2 Une OPPM à polarisation circulaire (7 points)

(1)

Électromagnétisme

Examen (3^e), durée 1h30

documents autorisés (distribués) : formulaire 25 mars 2009

Nom Prénom Note / 20

Nombre d’heures de travail

Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)

Ne pas dégrafer les feuilles !

Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) : Pendant la durée des épreuves il est interdit :

– de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro-ordi- nateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;

– de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du ma- tériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;

– d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou maté- riels non autorisés pendant l’épreuve.

Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret N^o95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne- ment supérieur.

(2)

École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia

Cycle initial Polytechnique, 2^eannée 2008–2009

1 Les ondes, en général (6 points)

a. Donner la forme générale d’une fonctionf(t, z)représentant une onde se propageant selon l’axez positif (eˆ_z).

Réponse (1 point):

f(t−z/c)

b. On suit la propagation d’une onde sur une corde (Figure1). Utiliser les deux clichés, pris à des instants différents, pour calculer la vitesse de propagation, c, encm s⁻¹.

Réponse (1 point):

c= _(12.27⁽⁵⁶⁻^23)cm

−6.16)s = 5.4 cm s⁻¹ c. Calculer la largueurL de l’impulsion.

Réponse (1 point):

L= 33−13 = 20 cm

d. Calculer la durée T de l’impulsion.

Réponse (1 point):

T =L/c= 20/5.4 = 3.70 s

e. Tracer de façon approximative l’impulsion initiale (à z = 0). Utiliser la Figure 2, choisir les axes, les unités et indiquer les instants du début et de la fin de l’impulsion.

Réponse (2 points):

On retrouve l’impulsion de la Figure 1 retournée et contractée par la vitesse de propagation. Elle commence àt₀ = 0.05 spour finir àt₀+T = 1.90 s. Au démarrage elle monte ensuite passe par zéro, devient négative et revient à zero. Le max/min est égal à x =±30 cm. Les échelles sont t×10(s)et x×10(cm).

2 Une OPPM à polarisation circulaire (7 points)

On considère l’OPPM dont le champ électrique est donné par :

~˜

E =E₀e^{j (ωt}⁻^kz)( jeˆ_x+eˆ_y)

a. Donner l’expression du champ magnétique ~

˜ B. Réponse (2 points):

~˜

B= _ω¹~k∧E~˜ = _ω^kE₀e^{j (ωt}⁻^kz)( jeˆ_y−eˆ_x)

b. Donner l’expression du champ électrique E~et calculer son amplitude.

E~=Ren~

˜ Eo

=E₀[−sin(ωt−kz)eˆ_x+ cos(ωt−kz)eˆ_y] donc kE~k=p

[−E₀sin(ωt−kz)]²+ [E₀cos(ωt−kz)]² =E₀. c. Àt= 0, calculer et tracer le champ E~à z= 0, λ/4, λ/2,3λ/4.

Électromagnétisme ²

(3)

Fig. 1:Exercice 1 : une impulsion se propageant sur une corde seloneˆ_z(captures d’écran : application “Waves on a string”).

(4)

ÉcolePolytechniquedel’UNSPolytech’Nice-Sophia CycleinitialPolytechnique,2eannée2008–2009

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Fig. 2:Exercice 1, question f : tracer l’impulsion initiale (à z= 0) en fonction du temps.

Électromagnétisme4

(5)

Réponse (1 point):

E~(t= 0, z) =E0[sin(kz)eˆ_x+ cos(kz)eˆ_y] z= 0 +E₀eˆ_y

z=λ/4 +E0eˆ_x z=λ/2 −E₀eˆ_y z= 3λ/4 −E₀eˆ_x

.

d. Àz= 0, calculer et tracer le champ E~ àt= 0, T /4, T /2,3T /4.

Réponse (1 point):

E~(t, z= 0) =E₀[−sin(ωt)eˆ_x+ cos(ωt)eˆ_y] t= 0 +E₀eˆ_y

t=T /4 −E₀eˆ_x t=T /2 −E₀eˆ_y t= 3T /4 +E₀eˆ_x

.

e. Caractériser la polarisation circulaire de cette onde (justifier la réponse).

Réponse (1 point):

On fige le temps (à t = 0 c’est plus simple) et on regarde le champ électrique ou magnétique vers la direction de propagation, en fonction de z : il tourne vers la gauche, donc il s’agit d’une LCP.

3 Deux OPPM à polarisation linéaire (7 points)

On considère une première onde électromagnétique (OPPM)

~˜

E₁ =E₁₀e^{j (ωt}⁻^~^k¹^·^~^r)eˆ_y

se propageant selon la bissectrice des vecteurs eˆ_xeteˆ_z, et une deuxième

~˜

E₂ =E20e^{j (ωt−}^~^k²^·^~^r)eˆ_y

se propageant selon la bissectrice des vecteurs ˆe_x et −eˆ_z. Les deux champs électriques ont la même amplitude, la même fréquence et se propagent dans le vide.

a. Donner l’expression des vecteurs d’onde~k

1 =kkˆ

1 et~k

2 =kkˆ

2 (vérifier quek~k

1k= k~k

2k=k!).

~k₁= √^k

2eˆ_x+√^k 2eˆ_z

~k₂= √^k

2eˆ_x−√^k 2eˆ_z.

b. Calculer les champs magnétiques ~

˜ B₁ et ~

˜ B₂. Réponse (2 points):

~˜

B1 = _ω¹~k

1∧ ~

˜ E= ^√^k

2ωE₀e^{j (ωt}⁻^kz)(eˆ_x∧ˆe_y+eˆ_z∧eˆ_y)

= ^√^k

2ωE₀e^{j (ωt−kz)}(eˆ_z−eˆ_x)

(6)

~˜

B2 = _ω¹~k

2∧ ~

˜ E= ^√^k

2ωE₀e^{j (ωt}⁻^kz)(eˆ_x∧ˆe_y−eˆ_z∧eˆ_y)

= ^√^k

2ωE₀e^{j (ωt}⁻^kz)(eˆ_z+eˆ_x)

c. Montrer sur un schéma les champs électriques, magnétiques et les vecteurs d’onde.

Réponse (1 point):

d. Donner l’expression du champ électrique total ~

˜ E= ~

˜ E1+ ~

˜ E2. Réponse (2 points):

~˜

E=E₀(e^{j (ωt}⁻

k

√2x−^√^k₂z)

+ e^{j (ωt}⁻

k

√2x+√^k 2z)

)eˆ_y

=E₀2 cos(^√^k

2z)e^{j (ωt}⁻

k

√2x)

eˆ_y.

e. Montrer queE~˜ a la forme d’une onde et donner sa direction de propagation.

Réponse (0.5 point):

On retrouve bien la relationωt−k^′x donc il s’agit d’une onde se propageant selon eˆ_x.

f. Est-ce qu’il s’agit d’une onde plane ? Réponse (0.5 point):

Non, parce que le champ électrique n’est pas constant sur des plans per- pendiculaires à x=x₀, il dépend de z.

Électromagnétisme ⁶

(7)

Formulaire

A Analyse vectorielle

A.1 Gradient

A.1.1 Coordonnées cylindriques

−−→

gradV = ∂V

∂ρˆe_ρ+1 ρ

∂V

∂φeˆ_φ+∂V

∂z ˆe_z (1)

A.1.2 Coordonnées shpériques

−−→

gradV = ∂V

∂reˆ_r+1 r

∂V

∂θ ˆe_θ+ 1 rsinθ

∂V

∂φeˆ_φ (2)

A.2 Divergence

divA~ = 1 ρ

∂(ρA_ρ)

∂ρ +1 ρ

∂A_φ

∂φ +∂A_z

∂z (3)

divA~ = 1 r²

∂(r²Ar)

∂r + 1

rsinθ

∂(sinθAθ)

∂θ + 1

rsinθ

∂A_φ

∂φ (4)

A.3 Rotationnel

−→ rotA~ = 1

ρ ˆ

e_ρ ρˆe_φ eˆ_z

∂

∂ρ

∂

∂φ

∂

∂z

A_ρ ρA_φ A_z

(5)

−→

rotA~ = 1 r²sinθ

eˆ_r rˆe_θ rsinθeˆ_φ

∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂φ

Ar rAθ rsinθAφ

(6)

(8)

Page blanche

Électromagnétisme ⁸

(9)

Page blanche

(10)

Brouillon

Électromagnétisme ¹⁰

(11)

Brouillon