Application de la méthode vectorielle de Grassmann à la géométrie infinitésimale

Thesis

Reference

Application de la méthode vectorielle de Grassmann à la géométrie infinitésimale

FEHR, Henri

FEHR, Henri. Application de la méthode vectorielle de Grassmann à la géométrie infinitésimale . Thèse de doctorat : Univ. Genève, 1899

DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:27311

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:27311

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1 / 1

APPLICATION

DE LA

,

METllODE -VECTORIELLE

DE GRASSlVIAN-N

A LA

•

GÉOMÉTRIE INFINITÉSil\IALE

APPLICATION

VE LA

MÉTHODE VECTORIELLE

DE GRASSMANN

A LA

GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE

THÈSE

<::· PRÉSENTÉE A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ DE GENÈVE

•

POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES

PAR

HENRI

FEHR

D-8f.,

~

PARIS

GEORGES CARRÉ ET

c.

NAUD, ÉDITEURS

3, RUE RACINE, 3

1

sg:g

•

1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

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1 1 1

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1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1

•

La Faculté des Sciences autorise l'impression de la présente dissertation, sans exprimer d'opinion sur les propositions qui y sont contenues.

Genève, le 1 7 avril 1 Sgg.

Le Doyen.

R. CHODAT.

•

APPLICATION

DE LA

MÉTHODE VECTORIELLE

DE GRASS .. MANN

A LA GÉOMÉTRIE INFINITitSIMALE

PRÉFACE

L~œuvre de Grassmann

C)· -

H. Grassmann a enrichi la science mathématique d'une branche nouvelle qu'il désigne sous le nom de Ausdehnungslehre (ou science des grandeurs extensives). C'est la théorie des fondements abstraits de la science des grandeurs ; son application par- ticulière au cas où l'on fait intervenir la considération de l'espace constitue la Géométrie.

La méthode de Grassmann comprend un ensemble d' opé- rations parmi lesquelles la multiplication extérieure et la multiplication intérieure jouent un rôle très important. Eile conduit aisément à la résolution d'une foule de problèmes qui se présentent non seulement en Géométrie, mais encore dans toutes les branches qui se rattachent à la science de l'étendue.

Malgré leur puissance et leur simplicité, les méthodes du

(t) No.us nous bornons à citer ici les deux publications fondamentales: 1o Die lineale Ausdelmungslehre, Leipzig. 1844; 2° Die Ausdelmungslehre, Berlin, 1862.

Dans ce dernier ouvrage Grassmann présente sa théorie sous une forme entière- ment nouvelle.

Les OEuvres compli:tes de Grassmann, publiées par M. Fr. Engel. comprendront trois volumes; les deux premiers, seuls ont paru; Leipzig, 18gti.

FEim. Géométrie in fin.

•

2 PRb;FACE

savant professeur de Stettin sont restées méconnues de la plupart de ses contemporains. Cet insuccès doit être attribué au grand nombre de notions nouvelles que ron y rencontre, et au formalisme si abstrait cbns lequel elles sont présen- tées. Ce n'est guère que depuis une dizaine d'années que les idées de Grassmann ont été reprises et développées par nn certain nombre de géomètres dans les clivees pays.

Tout récemment, à l'occasion du cinquantième anniversaii~e

de la publication du premier traité de l'Ausdehnungslehre, lVI. V. ScHLEGEL (1) a retracé, dans leur développement histo- rique, les progrès accomplis dans ce nouveau domaine.

Aujourd'hui l'étude de ces nouvelles méthodes est faci- litée dans une large mesure par les exposés élémentaires que l'on doit à 1\IM. ScHLEGEL (²) , PEANO e), KRAFT (⁴),

BuRALI-FORTI (~), HYDE (⁶), CARVALLO C), CAsPARY (⁸) , et d'autres, et par la publication des œuvres de Grassmann annotées par lVLM. Lü RoTH, Ecl. STUDY, J. GRASSMANN, H. GnAsSMANN fils, G. ScHEFFERS et Fr. ENGEL.

Objet de ce Mèmoire. - Parmi les nombreux domaines où l'on applique avec succès les principes de l'Ausdehnungs- lehre, celui de la Géométrie infinitésimale nous a paru par- ticulièrement intéressant, et c'est dans ce sens que nous avons dirigé nos recherches. Nous nous proposons de mon- trer dans ce Mémoire combien la méthode vectorielle sim-

(1) Zeitschrift fiïr ii'Iathematil• und P!tysi/(, Leipzig, nnnéP r8QG.- Cette notice est accompagnée de nombreuses ini!.ieat~ons bibliographiques. .

(2) System der Rawnlehre, 2 volum.es, Leipzig, r8;2, 187:!.

(3) Calcolo geometrico, Turin, 1888; Edition allemandP: Die G1:undziige des geometrisehen Calculs, Leipzig, 18\J 1.

(1) Abriss des geometrischen Kalluï!s, Leipzig, I8\)3.

(5) Introduction ù la Géométrie dilfùentielle, Paris, 1897.

(o) The Directional Calculus, Boston, 18go. - Le mC·me auteur a rédigé·pour le te.vt-boo!E lligher Mathemat!cs, publié par :Merriman ct Woodward, un clwpitre intitulé_ Grassmanns Space Analysis.

(1) Nozwelles Annales, 1891, 1892, 18gJ.

(sJ Voir ses nolcs dans les Now'. Annales, 18u8, 18gg. - Consulter aussi ses

~·Iémoires insérés·dans le Bull. des Sc:·ences matit., 2° s{·:·ic, t. Xl et t. XIII.

PRÉFACE 3

plifie l'étude des propriétés des courbes et des surfaces.

Cette simplification provient du fait que l'on renonce à l'emploi des c&'ordonnées cartésiennes pour opérer direc- tement sur les éléments géométriques; ces éléments· sont soumis à certaines règles de calcul que nous résumerons brièvement dans l'Introduction.

L'application du calcul géométrique de Grassmann à la théorie des courbes et des surfacc·s a été déternlÎnée pour la première fois par lVI. Herm. Grassmann (fils) clans ses Progranunes de Halle ( 1886, 1888, ¹ 8g3). Nous avons repris ces publications en les développant particulièrement en cc qui concerne la théorie des surfaces. On retrouvera donc clans notre Mémoire certains passages du travail de notre collègue de Halle , ces emprunts nous ont paru indispen- sables à l'unité et à la clarté de l'exposé.

· Dans leur ensemble, les propriétés que nous examinons ici n'offrent rien d'essentiellement nouveau; aussi avons- nous évité, le pins possible, d'entrer dans le détail de cer- tains développements que l'on peut trouver dans les ouvrages classiques et dont l'exposé n'est guère modifié par l'usage du calcul géométrique. C'est le mode d'ex-position basé sur l'emploi systématirrue des vecteurs, qui, seul, peut donner un certain intérêt à ce travail, et nous espérons avoir ainsi apporté une légère contribution à l'étude _d'une branche qui n'a été que trop délaissée jusqu'à présent.

Nous donnons maintenmlt un aperçu succinct des matières successivement traitées.

Le Mémoire comprend cinq chapitres :

Le Chapitre I est consacré aux courbes gauches. Nous établissons d'abord les équations de la tangente et elu plan normal, puis celles du plan osculateur et de la n.ormale principale. Viennent ensuite les généralités relatives à la courbure, à la torsion et à la courbure normale d'une courbe, avec les foTmules de Frenet et celle de Lancret.

PRÉFACE

Dans le Chapitre II nous abordons les éléments de la théorie des surfaces et nous montrons conunent l'introduc- tion de trois vecteurs-unité eu, ev, et e., simplifie l'étude des relations fondamentales du premier et du second ordre. Les éléments eu et ev sont les vecteurs tangentiels aux courbes coordonnées (u) et (v); l'élément e., est le vecteur-unité nor- mal à la surface.

Le Chapitre. III contient ce qui est relatif à la courbure des courbes tracées sur une surface : théorème de Meus- nier, sections principales, formule d'Euler.

Les notions précédentes se trouvent appliquées, dans le Chapitre IV, à l'étude des courbures des surfaces. On obtient aisément les formules relatives à la courbure totale et à la courbure 1noyenne; nous appliquons les premières à la détennination de la courbure totale d'une surface réglée, tandis que les secondes nous amènent à donner quelques notions relatives aux surfaces minima. Nous passons ensuite à la notion importante de courbure moyenne qua- dratique, dont nous déterminons l'expression à l'aide de_ la méthode vectorielle.

Le Chapitre V a pour objet les lignes particulières tt·acées sur une surface. Nous partons des systèmes conjugués pour en déduire, comme cas particuliers les lignes de courbure et les lignes asymptotiques. Les équations de ces courbes prennent une forme remarquablement simple et se prêtent à une interprétation géométrique inunédi~te.

Sont encore étudiées dans ce chapitre les lignes géodé- siques et la courbure géodésique des lignes tracées sur une surface.

Afin de faciliter la lecture de ce Mémoire, nous résume- rons d'abord, le plus brièvement possible, les principales opérations que nous empruntons au calcul géométrique de Grassmann.

INTRODUCTION

RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS DE CALCUL GÉOMI<~TRIQUE

I. - D'une manière générale tout calcul géométrique com- prend l'ensemble des opérations auxquelles on soumet un sys- tème déterminé d'éléments géométriques

e).

Il présente sur la géométrie analytique l'avantage d'opérer directement sur les éléments à considérer.

Les éléments géométriques qui interviennent dans la théorie de Grassmann sont les suivants : le point, le segment, le vecteur, le bivecteur (ou élément plan) et le trivecteur.

Tout élément géométrique présente au moins l'un des carac- tères suivants : grandeur, position, direction et sens. Dans la combinaison de ces éléments on fait usage de nonzbres (ou par- ties scalaires).

En ce qui concerne nos recherches, nous nous servons presque exclusivement du vecteur; nous nous bornerons donc à rappeler ce qui est relatif à cet élément.

Segment. -Voici d'abord la définition du segment.

Etant donnés deux points A et B, le segment AB est la por- tion limitée de la droite joignant le point A au point B ; A est l'origine du segment, B est son extrémité.

(1

) L'idée d'un pareil calcul remonte ù LEIBNIZ ( 1 G79) ; elle a été déyeloppée pendant la première moitié de ce siècle par Mi:iBIUS, dans son Calcul barycentrique (1627), par BELLAVITIS, dans sa Méthode des Equipollences (dès 1~33), par GRA.SS:\'IANN, dans son Ausdehnungs!ehre (18-+4) et par HAMILTON, duns sa Théorie des Quaternions ( I8S3). Parmi ces méthodes, celle de GRASSMANN est certaine ment la plus générale, mais, pour les raisons indiquées plus haut, elle est restée, pendant longtemps, la moins connue.

6 INTRODUCTION

On appelle grandeur (ou module) .de AB, le· nombre positif qui mesure lu distance AB.

Un segment est déterminé par sa grandeur, sa position, sa direction et son sens.

Vecteur. - Le recteur se distingue du segment en ce que sa position n'est pas déterminée.· Ainsi, étant donnés deux points A₁ et BP le vecteur a₁ =B₁- A₁ peut être appliqué en n'importe quel point de l'espace.

Si l'on considère un second vecteur a₂=Bz-A₂^, les vecteurs a₁ et a₂ sont égaux si les segments A₁B₁ ct A₂B₂ ont même gran- deur, même direction et même sens. pen résulte qu'un vecteur est déterminé par sa grandeur, sa direction et son sens.

La grandeur d'un vecteur est évaluée au moyen d'un vecteur- unité e₁ ayant même direction et même sens. On a, par exemple, à1 ^~ peP p étant un nombre. .

Nous pouvons nous dispenser de parler ici de la notion bien connue de la somme (géométrique) de deux ou plusieurs vce- teurs, ainsi que de la différence de deux vecteurs.

Trois vecteurs apa₂,a₃^, sont dits coplanaires lorsqu'ils sont pa·

i·allèles à un même plan. On montre que, dans ce cas, l'un d'eux est une fonction linéaire des deux autres, c' e.st-h-dire que l'on êloit aYoir

.:r:₁ ct X₂ étant des nombres.

Il. Produit exterieur. - Le produit e.t·tériew·

e) [

^a1a₂] de

~leux recteurs a₁ ct a₂ est caractérisé par les relations

Qudques auteurs désignent un pareil produit cle deux vecteurs sou:; le nom de birecteur.

On fait correspondre au produit extérieut· [a₁aJ l'aire du parallélogramme dont les côtés sont a₁ et a~. Le signe de l'aire

( 1

) Ausde!tnungsle!tre ( i 8-'J.:l.),?, ·>.S ù ?, 4G. - Afin de distinguer le produit cxté!'icur d'autres produits, nous ferons usage de la notation de GRASSMANN en mettant les facteurs entre deux Cl'Qehets.

JNTRODf/CT/O.Y 7 varie avec le sens clarrs lequel on parcourt le pourtour du paral- lélogramme. Nous admettrons con1me sens posit~f le sens con ...

traire ~l celui des aiguilles d'une montre.

7 ^y

1_

(!~

Fig. 1.

Le produit de deux vecteurs est nul, si l'un des vecteu_rs est nul, ou si les deux vecteurs sont parallèles.

On a donc pour la ~·ondition de parallelisme de deux vecteurs a₁₁a₂,

[a₁a₂]=o.

On démontre aisément les rehtions sui van tes :

[ct

1 (a2

+ ^aJJ

^{= [ a}1

a

2 ]

+ ^[a

1

a

3 ],

[pa₁a₂]=p[a₁a:J, ct [a₁a2]=[a1(a2+pa1)]

p étant un nombre.

Considérons maintenant le produit extérieur de trois vecteurs a _{Pa 2,a:P} désigné aussi sous le nom de trirecteur. Il est caracté- risé par les relations

[a1a2a₃^{] = -}[a₁ a₃a₂] = [a3a1a:J.

Au produit [a ₁a₂a:J on fait conespondre le volume elu parallé- lipipècle dont les arêtes, issues d'un mê1~1e sommet, sont _{aP a 2,} a₃•

La détermination du signe se fait en comparant le pai:allé_lipi- pède [a ₁ap₃^] au cube unité [ e₁e₂e₃"j

=

^1. Le signe sera positif si le trièdre a₁a₂a₃ a la même disposition que le trièdre e₁e₂e₃; il sera négatif clans le cas contraire. Nous supposons le trièdre

e1^e~e3 tel qne, pour un o-bservateur debout sur le plan e₁e₂ et traversé des pieds tl la tète par le vecteur e;;, une rot<ition de 90°

de droite à gauche amène e₁ sur e₂^•

Le trivecteur [a₁ap₃^] est nul si l'un des vecteurs est nul, ou si les trois vecteurs sont parallèles tl un mème ·plan. La condition

8 INTRODUCTION

de coplanarité de trois yecteurs peut donc encore être écrite sous la forme

III. Produit intérieur (1). - Pour le produit intérieur de deux vecteurs a₁ et a₂, Grassmann a recours à la notation

[a.

1

!a

2].

Un pareil produit est caractérisé par la condition

Les vecteurs a₁ et a₂ que nous considérons 1c1 sont des vec-·

te urs quelconques pris dans l'espace; on peut d'ailleurs toujours les supposer appliqués en un même point.

Au produit intérieur de deux vecteurs on fait correspondre l'aire d'un rectangle ayant comme dimensions l'un des vecteurs et la projection de l'autre sur le premier.

Il est facile d' t'ltablir un rapprochement entre ce produit et le produit extérieur de deux vecteurs. En effet, si nous supposons les deux vecteurs appliqués en un même point, nous pouvons dire : le produit intérieur de deux vecteurs ai et a₂ peut être envisagé comme le produit extérieur de ai par le vecteur ja₂ obtenu en faisant tourner a₂ d'un angle droit clans le sens de ai vers a₂^•

Le produit intérieur de d·eux vecteurs est nul si l'un des vec- teurs est nul, ou si les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux.

On a donc pour la condition de perpendicularité de deux yec- teurs a₁ et a₂

Envisageons maintenant l'angle ^Cl. que form( nt deux vecteurs quelconques ai et a₂ supposés issus d'un même point de l'espace;

cet angle est compté dans le sens de a₁ vers a₂• Si l'on désigne par mod ai et mod a₂ les valeurs absolues de a₁ et de a₂ on aura, d'une part, pour le produit extérieur,

(1

) Ausdehnun.gslclzre, 1862, I'⁰partie, chap.Ivet chap. v, ~7·

INTRODUCTION 9

et, d'autre part, pour le produit intérieur,

[ a

1 1 a_2]

=

mod a:t mod a₂ cos ^tl..

On en déduit

. [ a¹ a²

J

Sin t l . = • ,

mod a₁ mod a₂ ^[

6·¹ 1 a2

J

COStJ.- ·

- mod a₁ mod a₂ Pour le cas particulier de deux vecteurs-unité e₁ et e₂^, on a simplement

sin t1. = [e₁e₂], cos t1. = [e₁je_{2 ].}

, De l'expression

[ a₁ 1 a_{2 ]} = mon a₁ mod a₂ cos tJ.,

on peut déduire la ra leur numérique du module d'un vecteur.

On a, en effet, pour le produit intérieur d'un vecteur par lui- même.

[a₁j a1] = (mod a₁^)2•

Le produit [a₁ja₁], que l'on écrit pour abréger sous la forme

[a₁^{] :} est appelé carré intérieur du vecteur a₁^; il correspond à un

carré dont le côté a pour mesure mod a₁^• On a donc mod a₁ = V[a_{1 1}

aJ=Va

1: .

Ainsi on obtient le module d'un recteur en extrayant la racine carrée de son carré intérieur.

Considérons par exemple dans un plan deux vecteurs-unité e₁ et e₂ formant entre eux un angle ^tl..

On a donc, par hypothèse,

e₁^: = 1, e2^{~ = r, [ e1}

!

e_2] =cos ^tJ..

Tout vecteur a de ce plan peut être représenté par une expres- sion de la forme

a=

^x1e₁ +x~e2^, x₁ et .x₂ étant des nombres. On pourra écrire

[a 1

a

J

= [_(.x

1e₁

+xAJ

^{1 (x}1e₁

+

^.x~eJ],

I"ü INTRODUCTION

ou

Si les deux vecteurs-unité sont rectangulaires~ on a simple- ment

On préfère sou-vent éviter la racine carrée et déterminer .le module d\u~ vecteur a à l'aide du vecteur-ù.nité e" ayant mème direction et même sens. Dans ce cas on a

mod a . [al e(/.J.. :

REMARQUE. - Le produit intérie~tr de deux ·vecteurs limité au système plan offre une grande apalogie avec l'opération i

(i=v'-

1) dont fait usage Argand clans ses Essais (Paris, 1 8o6).

Si h la place elu symbole ¹ on se sert de l'unité imùginnire i

V-

^1, on parvient pour le vecteur à une expression d'un emploi très commode

e ). .

Prenons, clans un système plan, deux vecteurs-unité rectangu- laires E₁ et E₂^• On a clone

Soit a un vecteur du plan. On entend par [a ou ia le vecteur obtenu par la rotation de a d'un angle droit clans le sens de E₁ vers E₂^• Cette opération appliquée une deuxième fois donne iia=-a, d'où il résulte que i2=-l.

Les expressions [a₁[aJ et [a₁ iaJ sont éc1uivalentes.

On a, pour tout vecteur a,

mms, pmsque on aura ct, si l'on pose

mocl a · ?

(1) Consulter ù ce sujet .lus.lehnu.ngslc!tre, !8J2, n' vo, cL les ouvrages eité5 de PEA:."'O et c!e BunAu-Fonn.

INTRODUCTION 1 1

on voit que tout vecteur du plan peut se représenter par a= peir.E₁

~ étant l'angle formé par les vecteurs E₁ et a.

IV. Index d'un vecteur ou d'un bivecteur

C).

-Envisageons le bivecteur déterminé par deux vecteurs a₁ et a₂ supposés appli- qués en un point P de l'espace. Soit a₃ un vecteur perpendi- culaire en P au plan [ai a₂] et mené clans un sens tel que le tri- vecteur [a₁ a₂ a₃] soit positif; nous donnons au vecteur aa une lon gue ur telle q ne son module soit égal au nombre qui exprime l'aire [ai a₂

J.

Le vecteur ainsi défini est ce que l'on appelle l'inde_x du bi vec- teur [ai a₂] ; on le représente par la notation

aa=l [alaJ.

Réciproquement on elit que l'index du vecteur a₃ est le bivee- teur [a₁ a₂], et l'on écrit

1 aa = [ala2].

En particulier on peut prendre pour le bivecteur défini par Ja:.: le rectangle ayant comme dimensions la longueur de a₃ et l'unité de longueur.

Le symbole j que nous employons ici est le même que celui dont nous avons fait usage clans la multiplication intérieure de deux vecteurs. Il est facile de constater que sa signification reste la mème. En effet, considérons le tri vecteur [abc

J;

^désignons

par cl l'index de [be], c'est-tt-dire, posons d=[[be] ou 1 d

=

[bcj.

On pourra remplacer [abc] par le produit [aJd]. Ce dernier représente encore le volume elu parallélipipècle [a be], puisque, par définition, la longueur elu vecteur d correspond ~t l'aire [be].

\1

) GRASSMANN emploie le nom de Er,:;'i.i;~:zung, mais en sc plasant ù un point de vue beaucoup plus géné~·al; voir Ausdehnungslchrc, I8(i2, no 8D ù no \)'3. HYDE sc sert de la dén::~mination de the complement, BuRALI-FORTI de eellc d'ope'ration indc.1: (l. c, p. 2-;).

!2 INTRODUCTION

Les formules qui suivent résument les propriétés les plus importantes concernant l'index d'un vecteur ou d'tm bivecteur:

Il a=a, jxa=xJa (x

quantité numérique),

1

(a+

b)

= la+l

b, [(a+ b)

je]= [a

Je]+ [bjc],

[ l a 1 b] = 1 [ab], [!a]~= a: ; a, b, c représentent des vecteurs ou des bi vecteurs.

Considérons maintenant le trivecteur -unité trirectangulaire [ e1 e2e3

]=

1.

On a

et= ^{1 [} e:le3]

e2=J[eaeJJ ea=l[ete2]

[e1le2] = [e21e:J= [ealet] = ⁰ let=

Il

[e.leJ = [e.2e3]

1 e2

= Il [

eaeJ

=

^le3et]

\ea=

Il

^{[e1e2J = [elezJ.}

Tout vecteur a rapporté à ce système peut être représenté par une expression de la forme

dans laquelle .x₁^, x₂ ,x₃ sont des quantités numériques.

ou

On a, pour l'index du vecteur a .

La longueur du vecteur .a est donnée par la formule moda

=Va:.

Or on a

a:=

[a ¹

a

J

= [ (x

1

e

1

+x

2

e

2

+

x3e3) [ (.x1e1 +x2e2 +x3e3) J

=x~+x~+x~, d'où ron déduit,

INTRODUCTION I3

V. Produit intérieur de deux bivecteurs. (t) - Soient deux bi vecteurs [ a₁ a₂^] et [b₁ b₂^] et soit .

c---::J[6

1

bJ.

En vertu de cette égalité, le produit intérieur [ata2 \ btb2]

peut être remplacé par le produit extérieur [ a₁a2c].

Ainsi le produit intérieur de deux bivecteurs donne un trivec-

~eur; il peut être envisagé comme résultant de la multiplication extérieure du premier bivecteur par l'index de l'autre.

On a la propriété

[a₁a2 \ b₁b2

]=[b

1b2 \ a₁a2 ].

Examinons maintenant le carré intérieur d'un bi vecteur, c'est- à-dire une expression de la forme

[ a1aJ²-.

Soit b le vecteur index, on a

b = l[a1a2] ^et

lb=

[ata2].

Par définition, la longueur du vecteur b est donnée par le nombre qui exprime l'aire [a₁

a:J ;

on a donc

mod b =moda₁^• moda₂^• sin (a₁a_2), ce qui nous conduit aux égalités

[ ata₂

]:_= [

a₁a_{2 \} a₁a_2] = [ a1a2b J

= [

ba1aJ

= [

b ¹

b]

= b":...

Ainsi, le ca1:ré intérieur d'un bivecteur est égal au carré inté- rieur de son index.

(1

) Voir GRASSMANN, Ausde!tnungslehre, 1862, chap. IY et GRASSMANN (fils), Pro- gramme, •886, p. 17.

IXTRODUCTJOIY

On en déduit

[a₁a_2]² = (mod

aJ

^{2 (modaJ2 sin2 (a}1

aJ

=

(mo cl a

y (

mod rr.₂)2- (mo cl a1) 2

( mod a,J² cos^{2 (} a₁a_{2 )} ou enfin,

relation qui, pour le cas particulier de deux vecteurs rectangu- laires, se réduit à

puisqu'alors [ a₁

l

a2] =o.

Nous sommes ainsi cmllluits h la fJaleur numérique de l'aire d'un bifJecteur. E1i effet, de l'égalité

il résulte pour l'aire [ a₁

aJ

mocl a1 mod a2 sin ( a₁a "!.)=V [a ₁aJ:.

On obtient donc la valeur_de l'aire d'un bivecteur en extrayant la racine carrée du carré intérieur de ce bi vecteur.

Cependant on préfère souvent appliquer directement la défi- nition du vecteur index et calculer l'aire d'un bivecteur en déter- minant le module de l'index du bivecteur donné.

Cette détermination peut se faire de deux manières, ainsi que nous l'avons vu plus haut; d'une part, le module de b =/[a ₁

aJ

peut être calculé au moyen de la formule moclb=Vb:.;

d'autre part, on l'obtient encore en a-yaùt recours au vecteur- unité e~ perpendiculaire au bi vecteur. Dans ce cas on a

modb, [e~Jb], et comme

la valeur numérique de l'aire sera donnée par l'expression

INTRODUCTIO:V !5 c'est-à-dire par le tri vecteur déterminé par les vecteurs a₁ et a₂ et le vecteur index de longueur unité.

VI. Dèterminants. - L'usage des déterminants simplifie beaucoup l'exposé de la géométrie analytique; mais leur manie- ment exige toujours une étude spéciale. Par contre, dans la méthode de Grassmann, la théorie des déterminants se pré- sente comme une simple conséquence de la multiplication extérieure (

l

D'une manière génér?-le la multiplication extérieure repose sur la convention unique que le produit de deux quantités er et e11 ,

appelées unités, change de signe quand on intervertit l'ordre des facteurs ; il en résulte que tout produit renfermant deux fois la même unité est nul

e).

On vérifie aisément que cette propriété s'étend encore aux quantités ai

ai= a.i,t e1

+

^a.i,2 e2

+. · · · · +

^{a.i,n e1P (i=1,2 .. o . . ft)}

fonctions linéaires des unités e₁, e:l, ... en.

Considérons les n formes

ai

=

^et.J,1 ei + ^r:/.1,'2 e2 + ^{0 0 0 .} + Cl.ln en, a:l = ^r:/.2,1 el+ ^11.::!,2 e2

+ ..

^{0. +(/.:ln en,}

an= a..n,1el+et.no2e.!.+ o o o O o +a..n,nen,

et effectuons le produit extérieur [ a₁aPa· .. an]·

Dans le développement chaque terme contiendra n facteurs numériques suivis du produit cx"l(·rienr des n unités e₁^, e₂, ••• e11 ,

prises clans un ordre déterminé. Ce dernier produit peut tou- jours être ramené à la forme [e1^e~ ... en] affectée du signe +"ou

(') Ausdelwungsleltre, 1862, no (h. - Pour la théorie des déterminants, consi- dérée à cc point de vue, consulter par exemple la Rawn_'ehre de SCHLEGEL (2• partie), l'ouvrage de KRAFT ct le Mémoire de CARVALLO, Nozw. Anno, 1891.

(2

) Envisagée d'une manière aussi générale, le multiplication extérieure joue un rôle important non seulement dans le calcul géométrique, riïais encore dans l'Algèbre; voir à ce sujet, outre les travaux précités, la NoTE que nous avons puhl:Pc dans les .YouJJo Anno en 18g:J.

INTRODUCTION

suivant que le nombre des transpositions effectuées a été pair ou Impau.

On pourra donc écrire :

Le coefficient ..1 est ce que l'on appelle le déterminant des formes a₁a₂ •• • an-

En particulier, SI l'on suppose que [ e₁e₂ ^••• en]= 1, on a sim- plement

On reconnaît aisément que les propriétés fondamentales des déterminants se déduisent immédiatement de celles de la multi- plication extérieure.

Nous nous bornons à rappeler ici une propriété dont nous aurons besoin dans la suite et qui est basée sur la multiplication de deux déterminants.

Pour simplifier l'écriture nous nous limiterons au cas de n

=

3.

On a pour le produit des déterminants

des formes

en posant

Cf. 1,1 cx:l,2

~"'= ^{cx:..!,1 1XJ!,'2}

cx:3,1 cx:3,2 cx:J,3 cx:~,3 cx:3,3

t'31,1 P-l"'l,2 1""1,3 (.l_

et ~~

=

~2,1 ~2,2 ~2,:~

~3, ¹ ~3,2 ~3,3

ai= cx:i,1 et

+

cx:i,2 e2

+

cx:ï.3 e3

bi= ~i,t et+ ~1,2 ^{e 2 +} ~i,3e3

(i= ^{I, 2,} 3) (i=I,2,3)

(i=I,2,3), les quantités

ri,

^r étant définies par les égalités

Mais on peut écrire

INTRODUCTION

de sorte que le théorème de la multiplication devient [a_{1 )} b₁^] [a_{2 )} Ù_1] [a3J Ù_{1 ]}

[a

₁

a

2

a

3

J[bJ,

2

baJ=I [a

1jb_{2 ]} [a~\b2^]

[a

3)b2 ]

[at! baJ [a2J ba] [a3) b3],

17

Appliqué au produit intérieur de deux birecteurs ce théorème conduit à la formule

la1a

2 ! Û 1 ^b~J =/ ^{[a1! b~J}

^{[a2) bi] 1}

[ai ¹ b2] [ a_{2 /} b_{2 ]} •

On y parvient sans peine si l'on envisage le produit intérieur de deux bivecteurs comme étant le produit extérieur du premier bivecteur par le vecteur index du second et si l'on applique le théorème de la multiplication au produit

[a1a2

lv

1

b.J

[bib2ja1

aJ.

VII. Relations avec les coordonnées cartésiennes.-Con- sidérons un point fixe 0 et trois vecteurs-unité e₀ e₂^, e₃, non dans un même plan. Pour tout point M de l'espace on a

M= 0 +xie₁ +x2e2+x3e3 •

Les nombres xP x₂^, x₃^, correspondent aux coordonnées carté- siennes du point M.

Nous supposons dans ce qui suit que le tri vecteur ei, e_2, e₃ est trirectangulaire, c'est-à-dire que, outt'e les relations

on a encore

e~2-= 1'

q

e₂: = 1, e:1.:-= ^'l 1,

[e

1

le

2 ] =

[e

2

)ea]=[e

3

je

1

]=o.

Si pour un second point M' on donne M'= 0

+

^{x/ e}1

+

^x2

1 e2

+

^x3 1 e_{3 ,} la distance MM' sera déterminée par l'expression

mod MM'= mod (M-M')

=V

(xi- x/)²

+

(x2 - x/)²

+

(x3 - x3') 2

•

FEHR. Géométrie infin. 2

18 INTRODUCTION

Considérons les deux vecteurs

La formule

1 [ a 1 a'

J

cos aa = ^{~- ~--}

( ) moda mod a' devient

La condition de perpendicularité

[al a']=

o prend la forme connue

Quant ~. la condition de parallélisme

la

a']= o des deux vec- teurs a et a', elle devient

En effectuant les calculs et en groupant convenablement les termes on obtient

(a₁a2

1- a2a/)

[e

₁

e

_{2 ]}

+

^(a2a₃^1- a₃a₂¹⁾

[e

₂

e

₃]

+

^(a3a / - a₁ a¹3) [ e₃e₁J

=

^o,

d'où l'on déduit

Déterminons maintenant l'équation du plan passant par un point donné M' et perpendiculaire à un vecteur donné a. Pour tout point M de ce plan on devra avoir

[(M-M') [a] =o, ce qm donne l'équation

VIII. Représentation d'une courbe. - Supposons que dans l'expression

•

INTRODUCTION xg

les quantités _{xP x 2,} x₃, soient des fonctions d'une même variable indépendante réelle t. Lorsqu'on fera varier t. d'une manière continue entre certaines limites, le point M décrira une courbe.

Posons pour abréger

f\t)

=x1(t) e₁ +.r2(t)e2+.r3(t)e:l' d'où il résulte

M=O+f(t),

et désignons par x= OM le segment partant du point fixe 0, on aura, pour l'équation d'une courbe gauche quelconque

x= f(t).

C'est à l'aide de cette forme que nous examinerons les pro- priétés les plus i_mportant'es des courbes.

Pour une courbe plane, la fonction vectorielle

f (

t) se réduit à x= ^.1-·₁ (t) e₁

+

x₂ (t) ^e2 ,

ou, si l'on introduit les coordonnées polaires

ou

x= p (t) ^e1r(t) E₁^• Voici, à titre d'exemple :

1 o l'équation de l'ellipse

x= a cost. e₁

+

b sint. e_{2 ,} +b a-b ·tE a itE + - - e - l ; x = - - e ^{~~ t}

2 2 •

2° celle de la spirale d'Archimède x= atétE₁^•

Si dans l'équation générale d'une courbe gauche x= x1 (t) e1

+

x2 (t) e2

+

x3 (t) e3 ,

on introduit les coordonnées polaires du plan e₁ e₂^, on obtient x= p (t)éHt; E₁

+

^{z (t) E}3•

20 INTRODUCTION

Ainsi, on a, pour l'équation de l'hélice x =heitE₁ +htE₃^•

IX. Représentation d'une surface. Si le vecteur x est donné en foi1ction de deux variables réelles indépendantes u et P, le lieu du point

M

=

0

+

f( ^Tt, P)

sera généralement une surface ; on peut concevoir cette surface comme engendrée, soit par les courbes u obtenues en donnant à la variable r une série de valeurs quelconques, soit par les courbes ^P correspondant à une série de valeurs de u.

Ainsi, on peut, en général, représenter une surface par une

· équation de la forme

ou

x= x1 (u, f') e1

+

^{.1'2 (u, r) e:!.}

-+-

^x3 (u~ f') e3 •

On aurait, par exemple, pour les surfaces de révolution x=

u

COSfJ.e₁

+

^{zt sinr.e}2

+cp ( u)

e_{3 ,}

Dans notre étude sur les surfaces nous envisagerons toujours ] 'équation sous sa forme générale

· x=f(u,r).

•

CHAPITRE PREMIER

DES COURBES GAUCHES

§ 1. - Généralités.

1. - Nous supposerons toujours que, dans l'équation générale d'une courbe

:r=f(t),

la fonction f(t) est développable par la formule de Taylor aux ~ eTlVirons de toute valeur t comprise dans un certain intervalle, sauf de certaines valeurs isolées.

Nous admettrons sur la courbe comme sens positif, celui qui est déterminé par les valeurs croissantes de la variable t. Au.

lieu de la variable arbitraire t, il sera souvent préférable de choisir l'arc s compté dans le sens positif à parti,r d'un point fixe situé sur cette courbe.

2. - A deux points infiniment voisinS" M et M₁ pris sur la ,courbe

:r =f(s) correspond un vecteur infiniment petit d.x:.

Il est évident que· cette droite infiniment petite a pour d~rec­

tion celle de la tangente

tl

la courbe aü point M .

.Soi~ ds la longueur de l'arc MM₁^; on a ds = mocl d:r=

V

^{dx~ .}

.. Dans le cas d'une variable quelconque t, on aurait ds cl d:r

V[

^d.x

^]~

-_~ = l l l O -_~-

=

_~ ^~

·

22 DES COURBES GAUCHES

Le vecteur infiniment petit dx étant dirigé suivant la tangente,

"l l · l d ' · ' dx d

1 est c air que a er1vee ds représente un vecteur e longueur unité ayant même direction et même sens que dx. Représentons-

M

0

Fig. 2.

le par e«=MV. Il s'ensuit que la direction de la tangente en un point M de la courbe est donnée par le vecteur-unité

e -_{( 1 . -} dx

ds= ·

x'

La tangente en un point M de la courbe est représentée par l'équation

[ (1;-x) dx ds

J =o,

dans laquelle Ç est un vecteur allant de l'origine à un point quel- conque de la tangente.

Le plan normal à la courbe est donné par l'équation ou [(1;-x) ¹

.x'J =o.

3. -Nous allons établir l'équation du plan osculateur en adop- tant pour cc plan la définition suivante :

Le plan osculateur en un point M est la limite vers laquelle tend un plan passant par la tangente en ce point et par un point M₁ infiniment voisin de M.

L'équation d'un plan passant par M est de la forme [(1; -x) ¹ n]

=o

dans laquelle n désigne un vecteur normal au plan.

GÉNÉRALITÉS 23

Pour que ce plan contienne la tangente en M il faut que l'on ait

[d.·c 1 n] =o, (2)

relation qui exprime que le vecteur n doit être perpendiculaire à la tangente en M.

Le point M₁ infiniment voisin de M est déterminé par h dx h²

.'t'₁=f'(t+h)=x+--_{1 dt}

+ -

_{1. 2} -d" ^d2_t~ ^x

+

^--3 _{1. 2.} ^{h3 d-d3}_t' ^{x 3}

+ ... ,

h étant l'accroissement donné à la variable indépendante t.

Le plan ( 1) devant contenir ce point, on a

[ dx ¹

J

^{h2 [ d2x 1}

^J

^{h3 [ d3x 1}

^J

h

dt

n

+

~

.

^{dt2 n}

+

^{1.2.3 - dt3 n}

+ ...

^=o.

Le premier terme est nul en vertu de la condition ( 2) ; sup- primant le facteur h

2

et faisant tendre h vers zéro, on aura fina-

2

le ment

[ d

2

x 1

J

.it2 n =o.

Le vecteur n doit donc être perpendiculaire à la fois aux vec- dx d²x

teurs dt et dt₂ ; on peut donc écrire

-1[

^{dx d2x}

^J

n - dr dt² ou ^{1 [} dx in=

di

^d

2

x

J

dt- ' et l'on obtient pour l'éguation du plan osculateur

[(Ç-x)

~·; ~:~]=o.

On reconnaît immédiatement que, dans le cas oü la variable

. , ' . ' d2x . .

mdependante est 1 arcs, le vecteur x ¹ = ds₂ est perpendiCulaire au vecteur tange~tiel. En efl'et de l'égalité·

ea.!. = 1

DES COURBES GAUCHES

on tire

ou [erx

lx"]= o.

Le vecteur x" contenu dans le plan osculateur et dirigé per- pendiculairement au vecteur tangentiel détermine la direction de la normale principale. Soit eÀ le vecteur-unité qui fixe cette direction ; on aura

.r:" ::r"

eÀ

=

_moc l " ou _x

--= . _y

_x"~

§ 2. -Courbure et rayon de courbure ..

4. -

Étudions la variation de la direction de la tangente lorsque le point de contact se déplace sur la courbe (C). A cet effet, considérons la courbe sphérique (r) décrite par l'extrémité elu vecteur-unité y mené par le point 0 parallèlement au vecteur tangentiel erx, lorsque celui-ci se déplace d'une manière continue

sur la courbe. ·

La courbe (f) porte le nom d'indicatrice sphérique des tan- gentes. A tout point M de la courbe (C) correspond un point 1\'Ioc de la courbe (f). On a la relation

Mrx=Ü+erx.

L'angle formé par les tangentes menées aux points infiniment voisins M-et M' sera mesuré par l'arc MJ\1/ de la courbe sphé- rique.

La limite elu rapport de cet angle à l'arc MM' porte.le nom de courbure de la courbe en M. En désignant cette limite par 1

0 ,

on aura

1 ·l dy

v-,.-,

- =nloc -

1 ^{= r~.}

p cs

~

Le nombre p ou l'inverse de la courbure porte le nom de rayon de courbure. De l' équation de la courbe sphérique

y=erx(s)

TORSION; FORMULES DE FRENET 2·:;.

on déduit

d,=de"-,

relation qui exprime que la tangente à l'indicatrice est parallèle à la normale principale.

La longueur de l'arc dy étant donnée par l'expression

- 'l[d2;; ]~

arc d,

=V

de"-:..

=V -

^{ds_2_- ds'}

on aura, pour la courbure

1 ,

1[

^de"-

^]~

^{_ , l-:fi2}

;-=v -cr;-

- V X - .

~

Introduisons le :vecteur e).-qui détermine la direction de la normale principale

on pourra écrire e;.=px",

x" .

- --=,

e-- ,; /. v x-¹¹²

ou encore de"-

ds

r

^{e; ..}

Le point N =M+pe;., situé sur la normale principale en M, est appelé centre de courbure au point 1VI.

REMARQUE. - Les relations qui précèdent ont été obtenues en prenant comme variable indépendante l'arc s. Il sera facile, en suivant une marche analogue, de traiter le cas où l'équation de la courbe est exprimée en fonction d'une variable cruelconque.

§ 3. - Torsion ; formules de Frenet.

5. -Considérons, en un point M d'une courbe gauche, la tan- gente et la normale principale, et menons en ce point la per- pendiculaire au plan osculateur. Cette droite porte le nom de binormale. Nous admettrons que la tangente soit menée dans le sens des arcs croissants et que la normale principale soit dirigée

DES COURBES GAUCHES

du point M vers le centre de courbure. Le sens de la binormale sera déterminé plus loin. Soit err le vecteur-unité déterminant

1 1 1 ~

\

\

---

\

1 / 1 1

) - -

Il/ _,....--

.,/---

Fig. 3.

--11

- - - 1 \

1 \

1 1

/ 1

1 \

1 \

1 1

1 \

/ 1

\ 1

\

\

\

__

--\---~/

---

1 1

\ /

\ /

\ / 11 ;/

la direction de cette droite ; on aura, en conservant pour le moment le double s1gne,

et, de plus

err

=+J

[e"_eï.]

eu.=+ ¹ [eï.err]

e).

-+\

[erreu.]

Les vecteurs eu., eï., ea étant perpendiculaires deux à deux, on a, en outre

Étudions la variation de la direction de la binormale lorsque le point M se déplace sur la courbe. Nous considérons, comme plus haut, le vecteur-unité ·Il mené par le point fixe

0

parallè- lement aux vecteurs ea. Pendant le déplacement de M sur la courbe, l'extrémité Ma du vecteur ·Il déerira une courbe appelée indicatrice sphérique des binorma les. ~

On a donc

L'arc d 1) mesure l'angle formé par les plans osculateurs en deux points infiniment voisins M et M'.

TORSION; FORMULES DE FRENET 27

La limite du rapport de cet angle à l'arc correspondant MM' .. porte le nom de torsion de la courbe en M.

Le nombre ^'t' ou l'inverse de la torsion est appelé rayon de torsion. On a donc, par définition, en désignant la torsion par -, 1

't'

1 d·r

- =

^{mod _!_}

=.

^{1-:72 •}

't' ds v ^{ri - '}

et, puisque l'on a, pour la courbe sphérique

·r

¹

=e"'

on pourra écrire

1 de

- =mocl _rr =·IT2

't' ds v err-.

Nous allons montrer que. e,/ est parallèle à la normale princi- pale.

En effet, de la relation

[ e"l

ea:]

= o

on déduit

[ ~:" lea:]+[errl. ;

₈^"' ]=o;

or le second terme de cette équation est nul en vertu de l'ex- pression

il reste donc -

•

de"' _ _ e~.;

ds - P

[ e'rr! ea:]=

o

relation qui signifie que e/ est perpendiculaire à e"'. Mais, en dif- férentiant err~= 1' on obtient

[ e"je'rr ]=

o

d'où il résulte que

e,/

est perpendiculaire à

err.

On reconnaît donc que le vecteur

err'

est parallèle à la normale principale.

28 DES éOURBES GAUCHES

. -Le- module de ce vecteur étant désigné par ~ , on aura donc

'!

la relation

6. - Déterminons maintenant le module de

e/,

c'est-à-dire calculons l'expression Ve/~.

Les équations de condition

e~= ¹

(j

donnent par dérivation

[err

lx"']+ [

e'rrlx'']

=o.

D'après les deux premières égalités on reconnaît de nouveau que e/ est perpendiculaire à la fois 'à err et à x', et que, par suite, il est parallèle à

x".

On peut donc poser

p.

étant un nombre qu'il reste à déterminer.

La troisième égalité devient alors

[ errlx"'J

+ [p.x" lx"]=

o,

~,où l'on tire

(-X¹¹~ = -[err 1 x'''] ; mais, d'après

err=+ 1

[e'J.eÀ]=+ pJ[x'x"J

^et

on a

p. ^{1 [ 1} " ] 1 'Il

p2 =-+-P xx x et, par suite,

p.=-+-p³ [x' x" x"'].

1!2 • 1

x - = -_~ p