Chapitre 3 : Statistique

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Chapitre 3 : Statistique

I. Etude d’une série statistique

Effectuer une étude statistique consiste à recueillir, présenter et exploiter des informations sur une propriété appelée caractère étudiée pour chaque élément ou individu d’un ensemble aussi appelé population

On appelle série statistique la donnée des différentes valeurs ou modalités prises par le caractère, accompagnées chacune par le nombre d’individus prenant cette valeur ou cette modalité.

Soit une série statistique sur une population :

 l’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui correspond à cette valeur

 l’effectif total est la somme totale des individus de la population. On la notera N

Définition 1 :

Pour une valeur d’effectif n on peut calculer sa fréquence f :

Remarques :

f est un nombre toujours compris entre 0 et 1.

Souvent, les fréquences s’expriment par un pourcentage.

La somme fréquences est toujours égale à 1.

Exemples 1 et 2

Définition 2 :

Soit une série statistique à caractère quantitatif.

L’effectif cumulé croissant ( resp. décroissant ) d’une valeur x est le nombre total d’individus associés à des valeurs inférieurs (resp . supérieur ) ou égale à x.

On définie de la même manière la fréquence cumulée croissante ou décroissante.

Exemples :

Dans l’exemple 1, le nombre d’hommes aillant une pointure d’au moins 46 est de 37 (ECD) Dans l’exemple 2, la fréquence d’élèves mesurant moins de 170 cm est de (FCC)

II. Les différentes représentations graphiques d’une série

1. Nuage de points

Reprenons les données de l’exemple 1 du I :

Dans un repère du plan, on représente les points dont l’abscisse est donnée par la pointure et l’ordonnée par l’effectif correspondant.

Exp : ( 38 ; 8 ) , (39 ; 56 ) , ( 42 ; 163) …

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2. Diagramme en bâtons

Répartition des notes des élèves d’une classe au premier contrôle d’Anglais

Note au 1°

contrôle

6 7 8 9 10 11 12 13 14 effectif 3 3 5 4 2 6 4 1 1

3. Histogramme

Le tableau suivant donne la répartition des élèves de 1°ES dans un établissement scolaire selon leur taille en cm.

On construit des rectangles dont un côté est la classe considérée et dont l’aire est proportionnelle à l’effectif.

Quel est l’effectif total ? 100

4. Camembert ou secteurs circulaires

Voici la répartition des établissements commerciaux de Charente selon leur type (secteur automobile -commerce de gros –commerce de détail) (source INSEE 2000)

Secteur automobile

Commerce de gros

Commerce de détail

Total

effectif 732 1180 2476 4388

5. Courbe des fréquences cumulées

La courbe des fréquences cumulées relie le nuage de points qui correspondent aux effectifs cumulés croissants

Exemple : Reprenons la série de l’exemple 1du I :

Pointure 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

effectif 8 56 105 138 163 209 161 123 32 2 3 Effectif cumulé croissant 8 64 169 307 470 679 840 963 995 997 1000

Fréquence cumulée croissante (en %)

0,8 6,4 16,9 30,7 47 67,9 84 96,3 99,5 99,7 100 Taille [140 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 180[ [180 ; 200[

effectif 12 40 34 14

Donner la mesure en degrés de l’angle du secteur correspondant au commerce de détail :

Série1;

secteur automobile

; 732; 17%

Série1;

commerce de gros;

1180; 27%

Série1;

commerce de détail;

2476; 56%

Commerces en Charente

secteur automobile commerce de gros commerce de détail

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III. Indicateurs de position d’une série statistique Définition :

La moyenne d’une série statistique est obtenue en divisant la somme des valeurs du caractère par le nombre total de valeurs

Exemple :

1) calcul de la moyenne à partir des effectifs.

On a relevé le nombre de livres lus par les élèves de 2

^de

pendant les vacances

Nombre de livres 0 1 2 3 5 7

Effectifs 5 6 11 5 2 1

Combien d’élève ont été interrogé ? 5+6+11+5+2+1 = 30 , 30 élèves sont interrogés Calculons la moyenne M : M =

Les élèves ont lu en moyenne 2 livres pendant les vacances.

2) calcul de la moyenne à partir des fréquences.

On a relevé le nombre de livres lus par les élèves de 2

^de

pendant les vacances

Nombre de livres 0 1 2 3 4 5

Fréquences 22% 41% 29% 5% 2% 1%

Calculons la moyenne M :

M =

Les élèves ont lu en moyenne 1.27 livres pendant les vacances.

Le nombre d’élèves était-il nécessaire ? Non car à l’aide des fréquences on peut se ramener à un effectif de 100.

Définition :

Les valeurs du caractère étant rangées dans l’ordre croissant, la médiane d’une série statistique est la valeur du caractère qui partage la série en deux groupes de même effectif : 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane

50% des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane Remarque :

Lorsque la série statistique a un nombre impair N de caractères, la médiane est la valeur placée à la N + 1

2 place.

Lorsque la série statistique a un nombre pair N de caractères, la médiane est la demi-somme des valeurs aux rangs N

2 et N

2 + 1

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Exemple:

On a relevé les âges des membres d’un club de natation : 12 15 16 17 19 25 38 40 42 Calculer la médiane de cette série statistique.

Il y a 9 membres dans ce club. La médiane est donc la valeur située au 9+1

2 rang c’est-à-dire au 5

^ème

rang

La médiane de cette série est donc 19

50% des membres du club ont moins de 19 ans. 50% des membres du club ont plus de 19 ans.

IV. Indicateur de dispersion d’une série statistique

Définition 5 : Les valeurs du caractère étant rangées dans l’ordre croissant

Le 1

^er

quartile Q

1

est la plus petite valeur du caractère telle qu’au moins 25% (le quart) des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Le 3

^ème

quartile Q

3

est la plus petite valeur du caractère telle qu’au moins 75% (les trois quarts) des valeurs lui sont inférieures ou égales.

L’étendue d’une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère.

Exemple :

On considère la série statistique : 8 10 11 13 14 16 17 18 20 25

Cette série de 10 valeurs est dans l’ordre croissant. L’étendue de cette série est de

10 étant un nombre paire, la médiane M de cette série est la demi-somme entre la 5ème valeur et la 6ème valeur : M =

La médiane est donc 15.

Calcul du 1

^er

quartile Calcul de 3

^ème

quartile On calcule 25% de 10 :

25 100 x 10 = 2.5

Le 1

^er

quartile est donné par la 3

^ème

valeur :

( 3 valeurs lui sont inférieures ou égales et 7 lui sont supérieures)

On calcule 75% de 10 : 75

100 x 10 = 7.5

Le 3

^ème

quartile est donné par la 8

^ème

valeur :

( 8 valeurs lui sont inférieures ou

égales et 2 lui sont supérieures)

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Exemple 1

On a interrogé 1000 hommes en leur demandant leur pointure de chaussures et l’on a regroupé les résultats dans le tableau suivant :

Pointure 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 effectif 8 56 105 138 163 209 161 123 32 2 3

 La population est : ………

 Un individu est : ……….

 Le caractère étudié est : ………

 L’effectif total de la série est : ……….

 La fréquence des individus de pointure 42 est : ……….………

Exemple 2

Taille [140 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 180[ [180 ; 200[

 Le caractère étudié est : ……… .

 La fréquence des élèves de cette classe mesurant plus de 170 cm est : ………

Exemple 1

On a interrogé 1000 hommes en leur demandant leur pointure de chaussures et l’on a regroupé les résultats dans le tableau suivant :

Pointure 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 effectif 8 56 105 138 163 209 161 123 32 2 3

 Le caractère étudié est : ………

 La fréquence des individus de pointure 42 est : ……….………

Exemple 2

Taille [140 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 180[ [180 ; 200[

 Le caractère étudié est : ……… .

 La fréquence des élèves de cette classe mesurant plus de 170 cm est : ………