6.11 F.S.O Examen blanc 2007-2008

6.11 F.S.O Examen blanc 2007-2008

Exercice I

Soit f une fonction de classeC³[a,b]et soientαetβdeux réels dans[a,b]. On supposeα<βet on noteq(x)le polynôme interpolant faux points :α,α+β etβ. 2

1) Exprimerq(x)dans la bas de Lagrange (1 point) 2) Exprimerq(x)dans la base de Newton puis calculer

Z β

α q(x)dx(1.5 point) 3) Donner l’erreur d’interpolatione(x) = f(x)−^q(x)pourx∈ [α,β](0.5 point) 4) Déduire que|

Z β

α f(x)−^q(x)dx| ≤ ^M3

(β−^α)⁴

192 oùM3 = max_a<t<b|^f(3)(t)| (1.5 point)

5) Soit a = x0 ≺ ^x1 ≺ ^.... ≺ ^xn = b, une subdivision de [a,b] et qk(x) le polynôme interpolant f aux points :xk, xk+xk+1

2 etxk+1

On poseSn=

k=n−1

∑

k=0

Z _xk+1

xk

qk(x)dx

Montrer que lim

n−→^∞Sn=

Z _b

a f(x)dx(0.5 point) 6) Déduire que|

Z _b

a f(x)−^Sn| ≤^M3

(b−^a)⁴

192n³ (1 point) Exercice II

Soienthune fonction de classeC²([a,b]);αetβ deux réels de[a,b] On suppose queα≺^βet on considère sur[α,β]les fonctions : Ψ₀(x) =2(x−^α)³

(β−^α)³−³(x−^α)²

(β−^α)² +1;φ₀(x) = (β−^α)((x−^α)³

(β−^α)³−²(x−^α)² (β−^α)² + (x−^α)

(β−^α))

Ψ₁(x) =3(x−^α)²

(β−^α)² −²(x−^α)³

(β−^α)^3;φ1(x) = (β−^α)((x−^α)³

(β−^α)³ − (x−^α)² (β−^α)²) 1) CalculerΨ₀(α),Ψ^′₀(α),Ψ₀(β),Ψ^′₀(β)etφ₀(α),φ^′₀(α),φ₀(β),φ^′₀(β) 2) SoitPle polynôme défini sur[α,β]par :

P(x) =h(α)Ψ₀(x) +h(β)Ψ₁(x) +h^′(α)φ₀(x) +h^′(β)φ₁(x)

Vérifier quePsatisfait les conditions suivantes (dites conditions de Hermite) : P(α) =h(α),P^′(α) =h^′(α),P(β) =h(β)etP^′(β) =h^′(β)

3) SoitQle polynôme défini parQ(x) = (x−^α)²(x−^β)² On suppose quehest de classeC⁴([a,b])et on pose :

Montrer que pour toutx∈]α,β[il existeθ∈]α,β[tel que :

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h(x)−^P(x) = ^h

(4)(θ) 4! Q(x)

(On pourra montrer que la fonctiong(t) =h(t)−^P(t) = ^Q(t)

Q(x)(h(x)−^P(x) et montrer qu’elle admet 3 zéros et que sa dérivée admet 4 zéros)

4) i) Claculer les intégrales Z β

α

Ψ_k(x)dxet Z β

φ_k(x)dxpourk=0, 1 ii) Déduire l’expression de

Z β

α P(x)dx en fonction deα,β,h(α),h(β),h^′(α) et h^′(β)

5) On suppose que la fonctionhest de classeC⁴([a,b]). En posantM4 = max

a≤^t≤^b

h⁽⁴⁾(t), montrer que :

Z β

α (h(x)−^P(x))dx ≤ ^M4

(β−^α)⁵ 720 6) On considère une subdivision x0 = a < x1 < ... < xn = brégulière de pas h= (b−^a)

On noten Pjl’interpolant d’Hermite dehaux pointsxjetxj+1

On poseHn=

j=n−1

∑

j=0

Z _xj+1

xj

Pj(x)dx

6) On noteTnl’intégrale approchée de Z _b

a h(x)dxpar la méthode des trapèzes Montrer que :Hn=Tn+ (b−^a)²

12n² (h^′(a)−^h′(b)) 7) En déduire lim

n→^∞Hn

8) Sihest de classeC⁴([a,b]), montrer que :

Z _b

a h(x)dx−^Hn ≤ ^M4

(b−^a)⁵ 720n⁴ 9) Application : En admettant queM4 =12 , donner une valeur approchée de Z ₁

0 exp(−^x2)dxavec la précisionε=10⁻⁴

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