B Résolution de l’équation homogène.

(1)

Chapitre 13 : Équation linéaire du 1 ^ier et 2 ^sd ordre.

I Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 1

A Définition.

Rem1. Une équation différentielle est une équation qui dont l’inconnue est une fonction et non des réels ou ou des complexes.

• Soitpa, bq PR², l’équation

y¹`ay“b (E)

où l’inconnue est la fonction y est appelée une équation différentielle linéaire

loomoon

y¹etyn’interviennent

qu’à la puissance 1

d’ordre 1 loooomoooon

seulsyety¹

apparaissent

à coefficients constants.

loooooooooooooomoooooooooooooon

aetbsont des constantes

• On appelle l’équation

y¹`ay“0 (E0)

l’équation différentielle homogène associée àpEq.

•

Rem2. On peut décider que l’équation n’existe que sur un un intervalleIdeR.

Une solution depEqest une fonction dérivableydéfinie surRà valeurs dansRvérifiant

@tPR y¹ptq `ayptq “b Définition 1

B Résolution de l’équation homogène.

Rem3. La fonction exponentielle est solution du cas où a“ ´1.

SoitaPR.

L’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1

y¹`ay“0 (0)

admet comme ensemble de solution

S₀“ tÞÑKe^´at, K PR( Théorème 1

Démonstration 1.

Rem4. Montrer que les éléments deE0sont solutions, est le "sens"

simple : il suffit de vérifier.

SoitKPRety:tÞÑKe^´at. Montrons quey solution depE₀q: f est alors dérivable surRet on a

@tPR f¹ptq “ ´Kae^´at

D’où

@tPR f¹ptq àfptq “ ´Kae^át`aKe^át“0 Ainsif est bien solution depE0q.

(2)

Démonstration 2.

Rem5. Pour ce sens : 1. On suppose l’existence une telf fonction solution de pE0q.

2. On introduit une fonctiongdéfinie à partir def et dont la dérivée sera nulle 3. Elle sera donc constante (ce sera la constantek).

4. On en déduit la fonctionf

Réciproquement soity une solution depE₀q. On va montrer qu’il existeKPRtel que

@tPR yptq “Ke^´at Soit alors z : R Ñ R

t ÞÑ e^atyptq

z est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables et on a, pour tPR z¹ptq “aeâtyptq èâty¹ptq “eâtpy¹ptq `ayptqq “0

z est donc une fonction constante, il existe ainsiKPRtel que

@tPRzptq “K

C’est-à-dire

@tPR yptq “Ke^´at

C Solution particulière.

Rem6. Les coefficients étant constant, trouver une solution particulière est simple : pour l’ordre 1 ont peut choisir des fonctions polynôme de degré 1.

Soitpa, bq PR². On considère l’équation différentielle linéaire d’ordre 1

y¹`ay“b (E)

— Sia‰0 alors y0 : R Ñ R t ÞÑ ^b_a

est une solution depEq.

— Sia“0 alors y₀ : R Ñ R t ÞÑ bt

est une solution depEq.

Proposition 2

Démonstration 3. Il suffit de remplacer dans l’équationpEq, pour vérifier que ces fonctions sont solutions.

D Principe de superposition.

Rem7. Ce principe de superposition fonctionne que les coefficientsaetb soient des constantes ou des fonctions et que l’ordre soient 1 où ně1.

Soitpa, b₁, b₂q PR³ et soitpλ₁, λ₂q PR².

Soit y₁ une solution de l’équation différentielle y¹ `ay “ b₁ et soit y₂ une solution de l’équation différentielle y¹`ay“b₂.

Alorsλ₁y₁`λ₂y₂ est une solution dey¹`ay“λ₁b₁`λ₂b₂.

Théorème 3(Principe de superposition pour les équations de degré 1)

Démonstration 4.

Rem8. In suffit de vérifier

Soitpa, b1, b2q PR³et soitpλ1, λ2q PR².

Soit y1 une solution de l’équation différentielle y¹`ay “ b1 et soit y2 une solution de l’équation différentielley¹`ay“b2.

Soit alorsf “λ1y1`λ2y2. On af¹“λ1y¹₁`λ2y₂¹. D’où

f¹`af “λ₁y₁¹ `λ₂y₂¹ `apλ₁y₁`λ₂y₂q “λ₁`

y₁¹ `ay₁˘

`λ₂`

y₂¹ `ay₂˘

“λ₁b₁`λ₂b₂ Ainsiλ₁y₁`λ₂y₂ est bien une solution dey¹`ay“λ₁b₁`λ₂b₂.

(3)

E Résolution de l’équation générale.

Rem9. Il suffira simplement d’additionner une solution particulière aux solutions générales.

Soitpa, bq PR². On considère l’équation différentielle linéaire d’ordre 1

y¹`ay“b (E)

• Sia‰0 alors l’ensemble des solutions depEqest S “

"

tÞÑKe^´at`b

a , K PR

*

• Sia“0 alors l’ensemble des solutions depEqest S“ ttÞÑK`bt , K PRu Théorème 4

Démonstration 5. Soitpa, bq PR². On considère l’équation différentielle

y¹`ay“b (E)

et son équation homogène associée

y¹`ay“0 (E0)

NotonsS l’ensemble des solutions depEqetS0l’ensemble des solutions depE0q. Soity0 une solution particulière depE0q.

Rem10. L’égalité de deux ensembles se montre très souvent par double inclusions.

Nous allons montrer pardouble inclusionsque :

ty₀`y , yPS0u “S

• Montrons d’abord Ă.

Rem11. On utilise dans les deux cas le principe de superposition.

Soit y une solution de pEq. Alors, d’après le principe de superposition,y`y0 est une solution de l’équation différentielley¹`ay“b`0, c’est-à-dire depEq.

Ainsi

ty₀`y , yPS₀u ĂS

• Montrons maintenant Ą.

Soit maintenant f une solution de pEq et g “ f ý₀. D’après le principe de superposition, g“fý₀est une solution de l’équation différentielley¹ày“b´b, c’est-à-dire depE₀q.

Ainsi, comme f “y0`g, f s’exprime bien comme la somme de la solution particulière y0 et d’une solution de pE0q.

D’où

SĂ ty0`y , yPS0u Et donc

S “ ty₀`y , yPS0u

F Problème de Cauchy.

Problème de Cauchy

Rem12. On parlera souvent de condition initiale pour ypt0q “y0. Pour la fonction exponentielle cette condition est yp0q “1 (De plus a“ ´1 etb“0).

Soitpa, bq PR²,t0PRety0PRLe problème

pPq:

#y¹`ay“b ypt0q “y0

Rem13. La problème de Cauchy admettra toujours qu’une unique solution.

est appelé unproblème de Cauchypour les équations différentielles d’ordre 1. Il admet une unique solution.

Définition-Proposition 5

(4)

Démonstration 6.

Rem14. On connait l’expression générale d’une solution sans condition initiale. On montre que la constanteKest conditionnée par la condition initiale.

Sia‰0 alors les solutions de pEqsont de la forme y:tÞÑÞÑKe^´at`b

a

Une telle fonction est solution depPqsi et seulement si Ke^´at⁰`b

a“y₀ C’est-à-dire si et seulement si

K“e^at⁰ ˆ

y₀´ b a

˙

Ainsi la fonction

y : R Ñ R

t ÞÑ ` y0´_a^b˘

e^apt⁰^´tq`_a^b est l’unique solution depPq.

Démonstration 7. Sia“0 alors les solutions de pEqsont de la forme y:tÞÑÞÑK`bt

Une telle fonction est solution depPqsi et seulement si K`bt₀“y₀

C’est-à-dire si et seulement si

K“y₀´bt₀ Ainsi la fonction

y : R Ñ R

t ÞÑ bpt´t₀q `y₀ est l’unique solution depPq.

Exemple 1. On va résoudre le problème de Cauchy pPq:

#

y¹´3y“5 yp0q “2 L’ensemble des solutions de l’équationy¹´3y“5 est

S“

"

tÞÑKe^3t´5

3 , K PR

*

SoitKPRet y : R Ñ R t ÞÑ Ke^3t´⁵₃

On va déterminer pour quelle valeur deK a-t-onyp0q “2.

On ayp0q “K´⁵₃, il nous faut donc prendreK“2`⁵₃ “¹¹₃ Ainsi l’unique solution du problème de CauchypPqest

y : R Ñ R

t ÞÑ ^11e^3t₃^´5

II Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 2

Soitpa, b, cq PR³. On cherche résoudre l’équation différentielley²`ay¹`by“c. On va procéder suivant le même schéma que pour les équations du premier ordre

(5)

A Définition.

• Soitpa, b, cq PR³, l’équation

y²`ay¹`by“c (E)

où l’inconnue est la fonctiony est appelée une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.

• On appelle l’équation

y²`ay¹`by“0 (E0)

l’équation différentielle homogène associée àpEq.

• Une solution depEqest une fonction deux fois dérivableydéfinie surRà valeurs dans Rvérifiant

@tPR y²ptq `ay¹ptq `byptq “c Définition 2

B Résolution de l’équation homogène

Rem15. On remarque que pour une équation linéaire d’ordre 2, il faudra la combinaison linéaire de deux fonctions pour engendrer l’ensemble solution.

Soitpa, bq PR². On s’intéresse à l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2

y²`ay¹`by“0 (E0)

Soit P : R Ñ R

x ÞÑ x²`ax`b

On appelleP le polynôme caractéristique de l’équationpEq.

3 cas sont alors possibles

‚ ∆ ą0. Le polynôme P admet deux racines réelles distinctes λet µ. L’ensemble S0

des solutions depE0qest alors :

S0“ tÞÑAe^λt`Be^µt, pA, Bq PR²(

‚ ∆ “ 0. Le polynômeP admet une racine double λ. L’ensemble S₀ des solutions de pE₀qest alors :

S₀“ tÞÑAe^λt`Bte^λt, pA, Bq PR²(

‚ ^Rem^16. ^{Le cas ∆}^ă⁰

est très courant en physique (sans jeu de mot) notamment pour tous phénomènes ondulatoires.

∆ă0. Le polynôme P admet deux racines complexes conjuguéesα`iβ et α´iβ.

L’ensembleS0 des solutions depE0qest alors :

S0“ tÞÑe^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq , pA, Bq PR²( Théorème 6

1 Cas ∆ ą 0

Démonstration. ‚Cas où le polynômeP admet deux racines réelles distinctesλetµ

— Commençons par prouver que les fonctions de la forme tÞÑAe^λt`Be^µt avecpA, Bq PR² sont bien des solutions depE0q.

Soit doncpA, Bq PR² et f : R Ñ R x ÞÑ Ae^λt`Be^µt

f est deux fois dérivables en tant que somme de fonctions deux fois dérivables et on a, pour tPR

f¹ptq “λAe^λt`µBe^µt f²ptq “λ²Ae^λt`µ²Be^µt

(6)

Alors, pourtPR,

f²ptq `af¹ptq `bfptq “λ²Ae^λt`µ²Be^µt`a`

λAe^λt`µBe^µt˘

`b`

Ae^λt`Be^µt˘

“Ae^λt`

λ²`aλ`b˘

`Be^µt`

µ²`aµ`b˘

“Ae^λtPpλq `Be^µtPpµq

“0`0

“0

Ainsif est bien une solution de pE₀q. On en déduit que tÞÑAe^λt`Be^µt, pA, Bq PR²(

ĂS0

— Montrons maintenant que toute solution depE0qpeut s’écrire sous la formetÞÑAe^λt`Be^µtavec pA, Bq PR².

λet µ sont les deux racines du polynômeX²`aX `b ainsi, d’après les relations coefficients- racines (vues dans le chapitre « Nombres Réels et complexes, Trigonométrie »)

a“ ´pλ`µq etb“λµ Soityune solution depE₀qet soit z : R Ñ R

t ÞÑ e^´λtyptq On sait quey est une solution depE0q, ainsiy vérifie

@tPR y²ptq ´ pλ`µqy¹ptq `λµyptq “0

zest deux fois dérivable en tant que produit de fonctions deux fois dérivables et on a, pourtPR z¹ptq “ ´λe^´λtyptq `e^´λty¹ptq “e^´λt`

y¹ptq ´λyptq˘ z²ptq “λ²e^´λtyptq ´2λe^´λty¹ptq `e^´λty²ptq “e^´λt`

y²ptq ´2λy¹ptq `λ²yptq˘ Alors, pourtPR, on a

z²ptq ` pλ´µqz¹ptq “e^´λt``

y²ptq ´2λy¹ptq `λ²yptq˘

` pλ´µq`

y¹ptq ´λyptq˘˘

“e^´λt`

y²ptq ´2λy¹ptq `λ²yptq `λy¹ptq ´λ²yptq ´µy¹ptq `λµyptq˘

“e^´λt`

y²ptq ´ pλ`µqy¹ptq `λµyptq˘

“0

z¹ est alors solution de l’équation différentielle linéaire d’ordre 1 f¹` pλ´µqf “0

On a déjà déterminé les solutions de ce type d’équation. Il existe doncKPRtel que

@tPR z¹ptq “Ke^´pλ´µqt

On primitive cette relation, il existe doncCPRtel que

@tPR zptq “ K

µ´λe^pµ´λqt`C D’où

@tPR yptq “ K

µ´λe^µt`Ce^λt En notantA“ _µ´λ^K et B“Con aboutit bien à la forme voulue.

On a donc montré que

S0Ă tÞÑAe^λt`Be^µt, pA, Bq PR²( Et donc

S₀“ tÞÑAe^λt`Be^µt, pA, Bq PR²(

(7)

2 Cas ∆ “ 0

Démonstration. ‚Cas où le polynômeP admet une racine doubleλ.

On a alorsP “X²´2λX`λ², c’est-à-dire

a“ ´2λ et b“λ²

— Commençons par prouver que les fonctions de la formetÞÑAe^λt`Bte^λtavecpA, Bq PR² sont bien des solutions depE0q.

Soit doncpA, Bq PR² et f : R Ñ R x ÞÑ Ae^λt`Bte^λt

f¹ptq “λAe^λt`λtBe^λt`Be^λt“e^λtpλA`λtB`Bq f²ptq “λ²Ae^λt`λ²tBe^µt`2λBe^λt“e^λt`

λ²A`2λB`λ²tB˘ Alors, pourtPR,

f²ptq `af¹ptq `bfptq “e^λt``

λ²A`2λB`λ²tB˘

`apλA`λtB`Bq `bpA`Btq˘

“e^λt` A`

λ²`aλ`b˘

`Bt`

λ²`aλ`b˘

`Bp2λ`aq˘

“e^λtpAPpλq `BtPpλq `Bp2λ` p´2λqqq

“e^λtp0`0`0q

“0

Ainsif est bien une solution de pE0q. On en déduit que tÞÑAe^λt`Bte^λt, pA, Bq PR²(

ĂS0

— Montrons maintenant que toute solution de pE₀qpeut s’écrire sous la forme t ÞÑ Ae^λt`Bte^λt avecpA, Bq PR².

Soityune solution depE0qet soit z : R Ñ R t ÞÑ e^´λtyptq On sait quey est une solution depE0q, ainsiy vérifie

@tPR y²ptq ´2λy¹ptq `λ²yptq “0

zest deux fois dérivable en tant que produit de fonctions deux fois dérivables et on a, pourtPR z¹ptq “ ´λe^´λtyptq `e^´λty¹ptq “e^´λt`

y¹ptq ´λyptq˘ z²ptq “λ²e^´λtyptq ´2λe^´λty¹ptq `e^´λty²ptq “e^´λt`

y²ptq ´2λy¹ptq `λ²yptq˘

“0 z²est donc la fonction nulle. En primitivant deux foisz²on montre alors qu’il existepA, Bq PR² tel que

@tPR zptq “A`Bt C’est-à-dire

@tPR yptq “Ae^λt`Bte^λt On a donc montré que

S0Ă tÞÑAe^λt`Bte^λt, pA, Bq PR²( Et donc

S0“ tÞÑAe^λt`Bte^λt, pA, Bq PR²(

(8)

3 Cas ∆ ă 0

Démonstration. ‚Cas où le polynômeP admet deux racines complexes conjuguéesα`iβetα´iβ On a alorsP “X²´2αX` pα²`β²q.

— Commençons par prouver que les fonctions de la forme t ÞÑ e^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq avec pA, Bq PR² sont bien des solutions depE0q.

Soit doncpA, Bq PR² et f : R Ñ R

x ÞÑ e^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq

f¹ptq “αe^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq `βe^αtp´Asinpβtq `Bcospβtqq

“αfptq `βe^αtp´Asinpβtq `Bcospβtqq

f²ptq “α²e^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq `2αβe^αtp´Asinpβtq `Bcospβtqq ´β²e^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq

“ pα²´β²qfptq `2αβe^αtp´Asinpβtq `Bcospβtqq

“ pα²´β²qfptq `2α`

f¹ptq ´αfptq˘ Alors, pourtPR,

f²ptq `af¹ptq `bfptq “f²ptq ´2αf¹ptq ` pα²`β²qfptq

“ pα²´β²qfptq `2α`

f¹ptq ´αfptq˘

´2αf¹ptq ` pα²`β²qfptq

“ pα²´β²qfptq `2αf¹ptq ´2α²fptq ´2αf¹ptq ` pα²`β²qfptq

“0

Ainsif est bien une solution de pE0q. On en déduit que

tÞÑe^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq , pA, Bq PR²( ĂS0

— Cette partie de la preuve ne peut se faire sans introduire le concept de dérivabilité des fonctions deRdansC. Pour ne pas compliquer outre mesure ce cours, on a pris le parti de ne pas aborder cette notion et donc d’admettre cette partie de la preuve.

On admet donc que

S0Ă tÞÑe^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq , pA, Bq PR²( Ce qui entraine que

S0“ tÞÑe^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq , pA, Bq PR²(

Rem 17. Dans le cas oùP admet deux racines complexes on a vu que S0“ tÞÑe^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq , pA, Bq PR²(

Or, on sait qu’une expression de la formeAcospβtq`Bsinpβtqpeut se mettre sous la formeRcospβt`ϕq avecpR, ϕq PR². On peut alors montrer que

S₀“ tÞÑRe^αtcospβt`ϕq, pR, ϕq PR²(

Une telle écriture a plus d’intérêt en physique qu’en mathématiques car elle permet une lecture aisée de l’amplitude et du décalage de phase de la solution. En mathématiques on préférera la forme t ÞÑ e^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq qui a l’avantage de faire apparaître clairement une base de l’espace des solutions (au sens des bases des espaces vectoriels, notion qui viendra plus tard dans l’année).

Exemple 2. 1. Résolvons l’équation différentielle homogène

y²´y¹´12y“0 (H1)

SoitP1“X²´X´12. Déterminons les racines deP.

Le discriminant deP est ∆“ p´1q²´4ˆ p´12q “49“7².P admet donc deux racines réelles distinctes qui sont 4 et´3.

L’ensemble des solutions depH1qest donc

SH₁ “ tÞÑAe^4t`Be^´3t, pA, Bq PR²(

(9)

2. Résolvons l’équation différentielle homogène

y²`4y¹`4y“0 (H2)

SoitP“X²`4X`4. Déterminons les racines deP.

Le discriminant deP est ∆“4²´4ˆ4“0.P admet donc une racine double qui est´2.

SH2 “ tÞÑAe^´2t`Bte^´2t, pA, Bq PR²( 3. Résolvons l’équation différentielle homogène

y²´8y¹`17y“0 (H3)

SoitP“X²´8X`17. Déterminons les racines deP.

Le discriminant de P est ∆ “ p´8q²´4ˆ17 “ 64´68 “ ´4. P admet donc deux racines complexes conjuguées qui sont 4`iet 4´i

SH3 “ tÞÑe^4tpAcosptq `Bsinptqq , pA, Bq PR²(

C Résolution de l’équation générale

Maintenant que l’on a résolupHqil ne nous reste plus qu’à déterminer une solution particulière de l’équation avec second membre. Là encore on va chercher parmi des fonctions simples : les fonctions polynomiales de degré 2.

Soit donc f : R Ñ R

t ÞÑ αt²`βt`γ

, on cherche à quelle condition sur pα, β, γqf est-elle solution de l’équation différentielle

y²`ay¹`by“c (E)

f est deux fois dérivable surRet on a

@tPR f¹ptq “2αt`β f²ptq “2α Ainsi, pourtPRon a

f²ptq `af¹ptq `bfptq “bαt²` pbβ`2aαqt` p2α`aβ`bγq f est donc solution depEqsi et seulement si

$

’&

’%

bα “0

bβ`2aα “0 2α`aβ`bγ “c 3 situations sont alors possibles

— Sib‰0 alors on prendα“0,β “0 etγ“ ^c_b, soitf :tÞÑ ^c_b

— Sib“0 eta‰0 alors on prend α“0,β“ ^c_a et γ“0, soitf :tÞÑ ^c_at

— Sib“0 eta“0 alors on prend α“^c₂,β“0 etγ“0, soitf :tÞÑ ₂^ct² On en déduit la proposition suivante

Soitpa, b, cq PR³, on considère l’équation différentielle

y²`ay¹`by“c (E)

3 situations sont alors possibles

— Sib‰0 alors f : R Ñ R t ÞÑ ^c_b

est une solution depEq

— Sib“0 eta‰0 alors f : R Ñ R t ÞÑ _a^ct

est une solution depEq

— Sib“0 eta“0 alors f : R Ñ R est une solution depEq Proposition 7

(10)

En combinant les solutions depHqet les solutions particulières depEqon obtient alors l’ensemble des solutions depEq.

Soitpa, b, cq PR³, on considère l’équation différentielle

y²`ay¹`by“c (E)

On définit f₀ par

— Sib‰0 alors f₀ : R Ñ R t ÞÑ ^c_b

— Sib“0 eta‰0 alors f0 : R Ñ R t ÞÑ ^c_at

— Sib“0 eta“0 alors f0 : R Ñ R t ÞÑ ^c₂t² On définit le polynôme P “X²`aX`b Plusieurs cas sont possibles

‚ Le polynômeP admet deux racines réelles distinctesλetµ. L’ensembleSdes solutions depEqest alors

S_H“ tÞÑAe^λt`Be^µt`f₀, pA, Bq PR²(

‚ Le polynômeP admet une racine doubleλ. L’ensembleSdes solutions depEqest alors SH“ tÞÑAe^λt`Bte^λt`f0, pA, Bq PR²(

‚ Le polynômeP admet deux racines complexes conjuguéesα`iβetα´iβ. L’ensemble S des solutions depEqest alors

S_H“ tÞÑe^αtpAcospβtq `Bsinpβtqq `f0, pA, Bq PR²( Théorème 8

Démonstration 8. Soitpa, b, cq PR³. On considère l’équation différentielle

y²`ay¹`by“c (E)

et son équation homogène associée

y²`ay¹`by“0 (H)

NotonsS l’ensemble des solutions depEqet S_H l’ensemble des solutions depHq.

Soity0 une solution particulière depEq.

Soit y une solution de pHq alors, d’après le principe de superposition, y `y0 est une solution de l’équation différentielley²`ay¹`by“c`0, c’est-à-dire depEq.

Ainsi

ty0`y , yPSHu ĂS

Soit maintenantf une solution depEqetg“f´y0. D’après le principe de superposition,g“f´y0

est une solution de l’équation différentielley²`ay¹`by“c´c, c’est-à-dire depHq.

Ainsi, comme f “y₀`g, f s’exprime bien comme la somme de la solution particulière y₀ et d’une solution de pHq.

D’où

S Ă ty₀`y , yPS_Hu Et donc

S “ ty0`y , yPS_Hu

Rem 18. A priori il semble y avoir 9 cas possibles mais si on regarde de plus près il n’y en a que 5.

En effet, sib“0 et a‰0 alorsP “X²`aX admet forcement deux racines réelles distinctes (0 et´a) et si a“b“0 alorsP “X² admet une racine double 0.

(11)

D Principe de superposition.

Principe de superposition pour les équations de degré 2 Soit pa, b, c1, c2q P R³ et soit pλ1, λ2q PR².

Soity1 une solution de l’équation différentielley²`ay¹`by“c1 et soity2une solution de l’équation différentielle y²`ay¹`by“c2.

Alorsλ1y1`λ2y2 est une solution dey²`ay¹`by“λ1c1`λ2c2. Théorème 9

Démonstration. Soitpa, b, c1, c2q PR³et soitpλ1, λ2q PR².

Soity1une solution de l’équation différentielley²`ay¹`by“c1et soity2une solution de l’équation différentielley²`ay¹`by“c2.

Soit alorsf “λ₁y₁`λ₂y₂. On af¹“λ₁y¹₁`λ₂y₂¹ etf²“λ₁y²₁`λ₂y₂². D’où

f²`af¹`bf“λ₁y₁²`λ₂y₂²`a`

λ₁y₁¹ `λ₂y¹₂˘

`bpλ₁y₁`λ₂y₂q

“λ₁`

y₁²`ay₁¹ `by₁˘

`λ₂`

y²₂`ay¹₂`by₂˘

“λ1b1`λ2b2

Ainsiλ1y1`λ2y2 est bien une solution dey²`ay¹`by“λ1b1`λ2b2.

Rem 19. Le principe de superposition est très utile en physique et en particulier en mécanique.

Considérons une solide de masseM soumis à deux forcesF~₁etF~₂que l’on suppose colinéaires à l’axe Ox. Le solide est alors en mouvement rectiligne et sa position au cours du tempsxptqvérifie le principe fondamental de la dynamique

M x²ptq “F₁`F₂

Il est parfois compliqué de résoudre cette équation différentielle. Toutefois le principe de superposition nous dit qu’il suffit de résoudre les équations différentielles

M x²ptq “F₁ etM x²ptq “F₂ et d’additionner les solutions.

E Problème de Cauchy.

Problème de Cauchy

Rem20. Il est important que les deux conditions initiales portent sur le même instantt0.

De même, pourpa, b, cq PR³,t0PRetpy0, y₀¹q PR² Le problème

pPq:

$

&

%

y²`ay¹`by“c ypt0q “y0

y¹pt0q “y¹₀

est appelé un problème de Cauchy pour les équations différentielles d’ordre 2. Il admet une unique solution.

Définition-Proposition 10

Démonstration. Admis

Exemple 3. On va résoudre le problème de Cauchy

pPq:

$

’&

’%

y²´8y¹`17y“5 yp0q “3

y¹p0q “ ´1

On a déjà vu que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle homogèney²´8y¹`17y“0 est

SH“ tÞÑe^4tpAcosptq `Bsinptqq , pA, Bq PR²(

(12)

Ainsi l’ensemble des solutions de l’équation différentielley²´8y¹`17y“5 est S“

"

tÞÑ 5

17`e^4tpAcosptq `Bsinptqq , pA, Bq PR²

*

SoitpA, Bq PR² et y : R Ñ R

t ÞÑ ₁₇⁵ `e^4tpAcosptq `Bsinptqq

On va déterminer les valeurs deAet B pour lesquellesyp0q “3 ety¹p0q “ ´1.

On a #

yp0q “₁₇⁵ `A y¹p0q “4A`B Ainsi

#A “3´₁₇⁵ B “ ´1´4A

D’où #

A “ ⁴⁶₁₇ B “ ´²⁰¹₁₇

Finalement l’unique solution de notre problème de Cauchy est

y : R Ñ R

t ÞÑ ^5`e

4tp46 cosptq´201 sinptqq 17

III Méthodes de résolution.

On en déduit une méthode pour résoudre les équations différentielles linéaires

‚ On résout l’équation homogènepE0q

‚ On trouve une solution particulière depEq.

‚ On obtient la forme générale des solutions depEqen additionnant notre solution par- ticulière à la forme générale des solutions depE0q.

‚ Si l’on est dans le cas d’un problème de Cauchy (avec condition(s) initiales), On détermine la constante pour trouver l’unique solution.

Méthode 1

jdzak

Méthode 2

IV Motivations

Les équations différentielles sont un outil fondamental en sciences dès que l’on cherche à modéliser des phénomènes évoluant dans le temps selon des lois données, que ce soit en physique, en chimie, en écologie voire en économie. On va donner plusieurs exemples de situations faisant intervenir des équations différentielles.

Exemple 4. 1. Cinétique d’une réaction chimique

Considérons un système réactionnel fermé, de volumeV constant, constitué d’un certain nombre d’espèces physicochimiques A, B, C, ...; on note rAsptq (resp.rBsptq, etc ) la concentration en espèceA.

Une réaction d’ordre 1 est une réaction de la forme : αAÑϕF `γG` ¨ ¨ ¨

Dans ce cas la concentration de A varie au cours du temps et sa vitesse de variation est propor- tionnelle à la quantité d’espèceA encore présente : Plus il y a d’espèce A, i.e. plus rAsptqest grand, plusrAsptqdécroit rapidement, i.e.rAs¹ptqest un grand nombre négatif.

(13)

Plus précisément la concentrationrAsdeAvérifie l’équation différentielle : rAs¹ptq “ ´αkrAsptq

oùkest la constante de vitesse de la réaction, qui ne dépend que de la température.

Les réactions d’ordre 1 sont notamment des réactions comportant un seul réactif (qui subit une décomposition, une isomérisation ...), ou dans lesquelles un soluté réagit avec le solvant.

— Décomposition du peroxyde d’hydrogène : 2H₂O_2paqq“2H₂O_plq`O_2pgq

— Décomposition du pentoxyde d’azote gazeux : 2N₂O_5pgq“4N O_2pgq`O_2pgq

— Isomérisation du cyclopropane en propène :pCH₂q3“CH₃´CH“CH₂

— Hydrolyse d’un chlorure organique : R´CL_paqq`H₂O_plq“R´OH_paqq`HCl_paqq Une réaction du type

A`BÑF`G

est appelée réaction d’ordre 2. Si on part de concentration initialerAs “a,rBs “b,rCs “ rDs “ 0 alors la concentrationxptq “ rCsptq “ rDsptqvérifie la loi de Van’t Hoff

x¹ptq “Kpa´xptqqpb´xptqq

2. Masse reliée à un ressort (Oscillateur harmonique linéaire)

On se place dans un repère orthonormépO, ~u, ~vqet on se donne un ressort de raideurk et de longueur au repos l₀. On attache une extrémité de ce ressort à un repère fixe d’abscisse 0 et l’autre extrémité à une massemqui repose sur le sol.

La masse est alors soumise à la tension du ressort, à la gravité et à la réaction du sol. On suppose que les frottements sont négligeables.

Quand la masse se trouve à une distancexptqdu repère fixe vertical elle subit alors une force de rappel

|F “ ´kpxptq ´l0q|u Le principe fondamental de la dynamique nous dit alors que

mx²ptq “ ´kpxptq ´l0q

3. Circuit RLC

On s’intéresse au montage suivant : On rappelle que :

— L’intensité iptqdu courant à travers le condensateur vérifie

@tě0 iptq “Cu¹_Cptq oùuCptqest la tension aux bornes du condensateur.

— La tensionuptqaux bornes de la bobine idéale vérifie

@tě0 u_Lptq “Li¹ptq oùiptqest l’intensité du courant traversant la bobine.

— La tension aux bornes de la résistance s’écrit

@tě0 uRptq “Riptq

Le générateur applique au circuit une tension eptq. Dans ces conditions, la tension aux bornes du condensateur,uCptqvérifie alors l’équation différentielle

@tě0 uCptq `RCu¹_Cptq `LCu²ptq “eptq 4. Modèles de populations

Depuis longtemps les scientifiques ont cherché à comprendre et prédire les évolutions dans la taille et la composition des populations humaines et animales.

Historiquement Malthus fut un des précurseur de ce que l’on appelle aujourd’hui l’écologie en

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oùaest un taux mixte de natalité/mortalité.

Par la suite Verhulst a amélioré ce modèle en considérant que les ressources naturelles sont limités, ce qui l’a mené à l’équation différentielle

x¹ptq “axptqpK´xptqq

Il y a bien d’autres modèles de population (et la recherche continue) sur lesquels on reviendra plus en détail plus tard dans l’année.

Dans ce chapitre on s’intéressera uniquement aux équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 à coefficients constants.

B Résolution de l’équation homogène.

Chapitre 13 : Équation linéaire du 1 ier et 2 sd ordre.

I Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 1

A Définition.

B Résolution de l’équation homogène.

C Solution particulière.

D Principe de superposition.

E Résolution de l’équation générale.

F Problème de Cauchy.

II Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 2

A Définition.

B Résolution de l’équation homogène

1 Cas ∆ ą 0

2 Cas ∆ “ 0

3 Cas ∆ ă 0

C Résolution de l’équation générale

D Principe de superposition.

E Problème de Cauchy.

III Méthodes de résolution.

IV Motivations

Chapitre 13 : Équation linéaire du 1 ^ier et 2 ^sd ordre.