Principe du maximum et formule de Gutzmer
A. Lesfari
E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr Site web : http://lesfari.com
Th´eor`eme 1. (principe du maximum). Si le module d’une fonction holomor- phe sur un domaineΩ⊂C, atteint son maximum en un point deΩ(c.-`a-d., s’il existe un disque ouvert D={z :|z−z0|< R} ⊂ Ω et tel que |f(z)| ≤ |f(z0)|
dans ce disque), alors cette fonction est constante.
D´emonstration : Montrons d’abord que pour tout z ∈D, |f(z)| =|f(z0)|, c’est-`a-dire|f(z0)| est maximum. On a
z−z0 =reiθ, r∈[0, R[, 0≤θ ≤2π.
Par hypoth`ese, on a ¯
¯f(z0+reiθ)¯
¯≤ |f(z0)|, et d’apr`es le th´eor`eme de la moyenne [2], on a
|f(z0)| ≤ 1 2π
Z 2π
0
¯¯f(z0+reiθ)¯
¯dθ ≤ 1 2π
Z 2π
0
|f(z0)|dθ =|f(z0)|.
D`es lors, on a ´egalit´e partout et Z 2π
0
¡¯¯f(z0+reiθ)¯
¯− |f(z0)|¢
dθ = 0.
Or ¯
¯f(z0+reiθ)¯
¯− |f(z0)| ≤0, et comme f est continue sur [0,2π], alors
¯¯f(z0+reiθ)¯
¯=|f(z0)|,
c’est-`a-dire f(z)| = |f(z0)|. Cette derni`ere expression montre que |f|2 = f f est constant sur le disque D et on a
∂
∂z(f f) = 0.
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D’o`u
∂f
∂zf+f∂f
∂z = ∂f
∂zf+f∂f
∂z = 0.
Or f est holomorphe, donc ∂f∂z = 0 et d`es lors
∂f
∂zf = 0,
et |f| = |f| = constante. D’apr`es l’´equation ci-dessus, si f s’annule en un pointa, alors
|f(z)|=|f(a)|= 0.
Doncf ≡0 et en particulierf est constante. Si maintenantf ne s’annule pas, alors ∂f
∂z = 0. Comme f0(z) = ∂f
∂z(z), on en d´eduit quef est constante sur D.
Par cons´equent f est constante sur Ω, en vertu du principe du prolongement analytique.
Note : Une autre preuve consiste `a utiliser la formule de Gutzmer (voir exercice ci-dessous),
1 2π
Z 2π
0
¯¯f(z0+reiθ)¯
¯2dθ = X∞
k=0
¯¯f(k)(z0)¯
¯2 r2k (k!)2.
En effet, si |f| atteint son maximum, not´e M, en un point z0 de Ω, alors d’apr`es la formule de Gutzmer, on a
M2+ X∞
k=1
¯¯f(k)(z0)¯
¯2 r2k
(k!)2 ≤M2.
D’o`u f(k)(z0) = 0, ∀k ∈ N∗, et le d´eveloppement de la fonction f en s´erie enti`ere au voisinage de z0 montre que sur le cercle {z : |z −z0| = R}, on a f(z) = M. Il suffit d`es lors, d’appliquer le principe des z´eros isol´es `a la fonction f −M et ainsi on a f(z) =M sur Ω.
Exercice 1. Soit f une fonction holomorphe sur un domaine contenant {z ∈C:|z| ≤r}.
D´emontrer la formule de Gutzmer : X∞
k=0
|ak|2r2k= 1 2π
Z 2π
0
¯¯f(z0+reiθ)¯¯2dθ≤Mr2,
o`u les ak sont les coefficients du d´eveloppement en s´erie enti`ere de f au voisi- nage de z0 et
Mr = sup{|f(z)|:|z−z0|=r}.
(A. Lesfari, Principe du maximum et formule de Gutzmer) 3
Solution: Par hypoth`ese, f est holomorphe au voisinage de z0, donc
f(z) = X∞
k=0
ak(z−z0)k.
D`es lors,
f(z0+reiθ) = X∞
k=0
akrke−ikθ,
et ¯
¯f(z0+reiθ)¯
¯2 = X∞
k=0
akrkf(z0+reiθ)e−ikθ.
Rappelons qu’une s´erie enti`ere converge normalement (donc absolument et uni- form´ement) dans tout compact contenu dans le disque ouvert de convergence.
D’apr`es le th´eor`eme d’int´egration, on peut intervertir les signes d’int´egration et de sommation,
Z 2π
0
¯¯f(z0+reiθ)¯
¯2dθ = X∞
k=0
akrk Z 2π
0
f(z0+reiθ)e−ikθ.
Or
Z 2π
0
f(z0+reiθ)e−ikθ = Z 2π
0
X∞
l=0
akrkei(l−k)θdθ,
= X∞
l=0
akrk Z 2π
0
ei(l−k)θdθ,
= 2πakrk,
donc Z 2π
0
¯¯f(z0+reiθ)¯
¯2dθ= 2π X∞
k=0
|ak|2r2k.
Enfin, l’in´egalit´e s’obtient imm´ediatement en prenant le maximum de la fonc- tion sous le signe int´egrale.
Notes : a) En tenant compte du fait que ak = f(k)(z0)
k! , la formule de Gutzmer s’´ecrit sous la forme
1 2π
Z 2π
0
¯¯f(z0+reiθ)¯
¯2dθ = X∞
k=0
¯¯f(k)(z0)¯
¯2 r2k (k!)2.
(A. Lesfari, Principe du maximum et formule de Gutzmer) 4
b) Une autre m´ethode pour d´emontrer cette formule consiste `a utiliser la th´eorie des s´eries de Fourier [1]. La fonction
θ 7−→f(z0+reiθ), est d´eveloppable en s´erie de Fourier
f(z0+reiθ) = X∞
k=0
akrkeikθ = X∞
k=0
f(k)(z0) k! rkeikθ,
et la formule en question r´esulte imm´ediatement de l’´egalit´e de Parseval [1].
References
[1] Lesfari, A. : Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace (Cours et exercices). Ellipses, Paris (2012).
[2] Lesfari, A. : Variables complexes (Cours et exercices corrig´es). Ellipses, Paris (2014).
