Mathématique ECS 1
Aborder un exercice.
Aborder un exercice commence par analyser son énoncé. Il faut lire l’énoncé plusieurs fois et dégager clairement ce que vous savez faire et ce qui nécessite un travail plus approfondi. Vous pouvez par exemple surligner les hypothèses fournies par l’énoncé.
On bloque souvent parce que l’on n’a pas à l’esprit toutes les hypothèses de l’énoncé : la si- tuation se débloque alors en se demandant quelles hypothèses n’ont pas encore été utilisées.
Il faut ensuite comprendre en détail les questions de l’énoncé en s’interrogeant sur la nature des questions et sur celle des données de l’énoncé. La question posée est elle :
– de nature existentielle ("Montrer qu’il existe. . . "),
– de nature logique (montrer une implication, une équivalence, . . . ), – de nature calculatoire (établir une égalité, une formule,. . . ).
1. Les questions existentielles.
Les questions existentielles sont souvent les plus difficiles car elles demandent de justifier l’existence d’un objet vérifiant certaines propriétés. Pour ces questions, on pourra par exemple, faire la liste des moyens d’obtenir une existence en s’interrogeant sur les résultats du cours qui concluent à une existence. En algèbre, on peut citer : la surjectivité d’une application, la division euclidienne, l’existence d’une racine dansCpour un polynôme non constant, la décomposition d’un vecteur sur une base, le théorème de la base incomplète, l’existence d’un supplémentaire en dimension finie, etc. . . En analyse, on pourra penser à : l”existence d’une borne supérieure (resp.
inférieure) pour une partie non vide et majorée (resp. minorée), l’existence d’une limite pour des suites adjacentes, l’existence d’une limite pour des suites montones, théorème de la limite monotone, théorème des valeurs intermédiaires, l’existence d’un point fixe pour une fonction, l’existence d’un maximum et minimum pour une fonction continue sur un segment, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, égalité de Taylor Lagrange, etc. . .
Mais il est possible aussi de montrer une existence en mettant en évidence une construction explicite de l’objet en question à partir des données et des hypothèses.
Pour montrer une unicité, on pourra par exemple considérer deux éléments vérifiant les même conditions et établir qu’ils sont égaux par exemple à l’aide d’un argument d’injectivité ou faire référence à un théorème du cours (à citer) qui l’affirme (théorèmes concluant par "il existe un unique . . . tel que. . . ")
2. Les questions de nature logique.
Si la question est de nature logique, s’agit il d’une implication ou d’une équivalence et dans ce cas ne pas oublier qu’une équivalence se montre par une double implication.
Ne pas oublier aussi que montrer une inclusionA⊂Bcommence par fixer arbitrairement un élémentx∈A(on commence par "Soitx∈A") puis on prouve quex∈B(on termine par ". . . donc x∈B"). De même, n’oubliez pas qu’ une égalité d’ensembleA=Bse montre à l’aide d’une double inclusion.
3. Les questions de nature calculatoire.
Si la question est d’établir une égalité ou une formule, on pourra par exemple, partir d’un membre et montrer qu’il est égal à l’autre ou montrer que les deux membres sont égaux à un même troisième. Se rappeler aussi qu’on ne compare bien que des choses de même nature : si vous avez à comparer une quantité à une intégrale ou à une somme, pensez à exprimer la différence sous la forme d’une seule intégrale ou d’une seule somme.
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4. Un travail de recherche dynamique.
Aborder un exercice doit se faire de manière dynamique : la recherche doit être active en ex- plorant les conséquences des données, des résultats intermédiaires trouvés. On peut aussi adop- ter en premier lieu, si on ne voit rien au début, une attitude expérimentale en partant d’un cas particulier, dégager la nature du cas général, entrevoir une solution et passer ensuite à sa justi- fication. Soyez également sensible à la symétrie des données : un argument de symétrie permet d’obtenir un résultat en travaillant deux fois moins.
Il est possible d’arriver à une solution par un autre chemin que celui proposé par la correction.
En cas de doute, n’hésitez pas à consulter votre professeur de mathématiques. Ce dernier se fera une joie de répondre à toute question intelligente, le sempiternel "je ne comprends pas..." n’en étant pas une1. . .
L’énoncé d’un exercice est souvent découpé en plusieurs questions. Si vous « calez »sur une question, revenez en arrière et relisez vos résultats en vous disant, et même si vous ne voyez rien, que la réponse à la question est dans l’imbrication des résultats précédemment obte- nus.
5. Pour conclure.
Connaître le cours est fondamental : je ne le répéterai jamais assez. Connaître son cours, ce n’est pas seulement se contenter d’une collection de résultats mais c’est savoir comment ils sont justifiés pour pouvoir les étendre ou pour s’ en inspirer.
Vous ne pourrez pas vous sortir d’affaire sans un minimum malheureusement très lourd de connaissances.
1. mais on y répondra quand même bien sûr !
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