L3MS2_M2.doc 1/8
Module 2 : Lois des estimateurs et tests des estimateurs
Comme les estimateurs sont des estimateurs linéaires des
Y
t [lesY
t dépendent desε
t qui sont aléatoires et obéissent à des lois normales], alors les estimateurs sont aussi aléatoires et obéissent à des lois normales.
σ α
≡
α ∑
∑
ε t
2 t t
2 t
x n
X
; N ˆ
σ β
≡
β
ε∑
t 2
x
t; 1 ˆ N
Ces lois contiennent l’écart type
σ
ε de l’erreur. On a besoin d’une loi qui contienne à la fois l’estimateur de la variance de l’aléa et la variance de l’aléa pour pouvoir estimer par intervalle de confiance α et β. On utilise alors le résultat :( n 2 ) ˆ
22≡ χ
2( n − 2 )
σ
− σ
ε ε
σ
ε étant inconnu, il faut effectuer une studentisation.Nous construisons de ce fait les intervalles de confiance de α et β et
σ
2ε (unité 1) avant de réaliser les tests d’hypothèse sur ces paramètres (unité 2).1 Estimation par intervalle de confiance de αααα , ββββ et σσσσ ²
εεεεIntervalle de confiance de ββββ
Le problème est le suivant : on cherche
β
1 etβ
2 tels que :1 − p = Pr ob [ β
1< β < β
2]
, c'est-à-dire on veut déterminer un intervalle de confiance de β.On sait que :
σ β
≡
β
ε∑
t 2
x
t; 1 ˆ N
σ
ε étant inconnu, il faut utiliser une loi de Student Rappel :( ) ( )
( )
2 n
2 n
1 , 0 2 N
n T
2
−
− χ
=
−
indépendantesL3MS2_M2.doc 2/8 Donc ici :
( )
( )
( )
( )
( )
2 n
ˆ 2 n ˆ x
2 n
ˆ 2 n
x 1 ˆ
2 n T
2 t
2 t
2 2 t
2 t
− σ
− β
− β
=
− σ
σ
− σ
β
− β
=
−
ε ε
ε
ε
∑ ∑
( ) ( )
σ
εβ
− β
=
−
∑
ˆ ˆ x 2 n
T
t2 t
avec
2 n
e
ˆ
t2 t 2
= − σ
∑
ε
( )
σ <
β
− β
<
=
−
−ε
∑
2 1 p t
2 t 2
p
t
ˆ ˆ x t
ob Pr p 1
( )
< σ β
− β σ <
=
−
⇔ ∑ ∑
ε
− ε
t 2 2 t
1 p t
2 2 t
p
x t ˆ
ˆ x t ˆ
ob Pr p 1
− σ β
<
β σ <
− β
=
−
⇔ ∑ ∑
ε ε
−
t 2 2 t
p t
2 2 t
1 p
x t ˆ
ˆ x
t ˆ ob ˆ Pr p
1
intervalle de confiance de β2 ρ 2
ρ 1 − ρ
t
ρ 2t
1−ρ 2( )
( T n 2 )
f −
( n 2 )
T −
L3MS2_M2.doc 3/8 Rappel :
2 1 p 2
p
t
t = −
− (la loi de Student est symétrique)On peut donc écrire l’intervalle de confiance de β :
± σ β
∈ β
=
− ∑
ε
t t p
x t ˆ
ob ˆ Pr p
2 2
1
Intervalle de confiance de αααα
Le problème est le suivant : il faut chercher
α
1,α
2 tels que1 − p = Pr ob [ α
1< α < α
2]
: c'est-à-dire, on souhaite déterminer un intervalle de confiance de α.On sait que :
σ α
≡
α ∑
∑
ε t
2 t t
2 t
x n
X
; ˆ N
De même ici,
σ
ε étant inconnu, il faut effectuer une studentisation.( )
( )
( )
( )
ε ε
ε ε
σ α
− α
=
− σ
σ
− σ
α
− α
=
− ∑
∑
∑
∑
ˆ X
x n ˆ
2 n
ˆ 2 n
x n
X ˆ
2 n T
t 2 t
t 2 t
2 2 t
2 t t
2 t
( )
< − <
=
−
− 21 p 2
p
T n 2 t
t ob Pr p 1
σ
<
α
− α
<
σ
=
− ∑
∑
∑
∑
− ε ε
t 2 t t
2 t 2
1 p t
2 t t
2 t 2
p
x n
X ˆ
ˆ t x n
X ˆ
t ob Pr p 1
σ
± α
∈ α
=
− ∑
ε
∑
−
t 2 t t
2 t 2
1 p
x n
X ˆ
ˆ t ob Pr p
1
intervalle de confiance de αL3MS2_M2.doc 4/8
Intervalle de confiance de σσσσ²
εεεεLe problème est le suivant : on cherche un encadrement de
σ
2ε, donc il faut trouverσ
12et σ
22 telsque
[
22]
2 2
ob
1Pr p
1 − = σ < σ
ε< σ
On sait que :( n 2
2) ˆ
2≡ χ
2( n − 2 )
σ σ
−
ε ε
( )
[
2]
1 p 2 2
2 2p
2 n ob
Pr p
1 − = χ < χ − < χ
−( ) ( )
σ
−
< χ
< σ σ
−
= χ
−
ε
− ε
ε 2
2 1 p 2 2 2 2 2p
ˆ 2 n 1 ˆ 2 n ob Pr p 1
( ) ( )
χ σ
< − σ χ <
σ
= −
−
ε ε− ε
2 2p
2 2
2 1 p 2
2
n 2 ˆ
ˆ 2 ob n Pr p 1
< χ σ χ <
=
−
∑
∑
− ε 2
2p t
2 2 t
2 1 p 2
t 2
t
e
e ob Pr p
1
intervalle de confiance deσ
2ε2 Tests d’hypothèse
Test sur β
0 1
0
0
: H :
H β = β β ≠ β
En fait, on teste β=0. En effet, si
β ≠ 0
il y a validité du modèle.2 ρ 2
ρ 1 − ρ
2 2
χ
ρχ
21−ρ 2( )
2f χ
( n 2 )
2
−
χ
L3MS2_M2.doc 5/8 On sait que :
( ) ( )
σ
εβ
− β
=
−
∑
ˆ ˆ x 2 n
T
t2 t
( )
< − <
=
−
− 21 p 2
p
T n 2 t
t ob Pr p 1
Si
H
0 :
+ σ β
<
β σ <
+ β
=
− ∑ ∑
− ε ε
t t p
t t p
x t ˆ
ˆ x t ˆ
ob Pr p
2 2 0 1
2 2
1 0
Règle de décision :
± σ β
∉ β
± σ β
∈ β
∑
∑
− ε
− ε
p espèce de
risque au rejetée est
H x t ˆ
si ˆ
p espèce de
risque au acceptée est
H x t ˆ
si ˆ
ère
t t p
ère
t t p
1 1
2 0 1 2
0
2 0 1 2
0
Comme on teste
H
0: β = β
0= 0
, la règle de décision devient :
± σ
∉ β
± σ
∈ β
∑
∑
ε
−
ε
−
rejetée est
H x t ˆ
si ˆ
acceptée est
H x t ˆ
si ˆ
0 t
2 2 t
1 p
0 t
2 2 t
1 p
En fait, il faut rejeter l’hypothèse pour avoir une relation linéaire conservée.
Il est possible de réécrire le test de la façon suivante : 0
1 0
0
: H :
H β = β β ≠ β
( )
< − <
=
−
− 21 p 2
p
T n 2 t
t ob Pr p 1
Si
H
0 :L3MS2_M2.doc 6/8
σ β <
<
=
−
−ρε
∑
21
t 2 t 2
p
t
x ˆ
ˆ t
ob Pr p
1
Comme
σ
ε= σ
β∑
ˆt 2
x
tˆ
σ <
= β
<
σ
< β
=
−
−ρ β
−ρ β
1 2 ˆ
1 2 2 ˆ
p
t ˆ ob Pr
ˆ t t
ob Pr p 1
On pose :
σ
β= β
ˆ c
t ˆ
Règle de décision :
Si
t
c< T ( n − 2 )
alorsH
0 est acceptée au risque de 1ère espèce p Sit
c≥ T ( n − 2 )
alorsH
0 est rejetée au risque de 1ère espèce p Test sur αOn teste ici la nullité de la constante 0 1
0
0
: 0 H :
H α = α = α ≠ α
( ) ( )
∑
∑
σ
εα
− α
=
−
t 2 t t
2 t
X ˆ
x n ˆ
2 n T
( )
< − <
=
−
− 21 p 2
p
T n 2 t
t ob Pr p 1
Si
H
0 :
σ
+ α
<
α
<
σ + α
=
− ∑
∑
∑
∑
ε− ε
t t t
t p
t t t
t p
x n
X ˆ
t ˆ
x n
X ˆ
t ob Pr p
2 2
1 2 2 0
2
2
1 0
Règle de décision :
L3MS2_M2.doc 7/8
σ
± α
∉ α
σ
± α
∈ α
∑
∑
∑
∑
ε
− ε
−
p espèce 1
de risque au
rejetée est
H x n
X ˆ
t ˆ
si
p espèce 1
de risque au
acceptée est
H x n ˆ X t
ˆ si
0 ère
t 2t t
2t
2 1 p 0
0 ère
t 2t t
2t
2 1 p 0
De la même façon que pour
β
, le test peut se réécrire : 01 0
0
: 0 H :
H α = α = α ≠ α
( n 2 )
T
x n
X ˆ
ˆ t ˆ
2 t 2 t ˆ
c
σ ≡ −
= α σ
= α
∑
∑
α ε
Règle de décision :
Si
t
c< T ( n − 2 )
alorsH
0 est acceptée au risque de 1ère espèce p Sit
c≥ T ( n − 2 )
alorsH
0 est rejetée au risque de 1ère espèce p Test surσ
2εOn sait que :
( n 2
2) ˆ
2≡ χ
2( n − 2 )
σ σ
−
ε ε
On veut tester une valeur particulière de la variance de l’aléa : 2
0 2 1 2 0 2
0
: H :
H σ
ε= σ σ
ε≠ σ
( )
[
2]
1 p 2 2
2
2p
n 2
ob Pr p
1 − = χ < χ − < χ
− SiH
0 :
− χ
< σ σ
− <
χ
= σ
−
ε −2 ˆ n
2 ob n
Pr p
1
21 p 2 2 2 0 2 2p 2 0
Règle de décision :
L3MS2_M2.doc 8/8
− χ σ
− χ
∉ σ σ
− χ σ
− χ
∈ σ σ
− ε
− ε
p espèce de
risque au rejetée n H
n ; ˆ
si
p espèce de
risque au acceptée est
n H n ;
ˆ si
ère p
p
ère p
p
2 1 2
2 1 2
2 0 21 20 2 2 20 2
0 1 2
2 2 2 0 2 2 2 0
