e i π = -1
BCPST1 Fénelon Nicolas Clatin 2009
certains droits réservés ne peut pas être vendu OUTILS MATHÉMATIQUES
fiche 1
Angles
1.1 Mesures d’angles : radians et degrés.
Il existe deux systèmes (principaux) d’unité de mesure des angles, qui sont proportionnels l’un à l’autre : la mesure en radians et la mesure en degrés. La conversion est la suivante :
360◦= 2πrad (1)
0 90
180
270
360
en degrés
0 π/2
π
3π/2
2π
en radians
1.2 Le système degrés, minutes, secondes.
Il est aujourd’hui d’usage d’exprimer les fractions de degrés en dixièmes, centièmes, etc, c’est-à-dire selon le système métrique. Historiquement, cependant, le degré d’angle était subdivisé en60 min, chaque minute étant elle-même subdivisée en60 s, selon le même principe que la mesure du temps en heures, minutes, secondes. On a donc les correspondances suivantes :
1 min = 1′= 1/60◦ 1 s = 1′′= 1/60 min = 1/3600◦ (2) Par exemple, on peut encore trouver dans certains livres que l’angle entre deux liaisons C-H dans le méthane CH4 vaut109◦28 min. La valeur de cet angle en degrés est donc :109 + 28/60 = 109,47◦.
C H H H H
109° 28 min
En optique et en astronomie, le système degrés, minutes, secondes est encore courant. Le Soleil est vu depuis la Terre sous un angle de30 min; c’est-à-dire que l’angle entre les droites reliant l’œil de l’observateur et deux points diamétralement opposés sur le bord du Soleil vaut 30 min. La conversion en degrés est immédiate : cet angle vaut0,5◦.
Soleil 30 min
e i π = -1
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1.3 Trigonométrie.
Les unités d’angles des « fausses » unités, en ce sens que les angles sont des nombres sans dimension. En effet, ils sont définis comme un rapport de longueurs. Ainsi l’angle en radian est le rapport entre la longueur de l’arc de cercle correspondant à cet angle et la longueur du rayon du cercle :
θ(rad)= s
R (3)
R s
θ
En conséquence, la grandeur présente sous une fonction trigonométrique est nécessairement sans unité (ce ne peut être ni une longueur ni un temps, mais un rapport de longueurs ou un rapport de temps). On rappelle la définition géométrique des fonctions sinus, cosinus et tangente.
sinθ=L2
R cosθ= L1
R tanθ= sinθ cosθ= L2
L1
(4)
R θ L1
R θ L2
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