INF 321 Un peu de logique

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INF 321 Un peu de logique

Eric Goubault

Cours 6

17 juin 2013

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Dans le dernier ´ episode...

On a vu:

Les fonctions r´ecursives (programmation)

Les fonctions récursives primitives et partielles (théorie de la calculabilité)

On va voir:

Logique propositionnelle (rappels) et théorie de la preuve Logique des prédicats du premier ordre et décidabilité Java Modeling Language

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Un peu de logique du premier ordre

Qu’est-ce que c’est

Créee dans un effort de “formalisation” des mathématiques Par exemple, l’arithmétique de Péano, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, sont des théories du premier ordre Premier ordre: les quantificateurs s’appliquent sur des variables, pas sur des prédicats par exemple

Syntaxe

Partie propositionnelle: opérateurs binaires (infixe) ∧(et), ∨ (ou), ⇒(implication), ⇔ (équivalence), unaire ¬(négation), 0-aire (constantes) 1 (vrai), 0 (faux) et un ensemble de variables infini

Les quantificateurs: ∀ (pour tout),∃ (il existe), des pr´edicats de base, d’arit´es variables,P(x), Q(x,y),x ≤y,x =y etc.

et des fonctions d’arit´es variables ´egalement,f(x),g(x,y), x²,x−y etc.

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Rappel: logique propositionnelle du 1er ordre

Logique propositionnelle non quantifi´ee Que des variables bool´eennes, x₁,x₂, . . . ,x_n

Que les op´erateurs ∧,∨, =⇒,⇔,¬, et les constantes 1 (vrai) et 0 (faux)

Probl`eme SAT

“Satisfiabilit´e” d’une formule Φ: trouver, s’il en existe, des valeurs 1 ou 0 pour les variablesx₁,x₂, . . . ,x_n, telles que la formule Φ soit

“vraie”

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Evaluation des formules en logique propositionnelle

Environnements

On définit une interprétation [[.]] sur les formules à valeur dans D (identifié ici à{0,1}), les booléens

On doit aussi interpr´eter les variablesx qui prennent des valeurs dans D

L’évaluation des formules dépend ainsi également d’un environnement: ρ: Var→D

Evaluation des termes Comme d’habitude...:

[[0]]ρ = 0 [[1]]ρ = 1 [[x]]ρ = ρ(x)

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Evaluation des formules

PourF formule, [[F]]ρ va avoir une valeur dans{0,1}:

Partie propositionnelle

[[Φ∧Ψ]]ρ = ([[Φ]]ρ) ([[Ψ]]ρ) [[¬Φ]]ρ = 1−[[Φ]]ρ

On n’a pas besoin d’en dire plus, grˆace aux lois de Morgan (A∨B =¬((¬A)∧(¬B)), A⇒B = (¬A)∨B etc.)

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Satisfiabilit´ e et tautologies

Satisfiabilit´e

SoitM une interpr´etation (domaine D, fonction s´emantique [[.]], environnementρ) et Φ une formule:

M satisfait Φ, ouM |= Φ si [[Φ]]ρ= 1 Tautologies

Une formule est une tautologie si elle est vraie dans toutes les interpr´etations

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Exemples - ` a vous de jouer!

(x₀∧x₁)∨(¬x₀∧ ¬x₁): appelantρ₀₀,ρ₁₀,ρ₀₁et ρ₁₁ resp. les environnements o`u x0 = 0 (resp. 1, 0 et 1) etx1= 0 (resp. 0, 1, et 1):

[[(x₀∧x₁)∨(¬x₀∧ ¬x₁)]]ρ₀₀

= 1−[[¬(x₀∧x1)∧ ¬(¬x₀∧ ¬x₁)]]ρ00

= 1−([[¬(x₀∧x1)]]ρ00) ([[¬(¬x₀∧ ¬x₁)]]ρ00)

= 1−(1−[[x₀∧x₁]]ρ₀₀) (1−[[¬x₀∧ ¬x₁]]ρ₀₀)

= 1−(1−([[x0]]ρ00)([[x1]]ρ00)) (1−(1−[[x0]]ρ00)(1−[[x1]]ρ00))

= 1

etc.

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Exemples - ` a vous de jouer!

¬(((¬x₀)∨x1)∧x0))∨x1

x0∧x1∨x0

((A⇒B)⇒A)⇒A(loi de Pierce)

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Exemples - ` a vous de jouer!

¬(((¬x₀)∨x1)∧x0))∨x1

x0∧x1∨x0

Un SAT solveur r´esoudrait cela de fa¸con plus maline (DPLL - voir Z3, Yices etc.)

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Exemples - ` a vous de jouer!

¬(((¬x₀)∨x₁)∧x₀))∨x₁ x₀∧x₁∨x₀

Peut-on d´eterminer les tautologies, par “raisonnement”?

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D´ etermination des propri´ et´ es sans

´ enum´ eration, par preuve?

Th´eorie de la preuve...

On ne veut pas utiliser la d´efinition combinatoire de la validit´e des formules

On veut avoir un calcul d’inférences logiques permettant de prouver la validité d’une formule, sans référence au modèle booléen (théorie de la démonstration)

Et maintenant un peu de th´eorie de la d´emonstration...

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Quelques ´ el´ ements de th´ eorie de la d´ emonstration

D´eduction naturelle (Gentzen 1934)

Fa¸con de pr´esenter des preuves en logique propositionnelle du 1er ordre

Notion de règle d’inférence R; étant donné les propositions p1, . . . ,pn, on prouve q (en une étape) se note:

(R) : p₁ p₂ . . . p_n q

“Si on a une preuve de p₁, de p₂,. . ., de pn, alors on a une preuve deq en rajoutant l’inf´erence R”

Un système formel en déduction naturelle est la donnée de règles écrites dans ce format

Une preuve en déduction naturelle est un arbre de telles règles Cas particulier de [p]: on décharge l’hypothèsep (ou la formule p prouvée par ailleurs) - explication après

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Syst` eme de preuve en logique

propositionnelle du 1er ordre (quantifi´ ee)

Axiome

(Ax) p p R`egles d’introduction

(∧I) p q p∧q

[p]

... (⇒I) _p⇒q^q (∨I_g) p

p∨q (∨I_d) q

p∨q (∀I) p

∀x.p (∃I) p[a/x]

∃x.p

((∀I) valide seulement six n’apparaˆıt dans aucune des hypothèses [non déchargées])

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Syst` eme de preuve en logique propositionnelle du 1er ordre

R`egles d’´elimination

(∧E_g) ^p∧q_p (∧E_g) ^p∧q_q (⇒E) p p⇒q q

(∨E)

[p] [q] ... ... p∨q r r

r

(∀E) ∀x.p p[a/x]

(∃E)

[p] ...

∃x.p q q

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Syst` eme de preuve en logique propositionnelle du 1er ordre

R`egles pour F (faux)

(F) F

p (RPA)

[¬p]

... F p

(la dernière règle est la réduction par l’absurde (RPA))

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Exemple de preuve

Prouver quep∧q⇒q∧p

(⇒I) (∧I) (∧E_d) ^[p∧q]_q (∧E_g) ^[p∧q]_p q∧p

p∧q ⇒q∧p

(les hypothèses sont déchargées par la règle d’introduction de l’implication (⇒I)!)

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“S´ emantique” de ces r` egles d’inf´ erences

Sans rentrer trop dans les d´etails...

Soit P l’ensemble des formules logiques que l’on peut ´ecrire dans notre logique propositionnelle du 1er ordre

Chaque règle d’inférenceR définit une fonctionF_R :P → P (de production de nouvelles formules vraies, et enlève les formules déchargées)

L’ensemble des propositions prouvables par le système formel décrit en déduction naturelle est le plus petit ensemble invariant par l’application des F_R,R règle d’inférence: point fixe! (ou cloture transitive de l’application des règles, par le théorème de Kleene - cours suivant!)

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Coq et la logique propositionnelle

En toute rigueur...

Coq a une logique sous-jacente qui n’est pas la logique propositionnelle (ni même des prédicats) du premier ordre - bien plus compliqué que cela

Par d´efaut, il s’agit d’une logique “constructive”

(“intuitioniste”) - on ´evoquera cet aspect au cours 9 (“Curry-Howard”)

On commence les sessions Coq en imposant la logique constructive Require Import Classical.

Manipulation des formules

Ceci n’est pas un cours de Coq! On illustre juste le concept de formalisation des preuves

Les r`egles de manipulation sont proches de celles de la d´eduction naturelle, concernant le fragment propositionnel classique

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Coq: crash course

Propositions

Variables propositionnelle de “type”Prop. Ex. p:Prop

Connecteurs logiques: /\ (et),\/(ou),->(implique),~(non) Quantificateurs: forall (quelque soit),exists (il existe) Preuves

Format des propositions `a prouver (par exemple):

Lemma e x a m p l e : f o r a l l p q : Prop , p /\q−>q /\p . Composé du mot clé Lemmapuis d’un nom,:, la proposition à prouver, et un point

Les preuves démarrents par Proof., finissent par Qed. et sont composées de suites de “tactiques” (mots clés suivis d’un point)

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Etat d’une preuve sous Coq

2 s u b g o a l s H : P /\ Q H1 : P H2 : Q

==============

Q

s u b g o a l 2 i s : P

2 “buts” à prouver: on est en train d’essayer de prouver Q, après on aura à prouverP

Les hypothèses associées à chaque but sont au dessus des

==========; elles ont des noms, utilisables dans les tactiques

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Exemple

Prouver quep∧q⇒q∧p

Lemma e x a m p l e : f o r a l l p q : Prop , p /\q−>q /\p . 1 s u b g o a l s

( 1 / 1 ) f o r a l l p q : Prop , p /\ q −> q /\ p

En d´eduction naturelle

∀p,q, p∧q ⇒q∧p

(23)

Exemple

intros p q.: on suppose donn´es p et q

Lemma e x a m p l e : f o r a l l p q : Prop , p /\q−>q /\p . P r o o f . i n t r o s p q .

1 s u b g o a l s p : Prop q : Prop

( 1 / 1 ) p /\ q −> q /\ p

En d´eduction naturelle (intro de ∀) p∧q ⇒q∧p (∀I) ∀p,q, p∧q ⇒q∧p

(24)

Exemple

intros H.: on introduit l’hypoth`ese de l’implication Lemma e x a m p l e : f o r a l l p q : Prop , p /\q−>q /\p .

P r o o f .

i n t r o s p q . i n t r o H . p : Prop

q : Prop H : p /\ q

( 1 / 1 ) q /\ p

En d´eduction naturelle: (⇒I)

(⇒I)

[p∧q]

q∧p p∧q ⇒q∧p

(25)

Exemple

split.: on doit prouver les deux arguments du et i n t r o s p q . i n t r o H . s p l i t .

p : Prop q : Prop H : p /\ q

( 1 / 2 ) q

( 2 / 2 ) p

En d´eduction naturelle: intro du et (∧I)

(⇒I)

[p∧q]

(∧I) q p

q∧p p∧q ⇒q∧p (∀I) ∀p,q, p∧q⇒q∧p

(26)

Exemple

destruct H: prise des deux arguments d e s t r u c t H .

p : Prop q : Prop H : p H0 : q

( 1 / 2 ) q

( 2 / 2 ) p

Utilisation de l’´elimination gauche et droite du et

(⇒I)

(∧I) (∧E_d) ^[p∧q]_q (∧E_g) ^[p∧q]_p q∧p

p∧q ⇒q∧p

(27)

Exemple

exact H0.: on remarque que l’hypoth`ese est la conclusion, ce qui conclut la preuve

e x a c t H0 . 1 s u b g o a l s p : Prop q : Prop H : p /\ q

( 1 / 1 ) p

(28)

Exemple

On conclut la preuve, avec le dernier but (venant de l’´elimination `a droite):

d e s t r u c t H . e x a c t H .

No more s u b g o a l s .

(puisQed. permet de “d´efinir” le lemme example)

(29)

En r´ esum´ e

Axiome

(Ax) p p H : P

==========

P

exact H.ouassumption. ouapply H.

Introduction du ou

(∨I_d) q p∨q . . .

==========

P \/ Q

r i g h t .

. . .

==========

Q (de mˆeme, left. pour obtenir P)

(30)

En r´ esum´ e

Introduction du et

(∧I) p q p∧q

. . .

===========

P /\ Q

s p l i t .

. . .

===========

P . . .

===========

Q

(31)

En r´ esum´ e

Introduction du “pour tout”

(∀I) p

∀x.p

. . .

===========

f o r a l l X , P

i n t r o .

. . . X : Prop

===========

P

(32)

En r´ esum´ e

Introduction du “implique”

[p]

... (⇒I) _p⇒q^q

. . .

===========

P −> Q

i n t r o .

. . . P

===========

Q

(33)

En r´ esum´ e

Elimination du et

(∧E_g) ^p∧q_p (∧E_g) ^p∧q_q

. . .

H : P /\ Q

============

R

e l i m H . i n t r o . i n t r o .

. . . H0 : P H1 : Q

============

R

(34)

En r´ esum´ e

Elimination du ou

(∨E)

[p] [q]

... ... p∨q r r

r

. . .

H : P \/ Q

==========

R

e l i m H .

H0 : P

==========

R H1 : Q

==========

R (oucase H.)

(35)

En r´ esum´ e

Elimination du “implique”

(⇒E) p p ⇒q q . . .

H : P −> Q

===========

Q

a p p l y H .

. . .

H : P −> Q

===========

P

(36)

A vous de jouer!

Prouver...

∀A,B,C, ((A∧B)⇒C)⇒A⇒B⇒C (“Curryfication” - cf. cours 9)

∀A,B,C, A∧(B∧C)⇒(A∧B)∧C

∀A,B,C,D, (A⇒B)∧(C ⇒D)∧A∧C ⇒B⇒D

(37)

Autre format: calcul des s´ equents

Reformulation de la th´eorie de la d´emonstration en logique propositionnelle du 1er ordre

Introduit par Gentzen (1936), après la déduction naturelle Formulation plus symétrique, sans notion de preuve

“d´echarg´ee”

(38)

Autre format: calcul des s´ equents

Format

Comme en d´eduction naturelle:

pr´emisses conclusion

Les pr´emisses sont constitu´es de jugements de preuves (resp.

la conclusion est un jugement de preuve):

Γ`∆

o`u Γ et ∆ sont des suites de formules logiques

Se lit, “En supposant toutes les formules de Γ prouvées, on peut prouver la disjonction de toutes les formules de ∆” (Γ contient donc les “preuves déchargées” de la déduction naturelle)

(39)

Satisfiabilit´ e versus Preuve?

Notations

On note`p si p est prouvable en logique propositionnelle (par le système de déduction naturelle précédent),

EtM |=p si p est satisfiable dans le modèle M de la théorie de la logique propositionnelle du 1er ordre - |=p si p est satisfiable dans tous les modèles M

En bref

Correction: Si`p alors |=p

Complétude: Si|=p alors `p; c’est-à-dire que sip est vraie, elle est prouvable dans notre système formel! (prouvée dans la thèse de Gödel en 1929)

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Satisfiabilit´ e versus Preuve?

Notations

On note`p si p est prouvable en logique propositionnelle (par le système de déduction naturelle précédent),

EtM |=p si p est satisfiable dans le modèle M de la théorie de la logique propositionnelle du 1er ordre - |=p si p est satisfiable dans tous les modèles M

En bref

Correction: Si`p alors |=p

Complétude: Si|=p alors `p; c’est-à-dire que sip est vraie, elle est prouvable dans notre système formel! (prouvée dans la thèse de Gödel en 1929)

(pas vrai en logique des prédicats en général) ex. 2ème problème de Hilbert, 1900 -

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D’ailleurs en Coq...

Tactique tauto!

Lemma a n d a s s o c : f o r a l l A B C : Prop , A/\(B/\C)−>(A/\B) /\C . P r o o f .

t a u t o . Qed .

P r i n t a n d a s s o c .

La preuve trouv´ee...

f u n (A B C : Prop ) (H : A /\ B /\ C) =>

a n d i n d

( f u n ( H0 : A) ( H1 : B /\ C) =>

a n d i n d ( f u n ( H2 : B) ( H3 : C) =>

c o n j ( c o n j H0 H2 ) H3 ) H1 ) H : f o r a l l A B C : Prop , A/\B/\C−>(A /\ B) /\C Plus d’explication au cours 9!

(42)

Syntaxe de la logique des pr´ edicats

Grammaire

Les termes sont formés à partir des variables, et inductivement, par application répétée de fonctions.

Autrement dit, x variable est un terme, et si t₁, . . . ,t_n sont des termes, et f une fonctionn-aire, alorsf(t₁, . . . ,t_n) est un terme

Les formules sont d´efinies comme suit:

P(t1, . . . ,tn) est une formule quand Pest un pr´edicatn-aire,

ett1, . . . ,tn sont des termes

¬Φ est une formule quand Φ est une formule

Φ∧Ψ, Φ∨Ψ, Φ⇒Ψ, Φ⇔Ψ sont des formules quand Φ et Ψ sont des formules

∀x.Φ et∃x.Φ sont des formules quand Φ est une formule

(43)

En Coq

Formules pour la th´eorie des groupes S e c t i o n G r o u p s .

V a r i a b l e X : S e t . V a r i a b l e m: X∗X−>X . V a r i a b l e u : X . V a r i a b l e i : X−>X .

Pr´edicats

Uniquement l’égalité (déjà défini de manière non équivoque dans Coq)

(44)

Variables libres/li´ ees

Variables libres/li´ees

Une variable est librequand elle n’est pas quantifiée Une variable est liéequand elle est quantifiée Peut se définir (et se vérifier par un programme!) inductivement sur la structure des formules Exemple

Dans la formule

∀x.P(x,y,z) x est li´ee,y et z sont libres

(45)

La logique des pr´ edicats pour formaliser les structures

Vous en avez l’habitude, exemple: groupes

fonctions: ∗(l’op´eration de groupe),⁻¹ (l’inversion) et 1 (l’unit´e du groupe)

prédicats: = (égalité)

Axiomes (formules d´efinissant les groupes, au premier ordre), formant une “th´eorie”:

∀x.x∗1 =x

∀x.1∗x=x

∀x.x∗x⁻¹= 1

∀x.x⁻¹∗x= 1

∀x,y,z.x∗(y∗z) = (x∗y)∗z Cela va surtout nous servir par la suite pour formaliser les propri´et´es de programme (validation - cours 8)

(46)

La logique des pr´ edicats pour formaliser les structures

Vous en avez l’habitude, exemple: groupes

fonctions: ∗(l’op´eration de groupe),⁻¹ (l’inversion) et 1 (l’unit´e du groupe)

Axiomes (formules d´efinissant les groupes, au premier ordre), formant une “th´eorie”:

∀x.x∗1 =x

∀x.1∗x=x

∀x.x∗x⁻¹= 1

∀x.x⁻¹∗x= 1

∀x,y,z.x∗(y∗z) = (x∗y)∗z Cela va surtout nous servir par la suite pour formaliser les

(47)

En Coq

Axiomes

H y p o t h e s i s r i g h t n e u t r a l : f o r a l l x : X , m( x , u)=x . H y p o t h e s i s l e f t n e u t r a l : f o r a l l x : X , m( u , x)=x . H y p o t h e s i s r i g h t i n v e r s e : f o r a l l x : X , m( x , i ( x ))= u . H y p o t h e s i s l e f t i n v e r s e : f o r a l l x : X , m( i ( x ) , x)=u . H y p o t h e s i s m u l t a s s o c : f o r a l l x y z : X ,

m( x ,m( y , z ))=m(m( x , y ) , z ) .

(48)

S´ emantique (=mod` eles, pas preuves!) de la logique des pr´ edicats

Interpr´etation des termes

S´emantique d´enotationnelle encore une fois!

On se donne un mod`ele, oustructure du premier ordre D (un ensemble)

A chaque symbolef d’arit´e n, on associe [[f]] :Dⁿ→D (par convention, pour les constantes, d’arit´e 0, [[f]]∈D)

Interpr´etation des formules

A chaque prédicatP d’arité n on associe une fonction caractéristiqueχP :Dⁿ→ {0,1}

L’idée étant que l’ensemble des valeurs deDⁿ, dans cette interprétation, telles queP est vraie, est χ⁻¹_p (1)

(49)

Evaluation des formules

Environnements

Etant donné un modèle D et une interprétation [[.]]

On doit aussi interpr´eter les variablesx qui prennent des valeurs dans D

L’évaluation des formules dépend ainsi également d’un environnement: ρ: Var→D

Evaluation des termes Comme d’habitude...:

[[x]]ρ = ρ(x)

[[f(t₁, . . . ,t_n)]]ρ = [[f]]([[t₁]]ρ, . . . ,[[t_n]]ρ)

(50)

Evaluation des formules

PourF formule, [[F]]ρ va avoir une valeur dans{0,1}:

Partie propositionnelle

[[Φ∧Ψ]]ρ = ([[Φ]]ρ) ([[Ψ]]ρ) [[¬Φ]]ρ = 1−[[Φ]]ρ

On n’a pas besoin d’en dire plus, grˆace aux lois de Morgan (A∨B =¬((¬A)∧(¬B)), A⇒B = (¬A)∨B etc.)

(51)

Evaluation des formules

[[P(t₁, . . . ,t_n)]]ρ=χ_P([[t₁]]ρ, . . . ,[[t_n]]ρ) [[t1 =t2]]ρ=

1 si [[t1]]ρ= [[t2]]ρ 0 sinon

Quantificateurs:

[[∀x.Φ]]ρ =







1 si ∀ρ⁰ ∈Env t.q. ρ⁰(y) =ρ(y),

∀y 6=x in Var, [[Φ]]ρ⁰ = 1 0 sinon

[[∃x.Φ]]ρ =







1 si ∃ρ⁰ ∈Env t.q. ρ⁰(y) =ρ(y),

∀y 6=x in Var, [[Φ]]ρ⁰ = 1 0 sinon

(52)

Satisfiabilit´ e et tautologies

Satisfiabilit´e

SoitM une interpr´etation (domaine D, fonction s´emantique [[.]], environnementρ) et Φ une formule:

M satisfait Φ, ouM |= Φ si [[Φ]]ρ= 1

Cela n’a réellement de sens que pour les formules Φ closes (c-.à-.d. toutes ses variables sont liées)

Mod`ele d’une th´eorie

M est un modèle d’une théorie, si l’interprétation de tout axiome de cet ensemble d’axiomes est vrai

Exemple: Z/2Z avec l’addition modulo 2 est un mod`ele de la th´eorie des groupes

Tautologies

Une formule est une tautologie si elle est vraie dans toutes les

(53)

Remarques sur les th´ eories et les mod` eles

Comment définit-on la signature d’un modèle ou d’une théorie?

C’est un ensemble de fonctions et de prédicats choisispour une théorie ou un modèle donné

Exemple donné la dernière fois: pour définir la théorie des groupes, il est naturel de prendre comme signature:

fonctions: ∗(l’op´eration de groupe),⁻¹(l’inversion) et 1 (l’unit´e du groupe)

Mais on pourrait aussi ne prendre que ∗,⁻¹ et = (pas l’unit´e donc) et ´ecrire juste en plus des axiomes classiques:

∀x,y x∗x⁻¹=y∗y⁻¹

∀x,y x∗(y∗y⁻¹) =x

(54)

Pour les mod` eles...

Encore plus de choix possible d’une certaine fa¸con Exemple: les nombres r´eels

Peut ˆetre vu comme un groupe additif, donc avec comme signature +,−(oppos´e, unaire) et 0

Peut être vu comme un corps, donc avec +, −,∗et 0 et 1 Peut être vu comme un corps totalement ordonné

archimédien, donc avec +,−,∗, 0 et 1 et comme prédicats = comme précédemment mais aussi≤

etc.

Tout d´epend de ce que l’on veut “observer”

(55)

Exemple

Mod`eles pour la th´eorie des groupes

N’importe quel groupe est un mod`ele de la th´eorie des groupes!

Par exemple D=Z/2Z, l’op´eration de groupe ´etant l’addition modulo 2

Mais la théorie deZ/2Z comprend bien plus d’axiomes, par exemple c’est un groupe abélien! (non requis dans la théorie des groupes généraux)

(56)

Th´ eories et mod` eles

Th´eories

Une théorie (du premier ordre) est un ensemble d’axiomes, c’est-à-dire de formules du premier ordre avec une certaine signature, que l’on suppose être vraie

Exemple: la théorie des groupes vue précédemment!

En général on suppose que l’ensemble d’axiomes est fini ou récursivement énumérable

(57)

Th´ eories et mod` eles

Relation Mod`eles/Th´eories

A tout modèle (ex. R), on peut associer, étant donné une signature (ex. pour R,{=,×,+,−, /,0,1...}), sa théorie du premier ordre, c-.à-.d. l’ensemble de toutes les formules avec cette signature, que satisfait le modèle

Inversement, à toute théorie, on peut associer l’ensemble des modèles qui satisfont à cette théorie

Relations compliquées entre les 2, le premier ordre ne suffit généralement pas à décrire un modèle de fa¸con unique (ex. les réels non standards...)

En fait c’est même assez systématique... (compacité et Lowenheim-Skolem en théorie des modèles, cf. INF 423)

(58)

D´ ecidabilit´ e

Décidabilité en logique des prédicats du 1er ordre Soit F une formule de la logique des prédicats du premier ordre

On choisit comme domaine d’interprétation D=N On dit queF est décidable siχF est dans R (récursive partielle)

(59)

D´ ecidabilit´ e...

Probl`eme de l’arrˆet

On peut coder tout programme Java J(=une chaˆıne de caract`eres) en un entier naturel[J](l’ensemble des programmes estd´enombrable) - on peut le faire de facon algorithmique

Le pr´edicat sur N:

P(n) =”le programme de num´ero n termine”

est ind´ecidable

Il n’existe pas d’algorithme qui étant donné un programme, réponde en temps fini si ce programme termine ou pas!

(60)

La preuve en bref

Supposons qu’il existe un algorithme Aqui prend en argument un programme Jde num´erox prenant en argument un entier, et un entier n et renvoietrue si J(n) termine,falsesinon Consid´erons le programme Ksuivant:

K( x ) { s i A( x , x )

t a n t que ( t r u e ) {}

}

Consid´ererK([K]):

SiKtermine sur[K]alorsA([K],[K]) est vrai, doncK([K]) faittant que (true) { }et ne termine pas...

SiKne termine pas sur[K]alorsA([K],[K])est faux donc K([K])termine...

Contradiction! (argument diagonal `a la Cantor):

(61)

Pour aller plus loin...

En logique

Beaucoup de résultats fondateurs de décidabilité et d’indécidabilité de théories

Par exemple, l’arithmétique de Péano(l’arithmétique que vous connaissez) est indécidable!

Mais Presburger, plus faible, est d´ecidable

(62)

JML: une logique pour les programmes JAVA

Principe

“Java Modeling Language”: annotations mises sous commentaires et apr`es un symbole @

Spécifie des prédicats sur les valeurs des variables pré- et post-conditions, des invariants (cf. cours 8) etc.

Outils dédiés de vérification formelle (cf. cours 8), de vérification à l’exécution (maintenant, et en TD) etc.

Th´eorie et mod`ele

Il faut voir la spécification en JML comme une théorie Et le programme comme un modèle

On cherche à s’assurer que le programme est bien un modèle de la spécification...

(63)

Notations

Propri´et´es

Toutes les propriétés que l’on peut écrire en Java (variables du programme, déréférencements etc.), avec les connecteurs logiques Java (&&, ||etc.) ainsi que d’autres (==>,<==>) On peut rajouter des variables auxilaires, avec des

quantificateurs forall,exists Plus formellement

exprdénotent toutes les expressions arithmétiques Java, sans appel à des méthodes,Rsont ==,!=,<,<=,>,>=, et les propriétés

sont:

Prop ::= expr

| expr R expr

| Prop ==>Prop

| Prop<==>Prop

| Prop && Prop

| Prop|| Prop

| \forall type ident ; Prop

(64)

Notations

Annotations de m´ethodes

requires P; où P est une propriété, est une “précondition”

pour la m´ethode qui suit: “supposons que les valeurs des variables satisfont P”

ensures Q;où P est une propriété, est une “postcondition”

pour la méthode qui suit: “après appel de la méthode, Qest vrai”

\result d´enote la valeur de retour (s’il y en a) de la m´ethode en question

(65)

Notations

Annotations de boucles

loop_invariant P;où P est une propriété, est un “invariant de la boucle” (cf. cours 8) qui suit: “A n’importe quelle

it´eration de la boucle, au d´ebut du corps de boucle,Pest vrai”

decreases E; où E est une expression (fonction vers les entiers, strictement décroissante à chaque itération): permet de prouver la terminaison des boucles (cf. cours 5)

(plus en INF431)

(66)

Un exemple tr` es simple

Exemple de code et d’assertions

p u b l i c c l a s s s i m p l e s u m { /∗@ r e q u i r e s

@ n>=0;

@ e n s u r e s

@ \r e s u l t == 2∗n ;

@ d i v e r g e s f a l s e ;

@ ∗/

s t a t i c i n t sum (i n t n ) { i n t x , y ;

x = 0 ; y = 0 ;

/∗@ l o o p i n v a r i a n t

@ 0<=x && x<=n && y==2∗x ;

@ d e c r e a s e s n−x ;

@∗/

w h i l e ( x<n ) { y=y +2;

x=x +1;

} r e t u r n y ; }

p u b l i c s t a t i c v o i d main ( S t r i n g a r g s [ ] ) { S y s t e m . o u t . p r i n t l n ( sum ( 5 ) ) ;

} }

(67)

Utilisation d’un compilateur JML

(CLASSPATH = . . . / JML : j m l 4 c . j a r : j m l 4 r t . j a r )

> j a v a o r g . j m l s p e c s . j m l 4 . r a c . Main s i m p l e s u m . j a v a

> j a v a s i m p l e s u m 10

(68)

Utilisation d’un compilateur JML

Avec un programme qui ne correspond pas `a la sp´ecification:

/∗@ l o o p i n v a r i a n t

@ 0<=x && x<=n && y==2∗x +1;

@ d e c r e a s e s n−x ;

@∗/ On obtient:

> j a v a s i m p l e s u m

E x c e p t i o n i n t h r e a d ”main ” o r g . j m l s p e c s . j m l 4 . r a c . r u n t i m e . J M L L o o p I n v a r i a n t E r r o r : By method s i m p l e s u m . sum

R e g a r d i n g s p e c i f i c a t i o n s a t

F i l e ”s i m p l e s u m . j a v a ” , l i n e 1 4 , c h a r a c t e r 6 With v a l u e s

n : 5 y : 0 x : 0

a t s i m p l e s u m . i n t e r n a l $ s u m ( s i m p l e s u m . j a v a : 3 6 5 ) a t s i m p l e s u m . sum ( s i m p l e s u m . j a v a : 1 1 )

a t s i m p l e s u m . i n t e r n a l $ m a i n ( s i m p l e s u m . j a v a : 6 1 2 ) a t s i m p l e s u m . main ( s i m p l e s u m . j a v a : 1 3 )

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C’est tout pour aujourd’hui...

Quelques r´ef´erences pour aller plus loin JML:

http://www.eecs.ucf.edu/~leavens/JML//index.shtml (vous pouvez utiliser jml4c, cf. page INF321)

COQ: coq.inria.fr(consulter l’excellent tutoriel de Benjamin Pierce “Software Foundations”, ou les nombreux autres tutoriels, depuis la page INF321)

Plus dans le cours INF551!

La prochaine fois

S´emantique des boucles et des programmes r´ecursifs Bon TD!

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C’est tout pour aujourd’hui...

La prochaine fois

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C’est tout pour aujourd’hui...

La prochaine fois