Géométrie dans l’espace Solid geometry

Seconde européenne

Exercices de mathématiques

Chapitre 9

Géométrie dans l’espace Solid geometry

Kepler's Platonisolid model of the Solar system

À la fin de ce chapitre, vous dever :

• savoir manipuler, construire et représenter en perspective des solides ;

• savoir calculer des longueurs, aires et volumes en particulier sur les solides usuels étudiés au collège : parallélépipède rectangle, pyramides, cône et cylindre de révolution, sphère.

• connaître les positions relatives concernant les droites et les plans, en par- ticulier savoir prouver les parallélismes potentiels.

Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine

Année scolaire 2010/2011

Voir et représenter l’espace

9.1

^{Compléter les gures suivantes sahant que}

SABCD

^{est une pyramide de sommet}

S

^{à base arrée,}

EF GH

^et

IJKL

^sontdes tétraèdres.

b b b b

A B

S

D E

F G

H

b b b

b

I

J K

L

b b b

b

9.2

^{Donner le nombre de faes de haun des solides suivants :}

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

9.3

Représenter haun des solides suivantsen perspetiveavalière :

1. Un ubede té

2

^{m. (anglede fuite}

45 ^o

^,report

0, 7

⁾

2. Un pavé droit de longueur

5

^{m, de largeur}

2

^{met de profondeur}

2

^{m. (angle de}

fuite

45 ^o

^{, report}

0, 7

⁾

3. Un prisme droità base hexagonal. (mesures libres)

4. Une pyramide àbase pentagonale.

Calcul de longueurs, d’aires et de volumes

9.4

^{La boîte} représentée i-dessous est onstituée d'un pavé droit surmonté d'un demi- ylindre.

1. Caluler en m

3

le volume de l'objet

arrondi àl'unité.

2. Calulerl'aire de l'objet.

3. Dessiner un patronde et objet.

20 mm 9

mm

22mm

9.5

^{Reprendre lesquestions de l'exeriepréédentpour haune des gures suivantes :}

5 m

4 m

3m

2m 5m

4

m

2 m 3 m

2 m

9.6

^Let

ABCDA ^′ B ^′ C ^′ D ^′

^{bea uboidwith}

dimensions

AB = 7

^,

AD = 3

^and

AA ^′ = 5

^,

the unit being the entimeter.

b b

b b b

b b

b

A B

D C A ^′

B ^′ C ^′ D ^′

1. Computing a fewlengths.

(a) Compute

D ^′ B

^{, using twie a famous theorem.}

(b) Let

I

^{bethe midpoint of}

AB

^and

K ^′

^{the midpoint of}

A ^′ D ^′

^.

Compute the length

IK ^′

^{with the samemethodas inquestion 1.}

2. Areas and volumes.

(a) Compute the volume of

ABCDA ^′ B ^′ C ^′ D ^′

^.

(b) Compute the area of the triangle

IBC

^.

() Dedue thevolumeof the prism

IBCI ^′ B ^′ C ^′

^{, where}

I ^′

^{isthe midpointof}

A ^′ B ^′

^.

(d) Dedue fromthe previous questionsthe volume of the prism

AICDA ^′ I ^′ C ^′ D ^′

^.

(e) Chekthepreviousresultbyomputingthevolumeoftheprism

AICDA ^′ I ^′ C ^′ D ^′

diretly.

9.7 ABCDEF GH

^{est un ube de té 4 m. On note}

O

^{le point} d'intersetion des diagonales

[AG]

^et

[BH]

^{. On admet que}

O

^{est lemilieu des} diagonales.

1. (a) Calulerla longueur de la diagonale

[AG]

^.

(b) Endéduire lavaleurde

GO ² + F O ²

^.

2. Le triangle

GOF

^{est-il retangle?}

3. Les diagonales d'un ube sont-elles perpendiulaires?

9.8

^Let

ABCDEF GH

^{be a ube with side}

4

^{m. Let}

I

^and

K

^{be the midpoints of the}

line segments

BF

^and

AB

^,and

J

^{the point on}

EF

^{suh that}

EJ = ¹ 4 EF

^.

1. What an you say about the lines

IK

^and

AF

^{? Explain your answer.}

2. Four ants are moving alongthe ube, from

A

^to

G

^{, alongfour dierentpaths :}

(a)

AJ + JG

^;

(b)

AI + IF + F G

^;

()

AF + F G

^;

(d)

AK + KI + IG

^.

Compute the length of the path followed by eah ant, rst as anexat value, then

an approximate value to 2DP.

3. (a) Draw the net of the ube atthe sale

1/200

^.

(b) use the net tond the length of the shortest path from

A

^to

G

^.

4. Knowing that a ompetition ant moves at the inredible speed of

5 × 10 ⁻²

^km

·

^h

⁻¹

^,

nd out howlong it willtake for suh anant togo from

A

^to

G

^{along the shortest}

path. The answerwillbegiven in minutes and seonds.

9.9

^{Le ubeotaèdre.}

Soit

ABCDEF GH

^{un ubede té4m. Onplaelespoints}

I

^,

J

^et

K

^{milieuxrespetifs}

des tés

[F E]

^,

[F G]

^et

[F B]

^.

A B

D C

E F

H G I

J

K

1. Dans le ube, ompter le nombre de sommets, noté

S

^{, le nombre d'arêtes, noté}

A

^,

le nombre de faes, noté

F

^{. Caluler}

S − A + F

^.

2. (a) Comments'appellele solide

F IJK

^{? En dessiner un patron.}

(b) Calulerpour e solide lavaleur de

S − A + F

^.

() Calulerle volume de

F IJK

^.

3. Déterminer le volume exat du solide obtenu en enlevant le solide

F IJK

^{du ube.}

Pour e nouveau solide, donner le nombre de faes, d'arêtes et de sommets, et

aluler

S − A + F

^.

4. On enlève ainsi les huitoins du ube

ABCDEF GH

^.

(a) Caluler

S − A +F

^{poure nouveau solide,appeléubotaèdre,représenté}

i-dessous.

(b) Calulerle volume de e solide puis son aire latérale. Endessiner un patron.

Positions relatives dans l’espace

9.10 ABCD

^{est un tétraèdre. Lespoints}

I, J, K

^et

L

^sont respetivementsur les arêtes

[DB ]

^,

[DC]

^,

[AB ]

^et

[DB]

^{, la droite}

(IJ)

^{étant parallèle à la droite}

(BC)

^{et la droite}

(LK)

^parallèleà

(AD)

^.

Compléter les phrases suivantes par oplanaires et séantes , oplanaires et paral-

lèles ounon oplanaires.

A

B

C D

I J

K L

1. Les droites

(IJ )

^et

(DC)

^{sont ...}

2. Les droites

(IJ )

^et

(LC)

^{sont ...}

3. Les droites

(IJ )

^et

(AB)

^sont...

4. Les droites

(IJ )

^et

(KL)

^{sont ...}

5. Les droites

(IK )

^et

(DC)

^{sont ...}

6. La droite

(IJ )

^{et le plan}

(ABC )

^{sont ...}

7. La droite

(IJ )

^{et le plan}

(AKL)

^{sont ...}

8. Les plans

(DAB)

^et

(LDK)

^sont...

9. Les plans

(DAB)

^et

(CIJ)

^{sont ...}

9.11

^Let

ABCDEF GH

^{be a ube with faes}

ABCD

^and

EF GH

^{and edges}

AE

^,

BF

^,

CG

^and

DH

^.Let

I

^,

J

^,

K

^,

L

^,

M

^{bethe respetive midpointsof the edges}

AB

^,

BC

^,

BF

^,

EF

^and

F G

^.

1. (a) Find allthe lines parallel to

(IJ )

^.

(b) Findallthelinesoinidentwith

(JK)

^{thatdon'thave}

J

^nor

K

^{intheirnames.}

() Find at least six lines oplanar with

(KL)

^{that don't have}

K

^nor

L

^{in their}

names.

(d) Find atleast six lines non oplanarwith

(LM )

^.

2. (a) Arethe points

I

^,

K

^,

M

^{ollinear?Explain your answer.}

(b) Arethe points

B

^,

D

^,

M

^{ollinear?Explain your answer.}

() Arethe points

I

^,

J

^,

K

^,

B

^{oplanar? Explain your answer.}

(d) Arethe points

K

^,

M

^,

C

^,

G

^{oplanar? Explain your answer.}

(e) Arethe points

A

^,

C

^,

L

^,

M

^{oplanar? Explain your answer.}

3. (a) Find allthe faes of the ubeoinident with

(KLM)

^.

(b) Find allthe planes parallelto

(IJK)

^.

9.12 ABCDEF GH

^{est un ube dont}

ABCD

^et

EF GH

^{sont des faes et}

[AE]

^,

[BF ]

^,

[CG]

^et

[DH]

^{sontdes arêtes.}Déterminer, sielle existe, l'intersetion

1. des plans

(GHC )

^et

(ABC)

^;

2. des plans

(ABG)

^et

(EF G)

^;

3. des plans

(EF G)

^et

(ABC)

^;

4. des plans

(GHC )

^et

(ABC)

^;

5. des plans

(AF C)

^et

(ABD)

^;

6. des plans

(CDF )

^et

(BHD)

^;

7. des plans

(DEG)

^et

(AF H)

^;

8. duplan

(GHC)

^etdeladroite

(AD)

^;

9. duplan

(BHD)

^etdeladroite

(CF )

^.

9.13

^{Considerauboid}

ABCDEF GH

^suhthat

AB = 6

^m,

AE = 3

^mand

AD = 4

^m.

The fae

ABF E

^{will be drawn as the front fae, in real size, with the edge}

BF

^{on top.}

The length

AD

^willmeasure

2.5

^{monthe piture.A6m spaewillbeleftemptyontop}

of the gure.

The points

I

^and

J

^{are the respetivemidpointsof the edges}

AB

^and

DC

^{.The points}

L

and

M

^{are dened by the relations}

⁻ BL ^{− − − →} = 2 ⁻ BF ^{− − − − →}

^and

⁻ CM ^{− − − − − − →} = 2 ⁻ CG ^{− − − − →}

^.

1. Drawa preisepiture.

2. Prove that the line segments

EF

^and

AL

^{are oinident. Their} intersetion will be alled

K

^.

3. Use vetors toprove that

K

^{is the midpointof}

EF

^and

AL

^.

4. In the same way, what an you say about the intersetion

P

^{of the line segments}

HG

^and

DM

^?

5. Compute the volume of the solid

ABLKEDCMP H

^.

Parallélisme dans l’espace

9.14 Partie A

Soit

ABCDA ^′ B ^′ C ^′ D ^′

^unparallélépipèderetangledebase

ABCD

^etd'arêtes

[AA ^′ ]

^,

[BB ^′ ]

^,

[CC ^′ ]

^,

[DD ^′ ]

^{, dont la} représentation en perspetive avalière vérie

AB = 8

^m,

BC = 3.5

^{m et}

AA ^′ = 4

^{m. On note}

I

^,

J

^,

I ^′

^et

J ^′

^{les milieux respetifs de}

[AB ]

^,

[CD]

^,

[A ^′ B ^′ ]

et

[C ^′ D ^′ ]

^{. Danshaune des questions on préisera lairementles propriétés utilisées.}

1. Prouver queles droites

(IJ )

^et

(II ^′ )

^{sont parallèlesauplan}

(BCB ^′ )

^.

2. En déduireque leplan

(IJI ^′ )

^{est parallèleà}

(BCB ^′ )

^.

3. Prouver queles droites

(AD)

^et

(I ^′ J ^′ )

^{sont parallèlesauplan}

(BCB ^′ )

^.

4. Peut-on déduire de la question préédente que les plans

(ADI ^′ )

^et

(BCB ^′ )

^sont

parallèles?S'ils ne le sontpas, onstruire leur intersetion.

5. Prouverquelesplans

(A ^′ DC)

^et

(IJJ ^′ )

^{ontunpointommun.Endéduirelanature}

de leur intersetion puis la préiserexpliitement.

6. Prouver quelesdroites

(IC)

^et

(JB)

^{sontoplanaires etnon} parallèles.Endéduire leur position relative.

Partie B

On note àprésent

K

l'intersetion de

(IC)

^et

(JB)

^et

K ^′

^elle

(I ^′ C ^′ )

^et

(J ^′ B ^′ )

^.

1. Prouver que

K

^{est le milieu de}

[IC]

^et

[JB]

^{et que}

K ^′

^{est le milieu de}

[I ^′ C ^′ ]

^et

[J ^′ B ^′ ]

^{. Endéduire quela droite}

(KK ^′ )

^{est parallèleaux plans}

(II ^′ B)

^et

(CBB ^′ )

^.

2. Les droites

(KC)

^et

(DA ^′ )

^{sont-elles oplanaires?}

Si oui, sont-elles séantes et en quel point?

3. Mêmes questions pour les droites

(KI )

^et

(AA ^′ )

^.

4. Mêmes questions pour les droites

(KJ )

^et

(BC ^′ )

^.

5. Mêmes questions pour les droites

(KC ^′ )

^et

(II ^′ )

^.

6. Mêmes questions pour les droites

(A ^′ K)

^et

(AJ )

^.

Partie C

Soit

M

^{un pointquelonque du segment}

[IJ ]

^.

1. Prouver que le plan

(KK ^′ M )

^{est séant aux plans}

(II ^′ J )

^et

(BCC ^′ )

^{et onstruire}

les deux intersetions, notées respetivement

∆

^et

∆ ^′

^.

2. Prouver que

∆

^et

∆ ^′

^sont parallèles.

3. Démontrer que

(BB ^′ )

^{est parallèle auplan}

(KK ^′ M)

^.

9.15

^Let

ABCDE

^{be aregulary} square-based pyramid, with

ABCD

^{itsbase. Wenote}

I

^,

J

^and

K

^{the respetivemidpointsof the edges}

AE

^,

BE

^and

CE

^.

1. Prove that the lines

IJ

^and

DC

^{are parallel.}

2. Prove that the planes

IJK

^and

ABC

^{are parallel.}

3. Dedue from the previous question that the lines

KK ^′

^et

DC

^{are parallel.}

4. Findout theintersetionsofthe plane

IJK

^withtheplane

CDE

^andthelines

DE

^.

9.16 ABCDEF GH

^{est un ube.}

I

^,

J

^,

K

^et

L

^{sont les milieuxrespetifs des segments}

[AE]

^,

[AB]

^,

[BC]

^,et

[CG]

^.

1. Faire une gure.

2. (a) Montrer que lequadilatère

AILC

^{est un} parallélogramme.

(b) Montrer que lesdroites

(JK)

^et

(AC)

^sont parallèles.

() Endéduire queles droites

(JK )

^et

(IL)

^sontparallèles.

3. (a) Déduire de 2. queles droites

(IJ )

^et

(KL)

^sontoplanaires.

(b) Peuvent-elles être parallèles? Expliquer.

() On note

M

^{leur point} d'intersetion.

Montrer que

M

^{appartient àla droite}

(BF )

^.

9.17 SABCD

^{est une pyramide de sommet}

S

^{à base} retangulaire.Les points

M

^et

N

sont respetivement sur les arêtes

[SA]

^et

[SB]

^{tels que}

(MN )

^et

(AB)

^sont parallèles.

1. Démontrer que

(CD)

^et

(MN)

^sont parallèles.

2. Dans leplan

(MNCD)

^{, lesdroites}

(DM)

^et

(CN )

^{seoupent en}

P

^.

(a) Expliquer pourquoi

P

^{appartient à lafois auplan}

(SAD)

^{et auplan}

(SBC)

^.

(b) Quelleest ladroite d'intersetion de

(SAD)

^et

(SBC)

^?

() Endéduire que

(SP )

^{est parallèleà}

(BC)

^{et à}

(AD)

^.

9.18

^{Soit un tétraèdre}

ABCD

^.

On note

I

^,

J

^,

L

^et

K

^{lesmilieuxrespetifs des segments}

[AB]

^,

[AC]

^,

[AD]

^et

[AL]

^.

1. Démontrer que ladroite

(IJ)

^{est parallèleauplan}

(BCD)

^.

2. Démontrer que lesplans

(IJL)

^et

(BCD)

^sont parallèles.

3. Déterminer lepoint d'intersetion de la droite

(JK )

^{etdu plan}

(BCD)

^.

4. Dessiner ladroite

( D )

intersetion des plans

(IJK)

^et

(BCD)

^{puis démontrer que}

les droites

(IJ )

^et

( D )

^sontparallèles.

5. On note

P

le plan ontenant la droite

( D )

^{et le point}

L

^{et onnote}

( D ^′ )

^{la droite}

d'intersetion des plans

P

et

(IJL)

^{. Démontrer que les droites}

( D )

^et

( D ^′ )

^sont

parallèles.

9.19

^Let

ABCD

^{be a regular} tetrahedron with

I

^,

J

^,

K

^,

L

^,

M

^and

N

^{the respetive}

midpointsof the edges

AB

^,

BC

^,

CD

^,

DA

^,

AC

^and

DB

^.

1. Drawa preisepiture.

2. Provethat the lines

IL

^and

KJ

^{are paralleltothe same line. Deduethe inidene}

relation between these two lines.

3. Find out the nature of the quadrilateral

IJKL

^.

4. Prove that

IN = ¹ 2 AD

^{and nd out the nature of the triangle}

IJN

^.

5. Howmanyfaesdoesthesolid

IJKLMN

^{have?Isitregular?Whatanyoudedue}

about the natureof this solid.

Homework #12

There exist formulas to ompute the volumes of prisms, pyramids, ones and spheres.

Unfortunately, these formulas don't apply to usual and pratialsolids suh asoil tanks

and barrels.TheGermanmathematiianKeplerdevisedaformulatogetanapproximate

value of the volumeof suh a solid.This formulais

V = h( A ₀ + 4 A ₁ + A ₂ ) 6

where

h

^{isthe heightof the solid,}

A ₀

,

A ₁

and

A ₂

are the areasatthe bottom,the middle and the top of the solid.

Part A – Some situations where the formula is exact

1. A uboidwith dimensions

L, l

^et

h

^.

(a) Draw a uboid inavalier perspetive.

(b) Draw inred the bottom plane,the middleplane and the top plane.

() Compute the area of eah setion.

(d) UseKepler's formulato dedue the volume of the uboid.

(e) Compare the answer of the previous question to the usual formula for the

volume of a uboid.

2. A sphere with radius

r

^{: Followthe same questions as in the previous part to nd}

the volume of the sphere aording toKepler's formula.

3. A pyramid withheight

h

^{and base area}

A ₀

(not neessarily asquare).

(a) Dedue the area of the middleplan fromthe area of the base.

(b) UseKepler's formulato nd the volume of the pyramid.

() Compare the answer of the previous question to the usual formula for the

volume of a pyramid.

It an alsobeproven that theformulaisexat fora one,abarrel and someother solids.

Part B – Limits to the formula

The solidonthe rightismadeofthree prisms.Theunit

is the meter.

1. Compute the exat volume of eah prism and de-

ude the volume of the solid.

2. Apply Kepler's formulatothis solid.

3. What is the perentage of error when using Ke-

pler's formula?

7

1 2

Part C – Practical use of the formula

Roger has threeidential barrels inhis basement. Their dimensions are given below :

h = 70

^m

P ₀ = 155

^m

P ₁ = 176

^m

P ₂ = 155

^m

To make ider, apple juie must be left to ferment in a barrel. Then, the ider is put in

bottles(75l). What is the maximum numberof bottles of ider that Roger an ll?

Table of Contents

Voir et représenter l’espace . . . 1

Calcul de longueurs, d’aires et de volumes . . . 2

Positions relatives dans l’espace . . . 4

Parallélisme dans l’espace . . . 6

Homework #12 . . . 8

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