Motifs en bandes de l’´ ecoulement de Couette plan transitionnel
Paul Manneville, LadHyX, ´ Ecole Polytechnique
contexte: transition vers la turbulence des ´ecoulements de paroi
; directe avec coexistence laminaire-turbulent dans l’espace physique
exemple de l’´ecoulement de Couette plan ; r´egime de bandes pour Rg < R < Rt
passer de “comment les bandes”
`a “pourquoi les bandes”
mod´elisation? ; D. Barkley1: syst`eme de r´eaction-diffusion
; dans cet esprit: pourquoi pas une instabilit´e de Turing?
mod`ele de Waleffe2 modifi´e:
(∂t + αm)M = σmW2 − σuU V + αm+∂xxM (∂t + αu)U = −σwW2 + σuM V
(∂t + αv)V = σvW2
(∂t + αw)W = σwU W − σmM W − σvV W +D∂xxW
1 D. Barkley: Modeling the transition to turbulence in shear flows, J. Phys.: Conf. Ser. 318 (2011) 032001.
2 F. Waleffe: Waleffe, F. On a self-sustaining process in shear flows, Phys. Fluids 9 (1997) 883-900.
1
stade lin´eaire: Hopf vs. Turing
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
ï15 ï10 ï5 0 5x 10ï3
q
growth rate
R=130 (Turing) R=130 (Hopf) R=143.4 (Turing) R=143.4 (Hopf) R=160 (Turing) R=160 (Hopf)
Turing modes Hopf
modes
stade non-lin´eaire: bifurcation
50 100 150 200
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
R
6 unstable lower branch
stable upper branch Turing unstable Turing & Hopf unstable k = 0.8168
k = 0.7540 k = 0.6912 k = 0.6283 k = 0.5655 k = 0.5027 k = 0.4398 Rsn
k=0.4398 k=0.8168
featureless turbulence RT
RH
laminar flow
quelques solutions satur´ees:
0 10 20 30 40 50
0 0.05 0.10 0.15 0.20
0.25 M
U V W R = 151 L = 6.5h
0 10 20 30 40 50
0 0.1 0.2
0.3 M
U V W
R = 135 L = 5h
0 10 20 30 40 50
0 0.2 0.4 0.6
0.8 M
U V W
R = 70 L = 3.5h
l’exercice
– sugg`ere le caract`ere g´en´erique de la structuration (avec RT ≡ Rt) – appelle une ´etude “microscopique”
compl´ementaire
merci de votre attention!
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