II. Méthode de la sécante III. Méthode de Newton

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MPSI-Éléments de cours Approximations des zéros d'une fonction 28 février 2020

Approximations des zéros d'une fonction

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Dichotomie . . . 1 II. Méthode de la sécante . . . 1 III. Méthode de Newton . . . 1

Index

Interpolation linéaire,1

méthode de la sécante,1 méthode de Newton,1

L'approximation des zéros (ou racines) d'une fonction comporte deux temps : la séparation des racines et l'approximation proprement dite.

La séparation des racines consiste à former des intervalles sur lesquels la restriction de la fonction a de bonnes propriétés et admet une seule racine. Les méthodes proposées ici ne portent que sur les manières de former des valeurs approchées de l'unique zéro dans l'intervalle considéré.

Dans les trois cas, on supposera que la fonction est strictement croissante sur un intervalle[a, b]avecf(a)<0 et f(b)>0.

I. Dichotomie

La méthode de dichotomie repose sur le diagramme suivant et se met en oeuvre très facilement informatique- ment. Il est à noter que l'on dispose automatiquement d'une majorations de l'erreur car après n itérations, la racine est entreaetbavec

0< b−a=b−a 2ⁿ

II. Méthode de la sécante III. Méthode de Newton

La séparation des racines a conduit à une fonctionf de classeC²([a, b])telle quef(a)<0,f(b)>0, strictement croissante et convexe. L'unique zéro def est notéeξ.

Le principe de la méthode de Newton est de considérer le point d'intersection de la tangente enMb(de coordonnées (b, f(b))avec l'axe des abscisses. Son abscisse est notéec. On démontre alors les résultats suivants :

c=b− f(b)

f⁰(b) ξ < c < b

En eet, un point de coordonnées(x, y)est sur la tangente enMb si et seulement si y=f(b) + (x−b)f⁰(b)

On en tire

0 =b+ (c−b)f⁰(b)⇒c=b− f(b) f⁰(b)

Commef(b) et f⁰(b) sont strictement positifs, cela prouve aussi c < b. Pour l'autre inégalité, on considère l'ac- croissement entreξetb, on utilise ensuite le théorème des accroisements nis puis la croissance de la dérivée :

∃d∈]ξ, b[ tel que f(b)

b−ξ =f(b)−f(ξ)

b−ξ =f⁰(d)< f⁰(b)⇒ f(b)

f⁰(b) < b−ξ⇒ξ < c

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1 Rémy Nicolai C2195

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f ( c ) > 0

a < - - c b < - - c

b - a > e p s i l o n a < - - b < - - f < - - epsilon <--

V F

V

F

retour a et b

fin c < - - ( a + b ) / 2

Fig. 1: Dichotomie On peut donc dénir par récurrence une suite(x_n)_n∈

Npar :

x0=b xn+1=xn− f(xn) f⁰(xn)

D'après les résultats précédents appliqués à un intervalle[a, xn], cette suite est décroissante et minorée parξ:

∀n∈N:ξ < xn+1< xn

Considérons la fonctionϕdénie par

∀x∈[a, b] :ϕ(x) =−f(x) f⁰(x) Elle est évidemment continue et vérie

ϕ(x) =x⇔f(x) = 0 On en déduit que la limite de la suite convergente(xn)_n∈

Nest l'unique zéroξ.

En fait cette convergence est très rapide. Cela tient au fait queξest un point super-attractif de ϕ. En eet : ϕ⁰(x) = f(x)f⁰⁰(x)

f⁰(x)² ⇒ϕ⁰(ξ) = 0

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M

_a

M

_b

a c

ξ

Fig. 2: Méthode de la sécante

Cela permet d'obtenir des formules de majoration d'erreur très intéressantes et commodes :











0< xn−ξ≤M2

2m₁(x_n−1−xn)² 0< xn+1−ξ≤M2

2m1

(ξ−xn)²

avecm1= min

[a,b]

|f⁰|etM2= max

[a,b]

f⁰⁰

Preuve. On utilise la formule de Taylor avec reste de Lagrange à l'ordre 2 entrex_n−1etxn. Il existec∈]xn, x_n−1[ tel que

f(xn) =f(xn−1) + (xn−xn−1)f⁰(xn−1) +(x_n−x_n−1)² 2 f⁰⁰(c) Par construction :

x_n =x_n−1− f(x_n−1)

f⁰(x_n−1) ⇒f(x_n−1)+ (x_n−x_n−1)f⁰(x_n−1) = 0⇒f(x_n+1) = (xn+1−xn)² 2 f⁰⁰(c)

D'autre part, en utilisant le théorème des accroissements nis appliqué àf entre xn et ξ, il existed∈]ξ, xn[ tel que

0 =f(ξ) =f(xn) + (ξ−xn)f⁰(d) On en déduit

x_n−ξ=−f(x_n)

f⁰(d) =−(x_n−x_n−1)²f⁰⁰(c) 2f⁰(d) ≤ M₂

2m1

(x_n−x_n−1)²

Utilisons maintenant la formule de Taylor avec reste de Lagrange à l'ordre2entrexn et ξ. Il existeu∈]ξ, xn[tel que

0 =f(ξ) =f(xn) + (ξ−xn)f⁰(xn) +(ξ−xn)² 2 f⁰⁰(u) Or

x_n+1=x_n− f(x_n)

f⁰(xn) ⇒f(x_n)−x_nf⁰(x_n) =−xn+1f⁰(x_n)⇒0 = (ξ−x_n+1)f⁰(x_n) +(ξ−x_n)² 2 f⁰⁰(u) On obtient donc :

xn+1−ξ= (ξ−xn)²f⁰⁰(u) 2f⁰(xn

≤ M2

2m1

(ξ−xn)²

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M

_a

M

_b

c

a ξ

Fig. 3: Méthode de Newton