Livret d’entraînement aux Mathématiques

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Livret d’entraînement aux Mathématiques

pour l’entrée en seconde des lycées : Jean-Jacques Rousseau

De la Tourelle de SARCELLES

Année 2010 - 2011

A destination des élèves des collèges Jean Bullant

Anatole France Chantereine Evariste Galois Jean Lurçat Victor Hugo Voltaire Léon Blum

Martin Luther King Saint Exupéry

Ce livret a été conçu par les professeurs de mathématiques des collèges et des lycées. Il est à travailler avant la rentrée par chaque élève.

Vous trouverez des éléments de réponse sur le site des lycées : http://www.lyc-rousseau-sarcelles.ac-versailles.fr/

http://www.lyc-tourelle-sarcelles.ac-versailles.fr/

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Calcul numérique

Préliminaire : On rappelle la définition suivante :

Définition : Un nombre q est dit rationnel s’il existe deux entiers relatifs a et b tels que b q= a

Exercice 1 :

Compétences : Reconnaître un nombre relatif entier, décimal, rationnel.

Voici une liste de nombres : 7 ; – 6 ; 12,5 ;

3 1 ;

2

1 ;

π

^; ³⁶^; 6

24 ; – 3 ; 5 ; – 4 ; 3 2; –

4

7; 25 ; 7 35

− ^{; –} 64 ; 4 3×π Préciser pour chaque nombre, s'il s'agit:

a) d'un nombre relatif entier b) d'un nombre relatif décimal c) d'un nombre relatif rationnel

Exercice 2 :

Compétences : Utiliser les propriétés des puissances.

On considère les expressions suivantes : A =

8 10

2 10 16

2 3

×

× ; B =

7 2

3

5 10 2 10

35 10

× × × −

− × .

1) Vérifier que A est un nombre relatif entier. Ecrire les étapes du calcul.

2) Préciser si B est un nombre relatif entier, décimal, rationnel. Ecrire les étapes du calcul.

Exercice 3 :

Compétences : Effectuer des opérations avec des nombres en écriture fractionnaire. Connaître les priorités opératoires dans un enchaînement de calculs.

1) Le nombre suivant 1 3 5

4+ ×4 2est il un nombre relatif entier, décimal, rationnel ? 2) On considère les nombres suivants: A = 2 2 9

3− ×3 5 et B = 1 1 2 3 6−3 ÷ 5×4

   

   

   ^.

Calculer et donner le résultat de chacune des expressions sous la forme la plus simple.

3)Ecrire C =

3 3

4 10

5 2

2 5

+

−

sous forme de fraction irréductible. On fera apparaître les étapes du calcul.

Exercice 4 :

Compétences : Savoir simplifier des expressions en utilisant les propriétés des racines.

1) On considère les nombres : A = 27 , B = 48 et C = 108 . a) Démontrer que A

B est une fraction. b) Démontrer que C

A est un nombre entier.

2) Ecrire le nombre D = 98+3 50− 2 sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit possible.

3) On considère F = 3 2 2 8 7

+ . Le nombre F est-il un nombre rationnel ? Justifier la réponse.

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3/9 - choisir un nombre - retrancher 2

- élever le résultat au carré

- retrancher le carré du nombre choisi au départ - ajouter le quintuple du nombre choisi au départ - retrancher 4

Calcul Littéral

Exercice 1 :

Compétences : Développer, réduire, factoriser des expressions. Résoudre une équation produit.

On considère l’expression littérale ^E⁼

(

²^x⁺¹

) (

²^{− −}³ ^x

)(

²^x⁺¹

)

1) Développer et réduire E.

2) Factoriser E.

3) Résoudre l’équation-produit

(

²^x⁺^{1 3}

)(

^x⁻²

)

⁼⁰^.

4) Calculer E pour x=3. Exercice 2 :

On considère l’expression littérale ^E⁼

(

⁵^x⁻¹

)

²⁻¹²¹^.

1) Développer et réduire F.

2) Factoriser F.

3) Résoudre l’équation-produit

(

⁵^x⁻¹²

)(

⁵^x⁺¹⁰

)

⁼⁰^.

4) Calculer F pour x= −2. Exercice 3 :

Compétences : Prouver qu’une égalité est vraie ou fausse.

Julien affirme que ²

(

^x⁺³

)(

²^x⁻⁷

)

⁼⁴^x² ^{− −}^x ⁴². A-t-il raison ? Si non, prouvez qu’il a tort.

Exercice 4 :

Compétences : Ecrire et utiliser une formule.

SABC est une pyramide de hauteur h dont la base est un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6cm et AC = 5cm 1) Déterminer le volume de la pyramide en fonction de h.

2) Le volume de cette pyramide est 40 cm³. Quelle est sa hauteur ? Exercice 5 :

Compétences : Résoudre une équation du 1^er degré.

Quel est le nombre qui est solution de l’équation ²^x^{− +}

(

^{8 3}^x

)

⁼²^?

Exercice 6 :

Voici un programme de calcul :

1) Appliquer trois fois ce programme de calcul avec des nombres de votre choix. Quelle conjecture peut-on faire ? 2) Cette conjecture est-elle toujours vraie ? Justifier.

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1 O 1

Fonctions

Exercice 1 :

Compétences : Déterminer des images, des antécédents par une fonction définie par un tableau de données.

On considère ci-contre le tableau de données d’une fonction g : Répondre aux questions par des phrases !

1) Quelle est l’image de -3 ? 2) Donner un antécédent de – 4.

3) Quel nombre a pour image 2 ? 4) Quel nombre a pour antécédent 0 ?

5) Donner deux nombres qui ont la même image ? Exercice 2 :

Compétences : Déterminer des images par une fonction définie par une formule.

Soit f la fonction définie par f :x֏ x²−5, pour tout nombre x.

1) Faire une phrase pour dire comment est définie la fonction f.

2) Calculer f(3).

3) Calculer l’image de –2 par la fonction f.

Exercice 3 :

Compétences : Déterminer des images par une fonction définie par une formule.

Soit la fonction h définie par ₂1

: 2

h x֏ x − , pour tout nombre x différent de 2 et − 2. Calculer les images de 0 ; 2 ; -1 ; 3

2 et 3 par la fonction h.

Compétences : Déterminer des images, des antécédents par une fonction définie par une courbe.(exercices 4, 5 et 6)

Exercice 4 :

La courbe ci-contre représente une fonction f

1) Tracer en pointillés les traits de lecture dans la couleur demandée et faire des phrases pour répondre :

- En noir : L’image de 6 par la fonction f.

- En bleu : L’image de -1 par la fonction f.

- En vert : Un antécédent de -3 par la fonction f.

- En rouge : Un antécédent de 2 par la fonction f.

On donnera toutes les réponses possibles pour la dernière lecture.

2) Compléter les égalités :

f(-3) = …… ; f(0) = …… ; f(……) = 3 ; f(……) = -4.

3) À l’aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de la fonction f :

Exercice 5 :

La distance d’arrêt d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre le moment où le conducteur aperçoit un obstacle et celui où le véhicule s’arrête.

La courbe ci-contre représente la distance d’arrêt d’un véhicule en fonction de sa vitesse au moment où le conducteur voit l’obstacle.

1) Quelle est la distance d’arrêt d’un véhicule se déplaçant à 30 km/h ?

2) Un conducteur lucide s’arrête au bout de 140 m. A quelle vitesse roulait-il ?

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

g(x) 4 3 2 -1 -3 -4 -3 -4 0

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x)

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5/9 Exercice 6 :

Le prix d’une voiture varie en fonction du temps passé après sa première mise en circulation.

1) Quelle est la valeur de cette voiture : a. A l’achat ?

b. 5 ans après l’achat ? c. 7,5 ans après l’achat ?

2) Au bout de combien d’années cette voiture aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?

Statistiques - Probabilités

Exercice 1 :

Compétences : Etudier un caractère. Lire un diagramme. Dresser un tableau. Calculer une moyenne.

Le diagramme ci-dessous montre la répartition des adhérents du club de tarot du lycée Carnot.

1) Compléter le tableau des effectifs suivants : Age

Effectif

2) Combien d’adhérents ce club compte-t-il ?

3) Calculer l’âge moyen des adhérents du club (arrondi au dixième).

Exercice 2 :

Compétences : Etudier un caractère. Calculer une moyenne, une médiane, des quartiles.

Un athlète, spécialiste du lancer de poids, participe à des épreuves éliminatoires en vue de son éventuelle sélection pour des championnats d’Europe.

Il est amené à réaliser 12 lancers dont les longueurs, en mètres, sont données ci-après : 18,6 – 19,4 – 20,8 – 15,9 – 17,7 – 21,1 – 19,8 – 15,2 – 17,2 – 16,5 – 20,5 – 21,9 – 20,4.

1) Ranger par ordre croissant la série de lancers.

2) Quelle est la moyenne de la série de lancers ? le résultat sera donné à 0,1 m près.

3) Quelle est la médiane de la série de lancers ?

4) Déterminer le premier quartile de la série de lancers.

5) Déterminer le troisième quartile de la série de lancers.

Exercice 3 :

Compétences : Lire un diagramme circulaire. Calculer une moyenne.

Lors d’un festival de musique, on doit choisir entre trois formules : la première à 15 euros, la seconde à 25 euros et la troisième à 30 euros.

Voici le bilan des réservations pour ce festival : Quel est le prix moyen des réservations ?

0 5 10

12 13 14 15 16 17

répartition des adhérents du club de tarot du lycée Carnot selon l'âge

âge

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Compétences : Etudier un caractère. Dresser un tableau. Calculer une moyenne, une médiane, une fréquence.

Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l’enquête sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leur âge (en années).

Age [0 ;10[ [10 ;20[ [20 ;30[ [30 ;40[ [40 ;50[ [50 ;60[ [60 ;70[ [70 ;80[ [80 ;90[

Centre de classe 5

Effectif 27 45 48 39 42 36 33 24 6

Effectifs cumulés croissants

1) Compléter ce tableau en indiquant le centre de chaque classe d’âge et les effectifs cumulés croissant.

2) Calculer l’âge moyen des ces skieurs en prenant pour âge le centre de chaque classe.

3) Quelle est la fréquence, en pourcentages, de skieurs ayant un âge inférieur à 20 ans ? 4) Calculer l’âge médian des skieurs.

Exercice 5 :

Compétences : Etudier un caractère. Calculer une moyenne, une médiane, des quartiles. Construire un diagramme en boite.

La famille Dupont a noté la masse de ses ordures ménagères chaque mois.

Mois Janv. Févr. Mars Avril Mai Juin Juil. Août Sept. Oct. Nov. Déc.

Masse (en kg) 40 25 20 15 24 30 32 28 36 24 35 51

1) Calculer la moyenne d’ordures ménagères de la famille Dupont par mois.

2) Déterminer la masse médiane.

3) Déterminer les premier et troisième quartiles.

4) L’affirmation suivante est-elle exacte ? « 50 % des masses mensuelles des ordures ménagères de cette famille est compris entre 24 kg et 39 kg ».

Exercice 6 :

Compétences : Décrire et représenter une expérience aléatoire. Définir des événements. Calculer une probabilité.

On fait tourner la roue ci-contre et on regarde la lettre obtenue.

1) Combien y a-t-il d’issues ? Les citer.

2) Donner un événement impossible.

3) Construire un arbre des possibles.

4) Donner un événement ni impossible, ni certain, ni élémentaire.

5) Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir B » ?

6) La probabilité d’obtenir une voyelle est-elle supérieure à 0,40 ? Justifier.

Exercice 7 :

On lance un dé à six faces et on regarde le nombre inscrit sur la face supérieure.

1) Quelles sont les issues de cette expérience ? 2) Donner un événement élémentaire.

3) Donner un événement certain. Quelle est sa probabilité ? 4) Donner un événement impossible. Quelle est sa probabilité ? 5) Quelle est la probabilité de l’événement A : « obtenir 5 » ?

6) Quelle est la probabilité de l’événement B : « obtenir un nombre plus supérieur ou égal à 3 » ? 7) Imaginons que l’on renouvelle 120 000 fois cette expérience.

a. Combien de fois environ obtiendra-t-on le nombre 5 ?

b. Combien de fois environ obtiendra-t-on un nombre supérieur ou égal à 3 ?

(7)

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R

B

R B R

B Exercice 8 :

Dans une urne contenant 7 boules rouges et 5 boules bleues, on tire une première boule. On note sa couleur puis on la remet dans l’urne. On tire une deuxième boule et l’on note sa couleur.

L’issue correspondant au tirage d’une boule bleue suivie d’une boule rouge sera notée (B, R).

1) Donner toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire.

2) Compléter l’arbre ci-contre en indiquant les probabilités sur chaque branche sous forme fractionnaire.

3) Calculer la probabilité d’obtenir (R, B).

4) Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur.

Géométrie plane

Exercice 1 :

Compétences : Construire un triangle. Construire et définir la bissectrice d’un angle. Construire le symétrique d’un point par rapport à une droite.

1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 7 cm,

ABC = 35° et BC = 5cm.

2) Construire la bissectrice de l’angle

ABC . Elle coupe (AC) en D. Placer le point D.

3) Quelle est la mesure de l’angle

ABD ? Justifier par une phrase.

4) Construire le point E, le symétrique du point C par rapport à la droite (AB).

5) Quelle est la mesure de l’angle

ABE ? Justifier par une phrase.

Exercice 2 :

Compétences : Construire le symétrique d’un point par rapport à un point. Reconnaître la médiatrice d’un segment.

Connaître la propriété sur la somme des mesures des angles d’un triangle. Utiliser les propriétés du parallélogramme.

Sur la figure ci-dessous, la mesure de l’angle

OAB est de 14° et celle de

AOB est 122°. Construire un tel triangle.

1) Calculer la mesure de l’angle OBA .

2) a- Construire le point F, symétrique de O par rapport à (AB).

b- Que représente la droite (AB) pour le segment [OF] ?

3) a- Construire les point C et D les symétriques respectifs de A et B par rapport à O.

b- Quelle est la mesure de l’angle

OCD ? Justifier par une phrase.

c- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Faire une démonstration.

Exercice 3 :

Compétences : Utiliser les milieux et les droites parallèles dans un triangle. Utiliser le théorème de Thalès.

Dans la figure ci-contre (qui n’est pas en vraie grandeur), on a : - G le milieu du segment [KA] ;

- R le milieu du segment [AT] ; - GH = 3cm ;

- GK = 2,5 cm ; - GF = 5cm.

1) Démontrer que les droites (GR) et (KT) sont parallèles.

2) Calculer KL. On donnera l’arrondi au millimètre.

Exercice 4 :

Compétences : Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Reconnaître une tangente à un cercle. Déterminer la distance d’un point à une droite.

Montrer que le triangle NTA est rectangle.

1) La droite (TN) est-elle tangente au cercle (C) de centre A ? 2) Quelle est la distance du point A à la droite (TN) ?

(C

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Compétences : Utiliser les propriétés du cercle circonscrit à un triangle. Utiliser le cosinus d’un angle. Utiliser le théorème de Pythagore.

1) a- Construire un segment [AB] de longueur 7cm.

b- Construire le cercle (C) de diamètre [AB].

c- Construire D un point de C tel que AD = 5cm.

2) Démontrer que le triangle ABD est rectangle.

3) Calculer la mesure de l’angle

BAD au degré près. ( voir annexe) 4) Calculer DB au millimètre près.

Exercice 6 :

Compétences : Utiliser la réciproque de Pythagore. Utiliser les relations trigonométriques du triangle rectangle.

Calculer une aire. Utiliser un coefficient de réduction.

La figure suivante n’est pas en vraie grandeur et elle n’est pas à reproduire.

On donne : AB = 5,4 cm ; BC = 7,2 cm ; AC = 9 cm; AD = 2,6 cm.

De plus, on sait que (BC) et (AE) sont des droites parallèles.

1) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.

ACB arrondie au dixième.

3) Calculer l’aire du triangle ABC.

4) Calculer la longueur AE.

Exercice 7 :

Compétences : Utiliser la réciproque de Thalès. Utiliser les relations trigonométriques du triangle rectangle. Utiliser le théorème de Pythagore.

Dans la figure ci-contre, les diagonales du quadrilatère IJKL se coupent en O perpendiculairement.

On donne les longueurs suivantes : IO = 9,8 cm; LO = 5,7 cm ; IK = 14 cm ; LJ = 19 cm.

1) Les droites (LK) et (IJ) sont-elles parallèles?

LKO arrondie au degré près. ( voir annexe) 3) Calculer IJ.

Exercice 8 :

Compétences : Utiliser les propriété des angles inscrits dans un cercle. Reconnaître la bissectrice d’un angle. Utiliser le théorème de Pythagore.

O est le centre d’un cercle de diamètre [AB] avec AB = 8cm.

Les points C, D et E appartiennent à ce cercle.

1) Déterminer les mesures des angles :

CEA ,

CDA ,

BEA et

BEC . Justifier chaque réponse.

2) Que représente (CE) pour BEA ? 3) Calculer CA.

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9/9

A

O H (C)

Géométrie dans l’espace

Exercice 1 :

Compétences : Calculer le volume d’une pyramide Connaître l’effet d’un agrandissement sur les aires, sur les volumes. Représenter et déterminer des sections Appliquer le théorème de Pythagore.

Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un confiseur.

Pour cela il considère une pyramide régulière SABCD à base carrée où O est le centre du carré ABCD.

On a : OA = 12 cm et SA = 20 cm.

1) Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO = 16 cm.

2) Calculer le volume V1 de la pyramide SABCD sachant que l’aire de la base est 288 cm².

3) L'artisan coupe cette pyramide SABCD par un plan parallèle à la base tel que SM

= 2 cm où M est le centre de la section ainsi obtenue.

a) Quelle est la nature de la section IJKL obtenue ?

b) Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL.

c) En déduire la longueur SI puis la longueur IA.

d) En déduire le volume V2 de la pyramide SIJKL et le volume V3 du tronc de la pyramide ABCDIJKL.

Exercice 2 :

Compétences : Connaître la nature et représenter la section d’une sphère par un plan. Calculer le rayon du cercle intersection de la section d’une sphère par un plan.

Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 10 cm selon un cercle (C) de centre H. La distance OH du centre de la sphère à ce plan vaut 6 cm.

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. Cette figure représente la sphère et le cercle (C). Le point A est un point du cercle (C).

1) En utilisant uniquement les données de l’énoncé, tracer en vraie grandeur le triangle OHA, rectangle en H. On laissera les traits de construction apparents.

2) Calculer le rayon du cercle (C).

3) Calculer la circonférence du cercle (C). On arrondira le résultat au millimètre près.

Exercice 3 :

Compétences : Représenter la section d’un cube ou pavé (plan//arête). Représenter et déterminer des sections.

Appliquer le théorème de Pythagore.

Le quadrilatère ABJI est la section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à l’arête [CD]. I est le milieu de [HD] et J le milieu de [CG].

1) Quelle est la nature du quadrilatère ABJI ? 2) Calculer la valeur exacte de AI.

3) Représenter en vraie grandeur le triangle ADI, puis le quadrilatère ABJI.

(laisser les traits de construction apparents.)

Exercice 4 :

Compétences : Représenter et déterminer des sections. Appliquer le théorème de Pythagore On considère un cube ABCDEFGH.

1) Compléter le tableau en répondant par oui ou par non.

2) L’arête du cube mesure 5 cm.

a) Sans faire de calculs, construire le triangle BFG en vraie grandeur.

b) Calculer la valeur exacte de EB et de EC.

Est-il rectangle ? Est-il équilatéral ? Est-il isocèle ? Le triangle BFG

Le triangle EBG Le triangle EBC