Réseaux linéaires en régime sinusoïdal établi

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Réseaux linéaires en régime sinusoïdal établi

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

lundi 16 décembre 2019

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Impédance complexe Lois générales des circuits linéaires en régime sinusoïdal établi Puissance en régime sinusoïdal établi (HP)

I on a étudié la réponse d’un oscillateur harmonique en régime sinusoïdal établi (RSE) en fonction de la fréquence, au moyen de la représentation complexe

I valable en particulier pour un circuit RLC série : I cet outil est approprié pourtout circuit linéaire

I chaque dipôle sera caractérisé parune fonction complexe de ω, l’impédance complexe

I on retrouvera l’équivalent de la loi d’Ohm sur lesUetI, valable pour tout dipôle linéaire: toutes les lois du régime stationnaire seront valables en régime sinusoïdal établi

I on pourra déterminer par exemple les fréquences de résonance de circuits électroniques : détection du signal reçu par une antenne, fréquence d’oscillateurs électroniques (montres, émetteurs RF/Wifi) I on pourra caractériser la réponse en fréquence d’un système

électronique (amplificateur hifi)

I cette étude est nécessaire pour comprendre l’excitation résonante d’une balançoire, absorption/émission de rayonnement

éléctromagnétique par un atome à une/des longueurs d’ondes particulières…

sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 4/31

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I valable en particulier pour un circuit RLC série :

I cet outil est approprié pourtout circuit linéaire

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I on pourra déterminer par exemple les fréquences de résonance de circuits électroniques : détection du signal reçu par une antenne, fréquence d’oscillateurs électroniques (montres, émetteurs RF/Wifi)

I on pourra caractériser la réponse en fréquence d’un système électronique (amplificateur hifi)

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éléctromagnétique par un atome à une/des longueurs d’ondes

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Réponse d’un RLC série Stabilité d’un circuit linéaire

Impédance d’un dipôle passif en régime sinusoïdal établi (RSE) Exemples d’impédances

1. Impédance complexe

2. Lois générales des circuits linéaires en régime sinusoïdal établi 3. Puissance en régime sinusoïdal établi (HP)

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1. Impédance complexe 1.1 Réponse d’un RLC série 1.2 Stabilité d’un circuit linéaire

1.3 Impédance d’un dipôle passif en régime sinusoïdal établi (RSE) 1.4 Exemples d’impédances

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Analogie électromécanique

I RLC série alimenté en sinusoïdal àωpar unGBFd’amplitudeE: d²uc

dt² +ω₀ Q

duc

dt +ω₀²uc=ω₀²Ecos(ωt) avec:ω0= 1

√LC Q= 1 RCω0

I de même pour tout oscillateur mécanique :

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Analogie électromécanique

I RLC série alimenté en sinusoïdal àωpar unGBFd’amplitudeE: d²uc

dt² +ω₀ Q

duc

dt +ω₀²uc=ω₀²Ecos(ωt) avec:ω0= 1

√LC Q= 1 RCω0

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Analogie électromécanique

I RLC série alimenté en sinusoïdal àωpar unGBFd’amplitudeE: d²u_c

dt² +ω0

Q du_c

dt +ω₀²u_c=ω₀²Ecos(ωt) avec:ω0= 1

√LC Q= 1 RCω0

Résonance en élongation pour Q>1/√

2

0,5 1 1,5 2 2,5 3 1

2 3

0 ω/ω₀

Xm/Ym

Q = 3 Q = 1/

√ 2 Q = 0,3

Valable pouru_c,q

Résonance en vitesse pour toutQ

0,5 1 1,5 2 2,5 3 1

2 3

0 ω/ω0

Vm/(ω0Ym)

Q = 3 Q = 1/

√ 2 Q = 0,3

Valable pouruR,i

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Analogie électromécanique

dt² +ω0

Q du_c

√LC Q= 1 RCω0

I de même pour tout oscillateur mécanique : Résonance en élongation pour

Q>1/√ 2

0,5 1 1,5 2 2,5 3 1

2 3

0 ω/ω₀

Xm/Ym

Q = 3 Q = 1/

√ 2 Q = 0,3

0,5 1 1,5 2 2,5 3 1

2 3

0 ω/ω0

Vm/(ω0Ym)

Q = 3 Q = 1/

√ 2 Q = 0,3

Valable pouruR,i

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Analogie électromécanique

dt² +ω0

Q du_c

√LC Q= 1 RCω0

I de même pour tout oscillateur mécanique : Résonance en élongation pour

Q>1/√ 2

0,5 1 1,5 2 2,5 3 1

2 3

0 ω/ω₀

Xm/Ym

Q = 3 Q = 1/

√ 2 Q = 0,3

Valable pouru_c,q

0,5 1 1,5 2 2,5 3 1

2 3

0 ω/ω0

Vm/(ω0Ym)

Q = 3 Q = 1/

√ 2 Q = 0,3

Valable pouru_R,i

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Circuit linéaire stable

on va généraliser l’étude en sinusoïdal complexe à tout circuit linéaire stable

La réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale àωest la somme :

I d’un régime transitoire,

I d’un régime sinusoïdal àω, ditétabli.

On ne s’intéresse qu’à la composante sinusoïdale àω: Définition (Circuit linéaire stable)

Un circuit linéaire est ditstableen régime sinusoïdal établi (ou permanent) si :

I toutes les tensionsu_n(t)et intensitési_n(t)du régime transitoire tendent vers0,

I toutes les tensionsu_n(t)et intensitési_n(t)du régime sinusoïdal établi sont bornées.

On n’étudiera que des circuits stables.

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Circuit linéaire stable

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Circuit linéaire stable

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Circuit linéaire stable

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Circuit linéaire stable

On ne s’intéresse qu’à la composante sinusoïdale àω:

Définition (Circuit linéaire stable)

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Circuit linéaire stable

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Circuit linéaire stable

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Impédance

Un dipôle linéaire passif est caractérisé en régime sinusoïdal établi dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, par uneimpédance Z=Ze^jϕ^Z, (Z>0, ϕ∈R) complexe, telle que, en convention récepteur, à chaque instant :

U(t) I(t) = Um

I_m =Z.

On a donc :

Z=|Z|=U_m Im

et:ϕ_Z=ϕ_U−ϕ_I.

En régime sinusoïdal établi :

réel u(t) =Umcos(ωt+ϕu) i(t) =Imcos(ωt+ϕi) complexe U(t) =Ume^jωt I(t) =Ime^jωt

Équation caractéristique pour un dipôle passif linéaire :

P nα_n^dnu

dtn+P nβ_n^dni

dtn=0→P

n(jω)ⁿα_nU_me^jωt=−P

n(jω)ⁿβ_nI_me^jωt

Il existeZtel que :

U(t) I(t) =Um

Im

=Z=Ze^jϕ^Z

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Impédance

U(t) I(t) = Um

I_m =Z.

On a donc :

Z=|Z|=U_m Im

et:ϕ_Z=ϕ_U−ϕ_I. En régime sinusoïdal établi :

P nα_n^dnu

dtn+P nβ_n^dni

dtn=0→P

Il existeZtel que :

U(t) I(t) =Um

Im

=Z=Ze^jϕ^Z

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Impédance

U(t) I(t) = Um

I_m =Z.

On a donc :

Z=|Z|=U_m Im

et:ϕ_Z=ϕ_U−ϕ_I. En régime sinusoïdal établi :

P nα_n^dnu

dtn+P nβ_n^dni

dtn=0→P

Il existeZtel que :

U(t) I(t) =Um

Im

=Z=Ze^jϕ^Z

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Résistance et réactance

Définition (Résistance et réactance)

On nomme respectivementrésistanceetréactanceles parties réelle et imaginaire deZ.

Z=R+jS

(R: résistance =Re(Z) S: réactance =Im(Z) On définit également l’admittance :

Y= 1

Z =G+jB

(G: conductance =Re(Y) B: susceptance =Im(Y)

La représentation dans le plan complexe deZest nomméereprésentation de FresneldeZ.

I extensions complexes de la résistance et de la conductance : Zen Ω etYen S

I ϕ(Z)représentel’avance deu(t)par rapport ài(t)

I on noteraZ(jω): fraction rationnelle enjω: son amplitude et sa phase dépendent de la pulsation du régime établi

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Résistance et réactance

Z=R+jS

(R: résistance =Re(Z) S: réactance =Im(Z)

I ϕ(Z)représentel’avance deu(t)par rapport ài(t)

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Résistance et réactance

Z=R+jS

(R: résistance =Re(Z) S: réactance =Im(Z)

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Résistance et réactance

Z=R+jS

(R: résistance =Re(Z) S: réactance =Im(Z)

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Résistor

L’impédance d’un résistor est sa résistance :Z=R:

R S

Z ϕ= 0illustre queuetisont en phase quelle que soit la fréquence.

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Résistor

R S

Z

ϕ= 0illustre queuetisont en phase quelle que soit la fréquence.

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Résistor

R S

Z ϕ= 0illustre queuetisont en phase quelle que soit la fréquence.

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Condensateur

L’impédance d’un condensateur idéal est, en convention récepteur :

Z_C= 1 jCω = −j

Cω →S<0.

Tout dipôle de réactance négative est ditcapacitif.

R S

Z(idéal) Z(capacitif)

I ϕ_Z=−π/2: uest en quadrature retard par rapport ài

I |Z| →

ω→0∞: on retrouve l’interrupteur ouvert en régime stationnaire

I |Z| →

ω→∞0: le condensateur idéal est équivalent à un interrupteur fermé à haute fréquence

t

signal i

u

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Condensateur

ZC= 1 jCω= −j

Cω

→S<0.

R S

I |Z| →

t

signal i

u

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Condensateur

ZC= 1 jCω= −j

Cω

→S<0.

R S

I |Z| →

t

signal i

u

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Condensateur

ZC= 1 jCω= −j

Cω

→S<0.

R S

I |Z| →

t

signal i

u

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Condensateur

ZC= 1 jCω= −j

Cω

→S<0.

R S

I |Z| →

t

signal i

u

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Bobine

L’impédance d’une bobine idéale est : Z_L=jLω→S>0.

Tout dipôle de réactance positive est ditinductif.

R S

Z_(idéale) Z_(inductif)

I ϕ_L=π/2: uest en quadrature avance par rapport ài

I |Z| →

ω→00: on retrouve l’interrupteur fermé en régime stationnaire I |Z| →

ω→∞∞: la bobine idéale est équivalente à un interrupteur ouvert à haute fréquence

t signal

i u

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Bobine

L’impédance d’une bobine idéale est :

ZL=jLω→S>0.

Tout dipôle de réactance positive est ditinductif. R

S Z(idéale)

Z(inductif)

I |Z| →

t signal

i u

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Bobine

ZL=jLω→S>0.

S Z(idéale)

Z(inductif)

I |Z| →

t signal

i u

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Bobine

ZL=jLω→S>0.

S Z(idéale)

Z(inductif)

I |Z| →

ω→00: on retrouve l’interrupteur fermé en régime stationnaire

I |Z| →

t signal

i u

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Bobine

ZL=jLω→S>0.

S Z(idéale)

Z(inductif)

I |Z| →

t signal

i u

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Impédance mécanique

On utilise l’analogie mécanique/électrocinétique :(u,i)↔(F,v).

Définition (Impédance mécanique)

On définit l’impédance mécanique d’un système mécanique en régime sinusoïdal établi par :

Z_méca=F(t)/v(t) =F_m/V_m. Z_mécaest en N·s·m⁻¹et non en Ω.

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Impédance mécanique

Z_méca=F(t)/v(t) =F_m/V_m.

Z_mécaest en N·s·m⁻¹et non en Ω.

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Impédance mécanique

Z_méca=F(t)/v(t) =F_m/V_m. Z_mécaest en N·s·m⁻¹et non en Ω.

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Lois de Kirchhoff et associations de dipôles Exercice: circuit RLC série

Théorèmes

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Théorèmes

2. Lois générales des circuits linéaires en régime sinusoïdal établi 2.1 Lois de Kirchhoff et associations de dipôles

2.2 Exercice : circuit RLC série 2.3 Théorèmes

3. Puissance en régime sinusoïdal établi (HP)

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Théorèmes

Dans l’approximation des régimes quasi stationnaires (ωsuffisamment faible) :

Lois de Kirchhoff

En régime sinusoïdal établi dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, les lois de Kirchhoff s’écrivent :

X

p

ε_pU_pm= 0sur une maille orientée et: X

p

ε_pI_pm= 0à un nœud.

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Théorèmes

On en déduit :

Impédance d’une association série de dipôles

Z=X

p

Zp

R S

Z1

Z₂ Z

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Théorèmes

Admittance d’une association parallèle de dipôles

Y=X

p

Y_p

G B

Y1

Y₂ Y

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Théorèmes

Les relations des ponts

diviseur de tension Unm= Zn

P

pZ_pU0m, diviseur de courant I_nm= Yn

P

pY_pI0m,

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Théorèmes

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Théorèmes

Exercice

1 Déterminer l’impédance d’un dipôle RLC série en régime sinusoïdal établi en fonction deR,L,Cet ω. Établir sa représentation de Fresnel pour ω>1/√

LCet ω61/√ LC.

2 En déduire l’amplitude complexe du courantImle traversant, en fonction de la tensionU_mà ses bornes (en convention récepteur).

Retrouver la résonance en courant du dipôle. Illustrer par une construction de Fresnel.

3 Exprimer la tension aux bornes du condensateur en fonction deUmà l’aide d’un diviseur de tension.

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Théorèmes