Théorème du seuil et bulles en interaction pour l’équation des applications ondulatoires critique

Théorème du seuil et bulles en interaction

pour l’équation des applications ondulatoires critique

Jacek Jendrej, CNRS

Cours de la fondation Claude-Antoine Peccot, 2019

Chapitre 1

Introduction

1.1 Objectif du cours

Ce cours est consacré à l’étude du comportement en temps long d’une certaine équation des ondes non linéaire que l’on spécifiera dans un instant. On s’intéressera en particulier aux questions suivantes :

— Est-ce que les effets non linéaires deviennent négligeables en 1ère approximation en temps long ?

— Quel est le rôle des solutions stationnaires ?

— Existence d’orbites homoclines/hétéroclines...

1.2 Description du modèle

1.2.1 Applications ondulatoires

L’équation wave maps est une généralisation de l’équation des ondes linéaire au cas des appli- cations à valeurs dans une variété riemannienne.

Définition 1.2.1. Soit (M

ⁿ⁺¹

, g) une variété lorentzienne et (N

^k

, h) une variété riemannienne. On dit qu’une fonction lisse Φ : M → N est une application ondulatoire si Φ est un point critique du lagrangien

L (Φ) = 1 2

Z

M

“ |dΦ|

²_HS

” = 1 2

Z

M

g

^αβ

h

_ab

∂

_α

Φ

^a

∂

_β

Φ

^b

p

| det g|.

Autrement dit, si pour toute fonction lisse Ψ : (−ε, ε) × M → N telle que

— Ψ(0, z) = Φ(z),

— Ψ(, z) = Φ(z) en dehors d’un ensemble compact K ⊂ M

^◦

,

on a ∂

∂ε

ε=0

L (Ψ(ε, ·)) = 0.

Remarque 1.2.2. En coordonnées z = (z

⁰

, . . . , z

ⁿ

) et Φ = (Φ

¹

, . . . , Φ

^k

), les équation d’Euler- Lagrange s’écrivent

1 p | det g(z)|

∂

∂z

^α

p | det g(z)|g(z)

^αβ

∂

∂z

^β

Φ(z)

^a

+ g(z)

^αβ

Γ

^a_bc

(Φ(z)) ∂

∂z

^α

Φ(z)

^b

∂

∂z

^β

Φ(z)

^c

= 0,

où Γ

^a_bc

(Φ) est le symbole de Christoffel de la variété (N, h).

Remarque 1.2.3. Si n = 0 on obtient l’équation des géodesiques sur N . Si N = R

^k

, on obtient l’équation des ondes linéaire sur M à valeurs dans R

^k

.

Remarque 1.2.4. On définit les solutions non lisses (solutions fortes) comme des points d’adhé- rence d’une suite de solutions lisses dans une topologie qui convient.

Un cas spécial important est M

ⁿ⁺¹

= R (ou S

¹

) × M f

ⁿ

avec ( M f

ⁿ

, e g) une variété riemannienne.

On écrit z = (t, x) et on interprète la première variable comme le temps. Alors L (Φ) =

Z

T (∂

t

Φ) − V (d

x

Φ) dt = 1

2 Z Z

|∂

_t

Φ|

²

− |d

_x

Φ|

²_HS

dx dt,

on a donc un système naturel avec une énergie conservée E(Φ) := 1

2 Z

|∂

_t

Φ|

²

+ |d

_x

Φ|

²_HS

dx.

Le problème de Cauchy consiste à trouver un point critique du lagrangien tel que (Φ(0), ∂

t

Φ(0)) = (Φ

0

, Φ

1

) deux applications données.

Les états stationnaires sont les points critiques de l’énergie potentielle V = 1

2 Z

|d

_x

Φ|

²_HS

dx.

Ce sont les applications harmoniques M f → N .

1.2.2 L’équation des applications ondulatoires critique

Considérons le cas M = R

¹⁺²

, z = (t, x) = (t, x

1

, x

2

) et N = S

²

⊂ R

³

. On a alors L (Φ) = 1

2 Z Z

|∂

_t

Φ|

²

− |∇

_x

Φ|

²

dx dt,

donc Φ est une application ondulatoire si et seulement si Z Z

( Φ) · Ψ dx dt, avec := ∂

_t²

− ∆

x

,

pour tout Ψ à support compact tel que Ψ(t, x) ⊥ Φ(t, x) pour tout (t, x), autrement dit Φ(t, x) = µ(t, x)Φ(t, x), µ(t, x) ∈ R .

En dérivant deux fois la relation Φ · Φ = 1 on obtient

Φ · ( Φ) = −|∂

_t

Φ|

²

+ |∇

_x

Φ|

²

,

donc on peut réécrire l’équation des application ondulatoires R

¹⁺²

→ S

²

comme suit : Φ(t, x) = − |∂

_t

Φ(t, x)|

²

− |∇

_x

Φ(t, x)|

²

Φ(t, x). (1.2.1)

L’énergie conservée est

E = 1 2

Z

R²

|∂

_t

Φ|

²

+ |∇

_x

Φ|

²

dx.

Cette équation a la propriété importante de criticalité. Soit λ > 0 et considérons Φ

_λ

(t, x) := Φ(t/λ, x/λ).

On voit que Φ est une application ondulatoire si et seulement si Φ

_λ

l’est. De plus, E(Φ

λ

) = E(Φ).

Pour cette raison, on dit que l’équation (1.2.1) est énergie critique.

Remarque 1.2.5. On dit qu’un problème est sous critique s’il devient petit après un “zoom”, et on dit qu’il est sur critique s’il devient grand. Il est critique s’il reste de même taille.

Afin de simplifier le problème, on exploite l’idée de la réduction aux applications possédant une certaine symétrie. Ici on étudiera les applications dites corotationnelles, qui ont la forme suivante :

Φ(t, r cos θ, r sin θ) = sin u(t, r) cos(kθ), sin u(t, r) sin(kθ), cos u(t, r)

∈ S

²

, k ∈ {1, 2, . . .}.

On calcule

∂

r

Φ = ∂

r

u(cos u cos(kθ), cos u sin(kθ), − sin u),

∂

_r²

Φ = ∂

_r²

u(cos u cos(kθ), cos u sin(kθ), − sin u) − (∂

_r²

u)Φ,

∂

_t²

Φ = ∂

_t²

u(cos u cos(kθ), cos u sin(kθ), − sin u) − (∂

_t²

u)Φ,

∂

_θ²

Φ = −k

²

(sin u cos(kθ), sin u sin(kθ), 0),

∆Φ =

∂

_r²

u + 1

r ∂

_r

u − k

²

2r

²

sin(2u)

cos u cos(kθ), cos u sin(kθ), − sin u

− (∂

_r

u)

²

+ k

²

(sin u)

²

Φ,

et on voit que Φ est une application ondulatoire si et seulement si la colatitude u(t, r) vérifie l’équation suivante :

∂

_t²

u(t, r) = ∂

_r²

u(t, r) + 1

r ∂

r

u(t, r) − k

²

2r

²

sin 2u(t, r)

, (t, r) ∈ R ×]0, ∞[. (1.2.2) On dira dans ce cas que u est une application ondulatoire.

Remarque 1.2.6. Parfois on appelle les applications de cette forme équivariantes, mais ce n’est

pas tout à fait correct puisque le terme “équivariant” signifie habituellement “invariant par l’action

d’un certain groupe”. Cependant, par la force de l’habitude, il peut m’arriver d’employer à tort ce

terme.

1.3 Quelques proporiétés élémentaires

On trouve facilement le lagrangien et l’énergie exprimés en termes de u(t, r) : L (u) = π

Z Z

(∂

_t

u)

²

− (∂

_r

u)

²

− k

²

(sin u)

²

r

²

rdr dt, (1.3.1)

E(u, ∂

_t

u) = π Z

∞

0

(∂

_t

u)

²

+ (∂

_r

u)

²

+ k

²

(sin u)

²

r

²

rdr.

On va souvent voir (1.2.2) comme un système hamiltonien, d’ordre 1 en temps, pour la paire (u, ∂

_t

u).

Comme l’espace des phases est un espace de paires de fonctions, il convient d’avoir une notation simple pour cela. On notera une paire de fonctions (u, u), ˙ (v, v) ˙ etc. Le point au dessus de u devrait faire penser à la dérivée en temps, mais n’aura pas toujours cette signification.

On utilise la même lettre E pour l’énergie potentielle : E(u

0

) := π

Z

∞

0

(∂

r

u

0

)

²

+ k

²

(sin u

0

)

²

r

²

rdr,

Vérifions comment l’énergie potentielle se transforme sous le changement de variable r

^k

= e

^x

. Soit v

₀

(x) := u

₀

(e

^x/k

). Alors ∂

_x

v

₀

(x) =

¹_k

e

^x/k

∂

_r

u

₀

(e

^x/k

) et rdr =

¹_k

(e

^x/k

)

²

dx, donc on voit que

E(u

0

) = kπ Z

R

(∂

x

v

0

(x))

²

+ (sin v

0

(x))

²

dx.

Remarque 1.3.1. On reconnait le lagrangien du pendule mathématique.

Lemme 1.3.2. Si E(u

₀

, u ˙

₀

) < ∞, alors u

₀

∈ C(]0, ∞[) et il existe m, n ∈ Z tels que lim

r→0

u

₀

(r) = mπ et lim

r→∞

u

₀

(r) = nπ.

Démonstration. Exercice.

Il est facile de trouver les points critiques v

0

(x) d’énergie finie ; ce sont les fonctions v

0

(x) = nπ ou v

0

(x) = nπ ± 2 arctan(e

^x−l

), ce qui en termes de r donne nπ ± 2 arctan((r/λ)

^k

) pour λ > 0. On note

Q(r) := 2 arctan(r

^k

), Q

λ

(r) := Q(r/λ) = 2 arctan((r/λ)

^k

).

Remarque 1.3.3. Le changement de variable r

^k

= e

^x

est très utile pour le problème stationnaire, mais l’équation d’évolution (1.2.2) se transforme mal.

Pour m, n ∈ Z on définit

E

_m,n

:= {(u

₀

, u ˙

0

) : E((u

0

, u ˙

0

)) < ∞, lim

r→0

u

0

(r) = mπ, lim

r→∞

u

0

(r) = nπ}.

Les ensembles E

_m,n

sont des espaces affines qui jouent le rôle de l’espace critique. On s’intéressera principalement à la description du portrait de phase dans l’espace E := E

_0,0

, qui est un espace vectoriel. On voit que u

₀

≡ 0 est le seul point stationnaire dans E.

On définit la norme critique :

k(u

₀

, u ˙

₀

)k

²_E

:= 1 k

Z

∞

0

˙

u

²₀

+ (∂

_r

u

₀

)

²

+ k

²

r

²

u

²₀

r dr.

et la norme correspondante à l’énergie potentielle : ku

₀

k

²_H

:= 1

k Z

∞

0

(∂

r

u

0

)

²

+ k

²

r

²

u

²₀

rdr.

On observe que le changement de variable r

^k

= e

^x

définit une isométrie H → H

¹

( R ).

1.4 Résultat principal

L’objectif du cours est de démontrer le résultat suivant, énoncé ici de manière quelque peu informelle :

Théorème 1. Soit u une solution de (1.2.2) dans E telle que E(u) ≤ 8kπ. Alors exactement une des situations suivantes a lieu.

— La solution existe pour tout temps t ∈ R et lim

t→±∞

ku(t)k

_L^∞

= 0. Dans ce cas, les effets non linéaires deviennent négligeables en temps long.

— La solution existe pour tout temps suffisamment grand et lim

t→∞

ku(t)k

_L^∞

= 0.

— Si k ≥ 2, alors u existe aussi pour tout temps négatif. Il existe µ

0

> 0 et une fonction continue λ(t) : ]−∞, t

₀

] → R telle que lim

t→−∞

λ(t) = 0 et

t→−∞

lim

(u(t), ∂

t

u(t)) ± (Q

_λ(t)

− Q

µ0

, 0)

E

= 0.

— Si k = 1, alors u existe jusqu’à un certain temps T

−

> −∞. Il existe µ

0

> 0 et une fonction continue λ(t) : ]T

−

, t

₀

] → R telle que lim

t→T−

λ(t) = 0 et

t→T

lim

−

(u(t), ∂

t

u(t)) ± (Q

_λ(t)

− Q

µ0

, 0)

E

= 0.

— Situation symétrique, en échangeant t et −t.

En plus, toutes ces situations sont possibles.

En fait, on va traiter uniquement le cas k = 2, qui est techniquement le plus simple. La plupart de l’analyse s’applique aussi dans d’autres cas.

Remarque 1.4.1. Il n’est pas difficile de voir que si E(u

₀

) ≤ 8kπ, alors u

₀

∈ H est équivalent à deg u

₀

= 0, le degré topologique de l’application R

²

→ S

²

correspondante, vue comme une application S

²

→ S

²

(en utilisant la projection stéréographique).

On pourrait dire que le rôle joué dans des situations typiques par le point col est joué ici par un objet que l’on appellera une deux-bulle, c’est à dire une solution qui converge vers une superposition de deux états stationnaires dont les échelles spatiales se découplent asymptotiquement. Notons que l’unicité d’un tel objet n’est pas connue actuellement, mais il semble raisonnable de s’y attendre (à un changement d’échelle près).

Vous pouvez télécharger ici deux simulations qui ont pour but d’illustrer le théorème si-dessus :

— https://www.math.univ-paris13.fr/~jendrej/simulations/wmap/cas1.mp4

— https://www.math.univ-paris13.fr/~jendrej/simulations/wmap/cas2.mp4

1.5 Plan du cours

— Après la pause je prénterai les éléments de la théorie de Cauchy, c’est à dire du caractère bien posé de l’équation (1.2.2).

— Le 20 mai (attention la séance commence à 10h !) je parlerai de la méthode de décomposition en profils. Je présenterai la théorie linéaire dans le cadre abstrait pour ensuite l’appliquer à notre problème. On utilisera ensuite la théorie de Cauchy pour démontrer quelques résultats sur la propagation non linéaire de profils qui nous servirons par la suite.

— Le 27 mai (attention la séance commence à 10h !) je présenterai toutes les étapes de la méthode de concentration-compacité dans le cas de l’équation (1.2.2), ce qui permettra en particulier d’atteindre l’objectif principal pour les énergies < 8kπ.

— Le 3 juin (attention la séance commence à 10h !) je parlerai de la méthode de modulation, très classique en analyse non linéaire (perturbative), dans le but de comprendre les deux-bulles.

On dérivera un système réduit, supposé décrire l’interaction entre les bulles, et ensuite on justifiera sa validité. J’expliquerai enfin comment finir la démonstration du théorème pour k = 2.

Le cours est organisé autour d’un modèle très particulier. Cependant, chacune des méthodes que l’on verra (décomposition en profils, concentration-compacité, modulation) a un champs d’application bien plus vaste.

Au fur et à mesure de l’avancement du cours, les résultats deviendront de moins en moins standard et de plus en plus techniques, ce qui m’amènera à omettre de plus en plus de détails de calcul. Parfois, seulement une preuve “en agitant les mains” sera donnée, mais en principe toutes les étapes de la démonstration seront indiquées.

N’hésitez pas à m’envoyer un message à l’adresse jendrej@math.univ-paris13.fr, en particu-

lier si vous remarquez une (des) fautes dans ces notes ou dans le cours, ou si vous souhaiteriez que

je fournisse une preuve complète là où je n’ai donné qu’une esquisse.

Chapitre 2

Théorie de Cauchy

Dans ce chapitre on développe la théorie d’existence et d’unicité en temps court pour l’équation (1.2.2) (c’est-ce que l’on appelle la théorie de Cauchy).

Il est commode de réécrire l’équation en séparant la partie linéaire de la partie non linéaire :

∂

_t²

u(t, r) =

∂

_r²

+ 1

r ∂

_r

− k

²

r

²

u(t, r) + 2k

²

u(t, r) − k

²

sin 2u(t, r) 2r

²

= −L

_k

u(t, r) + Z(u(t, r)) u(t, r)

³

r

²

, où Z(u) := 2k

²

u − k

²

sin(2u)

/(2u

³

) est une fonction analytique, bornée pour u ∈ R .

2.1 Quelques conventions de notation

Sauf mention contraire, les normes de Lebesgue et Sobolev des fonctions de r ∈]0, ∞[ sont toujours calculées par rapport à la mesure rdr, et les normes en espace-temps par rapport à la mesure dt rdr. De plus, si le domaine en espace n’est pas précisé, alors il s’agit de tout l’espace, donc par exemple L

¹

L

²

(I) signifie L

¹_t

((I, dt); L

²_r

(]0, ∞[, rdr)). Si le domaine en temps n’est pas précisé non plus, is s’agit de tout l’axe réel.

J’omets souvent les arguments des fonctions, donc on écrit u au lieu de u(t, r), et par exemple dans ce cas u(t) a la signification d’une fonction d’une seule variable r, pour tout t.

2.2 Estimations de Strichartz

Pour un intervalle I ⊂ R et u : I ×]0, ∞[→ R on définit la norme suivante (une norme de Strichartz ) :

kuk

_S(I)

:= ku

³

/r

²

k

^1/3_L1L2(I)

.

On admettra le résultat fondamental suivant, un cas particulier du Théorème 2.6 dans le livre de Tao “Dispersive equations”.

Définition 2.2.1. On dit qu’une paire (p, q) est admissible si p ≥ 2 et il existe q e ∈ [2, q] tel que 2

p + d − 1

q e = d − 1

2 , (p, q, d) e 6= (2, ∞, 3).

Théorème 2.2.2 (Ginibre-Velo, Shatah-Struwe, Kapitanski, Keel-Tao). Supposons que (p, q) et (a, b) sont admissibles et

1 p + d

q = 1 a

⁰

+ d

b

⁰

− 2 = d 2 − σ.

Soit u = u(t, x) une solution de

∂

_t²

u = ∆u + f, (u(0), ∂

t

u(0)) = (u

0

, u ˙

0

), (t, x) ∈ R × R

^d

, u ∈ R.

Alors

k(u, ∂

_t

u)k

_L∞(R; ˙H^σ×H˙^σ−1)

+ kuk

_L^p_L^q

. k(u

₀

, u ˙

0

)k

_H˙σ×H˙^σ−1

+ kfk

_La0

L^b0

. Les configurations que l’on va utiliser sont

(σ, d, p, q, a, b) ∈ {(1, 4, 3, 6, ∞, 2), (1, 4, 2, 8, ∞, 2), (1, 6, 2, 4, ∞, 2)}.

Lemme 2.2.3. Il existe C > 0 tel que si I ⊂ R un intervalle, f ∈ L

¹

L

²

et u la solution de l’équation

∂

_t²

u + L

k

u = f, (u(0), ∂

t

u(0)) = (u

0

, u

1

) ∈ E , alors

kuk

_S(I)

+ sup

t∈I

k(u, ∂

_t

u)k

_E

. k(u

₀

, u

₁

)k

_E

+ kf k

_L1L²

Démonstration. On démontre le résultat uniquement pour k ∈ {1, 2}. Le cas général peut être traité en utilisant un résultat de Planchon, Stalker et Tahvildar-Zadeh [6].

Soit v := r

^−k

u et g := r

^−k

f . Alors on peut vérifier que

∂

_t²

v −

∂

_r²

+ 2k + 1 r ∂

_r

v = ∂

_t²

− ∆

_Rd

v = g,

ce qui est l’équation des ondes en dimension d’espace d = 2k + 2 ∈ {4, 6}. On voit facilement que kg(t)k

_L2(r^2k+1dr)

= kf (t)k

_L2(rdr)

.

On a aussi

∂

r

v = −kr

^−k−1

u + r

^−k

∂

r

u, donc

k∂

_r

vk

_L2(r^2k+1dr)

= kkuk

_H

.

La borne sur sup

_t∈I

k(u, ∂

_t

u)k

_H×L2

est donc l’estimation d’énergie pour l’équation des ondes.

Pour k = 1, donc d = 4, on a l’estimation de Strichartz kv

³

k

^1/3

L¹L²(dt r³dr)

= kvk

_L3L⁶(dt r³dr)

. k(v

₀

, v

₁

)k

_{H˙1×L2(r3dr)}

+ kgk

_L1L²(dt r³dr)

, et on remarque que

kv

³

k

_L2(r³dr)

= kr

⁻³

u

³

k

_L2(r³dr)

= kr

⁻²

u

³

k

_L2(rdr)

. Pour k = 2, donc d = 6, on a l’estimation de Strichartz “end-point”

kv

²

k

^1/2_L1L²(dt r⁵dr)

= kvk

_L2L⁴(dt r⁵dr)

. k(v

₀

, v

1

)k

_H˙1×L²(r⁵dr)

+ kgk

_L1L²(dt r⁵dr)

. On remarque que

kv

²

k

_L2(r⁵dr)

= kr

⁻⁴

u

²

k

_L2(r⁵dr)

= kr

⁻²

u

²

k

_L2(rdr)

,

et il suffit d’utiliser kuk

_L^∞

. kuk

_H

.

Si u est une solution de l’équation linéaire ∂

_t²

u = −L

_k

u, on écrira

u(t) = S(t)(u(0), ∂

t

u(0)), (u(t), ∂

t

u(t)) = S(t)(u(0), ∂

t

u(0)),

k ∈ {1, 2} étant connu du contexte. On observe que S(t) est un groupe d’isométries fortement continu dans l’espace E. En effet, la transformation v = r

^−k

u conjugue S(t) avec l’équation des ondes linéaire dans R

^2k+2

.

Lemme 2.2.3 nous donne en particulier kv

³_L

/r

²

k

^1/3

L¹L²(R×]0,∞[)

. k(v

₀

, v

₁

)k

_E

, où v

_L

(t) := S(t)(v

₀

, v

₁

).

On aura également besoin d’une estimation rafinée suivante.

Lemme 2.2.4. Soit (v

₀

, v

₁

) ∈ E et v

_L

:= S(t)(v

₀

, v

₁

). Alors

pour k = 1 : kv

_L

k

³_S(I)

. kv

_L

k

^1/2_L∞L^∞

k(v

₀

, v

₁

)k

^5/2_E

, pour k = 2 : kv

_L

k

³_S(I)

. kv

_L

k

_L^∞_L^∞

k(v

₀

, v

₁

)k

²_E

. Démonstration. Pour k = 2 cela résulte directement de la preuve précédente.

Pour k = 1 on a

Z u

⁶

r

³

dr ≤ kuk

_L^∞

Z u

²

r dr

¹₂

Z

u

⁸

r

⁵

dr

¹₂

. En prenant la racine carrée et en intégrant en t on obtient

ku

³

/r

²

k

_L1L²

. kuk

^1/2_L∞L^∞

kuk

^1/2_H

ku/rk

²_L2L⁸(r³dr)

,

et on termine en utilisant l’estimation de Strichartz L

²

L

⁸

en dimension d’espace 4.

Remarque 2.2.5. Les exposants ne sont pas importants ; on a besoin d’une inégalité kv

³_L

/r

²

k

_L1L²

. kv

_L

k

^α_L∞L^∞

k(v

₀

, v

1

)k

^3−α_E

pour un certain α > 0.

Lemme 2.2.3 est suffisant pour démontrer le caractère bien posé dans l’espace d’énergie.

Lemme 2.2.6. Pour tout M > 0 il existe η

₀

= η

₀

(M) > 0 et C = C(M ) > 0 qui ont la propriété suivante. Soit 0 ∈ I ⊂ R . Soit k(u

₀

, u ˙

₀

)k

E

≤ M avec kS(t)(u

₀

, u ˙

₀

)k

_S(I)

= η ≤ η

₀

. Alors il existe une unique solution forte u ∈ L

^∞

(I; E) du problème (1.2.2). Cette solution vérifie

sup

t∈I

k(u, ∂

_t

u) − (u

_l

, ∂

t

u

_l

)k

E

+ ku − u

_l

k

_S(I)

≤ Cη

³

, où u

_l

(t) = S(t)(u

₀

, u

₁

).

Démonstration. Pour ρ ≥ 0 soit

B

ρ

:= {u : k(u, ∂

_t

u) − (u

_l

, ∂

t

u

_l

)k

_L^∞_(I;E)

+ ku − u

_l

k

_S(I)

≤ ρ}.

On considère l’application F qui à u ∈ B

_ρ

associe v = F (u), la solution du problème

∂

_t²

v + L

_k

v = Z(u) u

³

r

²

, (v(0), ∂

t

v(0)) = (u

0

, u ˙

0

),

donc w := v − u

_l

résout le problème

∂

_t²

w + L

_k

w = Z (u) u

³

r

²

, (w(0), ∂

t

w(0)) = (0, 0), Par le Lemme 2.2.3,

k(w, ∂

_t

w)k

_L^∞_(I;E)

+ kwk

_S(I)

. η

³

+ ρ

³

,

donc si l’on prend ρ = Cη

³

avec C une constante suffisamment grande, la boule B(ρ) sera invariante.

De façon similaire on obtient que pour η

₀

suffisamment petit F est une contraction sur B

_ρ

, pour la norme L

^∞

(I; E ) + S(I ). En effet, soit u, u e ∈ B

_ρ

, v := F (u), e v := F ( u), e w := e v − v. Alors

∂

_t²

w + L

k

w = f(u, u) := e Z ( u) e e u

³

r

²

− Z(u) u

³

r

²

, (w(0), ∂

t

w(0)) = (0, 0).

On voit que

kf(u, u)k e

_L1L²

. (k u e − uk

_L^∞E

+ k u e − uk

_S

)(η

²

+ η

³

), et on conclut en utilisant Lemme 2.2.3.

Par le Théorème de Picard il existe l’unique application u ∈ B

ρ

telle que F(u) = u. Comme C(I ; E) est complet, on voit que u ∈ C(I ; E).

Proposition 2.2.7. Si (u

₀

, u

₁

) ∈ E, alors il existe une unique solution forte (u, ∂

_t

u) ∈ L

^∞

(I

_max

; E) de l’équation (1.2.2), définie sur l’intervalle maximal d’existence I

max

= I

max

(u) :=]T

−

(u), T

+

(u)[

telle que (u(0), ∂

t

u(0)) = (u

0

, u

1

). Elle a les propriétés suivantes.

— (u, ∂

t

u) ∈ C(I

max

; E),

— pour tout intervalle compact J ⊂ I

max

, u est continue par rapport à la donnée initiale (u

0

, u

1

), pour les topologies E → L

^∞

(J ; E),

— pour tout intervalle compact J ⊂ I

_max

on a

kuk

_S(J)

< ∞,

— si

kuk

_S([0,T+[)

< ∞,

alors T

+

= ∞ et (u, ∂

t

u) se disperse quand t → ∞, à savoir il existe (v

0

, v

1

) ∈ E tel que k(u(t), ∂

_t

u(t)) − S(t)(v

0

, v

1

)k

_E

→ 0 quand t → ∞,

— inversement, si u se disperse quand t → ∞, alors kuk

_S([0,∞[)

< ∞,

— un énoncé analogue pour les temps négatifs.

Démonstration. La première partie est une conséquence directe du lemme précédent.

Le deuxième point résulte du principe général suivant pour l’équation linéaire. Si f ∈ L

¹

L

²

([0, T

₊

[)

et u solution de ∂

_t²

u + L

k

u = f , alors

— dans le cas T

₊

< ∞, la limite forte dans E, lim

t→T+

(u(t), ∂

_T

u(t)), existe,

— dans le cas T

+

= ∞, u se disperse quand t → ∞.

En effet, soit v

τ

la solution de ∂

_t²

v

τ

+L

_k

v

τ

= 0 avec la donnée initiale (v

τ

(τ ), ∂

t

v

τ

(τ )) = (u(τ ), ∂

t

u(τ )), et σ ≥ τ . Alors

k(v

_σ

(0), ∂

_t

v

_σ

(0)) − (v

_τ

(0), ∂

_t

v

_τ

(0))k

_E

= k(v

_σ

(τ ), ∂

_t

v

_σ

(τ )) − (v

_τ

(τ ), ∂

_t

v

_τ

(τ ))k

_E

= k((v

_σ

− u)(τ ), ∂

_t

(v

_σ

− u)(τ ))k

_E

≤ kfk

_L1L²([τ,σ])

→ 0 quand σ, τ → T

+

, ce qui implique que la limite (v

0

, v

1

) := lim

τ→∞

(v

τ

(0), ∂

t

v

τ

(0)) existe, et on obtient

t→T

lim

+

k(u(t), ∂

_t

u(t)) − S(t)(v

₀

, v

₁

)k

_E

= 0.

Enfin, si u se disperse pour t → ∞, alors on voit que si l’on prend T

₀

grand et u

_l

(t) := S(t − T

₀

)(u(T

₀

), ∂

_t

u(T

₀

)), alors ku

_l

k

_S

< η

₀

, donc on peut appliquer le lemme précédent sur l’intervalle [T

0

, ∞).

Remarque 2.2.8. La même preuve montre que l’on peut résoudre le problème de Cauchy à l’infini.

Plus préciément, dans le cas I = [T

0

, ∞[, sous les mêmes hypothèses, il existe une unique solution forte u ∈ L

^∞

(I; E ) de l’équation (1.2.2) telle que

t→∞

lim k(u(t), ∂

_t

u(t)) − (u

_l

, ∂

t

u

_l

)k

_E

= 0.

Pour cela, il suffit de définir v = F(u) comme la solution du problème

∂

_t²

v + L

_k

v = Z(u) u

³

r

²

, lim

t→∞

k(v(t), ∂

_t

v(t)) − S(t)(u

0

, u ˙

0

)k

_E

= 0.

De la même manière on résout le problème de Cauchy pour t → −∞.

Pour finir ce chapitre, on démontre un lemme de perturbation.

Lemme 2.2.9. Pour tout M > 0 il existe ε = ε

0

(M ) et C = C(M ) ayant la propriété suivante.

Soit I = [0, T ] ou I = [0, +∞[, et soit v une fonction définie sur I×]0, ∞[ telle que k(v, ∂

_t

v)k

_L^∞_(I;E)

+ kvk

_S(I)

≤ M

et qui résout le problème

∂

_t²

v + L

k

v = Z(v) v

³

r

²

+ h, (t, r) ∈ I×]0, ∞[, (v(0), ∂

_t

v(0)) = (v

₀

, v ˙

₀

) ∈ E.

Soit (u

₀

, u ˙

₀

) ∈ E et ε ∈]0, ε

₀

]. Supposons que

k(u

₀

, u ˙

0

) − (v

0

, v ˙

0

)k

_E

+ khk

_L1L²

≤ ε.

Alors la solution u du problème (1.2.2) avec la donnée initiale (u

₀

, u ˙

₀

) est définie sur I et

k(u(t), ∂

_t

u(t)) − (v(t), ∂

t

v(t))k

_L^∞_(I;E)

+ ku − vk

_S(I)

≤ C(M )ε.

Remarque 2.2.10. À cause de la réversibilité temporelle un théorème analogue est vrai pour les temps négatifs.

Remarque 2.2.11. La signification de ce lemme est la suivante. Si on a une solution approchée v, alors la vraie solution u existe aussi longtemps que v et en reste proche.

Démonstration. On démontre d’abord le résultat sous l’hypothèse supplémentaire que kvk

_S(I)

≤ η

₀

est suffisamment petit. Dans ce cas, on obtient la conclusion par un argument de continuité. En effet, soit I

⁰

⊂ I un intervalle sur lequel u est définie et considérons w := u−v, (w

0

, w ˙

0

) := (u

0

−v

₀

, u ˙

0

− v ˙

0

).

L’équation pour w est la suivante :

∂

²_t

w + L

_k

w = f := Z(v + w) (v + w)

³

r

²

− Z (v) v

³

r

²

− h.

On voit que

kfk

_L1L²(I⁰)

. (kwk

_L^∞_(I⁰_;E)

+ kwk

_S(I⁰₎

)(kvk

²_S(I0)

+ kwk

²_S(I0)

+ kwk

³_S(I0)

) + khk

_L1L²(I⁰)

. En appliquant le Lemme 2.2.3 on obtient

kwk

_L∞(I⁰;E)

+ kwk

_S(I0)

. ε + (kwk

_L∞(I⁰;E)

+ kwk

_S(I0)

)(kvk

²_S(I0)

+ kwk

²_S(I0)

+ kwk

³_S(I0)

).

Si kwk

_S(I⁰₎

est suffisamment petit, alors on peut absorber le deuxième terme et conclure que kwk

_S(I0)

. ε. On obtient l’estimation voulue en élargissant I

⁰

progressivement.

Maintenant, soit n :=

_M

η0

+ 1. Alors il existe 0 = t

0

< t

1

< . . . < t

n

= T une suite telle que

kvk

_S(J)

≤ η

0

pour J = [t

j

, t

j+1

], j = 0, . . . , n − 1. On répète le raisonnement sur chaque intervalle

[t

_j

, t

_j+1

].

Chapitre 3

Décomposition en profils

Dans ce chapitre on présente le méthode de décomposition en profils, développée dans les travaux de plusieurs mathématiciens, en particulier Lions, Brézis et Coron, Gérard, Merle et Vega, Bahouri et Gérard, . . . Le cadre abstrait présenté ici a été proposé par Schindler et Tintarev.

3.1 Théorie abstraite

Soit H un espace de Hilbert séparable et G un topologique métrisable agissant sur H par des isométries (une représentation unitaire),

G 3 g 7→ T

g

∈ U (H).

Remarque 3.1.1. On peut facilement traiter le cas où G n’agit pas par des isométries, mais seulement de façon bornée, c’est à dire

G 3 g 7→ T

g

∈ L (H), sup

g∈G

kT

_g

k

_L(H)

< ∞.

En effet, en remplaçant la norme kuk

_H

par la norme équivalente sup

_g∈G

kT

_g

uk

_H

, on se ramène au cas des applications unitaires. Dans la pratique, on a presque toujours affaire à une représentation unitaire.

On écrira le plus souvent gu au lieu de T

_g

u.

Définition 3.1.2. Pour une suite g

_n

∈ G on écrit g

_n

→ ∞ ou lim

n→∞

g

_n

= ∞ si pour tout ensemble compact K ⊂ G on a g

_n

∈ / K pour n grand. On dit que deux suites g

_n

et e g

_n

sont orthogonales si g

⁻¹_n

e g

n

→ ∞.

Définition 3.1.3. On dit qu’une suite u

_n

∈ H converge vers 0 faiblement avec concentration si g

_n

u

_n

* 0, ∀g

_n

∈ G.

On écrit dans ce cas

u

_n

*

_G

0.

On observe que la topologie de la convergence faible avec concentration sur une boule de H est métrisable de manière suivante. Soit φ

_k

une suite dense dans la boule unité de H. On définit

kuk

_W

:=

^∞

X

k=1

hφ

_k

, ui

²

2

^k

¹₂

, kuk

_G

:= sup

g∈G

kguk

_W

.

Lemme 3.1.4. Si u

_n

∈ H une suite bornée, alors après extraction d’une sous-suite il existe une suite g

n

∈ G telle que

g

n

u

n

* u et kuk

_H

≥ lim sup

n→∞

ku

_n

k

_G

.

Démonstration. En extrayant une sous-suite, il existe une suite g

n

∈ G telle que

∞

X

k=1

2

^−k

hφ

_k

, g

_n

u

_n

i

²

→ lim sup

n→∞

ku

_n

k

²_G

.

Après une nouvelle extraction d’une sous-suite, g

_n

u

_n

* u ∈ H, et on voit que

∞

X

k=1

2

^−k

hφ

_k

, g

_n

u

_n

i

²

→

∞

X

k=1

2

^−k

hφ

_k

, ui

²

≤ kuk

²_H

, ce qui termine la preuve.

Proposition 3.1.5. Soit u

_n

∈ H une suite bornée. Alors u

n

*

G

0 ⇔ ku

_n

k

_G

→ 0.

Démonstration. L’implication ⇒ est une conséquence directe des définitions et du lemme précédent.

Inversement, si ku

_n

k

_G

→ 0, alors pour tout k on a sup

_gn∈G

hφ

_k

, g

n

u

n

i → 0. Soit g

n

∈ G une suite quelconque. Comme la suite g

_n

u

_n

est bornée dans H, on obtient hφ, g

_n

u

_n

i → 0 pour tout φ ∈ H, donc u

_n

*

_G

0.

On fait encore deux hypothèses concernant l’action du groupe G :

— g

_n

→ ∞ implique hu, g

_n

vi → 0 pour tout u, v ∈ H (évanescence des coefficients matriciels),

— pour tout u ∈ H l’application G 3 g 7→ gu ∈ H est continue (continuité forte).

Définition 3.1.6. Soit u

_n

∈ H une suite bornée. On dit que u

_n

admet une décomposition en profils avec les profils U

^(j)

∈ H, les déplacements g

_n^(j)

∈ G et les restes w

_n^(J)

si les suites g

_n^(j)

et g

_n^(k)

sont orthogonales pour j 6= k,

u

_n

=

J

X

j=1

g

^(j)_n

U

^(j)

+ w

^(J)_n

, lim

J→∞

lim sup

n→∞

kw

^(J)_n

k

_G

= 0. (3.1.1) Proposition 3.1.7. Si u

n

une suite bornée qui admet une décomposition en profils U

^(j)

avec les restes w

n^(J)

, alors pour tout j la suite g

^(j)n

−1

u

n

converge faiblement vers U

^(j)

et pour tout J ∈ {1, 2, . . .} on a l’expansion de Pythagore

ku

_n

k

²_H

=

J

X

j=1

kU

^(j)

k

²_H

+ kw

^(J)_n

k

²_H

+ o(1), quand n → ∞. (3.1.2)

Démonstration. Par l’hypothèse u

_n

est une suite bornée, donc pour montrer la première partie il suffit de vérifier que pour tout j on a lim

n→∞

g

_n^(j)

−1

u

_n

− U

^(j)

W

= 0. Fixons j et soit ε > 0. On trouve d’abord J ≥ j tel que

lim sup

n→∞

g

_n^(j)

−1

w

^(J)_n

W

≤ lim sup

n→∞

w

^(J)_n

G

≤ ε.

Ensuite, pour k ∈ {1, 2, . . . , J } \ {j} on a lim

n→∞

g

^(j)n

−1

g

n^(k)

U

^(k)

W

= 0, donc (3.1.1) implique lim sup

n→∞

g

_n^(j)

−1

u

n

− U

^(j)

W

≤ .

Pour montrer (3.1.2), on fixe J , on prend j ∈ {1, . . . , J }, on applique g

n^(j)

−1

à (3.1.1) et on prend la limite faible quand n → ∞. D’après ce que l’on vient de montrer, on obtient que le membre de gauche ainsi que le membre de droite convergent vers le même élément U

^(j)

, ce qui implique que

g

n^(j)

−1

w

^(J)n

converge faiblement vers 0, en particulier

n→∞

lim hg

^(j)_n

U

^(j)

, w

^(J)_n

i = 0, pour tout j ∈ {1, . . . , J }.

On a aussi hg

_n^(j)

U

^(j)

, g

^(k)n

U

^(k)

i =

g

n^(k)

−1

g

^(j)n

U

^(j)

, U

^(k)

→ 0, donc en prenant k · k

²_H

de (3.1.1) on obtient (3.1.2).

Théorème 3.1.8 (Schindler et Tintarev). Pour toute suite bornée u

n

∈ H possède une sous-suite qui admet une décomposition en profils. Si ku

_n

k

_G

→ 0, alors sa seule décomposition en profils est la décomposition triviale U

^(j)

= 0 pour tout j.

Démonstration. Pour montrer la première partie, on construit un par un les profils U

^(j)

. On pose w

⁽⁰⁾n

:= u

n

. Supposons que les suites w

⁽⁰⁾n

, . . . , w

n^(J−1)

, les déplacements g

n⁽¹⁾

, . . . , g

^(J−1)n

et les profils U

⁽¹⁾

, . . . , U

^(J−1)

sont définis, en respectant les conditions suivantes :

— les suites g

⁽¹⁾n

, . . . , g

n^(J−1)

sont orthogonales,

— g

n^(j)

−1

w

n^(J−1)

* 0 pour j = 1, . . . , J − 1,

— kU

^(j)

k

_H

≥ lim sup

_n→∞

kw

_n^(j−1)

k

_G

pour j = 1, . . . , J − 1.

On va trouver g

n^(J)

et U

^(J)

, et la suite w

n^(J)

sera définie par la relation w

_n^(J−1)

= g

_n^(J)

U

^(J)

+ w

^(J)_n

.

Si lim

n→∞

kw

^(J−1)_n

k

_G

= 0, alors on pose U

^(J)

= U

^(J+1)

= . . . = 0 et la preuve est terminée.

Dans le cas contraire, par le Lemme 3.1.4, après éventuellement l’extraction d’une sous-suite, il existe une suite g

_n^(J)

∈ G et U

^(J)

∈ H tels que

g

_n^(J)

−1

w

^(J−1)_n

* U

^(J)

, kU

^(J)

k

_H

≥ lim sup

n→∞

kw

_n^(J−1)

k

_G

> 0. (3.1.3) Supposons que g

^(J)n

n’est pas orthogonale à g

^(j)n

pour un certain j ∈ {1, . . . , J −1}. Après l’extraction d’une sous-suite on aura donc g

^(j)_n

−1

g

_n^(J)

→ g ∈ G. Si φ ∈ H, alors g

^(j)_n

−1

g

^(J)_n

φ → gφ (par l’hypothèse de la continuité forte), g

^(j)n

−1

w

^(J−1)n

* 0 et g

^(j)n

−1

g

n^(J)

U

^(J)

→ gU

^(J)

, donc g

_n^(j)

−1

g

^(J)_n

φ, g

_n^(j)

−1

w

^(J−1)_n

− g

_n^(j)

−1

g

^(J)_n

U

^(J)

→ hgφ, gU

^(J)

i = hφ, U

^(J)

i.

D’un autre côté, g

_n^(j)

−1

g

_n^(J)

φ, g

_n^(j)

−1

w

_n^(J−1)

− g

^(j)_n

−1

g

_n^(J)

U

^(J)

=

φ, g

^(J)_n

−1

w

_n^(J−1)

− U

^(J)

→ 0.

C’est impossible car U

^(J)

6= 0, ce qui démontre l’orthogonalité.

On voit qu’il y a pour tout J l’expansion de Pythagore (3.1.2), en particulier lim

J→∞

kU

^(J)

k

_H

= 0, donc (3.1.3) implique lim

J→∞

lim sup

_n→∞

kw

_n^(J)

k

_G

= 0.

Le deuxième point est une conséquence de la première conclusion de la Proposition 3.1.7.

Proposition 3.1.9. La convergence faible avec concentration est caracterisée par le théorème pré- cédent, c’est à dire est l’unique topologie pour laquelle le théorème est vrai.

Démonstration. Exercice (on ne s’en servira pas par la suite).

3.2 Description de la topologie

Pour utiliser le théorème que l’on vient de démontrer, il est nécessaire d’avoir, dans chaque cas précis, une description de la topologie de convergence avec concentration en termes de normes de Lebesgue, Sobolev, Besov etc. Voici l’exemple le plus simple d’une telle description.

Proposition 3.2.1. Soit H := H

¹

(R) et G := R agissant par les translations : T

x

f := f (· − x).

Alors, si u

n

est une suite bornée,

ku

_n

k

_G

→ 0 ⇔ ku

_n

k

_L^∞

→ 0.

Remarque 3.2.2. Les deux normes sont invariantes par translations, ce qui est de bon augure.

Démonstration. Si ku

_n

k

_L^∞

→ 0, alors pour toute suite x

_n

on obtient kT

_xn

u

_n

k

_L^∞

= ku

_n

k

_L^∞

→ 0, donc T

xn

u

n

* 0.

Inversement, supposons que u

n

est une suite bornée dans H

¹

( R ) et que pour toute suite réelle x

_n

on a T

_xn

u

_n

* 0. En particulier, soit x

_n

∈ R tel que |u

_n

(−x

_n

)| ≥

¹₂

ku

_n

k

_L^∞

, autrement dit

ku

_n

k

_L^∞

≤ 2|v

_n

(0)|, où v

n

:= T

xn

u

n

.

Comme v

n

* 0, le théorème de Rellich implique |v

_n

(0)| → 0, donc ku

_n

k

_L^∞

→ 0.

Remarquons que cette action vérifie les hypothèse de continuité et d’évanescence des coefficients matriciels.

On revient au cadre du chapitre précédent.

Proposition 3.2.3. Soit G = ]0, ∞[ le groupe de multiplication agissant sur H (cf. chapitre précé- dent) par changement d’échelle, c’est à dire

(T

_λ

u)(r) := u

_λ

(r) = u(r/λ), pour tout λ ∈ ]0, ∞[, u ∈ H.

Alors, si u

n

est une suite bornée,

ku

_n

k

_G

→ 0 ⇔ ku

_n

k

_L^∞

→ 0.

Démonstration. On est ramené au résultat précédent par le changement de variable r

^k

= e

^x

, ce qui définit une isométrie H ' H

¹

( R ), comme nous l’avions vu. Il est facile de vérifier que le changement d’échelle par un coefficient λ correspond, par ce changement de variable, à la translation par y = k log r.

Observons que cette action de groupe, étant isomorphe à l’action de l’exemple précédent, vérifie également les hypothèses de continuité forte et d’évanescence des coefficients matriciels.

Si (u

₀

, u ˙

₀

) ∈ E et λ > 0, on écrira

(u

0

, u ˙

0

)

λ

:= r 7→ (u

0

(λ

⁻¹

r), λ

⁻¹

u ˙

0

(λ

⁻¹

r)).

On voit que E((u

0

, u ˙

0

)

_λ

) = E((u

0

, u ˙

0

)) et k(u

₀

, u ˙

0

)

_λ

k

_E

= k(u

₀

, u ˙

0

)k

_E

. On considère le groupe (non-commutatif) R × (0, ∞) agissant sur E par

T

_(t,λ)

(u

0

, u ˙

0

) := S(−t) (u

₀

, u ˙

0

)

λ

= r 7→ (u

L

(−λ

⁻¹

t, λ

⁻¹

r), λ

⁻¹

∂

t

u

L

(−λ

⁻¹

t, λ

⁻¹

r)), où u

_L

(t) = S(t)(u

0

, u ˙

0

).

Remarque 3.2.4. Il est facile de vérifier que la loi de groupe est donnée par (t

2

, λ

2

) · (t

1

, λ

1

) = (t

2

+ λ

2

t

1

, λ

2

λ

1

),

donc

(t

2

, λ

2

)

⁻¹

· (t

1

, λ

1

) = (−t

₂

/λ

2

+ t

1

/λ

2

, λ

1

/λ

2

),

ce qui signifie que deux suite g

n

= (t

n

, λ

n

) et e g

n

= (e t

n

, λ e

n

) sont orthogonales si et seulement si

n→∞

lim λ

n

e λ

_n

+ e λ

n

λ

n

+ |t

_n

− e t

n

| λ

n

= ∞.

Proposition 3.2.5. Si (u

_0,n

, u ˙

_0,n

) ∈ E est une suite bornée, alors

k(u

_0,n

, u ˙

0,n

)k

_G

→ 0 ⇔ ku

_L,n

k

_L^∞_L^∞

→ 0 ⇔ ku

_L,n

k

_S

→ 0.

Démonstration. La deuxième condition implique la troisième par le Lemme 2.2.4.

Supposons que kS(t)(u

_0,n

, u ˙

_0,n

)k

_S

→ 0. Cela implique que pour toute suite (t

_n

, λ

_n

) on a

S(t) T

_(tn,λn)

(u

0,n

, u ˙

0,n

)

S

→ 0

(puisque la norme S est invariante par changement d’échelle et par le flot linéaire). En particulier, T

_(tn,λn)

(u

_0,n

, u ˙

_0,n

) * 0 (en effet, la fonction (v

₀

, v ˙

₀

) 7→ kS(t)(v

₀

, v ˙

₀

)k

_S

est continue et convexe).

Supposons enfin que k(u

_0,n

, u ˙

0,n

)k

_G

→ 0. Soit t

n

une suite telle que

kS(t)(u

_0,n

, u ˙

0,n

)k

_L^∞_L^∞

≤ 2kS(t

_n

)(u

0,n

, u ˙

0,n

)k

_L^∞

. (3.2.1) Posons (v

_n

, v ˙

_n

) := S(t

_n

)(u

_0,n

, u ˙

_0,n

). On a (v

_n

, v ˙

_n

)

_λn

* 0 pour toute suite λ

_n

∈ ]0, ∞[. Par consé- quent, Proposition 3.2.3 implique kv

_n

k

_L^∞

→ 0, donc (3.2.1) donne kS(t)(u

_0,n

, u ˙

0,n

)k

_L^∞_L^∞

→ 0.

Remarque 3.2.6. Autrement dit, pour tout > 0 il existe δ > 0 tel que k(u

₀

, u ˙

₀

)k

_E

≤ 1 et

k(u

₀

, u ˙

₀

)k

_G

≤ δ implique ku

_L,n

k

_S

≤ , et réciproquement k(u

₀

, u ˙

₀

)k

E

≤ 1 et ku

_L,n

k

_S

≤ δ implique

k(u

₀

, u ˙

0

)k

_G

≤ .

En combinant le Théorème 3.1.8 avec la Proposition 3.2.5 on a le résultat suivant.

Proposition 3.2.7. Soit (u

0,n

, u ˙

0,n

) ∈ E une suite bornée. Alors, après éventuellement extraction d’une sous-suite,

(u

0,n

, u ˙

0,n

) =

J

X

j=1

S(−t

_j,n

/λ

j,n

)(U

^(j)

, U ˙

^(j)

)

λj,n

+ (w

^(J)_n

, w ˙

^(J)_n

), avec

J→∞

lim kS(t)(w

_n^(J)

, w ˙

_n^(J)

)k

_S

= 0.

Démonstration. Il faut vérifier les hypothèse du Théorème 3.1.8. La continuité forte est immé- diate. Pour montrer l’évanescence des coefficients matriciels, prenons (u

0

, u ˙

0

) ∈ E et une suite (t

n

, λ

n

) → ∞. Il suffit de montrer que toute sous-suite de T

_(tn,λn)

(u

0

, u ˙

0

) a une sous-suite qui converge faiblement vers 0 dans E. On considère trois cas.

Cas 1 : t

_n

/λ

_n

→ −∞. Soit (v

_n

, v ˙

_n

) := T

_(tn,λn)

(u

₀

, u ˙

₀

). On voit que kS(t)(v

_n

, v ˙

_n

)k

_S([0,∞[)

→ 0, ce qui implique (v

n

, v ˙

n

) * 0 par la propriété de Fatou. (La fonctionnelle (v, v) ˙ 7→ kS(t)(v

_n

, v ˙

n

)k

_S([0,∞[)

est continue E → R , convexe et s’annule uniquement en v = 0).

Cas 2 : t

_n

/λ

_n

→ ∞. Soit (v

_n

, v ˙

_n

) := T

_(tn,λn)

(u

₀

, u ˙

₀

). On voit que kS(t)(v

_n

, v ˙

_n

)k

_{S(]−∞,0])}

→ 0, ce qui implique (v

n

, v ˙

n

) * 0.

Cas 3 : t

_n

/λ

_n

borné, | log λ

_n

| → ∞. Alors {(u

_l

(−t

_n

/λ

_n

), ∂

_t

u

_l

(−t

_n

/λ

_n

))} est un ensemble compact dans E, donc l’évanescence des coefficients matriciels pour le changement d’échelle implique

T

_(tn,λn)

(u

₀

, u ˙

₀

) = (u

_l

(−t

_n

/λ

_n

), ∂

_t

u

_l

(−t

_n

/λ

_n

))

_λn

* 0.

(On a vérifié l’évanescence des coefficients matriciels pour le changement d’échelle dans H ; c’est vrai aussi dans L

²

aussi, comme on peut le vérifier soit directement, soit en se ramenant au groupe des translations par le changement de variable r

^k

= e

^x

.)

Remarque 3.2.8. En particulier cette preuve montre que pour tout (u

₀

, u ˙

₀

) ∈ E on a

t→±∞

lim kS(t)(u

₀

, u ˙

₀

)k

_L^∞

= 0.

En extrayant encore une fois une sous-suite on peut supposer que pour tout j, on ait l’un des cas suivants :

t

_j,n

= 0, ∀n onde centrée,

t

j,n

λ

j,n

→ ∞ onde entrante,

t

j,n

λ

_j,n

→ −∞ onde sortante .

Cette dénomination est intuitive si on pense à (u

_0,n

, u ˙

_0,n

) comme une suite de données initiales que

l’on fait évoluer par S(t).

3.3 Décomposition en profils non linéaires

La décomposition en profils linéaires est essentiellement un outil du calcul des variations. On s’intéressera maintenant aux questions de propagation par le flot non linéaire. Il n’y a pas de théorie générale pour ce type de questions, mais pour l’équation (1.2.2) on peut trouver des résultats satisfaisants.

Soit (u

0,n

, u ˙

0,n

) une suite de données initiales ayant une décomposition en profils donnée par la Proposition 3.2.7. À chaque profil (U

^(j)

, U ˙

^(j)

) on associe le profil non linéaire correspondant V

^(j)

= V

^(j)

(t, r), qui est la solution de l’équation (1.2.2) qui vérifie

n→∞

lim k(V

^(j)

(−t

_j,n

/λ

j,n

), ∂

t

V

^(j)

(−t

_j,n

/λ

j,n

)) − S(−t

_j,n

/λ

j,n

)(U

^(j)

, U ˙

^(j)

)k

_E

= 0.

L’existence et l’unicité de V

^(j)

résulte du Lemme 2.2.6 et de la Remarque 2.2.8.

On va écrire

V

_n^(j)

(t) := V

^(j)

((t − t

_j,n

)/λ

_j,n

)

_λj,n

, U

_n^(j)

(t) := S((t−t

_j,n

)/λ

_j,n

)(U

^(j)

, U ˙

^(j)

)

λj,n

.

Il est utile de remarquer que pour j suffisamment grand k(U

^(j)

, U ˙

^(j)

)k

_E

est petit, donc le Lemme 2.2.6 implique en particulier que pour j grand V

^(j)

existe pour tout t ∈ R et

sup

t∈R

k(V

_n^(j)

(t), ∂

_t

V

_n^(j)

(t)) − (U

_n^(j)

(t), ∂

_t

U

_n^(j)

(t))k

_E

+k(V

_n^(j)

(t), ∂

t

V

_n^(j)

(t)) − (U

_n^(j)

(t), ∂

t

U

_n^(j)

(t))k

_S

. k(U

^(j)

, U ˙

^(j)

)k

³_E

. k(U

^(j)

, U ˙

^(j)

)k

²_E

.

(3.3.1)

Lemme 3.3.1. Soit (u

_0,n

, u ˙

_0,n

) une suite qui admet une décomposition en profils et supposons que pour tout j le profil non linéaire V

^(j)

est défini pour tout temps et kV

^(j)

k

_S

< ∞. Alors pour n suffisamment grand la solution de (1.2.2) pour la donnée initiale (u

0,n

, u ˙

0,n

) existe pour tout temps et se disperse.

Démonstration. L’idée est de considérer une solution approchée v

^(J)_n

(t) :=

J

X

j=1

V

_n^(j)

(t) + S(t)(w

_n^(J)

, w ˙

^(J)_n

)

et montrer que pour J suffisamment grand il est possible d’utiliser le Lemme 2.2.9.

La fonction v

^(J)n

(t) résout l’équation

∂

_t²

v

_n

− ∂

_r²

v

_n

− r

⁻¹

∂

_r

v

_n

+ k

²

2r

²

sin(2v

_n

) = h

_n

:=

k

²

2r

²

sin

2

J

X

j=1

V

_n^(j)

(t) + S(t)(w

^(J)_n

, w ˙

_n^(J)

)

− k

²

2r

²

J

X

j=1

sin 2V

_n^(j)

(t)

− k

²

r

²

S(t)(w

^(J)_n

, w ˙

^(J)_n

).

Pour pouvoir appliquer le Lemme 2.2.9, il faut vérifier que