zcosθ.
3 Résistance d’un bon conducteur (5 points)
Dans un bon conducteur de conductivité σ, la permittivité effective ε =ε′− jωσ ≈
−jσω ce qui donne ˜k= (1− j )/δ où δ =q
2 µ0ωσ.
Une onde électromagnétique (fréquence f, amplitude du champ électriqueE0, polar- isation linéaire seloneˆx) se propage dans un bon conducteur selon +eˆz.
a. Donner l’expression du champ électrique ~
˜ E.
b. Donner l’expression de la densité volumique de la puissance moyenne dissipée,
<dP/dV >= 12Ren~
˜ E· ~
˜ J∗o
.
c. Donner l’expression de la puissance moyenne <P> dissipée dans un volume V, défini par0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤10δ.
d. Donner l’expression du courant I˜traversant le volumeV.
e. On sait que la puissance moyenne consommée par une résistance R est donnée par <P>= 12|I˜|2R. À partir de cette relation et les résultats précédants, donner l’expression de la résistanceR du volume V.
f. La résistance d’un conducteur de longueur l, de sectionS et de conductivitéσ, est donnée parR= σ1Sl. Comparer cette formule au résultat de la question précédante.
Quelle est votre conclusion ?
Page blanche
Page blanche
Brouillon
Brouillon
Brouillon
