Kunze et E. M. Stein

S ^ÉMINAIRE N. B ^OURBAKI

M ICHÈLE V ERGNE

Sur les intégrales d’entrelacement de R. A.

Kunze et E. M. Stein

Séminaire N. Bourbaki, 1969-1970, exp. n

^o

369, p. 87-106.

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SUR LES

INTÉGRALES

D’ENTRELACEMENT DE R. A. KUNZE ET E. M. STEIN

(d’après

^G.

SCHIFFMANN)

par Michèle VERGNE Séminaire BOURBAKI

22e année,

1969/70,

^{n° 369 Novembre 1969}

1. Définition de la série principale ^des représentations ^d’un groupe semi-simple.

Soit G un groupe de Lie réel, semi-simple, ^connexe et à ^centre fini. ^{On note} g ^son algèbre ^de Lie. Soient _g ⁼ k + p ^une décomposition de Cartan de g ^{et a} une sous-algèbre de Cartan de la paire symétrique

(g k) ,

c’est-à-dire ^{une sous-} algèbre ^{abélienne de} g , maximale parmi celles contenues dans p . Si a est une

racine de a , ^on notera

ga

le sous-espace radiciel correspondant. ^{Fixons un ordre}

sur les racines et posons u ~ ⁼ E

f

et v ^{= E}

g-a .

^{Soient U et V les}

a>0 ~’

sous-groupes analytiques ^{de G} d’algèbres ^{de Lie} u et v, ^K le sous-groupe ^com- pact ^maximal d’algèbre ^{de Lie} k ^{et A} le groupe exp a ; ^{; alors G = KAU est une} décomposition d’Iwasawa de G . Soient M le centralisateur de A dans K et r

le groupe MAU .

Par définition, ^les représentations ^{de la série} principale du groupe G sont les

représentations ^{induites par les} représentations ^{unitaires de dimension finie de r .}

Or toute représentation unitaire irréductible de dimension finie de r est triviale

sur U , ^{scalaire sur} A ; ^{elle est donc} déterminée _par une représentation ^unitaire

irréductible du groupe compact ^{M et par un} caractère unitaire de A . D’autre part,

il _y a bijection ^entre l’ensemble des caractères de A et l’espace

a~

des formes linéaires sur a à ^valeurs complexes. ^{Si X E}

a* ,

^{on désigne par}

^{(03BB ,}

^{a) la valeur}

au point ^{a du caractère} défini par la forme ⁼

e

^si

a = exp H) .

88

Ce caractère est unitaire si et seulement si X est imaginaire pure. Notons p ^la demi-somme des racines positives ^{de a . Si X est une forme} imaginaire pure ^{sur a} et T une représentation unitaire irréductible du _groupe compact M , ^{on notera}

(X, T)

^la représentation ^{R de} r définie

par R(mau) = (~, a)T(m) .

Considérons la représentation

unitaire 03C003BB,03C4

^{de G induite par la} représentation

(X , T)

^de

r . Elle s’effectue _par translations à gauche ^dans l’espace ^{de Hilbert} des fonctions mesurables sur G, à valeurs dans l’espace

VT

^{de la} représentation T , vérifiant presque partout :

(1) cp(g)

^{, pour geG , me M , aeA , ueU}

et dont la restriction à K est de carré intégrable, ^{la norme étant celle de}

L2 (K , VT) .

Rappelons ^{les résultats de Bruhat}

[1]

^{sur ces} représentations. ^{Soient M’ le}

normalisateur de A dans K et W =

M’/M

^{le groupe de Weyl. Alors M’ opère sur}

les caractères de A

((w(B) ,

a) =

(X,

^{w* et sur les} représentations ^{de M}

(w(T)(m) = T(w 1mw)) ;

^{il en résulte une action de W sur les} classes de représen-

tations

(X , T)

^{de r .}

On sait que les représentations ^{et de G sont} équivalentes.

D’autre part, ^si

(X, T)

^{est un couple régulier,} c’est-à-dire ^{si les} transformées par W de la classe de la représentation

(?~, T)

^{de r} sont toutes distinctes, ^la représentation ^est irréductible.

(On

^sait d’ailleurs que la condition

(À , T)

régulier est souvent superflue. Parthasarathy, ^{Rao et} Varadarajan

[6],

^{dans le cas}

complexe, ^{et récemment Kostant}

[~4],

^{dans le cas} réel, ^{ont démontré} que si ^T est la

représentation ^triviale

To

^{de M ,} alors toutes les représentations ^sont irréductibles, quelle que soit la forme X imaginaire

pure.)

^Par conséquent, ^{si w}

appartient à M’ , il existe un opérateur ^unitaire

A(w ;

ï~ ,

T~

entrelaçant ^et

w(~ w(T ,

^{t et si}

^w1

^{1 et}

^w2

^{sont deux éléments de M’ les} opérateurs

À , T)

et

A(w1 ; w2(?~~ , w~(T~~

^o

A(w2 ;

^{’~ ,}

^T~

entrelaçant ^{tous deux et}

03C0w1 w2 ^{(03BB) , w1 w2 C) T}

^{doivent être} proportionnels. ^G. Schiffmann

(cf. [’7l)

^construit

explicitement ^{de tels} opérateurs vérifiant la formule de composition :

(2) A(wlw2 ; ~ , ^{T~ _} w2(~~ , w2(T~~ ~ A(w2 ; ~ , ^T)

pour ^tous les couples

(À, T)

lorsque ^{G est} déployé ^{sur R ou}

C (ce

qui ^avait déjà ^été fait par ^{Kunze et} Stein

(cf. ~5~~,

^{au moins} lorsque ^{G est} déployé ^sur

C )

et seulement pour les couples

(~, T )

^où

T

^{est la} représentation ^{triviale de} M , lorsque ^{G n’est} pas déployé.

(Résultat

qu’obtient ^{aussi S.} Helgason

(3~.~

^Formelle-

ment la construction en est simple : comme nous cherchons un opérateur qui ^commute

aux translations à gauche par G , ^{il est naturel} de chercher un tel opérateur ^sous

la forme d’une translation à ^droite par w ; mais si f vérifie

(1)

^pour

(X, T)

la fonction g ->

f(gw)

^{ne vérifie} pas

(1)

pour

(w(X) , w(T)) :

^{si elle se trans-}

forme à peu près ^{comme on le désire} par ^{A et} M à droite, ^{elle n’est} pas invariante à droite _par U . Toutefois elle est invariante à ^droite par le _groupe

U

^où

U w =

^{tels que et on est donc conduit à poser :}

où du désigne une mesure sur invariante à gauche par U . Il est clair que maintenant cette fonction est invariante à droite par U . Calculons formellement comment elle se transforme à droite _par A .

Soient _{g =} QI

E

à( Bal)

où

0394(w) = (y

^{> 0 tels} que

w-1 (a)

^>

0} ,

^{l’algèbre de}

Lie de

U W

^{et p -1 . la} demi-somme des racines appartenant à

w

R(w ~ ~ - {cx

^{> 0} tels que

w ~ ~a~

0~

^; le groupe A normalise U et

UW

^{et le}

module de la transformation ü ^-~

auâ

^sur

_U~U

^{est le caractère}

w

a -~

(-2 p

_{-1 ,} a ) . ^{Alor s}

W

Il reste donc à vérifier _que

w(p) =

^{p -} 2p _{-~ ,} ^ce qui ^est immédiat, ^car

w

Un calcul analogue ^montre que

A(w; ~ ,

^se transforme à droite _par M suivant la représentation

w(T~ .

Nous avons donc "défini" un opérateur d’entrelacement... malheureusement l’inté- grale précédente ^ne converge pas ^en général.

2. Convergence des intégrales d’entrelacement.

Remarquons que la définition donnée de l’espace de Hilbert

~~‘’T

garde ^{un sens} lorsque X ^{est une forme linéaire} quelconque ^{sur a . Les} translations à gauche par les éléments de G définissent une représentation ^{de G dans}

~~’T

^{par des}

opérateurs bornés. Nous montrerons que si Re ~ est assez "grande", ^{et si f est une} fonction continue appartenant à

~~’T ,

^alors l’intégrale précédente converge.

Soient

To

^la représentation ^{triviale de M}

et xx

^{le vecteur} K-invariant de la représentation ^:

~-?~-p ,

a) . Pour toute fonction f continue

o ~

appartenant à

~~’T

^{la fonction g -~}

Il ?~ (g~

^est invariante à ^droite

par r, ^{donc bornée sur G car}

G/r

^{est compact. Pour tout x dans G et pour}

toute fonction continue f appartenant à

#(~’7 ,

^{on a donc la} majoration

De cette majoration résulte immédiatement la première partie ^{de la} proposition

suivante :

PROPOSITION 1.- Supposons

que U/Uw XRe ^du

^{+co .} Alors pour toute fonction

continue f appartenant à ^et pour tout ^x dans G l’intégrale

f U/Uw

f(xuw)

^{du converge} absolument et définit une fonction continue f’ de x .

De plus, l’application ^{f H f’ se} prolonge ^{en une} application linéaire continue de dans

Hw(03BB) , w(03C4)

^{de norme} inférieure ou

égale à U/Uw ~Re 03BB(uw)

^{dû .}

Démonstration. Il reste simplement à évaluer la norme de la transformation f ~2014> f’ . Si uw =

k a u’

^{est la} décomposition ^{d’Iwasawa de uw}

La mesure du étant finie, ^{on a} d’après l’inégalité de Schwarz :

On désigne par

D(w)

l’ensemble des  E

a*C

^tels

^que

U/Uw ~Re 03BB(uw)

du

Nous allons déterminer ce domaine

D(w)

par récurrence ^sur la longueur ^{de w}

(métho-

de due à Gindikin et

Karpalevic ~2~~.

Nous entendrons par longueur ^{de w la longueur}

de l’image ^{w de w} dans le groupe de Weyl. Rappelons que V est engendré par les

symétries par rapport ^{aux racines} simples ^et qu’une décomposition

s ⁼ s .s ... s d’un élément s de ~t en produit de telles symétries est

ar. a. a.

11 12 lr

dite réduite, ^{si elle} comporte ^{un nombre minimum de} facteurs ; ^{ce nombre minimum}

~(s~

est appelé longueur ^de s : Î Soit l’ensemble des racines a > 0 telles que 0 et soit

R1(w~

l’ensemble des racines « telles que ^a>

0 , 2

^n’est

pas racine et 0 . Alors

~(w~ -

^Card Précisément, ^si w ⁼ s

ai 1 .s ^03B1i 2 ...

s

ai

r

est une décomposition ^{réduite de}

w ,

^alors

Par conséquent, ^{si w =}

w1w2

^avec

e(w) = 8(w~ ~

⁺

~(w2~ ;

^alors

PROPOSITION 2.- Supposons ^{w = avec = +}

l(w2) .

^Alors

T) = w2(03BB) , w2 (03C4))

^o

A(w2 ; 03BB , ^{ï) .}

^°

Plus précisément, ^cette égalité signifie que X e si et seulement si À ^e

et w (X)

^{~ et} que, dans ^ce cas, les deux membres de l’égalité

étant définis sont égaux.

Démonstration. Utilisons une autre forme de l’intégrale d’entrelacement. Si U’

2014201420142014201420142014201420142014 ~

w

est le groupe U fi

wVw-1

_{, alors} U = U*.U . On a donc

w w

où U -

w -1U’ww est

^{le groupe d’algèbre de Lie E}

^(on

normalisera la mesure de Haar sur

VW

^{de telle sorte}

que

v

x03C1w ^(v)

^{dv = + 1}

^).

^Alors:

w

Or l’application

(v1,v2)

^H

w-12v1w2v2

^{est un} isomorphisme ^de

V w’

^x

Vw2

^sur

Vw1w2

^comme le prouve

(3),

^{et respecte les mesures de Haar choisies.}

Il s’agit ^{donc de} déterminer maintenant où west un représentant ^d’une

a a

symétrie

sa

^{par rapport ~ une racine simple a . On a}

Ce problème ^se ramène ~ ^{un calcul sur un} groupe ^de rang réel ^{1 . En} effet, ^notons

u _ _-T~ 2014

ga

⁺ _.

g2«

^{et v -} -tx _

g a

^{+ ~.}

g 2a ,

^{’ 13 la forme de Killing de 2014 g ,}

_Hâ

^{Q~ l’unique}

élément de a_ ^{tel que}

B(H ,Hâ~ - ^{cx(H? ,}

^et

Ha

^{l’unique élément} proportionnel à

H’ _{tel que}

c~(H ~ -

2 . Alors g - ^{v +}

u ~

^{+ u est une algèbre} semi-simple ^de

tx ^{" ’} cy .-~ -cx ’-y 2014o’" -cy

rang 1 , et si G est le sous-groupe analytique correspondant, ^la décomposition

Qf

d’Iwasawa de G induit une décomposition ^{d’Iwasawa de}

G03B1 =

^K

^{A U}

^{Ce avec}

Ka= K(1Ga ,....

Notons p

Q~

le caractère +

q2a~ ,

^{où p est} la multiplicité ^{de la racine}

cx et q la multiplicité ^{de l~â racine 2~ ; ; alors et par} conséquent

si désigne la restriction ^la sous-algèbre

a~

⁼

RHa

^et _Q/ ^désigne

la fonction sur

Ga

^{définie par}

(k~,aâ a) - (-Re ~a - pa , ^{aa) ,}

^alors

Nous allons calculer explicitement, lorsque ^{G est de} rang 1 ^, l’intégrale

c(X) = F x ~(v~

^{dv . Le} résultat interviendra de manière fondamentale dans la suite.

V

Supposons donc maintenant G de rang 1. Soient

8(X~ -

^X’ l’involution de Cartan associée à la décomposition g ⁼ k + p , cx l’unique ^racine positive ^de _a telle que

0/2

^{ne soit pas racine et H l’unique élément de} a ^{tel que 2 . La forme}

quadratique ⁼

4 -/., ~ &#x26;/TjBB

^{est positive non dégénérée sur g et} invariante _par

H H , 8(H)) ^-

Ad K , ^{on note}

~X~ = Q(X)1 2 .

PROPOSITION 3.- Supposons ^{G de} rang 1 ^. Soient v =

exp(Y

⁺

Z~ ,

^{avec Y E}

g a

^et

Z E

g-2a ,

^{, un élément de V et v =}

_{k a u}

^la décomposition ^{d’Iwasawa de v . Si t}

est l’unique nombre réel _{tel que}

a

^{= exp t H , alors e =}

((

^{1 +}

~Y~2 2)2

⁺

^2~Z~2)1/4

^.

Démonstration. La démonstration de ce résultat a été faite cas par cas par

G. Schiffmann. Nous en donnerons ici une démonstration générale due à Godement. Suppo-

sons que 2a soit racine. Pour tout X appartenant à

g2a ,

^on remarque que

Q(v.X) =

^{et en} particulier pour X = Z’ . Mettons en évidence les composan- tes de vZ’ sur chaque espace radiciel

(tableau ci-dessous)

Les remarques suivantes permettent le calcul de

Q(vZ’)

qui ^{se fait} composante

Revenons au calcul de

c(À) .

^{Si on identifie le} caractère À au nombre complexe

X(H) ,

^alors

Cette intégrale ^ne converge absolument _que si Re À ^> 0 . Elle se calcule explicite-

ment par passage ^en coordonnées polaires

En particulier

D(w)

^ne contient pas les formes imaginaires pures. Mais ^{ces formes}

appartiennent à ^{la frontière de}

D(w) .

^Nous montrerons qu’il ^est possible, ^{tout au}

moins dans les ^cas cités plus haut, ^{de définir}

A(w; B, r)

^{pour un tel À par prolon-}

gement analytique.

v

Désignons

par

^{la forme} linéaire - 03BB , ^{et si f E et g}

~ H03BB,03C4 ,

^posons

~

(f,g) = F (f(k) , g(k))dk .

Ceci définit une forme sesquilinéaire ^x

~~’ T

K

invariante _{par les} translations à _{gauche par} G .

On doit donc montrer qu’il ^{existe un} isomorphisme 03C8 ^{de V}

a

sur V

OE conservant la mesure de Haar tel que, si v = k a u est la décomposition d’Iwasawa (le v et si

3. Prolongement analytique ^des intégrales d’entrelacement.

Si À appartient à

D(w) ,

l’opérateur

A(w; À, T)

entrelace les représentations

et

Tr /-. B

^{de G . Si p est une} représentation irréductible de K, l’opérateur

A(w;

03BB,

T)

transforme donc un vecteur K-fini de type D ^{en un vecteur} de même type.

Explicitons ^le sous-espace ^de type ~ ^{de la} représentation

n IB,T

^{. Soit}

~T

l’espace des fonctions f de carré intégrable ^{sur K} qui vérifient

f(km) = (k

e K , ^{m E}

M) .

^La représentation

n IB,T

^{se réalise de manière}

évidente dans

l’espace KT (indépendant

^de

X)

^{et la} restriction de cette représenta-

tion à K est la représentation

fi

^{induite par la} représentation ^T de M .

D’après ^{le théorème de} Frobenius, ^une représentation ^unitaire irréductible D ^{de K} est contenue autant de fois

dans H03C4

que la restriction de D à ^M contient T .

Supposons que la restriction de J) à ^M contienne _p fois T. Soient

V~

^l’espace

E. i ^{(1 5}

^un projecteur ^de

V-.

^{sur un} sous-espace ^de type ^{T et}

une isométrie de sur

V .

^. Alors toute fonction f de type D dans H03C4

est combinaison linéaire de fonctions

f. i,e

^{où, ’ si e est un vecteur} quelconque ^d.e

Vp ,

fi (k) =

^°

Soit

A°(w ; ~ , T)

^la restriction de

A(w ;

ï~ ,

T)

^au sous-espace partout dense des vecteurs K-finis de l’espace

H03C4

^{. On étudiera le} comportement par rap-

port à X ^de

A°(w ;

X ,

T)

^{en étudiant ses} restrictions aux sous-espaces de type D.

Cette étude se ramène ~ celle des intégrales

~

V

~(k~1 ^~~-~-

^{p, et comme}

V

plus haut, ^{il suffit de} considérer le cas où G est de rang réel 1 . Dans ce cas, si eD est une représentation ^{unitaire de} K , il existe un caractère ~, ^{de A tel}

que soit entier, ^{et tel} que ^la fonction v ~ (D(k-1v

)e , e’)(, ,

^{a ) soit poly-}

nômiale sur V

(polynômiale

signifiant que la composée ^avec l’exponentielle ^est poly-

nômiale sur v

).

^Comme v ⁼

g-03B1

⁺

g-2a ,

^{tout élément X de v s’écrit X = Y + Z}

avec Y e

g «

^{et Z E}

g 2« ;

^{; on} doit alors étudier des intégrales de la forme

J ^{P(Y,Z ((}

^{1 +}

~Y~2 2)2

⁺

^2~Z~2) -03BB-03C1- 4

_{dY dZ , où}

P(Y,Z)

^{est une fonction}

v

polynômiale ^{sur v .}

L’une des fonctions sous le signe ^somme étant invariante par le groupe

0(,IYI~~

^x

0(~~Z~~~ ,

^{on peut d’abord rendre} l’autre invariante _par ce même groupe.

Après passage ^en coordonnées polaires, ^{on obtient donc une} combinaison linéaire d’in- tégrales de la forme :

Après ^un changement ^{de variable} évident, l’intégrale ^{ci-dessus est} proportion- nelle à :

qui, à ^{un facteur constant} près, ^{vaut :}

Cette dernière expression analytique lorsque ^{Re X > 0 admet un} prolongement ^méromor- phe ayant pour pôles simples des entiers négatifs ^{ou nuls.}

Revenons au cas général. Introduisons

P(w) ,

l’ensemble des X e

a~

^{tels que}

À(H )

soit entier négatif ^ou nul pour ^au moins une racine ex appartenant à

R(w) .

On obtient alors le :

THÉORÈME 1 .- Soit f E

~ô .

L’application ^{X r-~}

A°(w ; ~ , _{ï)f de}

^dans

~

est analytique. ^{Elle se} prolonge à

a*C

^{en une fonction} méromorphe, analytique ^dans

le complémentaire ^de

P(w) .

Lorsque ^03BB n’est pas ^un pôle ^{de ce} prolongement, l’opérateur

A°(w ;

X,

T~

^{entrelace les} représentations

T et

w ?

^de

l’algèbre ^{de Lie} g .

Nous désirons maintenant supprimer ^les pôles ^de l’application X ^H X,

T)

appartenant à l’ensemble Re X ⁼ 0 . Considérons l’opérateur

M(w; À, T) = ; w(03BB) , w(03C4))

^o

Ao(w ; 03BB , 03C4) .

^Cet opérateur ^{commute avec la} repré-

sentation n ^de l’algèbre ^{de Lie dans Tout au moins} lorsque ^{X est} imagi-

À,T ^o

naire pure ^et

(X, ï)

^un couple régulier, ^cette représentation ^est irréductible, ^et

M(w;

^X

T)

est alors scalaire. D’après ^le principe ^{de l’unicité du} prolongement ^ana- lytique, ^{il en sera encore} ainsi pour ^un À quelconque. ^{Nous allons chercher une} normalisation, c’est-à-dire ^une fonction X t2014~

c(w ;

X,

r)

méromorphe

dans £ ,

analytique ^{et ne} s’annulant _pas sur

D(w) ,

^et telle que les ^nouveaux opérateurs À ,

T)

⁼

2014201420142014201420142014 A (w;

X ,

r)

^{vérifient exactement}

c(w ; X , ï)

B (w" ; w(B) , w(ï))

^o

B (w;

^{À ,}

r)

^{= Id. Moyennant des} hypothèses ^{évidentes sur la}

fonction

c(w;

X ,

ï) ,

^la proposition ⁴ montre que l’adjoint ^de l’opérateur

À, T)

^sera l’opérateur

B (w ; X , ï)" .

^{Donc si B est} imaginaire pure,

l’opérateur

B (w; À,T) ,

^{s’il est défini,} sera unitaire. Mais réciproquement, ^il

en résulte qu’aucune valeur de X imaginaire pure ^ne pourra être un pôle. ^En effet,

on peut ^se contenter de considérer le cas où w = w est de longueur ¹ ; l’opéra-

teur

13 (w ;

^’ _cy ^X,

ï)

^{’ sera} alors fonction de la seule variable complexe ^{’ X} _c~ ⁼

X(H ) ,

^’ _cr

et la fonction À t2014>

)) B (w ;

^{À ,}

03C4)~

restera constante sur l’axe imaginaire pur

en dehors des pôles éventuels, ^ce qui ^{serait absurde s’il en existait.}

Ces considérations heuristiques montrent que l’essentiel est de calculer

; w(B) , w(ï))

^o

A (w;

X,

T) .

Ce calcul se heurte à ^{de sérieuses} difficultés lorsque ^{G n’est} pas déployé. ^{Il ne sera effectué dans ce cas} que lorsque ^Test

la représentation ^{triviale T} _o ^{de M .}

Examinons ce dernier cas. Soit B. l’unique ^vecteur K-invariant de la représen-

tation . Alors B, ⁼

c(w;

où, d’après ^la proposition 2,

0 A. ~B~/

c(w ; X)

^{= n}

c(X ) .

^{On a} posé ^{X =}

X(H )

^et

c(X )

est définie par

(3).

Ri

^ûf

Qf Qf Qf

La fonction X -

c(w; À)

^{est alors une fonction} méromorphe ^de À , analytique ^et

ne s’annulant _pas sur

D(w)

^et

T

THÉORÈME

2.-

1 )

Pour toute fonction f E

H ,

l’application X ^t--~

est une fonction méromorphe ^{de À} analytique ^au voisinage ^de

D(w) .

2)

^{Si B e}

D(w) ,

^alors

Bo(w ;

^{À ,}

T )

^{définit un opérateur borné}

^{B(w ;}

^X,

T )

^de

M.

qui ^{entrelace les} représentations

o

et

T o

de G. ° Si Re À = 0 , ^alors

B(w ;

À ,

T )

^{est unitaire.}

3)

^{Si Re X =} 0 , quels que soient les éléments

w1

^et

w2

^{dans M’ , alors}

Considérons maintenant le cas où G est déployé ^{sur R ou C . La méthode} géné-

rale de réduction au rang 1 nous conduit à effectuer d’abord des calculs préliminai-

res sur

SL(2 ; R)

^ou

SL(2 ; C) .

On choisit comme représentant ^{v du seul élément non trivial} du groupe de Weyl,

l’élément v

°

=

Î-1 0

^{. Les} caractères de A sont définis _par un nombre com-

plexe ^{À : :} (X,

a(t))

⁼

e~t

^{et M} possède deux caractères T

+

et T

-

où T +

est

le caractère trivial de M et T ^le caractère défini _par

T (-1) =

^{-1 . Toute re-}

présentation irréductible de K est équivalente à ^{l’une des} représentations

v . La restriction de v à M est irréductible, ^de type ^T ₊ ^{si n} est pair ^{et de} type T ^{si n est} impair. ^{Si donc on considère la fonction}

~ , l’espace ^{est somme} directe des C t

s avec s pair ^{si T = T} ₊

ou s impair ^{si T = T . . Alors}

Ao(wo ; 03BB , 03C4)03A6s = c(w ;

À , ^où

et

B°(w ;

^{X ,}

ï)

^{définit un opérateur borné de}

H03C4

^{si et} seulement si Re À à 0 , unitaire si Re X ⁼ 0 .

[Remarque :

^les pôles ^{et les zéros de} l’opérateur

B (w ;

X, ï) correspondent ^évidem-

ment à des valeurs de À pour lesquelles ^la représentation

-n ’

est réductible. Par

exemple ^{si T =} T , ^et si À est un entier impair positif ^{À =} 2j ^{+ 1 , alors le}

noyau de l’opérateur

B (w ;

À,

T )

est le sous-espace E

$" .

C’est un sous-

~ ~

~s >2j+

¹

s pair

T

espace

de Ho+

^{stable pour la} représentation ^de l’algèbre ^de Lie, ^et l’opérateur

o

T

X,

T )

^{réalise un} isomorphisme ^de l’espace

quotient Jo+

par ^ce sous-espace sur le sous-espace image ^E

§

^, espace de la représentation ^{de dimension}

! s~ 2j +

¹

s pair 2j ^{+ 1} du groupe

SL (2 ; R) .]

B)

^{G =}

SL(2 ; C)

Les divers sous-groupes considérés sont

On choisit comme représentant ^{du seul élément non trivial du} groupe ^de Weyl l’élément

wo

⁼

-1 0 ^j

^{. Les} représentations ^unitaires

irréductibles

^{de M sont}

ei~

0 B .

les caractères

T

^{de M définis par}

T

^{. ) =}

Les représentations unitaires irréductibles de K sont paramétrées par ^un entier

s positif ^{ou nul.}

Ds

^{se réalise dans l’espace des} polynômes à ^{deux variables X} et Y homogènes ^de degré s , par : g ⁼

B c

=

p(aX

⁺ cY , ^{bX +}

dY) .

Choisissons e. ⁼ 1

comme base de l’espace ^{: alors e. est un vecteur}

J ^s j

propre pour M de poids

TS-2~ .

^La restriction à M contient donc

Tn

^si

et seulement si s ⁼

~n~

^{+ 2p . On considère} l’espace

Rn

^{de la} représentation ^in- duite par le caractère

T

^{de M , et} le sous-espace de

~n

^{des fonctions}

de type

;D s

^. Ce sous-espace est engendré par la fonction f s,n,e

=

e s - n

⁾

2 où e est un vecteur quelconque ^de l’espace ^de

-1 .

^{. On a par conséquent}

X , ^{définit un} opérateur ^{borné de}

Rn dans H-n

^{si et seulement si}

Re 03BB ~ 0 , ^{unitaire si Re X = 0 .}

Passons maintenant au cas d’un _groupe semi-simple déployé ^{sur R ou C ; dans}

ces deux cas, le groupe M est commutatif, ^une représentation irréductible,. ^{de M} est donc simplement ^un caractère T de M .

Supposons par exemple que ^{G est un} groupe semi-simple complexe. ^{Soit ~y une} racine, ^{alors la} sous-algèbre ^{g =}

g

⁺

g

^{+ est une} sous-algèbre ^de g ^iso- morphe à SL

(2 ; C) .

Considérons alors l’homomorphisme

03C603B1

^de

SL(2 ; C)

^{dans G ,}