École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia
Cycle initial Polytechnique, 2eannée 2008–2009
Électromagnétisme
Examen (3e), durée 1h30
documents autorisés (distribués) : formulaire 25 mars 2009
Nom Prénom Note / 20
Nombre d’heures de travail
Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)
Ne pas dégrafer les feuilles !
Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) : Pendant la durée des épreuves il est interdit :
– de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro-ordi- nateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;
– de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du ma- tériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;
– d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou maté- riels non autorisés pendant l’épreuve.
Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret No95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne- ment supérieur.
Électromagnétisme 1
1 Les ondes, en général (6 points)
a. Donner la forme générale d’une fonctionf(t, z)représentant une onde se propageant selon l’axez positif (eˆz).
b. On suit la propagation d’une onde sur une corde (Figure1). Utiliser les deux clichés, pris à des instants différents, pour calculer la vitesse de propagation, c, encm s−1. c. Calculer la largueurL de l’impulsion.
d. Calculer la duréeT de l’impulsion.
e. Tracer de façon approximative l’impulsion initiale (à z = 0). Utiliser la Figure 2, choisir les axes, les unités et indiquer les instants du début et de la fin de l’impulsion.
2 Une OPPM à polarisation circulaire (7 points)
On considère l’OPPM dont le champ électrique est donné par :
~˜
E =E0ej (ωt−kz)( jeˆx+eˆy) a. Donner l’expression du champ magnétique ~
˜ B.
b. Donner l’expression du champ électrique E~et calculer son amplitude.
c. Àt= 0, calculer et tracer le champ E~à z= 0, λ/4, λ/2,3λ/4.
d. Àz= 0, calculer et tracer le champ E~ àt= 0, T /4, T /2,3T /4.
e. Caractériser la polarisation circulaire de cette onde (justifier la réponse).
3 Deux OPPM à polarisation linéaire (7 points)
On considère une première onde électromagnétique (OPPM)
~˜
E1 =E10ej (ωt−~k1·~r)eˆy
se propageant selon la bissectrice des vecteurs eˆxeteˆz, et une deuxième
~˜
E2 =E20ej (ωt−~k2·~r)eˆy
se propageant selon la bissectrice des vecteurs ˆex et −eˆz. Les deux champs électriques ont la même amplitude, la même fréquence et se propagent dans le vide.
a. Donner l’expression des vecteurs d’onde~k
1 =kkˆ
1 et~k
2 =kkˆ
2 (vérifier quek~k
1k= k~k
2k=k!).
b. Calculer les champs magnétiques ~
˜ B1 et ~
˜ B2.
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Fig. 1:Exercice 1 : une impulsion se propageant sur une corde seloneˆz(captures d’écran : application “Waves on a string”).
Électromagnétisme 3
olytechniquedel’UNS’Nice-Sophia CycleinitialPolytechnique,2e2008
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Fig. 2:Exercice 1, question f : tracer l’impulsion initiale (à z= 0) en fonction du temps.
agnétisme4
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c. Montrer sur un schéma les champs électriques, magnétiques et les vecteurs d’onde.
d. Donner l’expression du champ électrique total ~
˜ E= ~
˜ E1+ ~
˜ E2. e. Montrer que ~
˜
E a la forme d’une onde et donner sa direction de propagation.
f. Est-ce qu’il s’agit d’une onde plane ?
Électromagnétisme 5
Formulaire
A Analyse vectorielle
A.1 Gradient
A.1.1 Coordonnées cylindriques
−−→
gradV = ∂V
∂ρˆeρ+1 ρ
∂V
∂φeˆφ+∂V
∂z ˆez (1)
A.1.2 Coordonnées shpériques
−−→
gradV = ∂V
∂reˆr+1 r
∂V
∂θ ˆeθ+ 1 rsinθ
∂V
∂φeˆφ (2)
A.2 Divergence
A.2.1 Coordonnées cylindriques
divA~ = 1 ρ
∂(ρAρ)
∂ρ +1 ρ
∂Aφ
∂φ +∂Az
∂z (3)
A.2.2 Coordonnées shpériques
divA~ = 1 r2
∂(r2Ar)
∂r + 1
rsinθ
∂(sinθAθ)
∂θ + 1
rsinθ
∂Aφ
∂φ (4)
A.3 Rotationnel
A.3.1 Coordonnées cylindriques
−→ rotA~ = 1
ρ ˆ
eρ ρˆeφ eˆz
∂
∂ρ
∂
∂φ
∂
∂z
Aρ ρAφ Az
(5)
A.3.2 Coordonnées shpériques
−→
rotA~ = 1 r2sinθ
eˆr rˆeθ rsinθeˆφ
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂φ
Ar rAθ rsinθAφ
(6)
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Électromagnétisme 7
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Électromagnétisme 9
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