Equation d’´ etat d’un gaz

Physique G´ en´ erale

Corrig´e de la 6`eme s´erie d’exercices 25 septembre 2012

Equation d’´ etat d’un gaz

Premier principe de la Thermodynamique

1. Comparaison entre la pression d’un gaz parfait et d’un gaz de van der Waals

10 grammes d’oxyg`ene correspondent `a N^mole = 10

32 moles et N = 10

32 6,022×10²³ mol´ecules.

La constante des gaz parfaits est R = 8,31 Joule·K⁻¹·mole⁻¹ La temp´erature dans cet exercice est de 273 + 25 = 298 K et a = 0,38×10⁻⁴⁸ Pa·m⁶·molecule⁻²

b = 5,286×10⁻²⁹ m³·molecule⁻¹. Gaz parfait

De l’´equation des gaz parfaits, nous tirons : P = N^moleR T

V = 8,31·10/32·298

10⁻³ = 773,868 kPa Gaz suivant l’´equation de van der Waals

L’´equation de van der Waals s’´ecrit P + a

N V

²!

(V − Nb) = kNT = N^moleRT

Nous en tirons :

P = NmoleRT (V − Nb) − a

N V

²

= 768,183 kPa

La pression sur les parois est plus grande lorsque nous consid´erons l’´equation des gaz parfaits ; l’´equation de van der Waals a en effet ´et´e obtenue en consid´erons l’attraction des mol´ecules entre elles : cette attraction a pour r´esultat de r´eduire la pression `a la surface. Pour les gaz parfaits, il n’y a aucune interaction entre les mol´ecules consid´r´ees comme des points mat´eriels.

1

2. Travaux dans la d´etente d’un gaz

1,0 2,0 3,0 4,0 10

20 30 40

0

Volume [m³]

Pression [Pa]

A B

C D

1 2

3

a)

1,0 2,0 3,0 4,0 10

20 30 40

0

Volume [m³]

Pression [Pa]

A

C D

b)

a) Dans le processus 1), nous avons une d´etente isobare (`a pression constante) de A `a B. Le travail d´evelopp´e par le gaz de A `a B est de :

WA→B = −P ∆V = −40·(4,0 − 1,0) = −120 Joules

De B `a C, la transformation se fait `a volume constant : aucun travail m´ecanique n’est

´echang´e dans cette transformation. En fin de compte, le travail dans le processus 1) est WA→B→C = −120 Joules.

Dansle processus 2), pour trouver le travail ´echang´e, nous devons sommer les travaux infinit´esimaux : W^A_→^C =

Z ^C

A

δW = − Z ^VC

V_A

P dV . Comme dans ce cas, la pression varie avec le volume, nous devons d’abord trouver sa variation avecV ; nous avons ici une d´ependance lin´eaire de P en fonction deV :P = a +b V o`ua etb sont des constantes.

Pour avoir P = 40 Pa quand le volume est de 1 m³, et P = 10 Pa quand le volume est de 4 m³, a = 50 Pa et b = −10 Pa/m³. Donc :

W^A_→^C = − Z ^VC

V_A

P dV = − Z ^VC

V_A

(50 − 10V)dV = − (50V − 5V²)

4 1

WA→C = −(200 − 80 − 50 + 5) J = −75 J

Dans le processus 3), seule la transformation de D `a C donne lieu `a un ´echange de travail m´ecanique, le processus A → D se faisant `a volume constant :

WD→C = −P ∆V = −10·(4,0 − 1,0) = −30 Joules = WA→D→C

b) Pour un cycle, la variation de l’´energie interne du gaz est nulle (l’´energie interne est une fonction d’´etat). Nous avons donc :

∆U = W + Q = 0 ⇒ Q = −W = −(W^A_→^D + W^D_→^C + W^C_→^A) Q = −(WA→D + WD→C − WA→C) = −(0 − 30 + 75) = −45 Joules

2

Dans ce cycle, le gaz absorbe de l’´energie m´ecanique (W > 0) , par cons´equent, de la chaleur doit en ˆetre ´evacu´e (Q < 0) .

3. Chaleur, travail, ´energie interne

A

B C

D

V P

L’´energie interne est une fonction d’´etat. Sa variation entre A et B ne d´epend pas du chemin parcouru lors de la transformation.

a) ∆UAB = ∆UACB = ∆UADB

∆UAB = ∆UACB = Q + W = 80J − 30J = 50J

∆UADB = 50J = QADB + WADB = QADB − 10J ⇒ QADB = 60J b) ∆U^BA = −50J = Q^BA + 20J ⇒ Q^BA = −70J

Le gaz lib`ere de la chaleur.

c) UA = 10J UD = 50J ∆UAD = 40J = QAD + WAD.

MaisWAD = WADB puisque sur le tron¸con DB, il n’y a pas de travail m´ecanique

´echang´e, le volume du gaz ´etant constant.

WAD = WADB = −10J ⇒ QAD = 50J

Comme nous avions QADB = 60J et que QAD = 50J, QDB = 10J.

4. Egalisation de pression dans deux vases

Quand le robinet est ferm´e, le nombre de moles de gaz dans le vase A est de n^A = PAVA

R TA

et celui du vase B :

nB = PBVB

R T^B = 4PBVA

R T^B Le nombre total de moles est donc : n = nA + nB = VA

R PA

T^A + 4PB

T^B

.

3

Apr`es l’ouverture du robinet, les pressions s’´egalisent et nous avons, en caract´erisant par un prime ⁰ la situation nouvelle :

PA⁰ = Rn⁰AT^A VA

PB⁰ = R n⁰BT^B 4VA

PA⁰ = PB⁰ ⇒ Rn⁰ATA

V^A = Rn⁰BTB

4V^A ⇒ n⁰B =

4TA

T^B

n⁰A

donc :

n = n⁰A + n⁰B = n⁰A

1 + 4TA

T^B

= nA + nB = VA

R PA

T^A + 4PB

T^B

En tirant n⁰A :

n⁰A = V^A R

P^A TA

+ 4P^B TB

· 1

1 + 4TA/TB

et en substituant dans l’expression de PA⁰, nous avons la pression finale P⁰ = PA⁰ = R n⁰AT^A

VA

= P^A + 4P^BT^A/T^B 1 + 4TA/TB

= 2,0×10⁵ Pa

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