Analyse III, partie 2 (3BM) : Exercices Année académique 2011-2012
Liste 2 - Mars 2012
Rappels :
I Une suite(um)mdeD0(Ω)converge vers udans D0(Ω)si pour toutϕ∈ D(Ω)
m→+∞lim um(ϕ) =u(ϕ).
Exercice 1. Pour tout ε >0, on pose fε(x) = ε2|x|ε−1 (x∈ R) et on note uε la distribution associée.
DansD0(R), calculer lim
ε→0uε .
Exercice 2. Soient les suitesfm, gm(m∈N0) définies par
fm(x) =
( 0 si|x| ≥ m1 m si|x|< m1 et
gm(x) =
( 0 si|x| ≥ m1 m2 si|x|< m1
Montrer que ces suites convergent presque partout vers 0dans R, que la suiteufm converge dansD0(R) vers2δ0 et que la suiteugm ne converge pas dansD0(R).
Exercice 3. Si elles existent, déterminer les limites pourn→+∞dansD0(R)des distributions suivantes : (a)n2(δ1/n−2δ0+δ−1/n) (b)n3(δ1/n−δ−1/n−2Dδ0)
Exercice 4. Soit(fm)m∈N0 la suite définie par
fm(x) =sin(mx)
x , x∈R0
et soitumla distribution associée àfm. Etudier la convergence de cette suite dansD0(R).
Exercice 5. SoientΩun ouvert deRet(un)n∈Nune suite de distributions qui converge dansD0(R)vers u. Montrer que la suite(Dun)n∈Nconverge versDudansD0(R). Qu’en est-il de la réciproque ?
