D.M. DE MATHEMATIQUES (3)

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D.M. DE MATHEMATIQUES (3)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

I- Le plan complexe est rapporté à un repère^{O ,}u ,vorthonormal direct. A tout point M du plan d'affixe z, différente de zéro, on associe les points M ' et M '' d'affixes respectives z' et z'' définies par

z'=izet z' '=z². 1. Cas particulier

Soit A le point d'affixe^a=²⁻ⁱet B le point d'affixe^b=2iOn appelle A' et A'' les points associés à A. On appelle B' et B'' les points associés à B.

a. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes a' et a'' des points A' et A''. Prouver que A est le milieu du segment [A' A' '] .

b. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes b' et b'' des points B' et B".

c. Calculer, sous forme algébrique, ^{b−b ' '}_{b−b '} . d. En déduire la nature du triangle BB'B''.

Représenter sur une figure, les points A, A', A'', B, B', B''.

2. Cas général

M est un point quelconque d'affixe z différente de zéro. N est le point d'affixe_^z. N ' et N '' sont les points associés au point N. On pose ^z=^xiyoù x∈ℝet y∈ℝ.

a. Prouver que, si z≠1 , l'angleMM ' ;MM ' 'a pour mesure un argument de ^z−1_i−1 . b. Déterminer une relation entre x et y pour que ^z−1_i−1 soit réel.

c. Démontrer que les points M, M ' et M '' sont alignés si et seulement si (1) y=−x1. d. On suppose que l'affixe de M est différente de 1 et que la relation (1) est vérifiée.

Prouver que NN 'N '' est un triangle rectangle en N.

II-1.Soit^unla suite définie par

{

^u^n1⁼ ^6−u⁹ⁿ^u⁰⁼⁻^{pour tout}¹ ^n∈ℕ

a. Démontrer que : pour tout réel x < 3, _6−x⁹ 3.

b. En déduire, par récurrence que pour tout n deℕ u_n3. c. Déterminer le sens de variation de u_n.

d. Démontrer que la suite^unest convergente et déterminer sa limite l.

2. Soitv_nla suite définie par : pour tout n deℕ, ^vn= 1 u_n−3 .

a. Démontrer quev_nest une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme ^v0et la raison r.

b. Calculer ^vn, puis^un, en fonction de n et retrouver la limite deu_n.