- exemple 1 : éléments de l’analyse statistique - utilisation de Statistica

(1)

1

Chapitre 3 Expériences multifactorielles plans complets

Plan 2

²

- exemple 1 : éléments de l’analyse statistique - utilisation de Statistica

Plan 2

³

- exemple 2

Plan 2

⁴

- lien avec la régression - exemple 3

- exemple 4

C hapitre 3

5 à 15 facteurs

plans fractionnaires 2^{k – p} chapitre 4

PHASE ÉTAPES

1 Définir PROBLÈME / PROCESSUS - objectifs 2 Choisir les variables de RÉPONSE (S) Y à mesurer 3 Choisir les VARIABLES facteurs X - l’espace de variation 4 CONCEVOIR le plan expérimental

5 PRÉPARER pour l’expérience 6 CONDUIRE de l’expérience

7 ANALYSE statistique des résultats

8 AGIR avec les conclusions de l’analyse

EXPÉRIMENTATION : étapes

Planifi - cation

Exécution Analyse Transfert

étape 4 : quel plan ?

étape 7 : comment analyser ?

plans facteurs à 2 modalités : tamisage – optimisation discrète plans facteurs à 3 ou 5 modalités : prédiction - optimisation continue

(2)

Exemple 1 : réaction chimique

facteur niveau

A : concentration ( % ) réactif 15 = - 25 = + B : quantité ( lbs ) catalyseur 1 = - 2 = +

réponse Y : rendement réaction ( en % )

facteur A facteur B

espace

expérimental

essai A B Y1 Y2 Y3 total 1 - - 28 25 27 80

2 + - 36 32 32 100 3 - + 18 19 23 60 4 + + 31 30 29 90 Plan de 4 essais et 2 répétitions : n = 3 2

1

15 25 plan répétitions

1 2

3 4

PLAN 2 ²: 2 facteurs à 2 modalités Calcul des effets

effet principal de A = ef (A) = ( - 80 + 100 – 60 + 90) / (2*3) = 50 / 6 = 8.33 effet principal de B = ef (B) = ( - 80 – 100 + 60 + 90 ) / 6 = - 30 / 6 = - 5.00 effet interaction AB = ef (AB= ( + 80 - 100 – 60 + 90 ) / 6 = 10 / 6 = 1.67 effet général (col I) = ef (gen)= ( + 80 + 100 + 60 + 90 ) / 12 = 330 / 12 = 27.50

essai A B AB I Y1 Y2 Y3 total moyenne 1 - - + + 28 25 27 80 26.67

2 + - - + 36 32 32 100 33.34 3 - + - + 18 19 23 60 20.00 4 + + + + 31 30 29 90 30.00

colonnes A - B - AB : contrastes (comparaisons) c-à-d C = ∑ c_i Y_i où ∑ c_i= 0 c_i = ± 1

n = 3 produit scalaire 50 - 30 10 330 - 80 + 100 - 60 + 90 = 50

identité

(3)

PLAN 2 ²: 2 facteurs à 2 modalités analyse de la variance:

décomposition de la variabilité totale de Y générée par l’expérience SS _A = somme carrés de A = [ ef (A) * 6 ] ²/ 4 n = 50 ²/ 12 = 208.33 SS _B = somme carrés de A = [ ef (B) * 6 ] ²/ 4 n =-30²/ 12 = 75.00 SS _AB= somme carrés de AB = [ ef (AB) * 6 ] ²/ 4 n = 10 ²/ 12 = 8.33 SS_T= somme totale carrés = ∑ ( y – y ) ²= 323.00

SS_E= somme carrés erreur = SS _T - SS_A - SS _B -SS _AB= 31.34 tableau ANOVA

Source Somme carrés df carré moyen F p-value A SS_A= 208.33 1 208.33 53.15 0.0001 B SS_B= 75.00 1 75.00 19.13 0.0024 AB SS_AB= 8.33 1 8.33 2.13 0.1826 erreur SS_E = 31.34 8 3.92 = σ²

total SS_T= 323.00 11

PLAN 2 ²: 2 facteurs à 2 modalités

Variables de codage et équation de prédiction variables de codage

facteur variable de codage A x _A= ( A - 20 ) / 5 B x _B= ( B - 1.5 ) / 0.5

Y en fonction des variables de codages

Y = 27.5 + ( 8.33 / 2 ) * x _A + ( - 5.00 / 2) * x _B + ( -1.67 / 2) * x _A*x _B

= 27.25 + 4.615 * x _A- 2.50 * x _B– 0.835 *x _A* x _B Y en fonction des variables d’origine A et B

Y = 27.25 + 4.165 * (A – 20) / 5 - 2.50 * (B – 1.5) / 0.5

– 0.835 * (A - 20 ) / 5 *(B -1.5) / 0.5

= 31.31 + 0.22 * A – 8.89 * B + 0.22 *A * B ( 15 + 25 ) / 2 = 20 ( 25 - 15 ) / 2 = 5

A X _A 15 20 25

-1 0 1

B X _B 1 1.5 2

-1 0 1 ( 1 + 2 ) / 2 = 1.5 ( 2 - 1 ) / 2 = 0.5 A = 5 * x _A+ 20

B = 0.5 * x _B+ 1.5

(4)

Variables de codage et équation de prédiction variables de codage

facteur variable de codage A x _A= ( A - 20 ) / 5 B x _B= ( B - 1.5 ) / 0.5

Y en fonction des variables de codages

Y = 27.5 + ( 8.33 / 2 ) * x _A + ( - 5.00 / 2) * x _B + ( -1.67 / 2) * x _A*x _B

= 27.25 + 4.615 * x _A- 2.50 * x _B– 0.835 *x _A* x _B Y en fonction des variables d’origine A et B

Y = 27.25 + 4.165 * (A – 20) / 5 - 2.50 * (B – 1.5) / 0.5 – 0.835 * (A - 20 ) / 5 *(B -1.5) / 0.5

= 31.31 + 0.22 * A – 8.89 * B + 0.22 *A * B ( 15 + 25 ) / 2 = 20 ( 25 - 15 ) / 2 = 5

A X _A 15 20 25

-1 0 1

B X _B 1 1.5 2

-1 0 1 ( 1 + 2 ) / 2 = 1.5 ( 2 - 1 ) / 2 = 0.5 A = 5 * x _A+ 20

B = 0.5 * x _B+ 1.5

PLAN 2 ²: 2 facteurs à 2 modalités Plans d’expériences avec Statistica

(5)

29 2

25 3

12

23 2

10 3

11

32 1

25 3

10

27 1

10 3

9

30 2

25 2

8

19 2

10 2

7

32 1

25 2

6

25 1

10 2

5

31 2

25 1

4

18 2

10 1

3

36 1

25 1

2

28 1

10 1

1

Y rend B

cataly A

Répét. conc

Exemple 1: réaction

choisir les onglets : dans l’ordre - Modèle (spécification )

- ANOVA/effets

(6)

Effets Estimés ; Var.:Y rend; R²=.90299; Aj.:.86662 MC Résidus=3.916667 VD: Y rend

0.833 0.1828

1.46 1.143

1.667 1 * 2

-2.500 0.0024

-4.38 1.143

-5.000 (2) B cataly

4.167 0.0001

7.29 1.143

8.333 (1) A conc

27.500 0.0000

48.14 0.571

27.500 Moy/Ord.Orig

(coeffs) p

Err- t(8) Effet Type

D iag ramm e d e Pa reto des Effe ts Sta nda rd isés VD : Y rend

1.45865

-4.37595

7.29325

p=.05

Es timation de l'Ef f et Standardis é (V aleur A bs olue) 1*2

(2)B c ataly (1)A c onc

Exemple 1:

réaction

ANOVA; Var.:Y rend; R²=.90299; Aj.:.86662 MC Résidus=3.916667 VD: Y rend

11 323.00 Total SC

3.92 8

31.33 Erreur

0.182776 2.13

8.33 1

8.33 1 * 2

0.002362 19.15

75.00 1

75.00 (2)B cataly

0.000084 53.19

208.33 1

208.33 (1)A conc

p F

MC dl

SC t (8) = ( F )^0.5

7.29 4.38 1.46 σ= (3.92) ^0.5

= 1.978 Exemple 1:

réaction

(7)

Moyennes Marginales et Limites de Confiance ( 95.%) VD: Y rend

Plan : 2**(2-0)

NOTE : Erreurs -types des moy. bas ées sur MC Erreur= 3.916667

B cataly 1 B cataly

10 25 2

A conc 15

20 25 30 35 40

Y rend

Max Y : A = 25 B = 1 Exemple 1:

réaction

Fitted Surface; Variable: Y rend 2**(2-0) design; MS Residual=3.916667

DV: Y rend

34 32 30 28 26 24 22 20

Fitted Surface; Variable: Y rend 2**(2-0) design; MS Residual=3.916667

DV: Y rend

34 32 30 28 26 24 22 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 20

A conc -1.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

B cataly

Exemple 1: réaction

(8)

Droite de Henry ; Résidus Bruts 2**(2-0); MC Résidus =3.916667

VD: Y rend

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Résidus

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Valeur Normale Théorique

.01 .05 .15 .35 .55 .75 .95 .99

Valeurs Prévues vs. Résidus 2**(2-0); MC Résidus =3.916667

VD: Y rend

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

Valeurs Prévues -3.0

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Résidus Bruts

Analyse des résidus Exemple 1: réaction

plan 2

³

- 8 essais et matrice augmentée

1 1

1 1 1

8

-1 1

-1 -1 1

1 -1

7

-1 -1

1 -1 1

-1 1

6

1 -1

-1 1

1 -1 -1

5

-1 -1

-1 1

1 4

1 -1

1 -1 -1

1 -1

3

1 1

-1 -1 -1

-1 1

2

-1 1

1 1

-1 -1

-1 1

ABC BC

AC C AB

A B Ordre

standard

design et effets principaux

effets d’interaction

double

Y Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8

interaction triple

matrice augmentée : modèle pour l’analyse statistique matrice

augmentée

= ⁺ ⁺

(9)

17

- colonnes AB, AC, BC, et ABC sont obtenues par multiplication – exemple AB = A x B

- engendre un maximum de 7 comparaisons appelés CONTRASTES

C = ∑ c

_i

Y

_i où ∑

c

_{i = 0}

c

_i = ± 1 - les contrastes sont indépendants car orthogonaux

j ≠ j ’ ∑ c

_{i j}

c

_{i j ’}

= 0

séparation des effets - les contrastes transforment la réponse Y pour obtenir

- les effets principaux de A - B - C - les effets d’interaction double AB - AC - BC - l’effet d’interaction triple ABC

- possibilité d’employer la matrice avec plus de 3 facteurs

matrice augmentée : propriétés

A : gaz carbonique ( %) : 10 et 12 B : pression (psi) : 25 et 30

C : vitesse remplissage ( bout. / min) : 200 et 250 Y : déviation par rapport hauteur cible

Exemple 2

processus de remplissage bouteilles boisson gazeuses

5 250

30 12

2 16

1 250

30 10

2 15

1 250

25 12

2 14

0 250

25 10

2 13

3 200

30 12

2 12

0 200

30 10

2 11

1 200

25 12

2 10

-1 200

25 10

2 9

6 250

30 12

1 8

1 250

30 10

1 7

2 250

25 12

1 6

-1 250

25 10

1 5

2 200

30 12

1 4

-1 200

30 10

1 3

0 200

25 12

1 2

-3 200

25 10

1 1

Y écart nominal C

vitesse B

pression A

gaz carbon Rep

Plan 2 ³ avec 1 répétition n = 2

(10)

19 Chapitre 3 1

1 1 1

1 1

1 8

-1 1

-1 -1

1 1

-1 7

-1 -1 1 -1 1

-1 1

6

1 -1 -1 1

1 -1

-1 5

-1 -1 -1 1

-1 1

1 4

1 -1 1 -1 -1

1 -1 3

1 1

-1 -1

1 2

-1 1

1 1

-1 -1

-1 1

ABC BC

AC C AB

A B

essai Y1 Y2 total

- 3 - 1 - 4 0 1 1 - 1 0 - 1

2 3 5 - 1 0 - 1 2 1 3 1 1 2 6 5 11

I 1 1 1 1 1 1 1 1 C=Contraste 24 18 14 6 2 4 4 16

÷ 4 n 3.00 2.25 1.75 0.75 0.25 0.50 0.50 1 effet général n = 2

SS=C²/16 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00

Exemple 2

Analyse avec Statistica

ANOVA; Var.:Y écart nominal; R-sqr=.9359; Adj:.87981;

MS Residual=.625 DV: Y écart nominal

15 78.00 Total SS

0.63 8

5.00 Error

0.2415 1.60

1.00 1

1.00 1*2*3

0.2415 1.60

1.00 1

1.00 2 by 3

0.5447 0.40

0.25 1

0.25 1 by 3

0.0943 3.60

2.25 1

2.25 1 by 2

0.0022 19.60

12.25 1

12.25 (3)C vitesse

0.0005 32.40

20.25 1

20.25 (2)B pression

0.0001 57.60

36.00 1

36.00 (1)A gaz carbon

p F

MS df

SS

(11)

Exemple 2

processus de remplissage bouteilles boisson gazeuses Pareto Chart of Standardized Effects

.6324555 1.264911 1.264911

1.897367

4.427189 5.6921

7.589466

p=.05

Standardized Effect Estimate (Absolute Value) 1by3

2by3 1*2*3 1by2 (3)C vitesse (2)B pression (1)A gaz carbon

0.1250 0.5447

0.632 0.395 1 by 3 0.25

0.2500 0.2415

1.265 0.395 2 by 3 0.50

0.2500 0.2415

1.265 0.395 1*2*3 0.50

0.3750 0.0943

1.897 0.395 1 by 2 0.75

1.0000 0.0010

5.060 0.198 Mean/Interc. 1.00

0.8750 0.0022

4.427 0.395 (3)C vitesse 1.75

1.1250 0.0005

5.692 0.395 (2)B 2.25

pression

1.5000 0.0001

7.589 0.395 (1)A gaz 3.00

carbon

Coeff.

p Std.Err t(8)

Effect .

Exemple 2

Fitted Surface; Variable: Y écart nominal 2**(3-0) design; MS Residual=.625

DV: Y écart nominal

4 3 2 1 0 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -1

A gaz carbon -1.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

B pression

Fitted Surface; Variable: Y écart nominal 2**(3-0) design; MS Residual=.625

4.69 4 3 2 1 0 -1

zone recherchée Y = écart = 0

(12)

Normal Prob. Plot; Raw Residuals 2**(3-0) design; MS Residual=.625

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Residual -3.0

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Expected Normal Value

.01 .05 .15 .35 .55 .75 .95 .99

Predicted vs. Residual Values 2**(3-0) design; MS Residual=.625

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Predicted Values -1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Raw Residuals

Analyse des résidus

Notation : plan factoriel complet 2

⁴

4 facteurs A, B, C, D variant à 2 valeurs : - (min) et + (max) matrice du plan iden. Réponse

essai A B C D id. Y

1 - - - - (1) y1

2 + - - - a y2

3 - + - - b y3

4 + + - - ab y4

5 - - + - c y5

6 + - + - ac y6

7 - + + - bc y7

8 + + + - abc y8

9 - - - + d y9

10 + - - + ad y10

11 - + - + bd y11

12 + + - + abd y12 13 - - + + cd y13 14 + - + + acd y14 15 - + + + bcd y15 16 + + + + abcd y16

chaque ligne représente un traitement identification présence d’une lettre minuscule implique que le facteur prend la modalité +

ordre standard colonne 1 (A) alternance des signes - + colonne 2 (B) alternance - - + + etc

(13)

25

Analyse plan 16 essais : cas particulier régression

y16 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

y15 -1

1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1

y14 -1

-1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1

y13 1

-1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1

y12 -1

-1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1

y11 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

y10 1

1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1

y9 -1 1

1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1

y8 -1 -1

-1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1

y7 1

-1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1

y6 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1

y5 -1 1

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1

y4 1

1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1

y3 -1 1

-1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1

y2 -1 -1

1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1

y1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1

Y ABCD BCD

ACD ABD ABC CD BD BC AD AC AB D C B

I A

p l a n interactions doubles interactions triples

Matrice X

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

- colonnes AB, AC, BC, ABC, … sont obtenues par multiplication AB = A x B, … BCD =B x C x D ….

- engendre un maximum de 15 comparaisons appelés CONTRASTES

C = ∑c_iY_i où ∑c_i = 0 c_i = ± 1

- les contrastes sont indépendants : produit de 2 colonnes = 0 séparation des effets

- les contrastes transforment la réponse Y pour obtenir - les 4 effet principaux : A - B - C - D

- les 6 effets d’interactions doubles : AB - AC - AD – BC – BD -CD - les 4 effets d’interaction triples : ABC – ABD – ACD - BCD - l’interaction quadruple : ABCD

- possibilité d’employer la matrice avec plus de 4 facteurs matrice X : propriétés

Analyse du plan de 16 essais

(14)

27 modèle et données y _i =

∑

^β_j^x_ij ^{+ ε}_i i = 1, 2, ,…, 16

y i : réponse observée à l’essai ( traitement i ) βj : coefficients du modèle à estimer j = 0, 1,.., 15 x ij : constantes connues ( ± 1) - colonnes de la matrice x i0 = 1 i = 1, 2, ,…, 16

j = 0 15

Propriétés matrice X orthogonale

∑

_{x ij} ⁼⁰

∑

_{x ij}² ⁼¹⁶

∑

_{x ij x ij’} ^{= 0}^{j ≠} ^j’

conséquence : simplification des calculs de régression

n données (répétitions) chaque essai y _i1, y _{i 2} ,…, y _{i n} y _i =

∑

^y_ik / n : moyenne de l’essai

s _i² =

∑

^{( y}_ik ^-^y_i⁾²/ ( n - 1 ) : variance de l’essai y =

∑

^y_i / 16 : grande moyenne

k k

Analyse du plan de 16 essais

Estimation β moindres carrés

β ₀ = y β_j =

∑

^x_ij^y_i ^/¹⁶

Modèle ajusté y _i = β₀ + β₁x_{i 1} + β₂x_{i 2}+ … + β₁₅x_{i 15} Estimation de l’erreur expérimentale σ

σ²=

∑

s _i²

/

¹⁶ estimation directe (erreur pure) remarque si n = 1 plan sans répétition

- estimation indirecte basée sur somme des carrés résiduels après l’ajustement du modèle: dépend du modèle ! - autre méthode pour juger de l’importance des effets:

- effets placés sur « half normal prob plot » - méthdode de Lenth

Analyse du plan de 16 essais

(15)

29 ANOVA : décomposition de la variabilité

SS_TOT =

∑ ∑

(y _ik – y ) ² : variabilité totale

SS_MOD = n

∑

^{( y}_i ^{– y )}² : variabilité expliquée modèle ( inter ) SS_INTRA=

∑ ∑

^(y_ik ^{– y}_i ⁾² : intra variabilité = 16 σ²= SS_ERREUR SS_TOT= SS_MOD + SS_INTRA : décomposition de la variabilité

SS_MOD= 16n

∑

^β_j2 : décomposition orthogonale des effets Degrés de liberté

df _TOT = 16n – 1 : degrés de liberté de SS_TOT df _MOD = 15 : degrés de liberté de SS_MOD

df _INTRA = 16(n – 1) : degrés de liberté de SS_INTRA

Analyse du plan de 16 essais

Tableau d’analyse de la variance

SOURCE SOMME CARRÉS (SS) dl carrés moyens (MS) F ( ou T ) (*)_

modèle SS_MOD 15 MSMOD MS_MOD/ σ²

x₁ 16n β₁² 1 16n β₁² 16n β₁²/ σ²

. . 1 . .

x₁₅ 16n β₁₅² 1 16n β₁₅² 16n β₁₅²/ σ²

erreur SSERREUR 16 (n-1) MS_INTRA= σ² ---

totale SSTOT 16n – 1 ---

Analyse du plan de 16 essais

(

*

) Les tests de signification F des coefficientsβ (de chaque x ) sont équivalents aux tests faits avec la loi T de Student

(16)

31

fissures à minimiser

A : temp B: contenu titanium C : traitement chaleur D: quantité rafineur

plan 2⁴n = 2

A B C D Y1 Y2 -1 -1 -1 -1 1.71 1.91

1 -1 -1 -1 1.42 1.48 -1 1 -1 -1 1.35 1.53 1 1 -1 -1 1.67 1.55 -1 -1 1 -1 1.23 1.38 1 -1 1 -1 1.25 1.26 -1 1 1 -1 1.46 1.42 1 1 1 -1 1.29 1.27 -1 -1 -1 1 2.04 2.19 1 -1 -1 1 1.86 1.85 -1 1 -1 1 1.79 1.95 1 1 -1 1 1.42 1.59 -1 -1 1 1 1.81 1.92 1 -1 1 1 1.34 1.29 -1 1 1 1 1.46 1.53 1 1 1 1 1.38 1.35

Effets Estimés ; Var.:Y long fis; R²=.87285; Aj.:.76813 MC Résidus=.0162296 VD: Y long fis

0.9238 -0.097

0.0450 -0.0044

1*3*4

0.8376 -0.208

0.0450 -0.0094

1 * 3

0.7952 -0.264

0.0450 -0.0119

2*3*4

0.7743 -0.291

0.0450 -0.0131

1*2*4

0.7535 -0.319

0.0450 -0.0144

1*2*3

0.4558 -0.763

0.0450 -0.0344

3 * 4

0.0913 1.790

0.0450 0.0806

2 * 3

0.0572 2.040

0.0450 0.0919

1 * 2

0.0281 -2.401

0.0450 -0.1081

2 * 4

0.0224 -2.512

0.0450 -0.1131

1 * 4

0.0159 -2.678

0.0450 -0.1206

(2)B

0.0002 -4.732

0.0450 -0.2131

(1)A

0.0001 4.982

0.0450 0.2244

(4)D

0.0000 -6.480

0.0450 -0.2919

(3)C

0.0000 69.312

0.0225 1.5609

Moy/Ord.Orig

p t(17)

TypeErr- Effet

Exemple 3 fissures

ANOVA; Var.:Y long fis; R²=.87285; Aj.:.76813 MC Résidus=.0162296 VD: Y long fis

31 2.1699 Total SC

0.0162 17 0.2759 Erreur

0.7952 0.070

0.0011 1 0.0011 2*3*4

0.9238 0.009

0.0002 1 0.0002 1*3*4

0.7743 0.085

0.0014 1 0.0014 1*2*4

0.7535 0.102

0.0017 1 0.0017 1*2*3

0.4558 0.582

0.0095 1 0.0095 3 * 4

0.0281 5.763

0.0935 1 0.0935 2 * 4

0.0913 3.204

0.0520 1 0.0520 2 * 3

0.0224 6.308

0.1024 1 0.1024 1 * 4

0.8376 0.043

0.0007 1 0.0007 1 * 3

0.0572 4.161

0.0675 1 0.0675 1 * 2

0.0001 24.816

0.4028 1 0.4028 (4)D

0.0000 41.993

0.6815 1 0.6815 (3)C

0.0159 7.172

0.1164 1 0.1164 (2)B

0.0002 22.390

0.3634 1 0.3634 (1)A

p F

MC dl SC Diagramme de Pareto

des Effets Standardisés VD: Y long fis

-.097134 -.208143

-.263648 -.291401 -.319153

-.763192 1.790032

2.039804 -2.40059

-2.5116 -2.67811

-4.73179 4.981563

-6.48019

p=.05

Estimation de l'Effet Standardisé (Valeur Absolue) 1*3*4

1*3 2*3*4 1*2*4 1*2*3 3*4 2*3 1*2 2*4 1*4 (2)B (1)A (4)D (3)C

(17)

33

Exemple 3 fissures

S u r fa c e & C o n to u r s D é s i r a b i l i té ; A j u s te m e n t S p l i n e

1 .0 2 0 .9 8 0 .9 4 0 .9 0 .8 6 0 .8 2 -1 .2

- 1 .0- 0 .8 - 0 .6- 0 .4

- 0 .20 .0 0 .20 .4

0 .60 .8 1 .01 .2 A - 1 .2 - 1 .0 - 0 .8 - 0 .6 - 0 .4 - 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .2

B

1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 -1 .2

- 1 .0- 0 .8 - 0 .6- 0 .4

- 0 .20 .0 0 .20 .4

0 .60 .8 1 .01 .2 A - 1 .2 - 1 .0 - 0 .8 - 0 .6 - 0 .4 - 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .2

C

0 .9 5 0 .9 0 .8 5 0 .8 0 .7 5 0 .7 0 .6 5 - 1 .2

- 1 .0- 0 .8 - 0 .6- 0 .4

- 0 .20 .0 0 .20 .4

0.60 .8 1 .01 .2 B - 1 .2 - 1 .0 - 0 .8 - 0 .6 - 0 .4 - 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .2

C

1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 -1 .2

- 1 .0- 0 .8 - 0 .6- 0 .4

- 0 .20 .0 0 .20 .4

0 .60 .8 1 .01 .2 A - 1 .2 - 1 .0 - 0 .8 - 0 .6 - 0 .4 - 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .2

D

1 .0 2 0 .9 8 0 .9 4 0 .9 0 .8 6 - 1 .2

- 1 .0- 0 .8 - 0 .6- 0 .4

- 0 .20 .0 0 .20 .4

0.60 .8 1 .01 .2 B - 1 .2 - 1 .0 - 0 .8 - 0 .6 - 0 .4 - 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .2

D

1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 -1 .2

- 1 .0- 0 .8 - 0 .6- 0 .4

- 0 .20.0 0 .20 .4

0 .60 .8 1 .01 .2 C - 1 .2

- 1 .0 - 0 .8 - 0 .6 - 0 .4 - 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .2

D

P r o f i l s d e s V a l e u r s P r é v u e s e t D é s i r a b i l i t é A

. 8 0 0 0 0 1 . 2 2 5 3 2 . 6 0 0 0

B C D D é s i r a bi l i t é

1 . . 5 0 .

1.23001.71002.1900 Y long fis

- 1 . 1 .

1 . 0 0 0 0

- 1 . - . 5 1 . - 1 . 1 . - 1 . 1 .

Désirabilité

minimum de Y

choix des modalités de A B C D ? (3)C - 0.2919 (4)D 0.2244 (1)A - 0.2131 (2)B - 0.1206 1*4 - 0.1131 2*4 - 0.1081

A = + B = - C = + D = -

fonction de désirabilité de Y 1 si y ≤1.23 (min observé) d ( Y ) = linéaire entre 1.23 et 2.17

0 si y ≥2.17 (max observé)

1.23 2.17 y

d 1 0

Exemple 3 fissures

D r oite d e H e n ry ; R és i du s B r uts 2 * *(4 -0); MC R é s id us =.0 13 3 43 6

VD : Y lo n g fis

-0 .3 -0 .2 -0 .1 0 . 0 0 .1 0 .2 0 .3

R é s id u s -3 .0

-2 .5 -2 .0 -1 .5 -1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0

Valeur Normale Théorique

.0 1 .0 5 .1 5 .3 5 .5 5 .7 5 .9 5 .9 9

Valeurs Prévues vs. Résidus 2**(4-0); MC Résidus =.0133436

VD: Y long fis

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

Valeurs Prévues -0.3

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

Résidus Bruts

Valeurs Observées vs . Prévues 2**(4-0); MC Résidus =.0133436

VD: Y long fis

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3

Valeur Observée 1.0

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

Valeur Prévue

Analyse des résidus

- exemple 1 : éléments de l’analyse statistique - utilisation de Statistica

Chapitre 3 Expériences multifactorielles plans complets

Plan 2

- exemple 1 : éléments de l’analyse statistique - utilisation de Statistica

Plan 2

- exemple 2

Plan 2

- lien avec la régression - exemple 3

- exemple 4

EXPÉRIMENTATION : étapes

plan 2

- 8 essais et matrice augmentée

= + +

C = ∑ c

Y

c

c

j ≠ j ’ ∑ c

c

= 0

matrice augmentée : propriétés

Notation : plan factoriel complet 2

Analyse du plan de 16 essais

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Analyse du plan de 16 essais

∑

∑

/

Analyse du plan de 16 essais

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

Analyse du plan de 16 essais

Analyse du plan de 16 essais

*

= ⁺ ⁺