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(1)

Terminale STI Régime sinusoïdal

Circuits linéaires en régime sinusoïdal

1 Importance du régime sinusoïdal

 La plus grande partie de l’énergie électrique est produite sous forme de courant alternatif sinusoïdal ;

 Les fonctions sinusoïdales sont simples à manipuler mathématiquement et électriquement ;

 Toute fonction périodique de forme quelconque peut-être décomposée en une somme de signaux sinusoïdaux.

2 Fonction sinusoïdale

2.1 Définitions

 Définition

Une tension sinusoïdale est une grandeur périodique et alternative pouvant s’écrire sous la forme :

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 1/155

(2)

u(t ) = U _M ^sin( ω t ⁺ θ _u ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 2/155

(3)

u(t ) = U _M ^sin( ω t ⁺ θ _u ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 3/155

(4)

Terminale STI Régime sinusoïdal t est le temps en secondes (s

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 4/155

(5)

 est la pulsation en radians par seconde (rad.s^-1) ;

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 5/155

(6)

ω ^t ⁺ ^θ _u

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 6/155

(7)

Terminale STI Régime sinusoïdal est la phase instantanée en radians (rad) ;

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 7/155

(8)

θ _u

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 8/155

(9)

 Valeur moyenne

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 9/155

(10)

< u >= 0

car il s’agit d’une fonction alternative

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 10/155

(11)

Terminale STI Régime sinusoïdal Remarque : la valeur moyenne peut encore s’écrire sous la forme

u

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 11/155

(12)

u

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 12/155

(13)

 Valeur efficace

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 13/155

(14)

Terminale STI Régime sinusoïdal la valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale est :

U = U _M

2

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 14/155

(15)

U = U _M

2

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 15/155

(16)

 Période

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 16/155

(17)

Terminale STI Régime sinusoïdal Par définition T est telle que

u(t ) = u ⁽ t ⁺ kT ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 17/155

(18)

u(t ) = u ⁽ t ⁺ kT ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 18/155

(19)

Terminale STI Régime sinusoïdal ou k = 1, 2, 3, …

ce qui conduit à :

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 19/155

(20)

T = 2 π ω

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 20/155

(21)

Terminale STI Régime sinusoïdal ou avec la fréquence :

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 21/155

(22)

ω ⁼ ^2πf

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 22/155

(23)

2.2 Exemple

Relevé graphique de u :

Une période correspond à un tour du cercle trigonométrique.

T  2

t  u

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 23/155

(24)

u(t _θ ) = 10 2 sin(315. t ⁺¹⁾

u = 2π . ∂t

T = 2 π .0,0032

20.10 ⁻³ = 1,00 rad

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 24/155

(25)

3 Représentation de Fresnel

La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.

3.1 Représentation d’un vecteur

En coordonnées cartésiennes il faut la position (x; y) de son extrémité par rapport à son origine.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 25/155

(26)

U r (x ; y )

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 26/155

(27)

Terminale STI Régime sinusoïdal 3.2 Représentation de Fresnel

Toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) sera représentée par un vecteur de longueur sa valeur efficace et d’angle sa phase à l’origine.

Considérons un dipôle Z traversé par un courant i et ayant entre ses bornes une tension u.

Pour la tension :

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 27/155

(28)

^14/10/98© Claude Divoux, 1999

u(t

28/155

) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ θ _u ⁾ ^⇔ U ^r ⁽ U ^; θ _u ⁾

(29)

Terminale STI Régime sinusoïdal Si on prend le courant I comme origine des phases la

représentation se simplifie.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 29/155

(30)

^14/10/98© Claude Divoux, 1999

u(t

30/155

) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ⁾ ^⇔ U ^r ⁽ U ^; ϕ ⁾

(31)

 (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.

En représentation de Fresnel,  est l’angle allant de i vers u.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 31/155

(32)

Terminale STI Régime sinusoïdal Remarque : il n’est pas nécessaire de représenter la phase instantanée

ω ^t ⁺ ^θ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 32/155

(33)

ω ^t ⁺ ^θ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 33/155

(34)

Terminale STI Régime sinusoïdal puisque dans un circuit électrique, toutes les grandeurs électriques auront l même pulsation . La seule partie qui change pour les différ en Remarque : le déphasage  dépend du dipôle et de la pulsation 

3.3 Loi des mailles en représentation de Fresnel

 Exemple :

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 34/155

(35)

Terminale STI Régime sinusoïdal Loi des mailles instantanée :

u = u ₁ ⁺ u ₂

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 35/155

(36)

u = u ₁ ⁺ u ₂

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 36/155

(37)

Terminale STI Régime sinusoïdal avec

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 37/155

(38)

u ₁ (t ) = U ₁ ^{2 sin(} ω t ⁺ θ ₁ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 38/155

(39)

Terminale STI Régime sinusoïdal et

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 39/155

(40)

u ₂ ( t ) = U ₂ ^{2 sin(} ω t ⁺ θ ₂ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 40/155

(41)

Remarque : u à la même période que u1 et u2.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 41/155

(42)

Terminale STI Régime sinusoïdal Loi des mailles vectorielle :

U r = r

U ₁ ⁺ U ^r ₂

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 42/155

(43)

U r = r

U ₁ ⁺ U ^r ₂

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 43/155

(44)

Terminale STI Régime sinusoïdal avec

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 44/155

(45)

U r ₁ ( U ₁ ; θ ₁ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 45/155

(46)

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 46/155

(47)

U r ₂ ( U ₂ ; θ ₂ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 47/155

(48)

En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 48/155

(49)

U ≠ U ₁ ⁺ U ₂

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 49/155

(50)

 Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 50/155

(51)

4 Puissances en régime sinusoïdal

 Puissance instantanée

La puissance électrique est le produit de la tension par le courant.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 51/155

(52)

u(t ) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 52/155

(53)

u(t ) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 53/155

(54)

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 54/155

(55)

i (t ) = I ^{2 sin(} ω t ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 55/155

(56)

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 56/155

(57)

p = u ^. i ⁼ U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ^). I ^{2 sin(} ω t ^{) = 2.} U ^. I ^.sin( ω t ⁺ ϕ ^).sin( ω t ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 57/155

(58)

p = u ^. i ⁼ U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ^). I ^{2 sin(} ω t ^{) = 2.} U ^. I ^.sin( ω t ⁺ ϕ ^).sin( ω t ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 58/155

(59)

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 59/155

(60)

Terminale STI Régime sinusoïdal Pour réarranger les termes, on utilise la relation trigonométrique ci-dessous :

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 60/155

(61)

sin a .sin b = 1

2 [cos( a ⁻ b ⁾ ⁻ ^cos( a ⁺ b ^)]

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 61/155

(62)

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 62/155

(63)

d’où

p = U ^. I ^.cos( ω t ⁺ ϕ ⁻ ω t ⁾ ⁻ U ^. I ^.cos( ω t ⁺ ϕ ⁺ ω t ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 63/155

(64)

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 64/155

(65)

Terminale STI Régime sinusoïdal Finalement

p = UI ^cos ϕ ⁻ UI ^cos(2 ω t ⁺ ϕ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 65/155

(66)

p = UI ^cos ϕ ⁻ UI ^cos(2 ω t ⁺ ϕ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 66/155

(67)

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 67/155

(68)

Terminale STI Régime sinusoïdal On constate que la puissance instantanée est la somme d’un terme constant

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 68/155

(69)

UI cos ϕ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 69/155

(70)

et d’un terme variant périodiquement

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 70/155

(71)

UI cos(2 ω t ⁺ ϕ ⁾

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 71/155

(72)

Terminale STI Régime sinusoïdal .

 Puissance active

La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La valeur moyenne du terme périodique est nulle (c’est une fonction périodique alternative). Il reste donc le terme constant.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 72/155

(73)

P = UI ^cos ϕ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 73/155

(74)

P = UI ^cos ϕ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 74/155

(75)

Terminale STI Régime sinusoïdal U : valeur efficace de la tension (V) ;

I : valeur efficace du courant (A) ;

 : déphasage entre u et i (rad).

Unité : le watt (W).

 Puissance réactive

La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter les calculs.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 75/155

(76)

Q = UI ^sin ϕ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 76/155

(77)

Q = UI ^sin ϕ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 77/155

(78)

Terminale STI Régime sinusoïdal Unité : le voltampère réactif (VAR)

 Puissance apparente

La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et i(t).

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 78/155

(79)

S = UI

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 79/155

(80)

S = UI

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 80/155

(81)

Terminale STI Régime sinusoïdal Unité : le voltampère (VA).

 Triangle de puissance

En observant les relations ci-dessus on constate que :

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 81/155

(82)

S ² = P ² ⁺ Q ²

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 82/155

(83)

Terminale STI Régime sinusoïdal Ce qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances :

Remarque : seule la puissance active à une réalité physique.

La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.

 Autres relations

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 83/155

(84)

tg ϕ ⁼ Q

P

cosϕ = P S

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 84/155

(85)

5 Les dipôles passifs linéaires

 La résistance (voir tableau)

 La bobine parfaite (voir tableau)

 Le condensateur parfait (voir tableau)

Résistance R Inductance L Capacité C Schéma

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 85/155

(86)

u ^u _R _L = ⁼ Ri ^L ^di

i = C du dt _C dt

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 86/155

(87)

Z ^Z ^Z _R _L _C = ⁼ ⁼ R L ω ¹

C ω

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 87/155

(88)

Y _R = 1

Y _L = R 1

L ω

Y _C = C ω

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 88/155

(89)

Terminale STI Régime sinusoïdal Relation entre les

valeurs efficaces

€

U

^R

=R.I

€

U

^L

=Lω.I

€

U

^C

= 1 Cω .I

Déphasage (rad)

€

ϕ^R=0

€

ϕ

^L

=+ π 2

€

ϕ

^C

=− π 2

Représentation de Fresnel

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 89/155

(90)

P _R = U _R I ⁼ RI ² ⁼ U ² R

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 90/155

(91)

Puissance réactive

Q (VAR) 0

Q _L = U _L I ⁼ L ω I ²

€

Q

^C

=−U

^C

I=−CωU

C2

C fournit Q

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 91/155

(92)

 La bobine réelle

La résistance du fil de cuivre dont est composée la bobine n’est en réalité pas négligeable.

D’où la modélisation d’une bobine réelle par une résistance en série avec une inductance parfaite :

Z est l’impédance de la bobine (en Ohms ; Ω).

Il faut connaître l’expression de Z en fonction de r et L.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 92/155

(93)

Z = r ² ⁺ L ² ω ²

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 93/155

(94)

Z = r ² ⁺ L ² ω ²

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 94/155

(95)

 est la pulsation en rad.s-1 (démonstration en exercice)

 Le condensateur réel

Le condensateur réel ne s’éloigne du condensateur parfait que pour les très hautes fréquences ( > 1 MHz) .

Nous considérons ici que le condensateur est parfait.

6 Théorème de Boucherot

6.1 Théorème

Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du groupement.

6.2 Exemple

 Puissance instantanée

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 95/155

(96)

p = ui ⁼ u ₁ i ₁ ⁺ u ₂ i ₁ ⁺ u ₃ i ₃

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 96/155

(97)

p = ui ⁼ u ₁ i ₁ ⁺ u ₂ i ₁ ⁺ u ₃ i ₃

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 97/155

(98)

 Puissance active

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 98/155

(99)

P = UI ^cos ϕ ⁼ P ₁ ⁺ P ₂ ⁺ P ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^cos ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^cos ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^cos ϕ ₃

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 99/155

(100)

P = UI ^cos ϕ ⁼ P ₁ ⁺ P ₂ ⁺ P ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^cos ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^cos ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^cos ϕ ₃

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 100/155

(101)

 Puissance réactive

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 101/155

(102)

Q = UI ^sin ϕ ⁼ Q ₁ ⁺ Q ₂ ⁺ Q ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^sin ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^sin ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^sin ϕ ₃

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 102/155

(103)

Q = UI ^sin ϕ ⁼ Q ₁ ⁺ Q ₂ ⁺ Q ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^sin ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^sin ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^sin ϕ ₃

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 103/155

(104)

Terminale STI Régime sinusoïdal Le théorème de Boucherot n’est pas valable pour la puissance apparente.

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 104/155

(105)

7 Facteur de puissance

7.1 Définition

 Définition générale

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 105/155

(106)

k = P S

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 106/155

(107)

Terminale STI Régime sinusoïdal Sans dimension.

 Cas particulier du régime sinusoïdal

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 107/155

(108)

k = P

S ⁼

UI ^cos ϕ

UI ^{= cos} ϕ

14/10/98 © Claude Divoux, 1999 108/155

(109)

k = P

S ⁼

UI ^cos ϕ

UI ^{= cos} ϕ

(110)

soit

k = cos ϕ

(111)

(112)

Terminale STI Régime sinusoïdal En régime sinusoïdale le facteur de puissance est

cos ϕ

(113)

cos ϕ

(114)

(115)

Terminale STI Régime sinusoïdal 7.2 Importance du cos 

(116)

Terminale STI Régime sinusoïdal La tension U étant imposée par le réseau EDF (220V, …) et la puissance P nécessaire pour l’installation électrique, le courant s’adapte suivant la relation

(117)

Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans modifier P ou U, il faut augmenter cos .

On dit qu’il faut relever le facteur de puissance.

Problème électrique : comment modifier cos  sans modifier la puissance active P ?

(118)

Terminale STI Régime sinusoïdal Réponse : le facteur de puissance peut s’exprimer de la façon suivante ;

(119)

Cos ϕ ⁼ P

P ² ⁺ Q ²

(120)

Plus Q se rapproche de 0, plus cos  se rapproche de 1. En rajoutant à l’installation électrique des condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P.

Remarque : pour un particulier, EDF facture la puissance apparent S alors que le

consommateur utilise la puissance active P. Pour les entreprises EDF autorise un facteur de puissance limite sous lequel il ne faut pas passer sous peine de surcoût.

7.3 Relèvement du facteur de puissance

Si l’installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (QC < 0) de telle sorte que 0 ≤ Q + QC < Q.

Si l’installation électrique est capacitive (Q < 0), il faut augmenter Q en adjoignant des inductances (QL > 0) de telle sorte que Q < Q + QL ≤ 0.

7.4 Méthode

Dans la plupart des situations la charge est de type inductive (transformateurs, moteurs, chauffage, ...). Pour relever son facteur de puissance il faut donc y ajouter en parallèle un condensateur.

L’objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché.

Sans le condensateur Avec le condensateur

D’après les schémas ci-dessus, on peut faire le bilan des puissances.

Puissance active Puissance réactive Déphasage

Charge seule P On a 

(121)

Q = P ^. tg ϕ

(122)

Condensateur seul 0 -/2

(123)

Q _C = − C ω U ²

(124)

Terminale STI Régime sinusoïdal Charge +

condensateur P On veut ’

(125)

Q ′ = Q + Q _C = P . tg ϕ ′

(126)

Terminale STI Régime sinusoïdal On en déduit la capacité du condensateur de la manière suivante :

(127)

Q _C = − C ω U ² ⁼ Q ^′ ⁻ Q

(128)

(129)

− CωU ² = P .tg ϕ ′ − P .tgϕ

(130)

(131)

Finalement :

C = P ⁽ tg ϕ ⁻ tg ϕ ^′ ⁾

ω U ²

(132)

8 Déphasage

8.1 Définition

•

Valeurs instantanées

(133)

u(t ) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ θ _u ⁾

U et I sont les valeurs efficaces de u et i.

(t+u) et (t+i) sont les phases instantanées de u et i.

(134)

•

Différence de phase

(135)

(136)

ϕ ⁼ θ _u ⁻ ^θ _i

(137)

 est la différence de phase entre u et i ou le déphasage de i par rapport à u.

si  < 0, i est en avance sur u ; la charge est de nature capacitive.

si  > 0, i est en retard sur u ; la charge est de nature inductive.

si  = 0, i et u sont en phase ; la charge est de nature résistive.

on peut alors écrire les grandeurs u et i d’une des façons suivantes :

(138)

u(t

^ou

^u(t ) ⁾ = ⁼ U U ^{2 sin(} ^{2 sin(} ω ω t t ⁾ ⁺ ϕ ⁾

(139)

(140)

Terminale STI Régime sinusoïdal 8.2 Déphasage en représentation de Fresnel

(141)

Terminale STI Régime sinusoïdal Sur le diagramme de Fresnel,  est l’angle allant de

(142)

r I

(143)

Terminale STI Régime sinusoïdal vers

(144)

r U

(145)

(146)

Terminale STI Régime sinusoïdal 8.3 Mesure du déphasage à l’oscilloscope

• Montage expérimental

remarque : à l’oscilloscope ur est l’image de i

On va mesurer le déphasage entre u et i provoqué par les composants R, L et C de ce circuit

• Méthode

A l’oscilloscope on mesure l’intervalle de temps  t allant de u vers i et la période T (identique pour u et i).

Sachant qu’une période complète correspond à 2 radians ou 360 degrés, on effectue une règle de trois pour trouver le déphasage .

(147)

(148)

ϕ ⁼ ^2π ^Δ ^t

T = 2πf .Δ t = ω .Δ t

(149)

Terminale STI Régime sinusoïdal en radians ou

(150)

ϕ ⁼ ³⁶⁰ ^Δ ^t

T

(151)

Terminale STI Régime sinusoïdal en degrés

• Exemple

Il faut choisir l’intervalle t entre deux fronts montants ou deux fronts descendants.

Δt= 1,4div × 0,5ms/div= 0,7 ms T= 8 × 0,5 = 4 ms

ϕ = 2π Δt

T = 2π 0,7

4 = 1,1 rad ou 63°

•

Remarque : il existe une autre méthode de mesure du déphasage à l’oscilloscope (courbes de Lissajous). Il existe également des instruments mesurant automatiquement le déphasage.

8.4 Importance de la mesure du déphasage Le déphasage intervient dans :

- le calcul de puissance et le redressement du facteur de puissance ; - la conception de filtres HiFi ;

- la conception de régulations de systèmes d’asservissement.

En mesure physique le déphasage indique l’intervalle de temps entre deux signaux (ex. : mesure de vitesses, de retards, de temps de réaction, …)

(152)

Terminale STI Régime sinusoïdal 8.5 Résumé

Soit , le déphasage de i par rapport à u :

Grandeurs instantanées Représentation de Fresnel Mesure à l’oscilloscope

(153)

ϕ

Angle allant de i vers u Mesurer t de u vers i

⁼ θ _u ⁻ ^θ _i

(154)

8.6 Mesure du déphasage en électrotechnique

Il faut mesure la puissance active P, la tension efficace U et le courant efficace I.

cosϕ = P S ⁼

P U.I

9 Diagramme de Fresnel d’un circuit électrique

9.1 Diagramme des tensions Exercice

9.2 Diagramme des courants Exercice

9.3 Diagramme des impédances Exercice

(155)

Td corrigé Circuits linéaires en régime sinusoïdal - Physique-appliquee.net pdf

Circuits linéaires en régime sinusoïdal

1 Importance du régime sinusoïdal

2 Fonction sinusoïdale

u(t ) = U M sin( ω t + θ u )

u(t ) = U M sin( ω t + θ u )

ω t + θ u

θ u

< u >= 0

u

u

U = U M

2

U = U M

2

u(t ) = u ( t + kT )

u(t ) = u ( t + kT )

T = 2 π ω

ω = 2πf

u(t θ ) = 10 2 sin(315. t +1)

u = 2π . ∂t

T = 2 π .0,0032

20.10 −3 = 1,00 rad

3 Représentation de Fresnel

U r (x ; y )

u(t

) = U 2 sin( ω t + θ u ) ⇔ U r ( U ; θ u )

u(t

) = U 2 sin( ω t + ϕ ) ⇔ U r ( U ; ϕ )

ω t + θ

ω t + θ

u = u 1 + u 2

u = u 1 + u 2

u 1 (t ) = U 1 2 sin( ω t + θ 1 )

u 2 ( t ) = U 2 2 sin( ω t + θ 2 )

U r = r

U 1 + U r 2

U r = r

U 1 + U r 2

U r 1 ( U 1 ; θ 1 )

U r 2 ( U 2 ; θ 2 )

U ≠ U 1 + U 2

4 Puissances en régime sinusoïdal

u(t ) = U 2 sin( ω t + ϕ )

u(t ) = U 2 sin( ω t + ϕ )

i (t ) = I 2 sin( ω t )

p = u . i = U 2 sin( ω t + ϕ ). I 2 sin( ω t ) = 2. U . I .sin( ω t + ϕ ).sin( ω t )

p = u . i = U 2 sin( ω t + ϕ ). I 2 sin( ω t ) = 2. U . I .sin( ω t + ϕ ).sin( ω t )

sin a .sin b = 1

2 [cos( a − b ) − cos( a + b )]

p = U . I .cos( ω t + ϕ − ω t ) − U . I .cos( ω t + ϕ + ω t )

p = UI cos ϕ − UI cos(2 ω t + ϕ )

p = UI cos ϕ − UI cos(2 ω t + ϕ )

UI cos ϕ

UI cos(2 ω t + ϕ )

P = UI cos ϕ

P = UI cos ϕ

Q = UI sin ϕ

Q = UI sin ϕ

S = UI

S = UI

S 2 = P 2 + Q 2

tg ϕ = Q

P

5 Les dipôles passifs linéaires

u u R L = = Ri L di

i = C du dt C dt

Z Z Z R L C = = = R L ω 1

C ω

Y R = 1

Y L = R 1

L ω

Y C = C ω

€

U

=R.I

€

U

=Lω.I

€

u(t ) = U _M ^sin( ω t ⁺ θ _u ⁾

u(t ) = U _M ^sin( ω t ⁺ θ _u ⁾

ω ^t ⁺ ^θ _u

θ _u

U = U _M

U = U _M

u(t ) = u ⁽ t ⁺ kT ⁾

u(t ) = u ⁽ t ⁺ kT ⁾

ω ⁼ ^2πf

u(t _θ ) = 10 2 sin(315. t ⁺¹⁾

20.10 ⁻³ = 1,00 rad

) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ θ _u ⁾ ^⇔ U ^r ⁽ U ^; θ _u ⁾

) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ⁾ ^⇔ U ^r ⁽ U ^; ϕ ⁾

ω ^t ⁺ ^θ

ω ^t ⁺ ^θ

u = u ₁ ⁺ u ₂

u = u ₁ ⁺ u ₂

u ₁ (t ) = U ₁ ^{2 sin(} ω t ⁺ θ ₁ ⁾

u ₂ ( t ) = U ₂ ^{2 sin(} ω t ⁺ θ ₂ ⁾

U ₁ ⁺ U ^r ₂

U ₁ ⁺ U ^r ₂

U r ₁ ( U ₁ ; θ ₁ ⁾

U r ₂ ( U ₂ ; θ ₂ ⁾

U ≠ U ₁ ⁺ U ₂

u(t ) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ⁾

u(t ) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ⁾

i (t ) = I ^{2 sin(} ω t ⁾

p = u ^. i ⁼ U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ^). I ^{2 sin(} ω t ^{) = 2.} U ^. I ^.sin( ω t ⁺ ϕ ^).sin( ω t ⁾

p = u ^. i ⁼ U ^{2 sin(} ω t ⁺ ϕ ^). I ^{2 sin(} ω t ^{) = 2.} U ^. I ^.sin( ω t ⁺ ϕ ^).sin( ω t ⁾

2 [cos( a ⁻ b ⁾ ⁻ ^cos( a ⁺ b ^)]

p = U ^. I ^.cos( ω t ⁺ ϕ ⁻ ω t ⁾ ⁻ U ^. I ^.cos( ω t ⁺ ϕ ⁺ ω t ⁾

p = UI ^cos ϕ ⁻ UI ^cos(2 ω t ⁺ ϕ ⁾

p = UI ^cos ϕ ⁻ UI ^cos(2 ω t ⁺ ϕ ⁾

UI cos(2 ω t ⁺ ϕ ⁾

P = UI ^cos ϕ

P = UI ^cos ϕ

Q = UI ^sin ϕ

Q = UI ^sin ϕ

S ² = P ² ⁺ Q ²

tg ϕ ⁼ Q

u ^u _R _L = ⁼ Ri ^L ^di

i = C du dt _C dt

Z ^Z ^Z _R _L _C = ⁼ ⁼ R L ω ¹

Y _R = 1

Y _L = R 1

Y _C = C ω

P _R = U _R I ⁼ RI ² ⁼ U ² R

Q _L = U _L I ⁼ L ω I ²

Z = r ² ⁺ L ² ω ²

Z = r ² ⁺ L ² ω ²

p = ui ⁼ u ₁ i ₁ ⁺ u ₂ i ₁ ⁺ u ₃ i ₃

p = ui ⁼ u ₁ i ₁ ⁺ u ₂ i ₁ ⁺ u ₃ i ₃

P = UI ^cos ϕ ⁼ P ₁ ⁺ P ₂ ⁺ P ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^cos ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^cos ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^cos ϕ ₃

P = UI ^cos ϕ ⁼ P ₁ ⁺ P ₂ ⁺ P ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^cos ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^cos ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^cos ϕ ₃

Q = UI ^sin ϕ ⁼ Q ₁ ⁺ Q ₂ ⁺ Q ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^sin ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^sin ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^sin ϕ ₃

Q = UI ^sin ϕ ⁼ Q ₁ ⁺ Q ₂ ⁺ Q ₃ ⁼ U ₁ I ₁ ^sin ϕ ₁ ⁺ U ₂ I ₁ ^sin ϕ ₂ ⁺ U ₃ I ₃ ^sin ϕ ₃

S ⁼

UI ^cos ϕ

UI ^{= cos} ϕ

S ⁼

UI ^cos ϕ

UI ^{= cos} ϕ

Cos ϕ ⁼ P

P ² ⁺ Q ²

Q = P ^. tg ϕ

Q _C = − C ω U ²

Q ′ = Q + Q _C = P . tg ϕ ′

Q _C = − C ω U ² ⁼ Q ^′ ⁻ Q

− CωU ² = P .tg ϕ ′ − P .tgϕ

C = P ⁽ tg ϕ ⁻ tg ϕ ^′ ⁾

ω U ²

u(t ) = U ^{2 sin(} ω t ⁺ θ _u ⁾

ϕ ⁼ θ _u ⁻ ^θ _i

^u(t ) ⁾ = ⁼ U U ^{2 sin(} ^{2 sin(} ω ω t t ⁾ ⁺ ϕ ⁾

ϕ ⁼ ^2π ^Δ ^t

ϕ ⁼ ³⁶⁰ ^Δ ^t

⁼ θ _u ⁻ ^θ _i